Ecuaciones

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Ecuaciones

  1. 1. ASIGNATURA: Lógica del Pensamiento DOCENTE: Jairo Rámirez M. ESTUDIANTE: Iván Danilo Cortés UNIVERSIDAD: CUN
  2. 2. La relación de dos números es de 2 a 3. Si el menor se aumenta en 8 y el mayor en 7, la relación es de 3 a 4. Hallar los números. <ul><li>Primero definimos nuestras incógnitas: </li></ul><ul><ul><li>x = al número menor </li></ul></ul><ul><ul><li>y = al número mayor </li></ul></ul><ul><li>Después establecemos la relación dada: </li></ul><ul><ul><li>x / y = 2/3 Ec. 1 </li></ul></ul><ul><li>Luego definimos la relación que obtendríamos al variar x y y : </li></ul><ul><ul><li>( x +8)/( y +7)=3/4 Ec. 2 </li></ul></ul><ul><li>Teniendo nuestras ecuaciones procedemos a resolver: </li></ul><ul><li>Ec.1 x / y = 2/3 -> x = 2 y /3 </li></ul><ul><li>Ec.2 ( x +8)/( y +7) = 3/4 -> 4( x +8) = 3( y +7) -> 4 x +32 = 3 y +21 -> 4 x -3 y = -11 </li></ul><ul><li>Reemplazamos Ec.1 en Ec2. </li></ul><ul><li>4(2 y /3)-3 y = -11 -> 8 y /3-3 y = -11 -> (8 y -9 y )/3 = -11 -> - y = -33 -> y = 33 </li></ul><ul><li>Reemplazamos el valor de y en una de las ecuaciones para hallar x : </li></ul><ul><li>x = 2y/3 -> x = 2(33)/3 -> x = 2(11) -> x = 22. Los números son 22 y 33. </li></ul>
  3. 3. En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto paga $8000 y cada niño $6000. por su entrada. La recaudación es de $4800000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños hay en el cine? <ul><li>Primero definimos nuestras incógnitas: </li></ul><ul><ul><li>x = adultos y = niños </li></ul></ul><ul><li>Ahora planteamos nuestras ecuaciones: </li></ul><ul><ul><li>Ec.1 x + y = 700 Ec. 2 8000 x +6000 y = 4800000 </li></ul></ul><ul><li>Luego procedemos a resolver: </li></ul><ul><li>x = 700- y -> Reemplazamos en Ec. 2: </li></ul><ul><li>8000(700- y )+6000 y = 4800000 -> 5600000-8000 y +6000 y = 4800000 -> </li></ul><ul><li>-2000 y = -800000 -> y = 400 </li></ul><ul><li>Ahora reemplazamos el valor de y en una de las ecuaciones: </li></ul><ul><li>x = 700- y -> x = 700-400 -> x = 300 </li></ul><ul><li>En el cine hay 300 adultos y 400 niños </li></ul>
  4. 4. Hace 10 años la edad de A era el doble de la de B; dentro de 10 años la edad de B será los ¾ de la de A. Hallar las edades actuales. <ul><li>Comenzamos definiendo nuestras incógnitas: </li></ul><ul><ul><li>x = edad actual de A y = edad actual de B </li></ul></ul><ul><li>Ahora planteamos nuestro sistemas de ecuaciones: </li></ul><ul><li>Ec.1 x -10 = 2( y -10) -> x -10 = 2 y -20 -> x -2 y = -10 </li></ul><ul><li>x -10 y y -10 serían las edades de A y B hace 10 años </li></ul><ul><li>Ec.2 3( x +10)/4 = y +10 -> 3 x +30 = 4 y +40 -> 3 x -4 y = 10 </li></ul><ul><li>x+ 10 y y+ 10 serían las edades de A y B dentro 10 años </li></ul><ul><li>Procedemos a resolver </li></ul><ul><li>Despejo x en Ec.1: x = 2 y – 10 y reemplazo en Ec.2: </li></ul><ul><li>3 x -4 y = 10 -> 3(2 y -10)-4 y = 10 -> 6 y -30-4 y = 10 -> 2 y = 40 -> y = 20 </li></ul><ul><li>Reemplazo el valor de y en una de las ecuaciones: </li></ul><ul><li>x = 2 y -10 -> x = 2(20)-10 -> x = 40-10 -> x = 30 </li></ul><ul><li>Las edades actuales de A y B son respectivamente 30 y 20 años. </li></ul>
  5. 5. Un bote emplea 5 horas en recorrer 24km río abajo y en regresar. En recorrer 3km río abajo gasta el mismo tiempo que en recorrer 2km río arriba. Hallar el tiemplo empleado en ir y el tiempo empleado en volver. <ul><li>Asignamos variables a nuestras incógnitas: </li></ul><ul><ul><li>x = tiempo río abajo (ida) y = tiempo río arriba (vuelta) </li></ul></ul><ul><li>Planteamos ecuaciones: </li></ul><ul><li>Ec.1 x + y = 5h El tiempo total de recorrido es igual al tiempo río abajo más el tiempo río arriba. Tiempo es igual a distancia sobre velocidad: </li></ul><ul><li>x = 24km/ v1 -> v1 es la velocidad río abajo. y = 24/ v2 -> velocidad río arriba. Entonces: </li></ul><ul><li>Ec.2 24km/ v1 +24km/ v2 = 5 h. </li></ul><ul><li>El tiempo en recorrer 3km río abajo es igual al tiempo que se tarda recorrer 2 km río arriba, esto es: </li></ul><ul><li>Ec.3 3km/ v1 = 2km/ v2 , despejando -> 3km. v2 = 2km. v1 -> v1 = 3 v2 /2 y esto lo reemplazamos en Ec. 2: </li></ul><ul><li>24km/(3 v2 /2)+24/ v2 = 5h -> 48km/3 v2 +24/ v2 = 5h -> 16km/ v2 + 24km/ v2 = 5h -> v2 = 40km/5h -> </li></ul><ul><li>v2 = 8km/h, reemplazamos en Ec. 3 y tendríamos: v1 = 3v2/2 -> v1 = 3(8km/h)/2 -> v1 = 12km/h </li></ul><ul><li>Ahora remplazamos en las equivalencias de x y y : </li></ul><ul><li>x = 24km/ v1 -> x = 24 km/12km/h -> x = 2h y = 24km/ v2 -> y = 24km/8km/h -> y = 3h </li></ul><ul><li>Por lo tanto el bote emplea 2 horas río abajo y 3 horas en su regreso. </li></ul>
  6. 6. Un hombre tiene 110 animales entre vacas, caballos y terneros, 1/8 del número de vacas más 1/9 del número de caballos más 1/5 del número de terneros equivalen a 15, y la suma del número de terneros con el de vacas es 65. ¿Cuántos animales de cada clase tiene? <ul><li>Asignamos variables para las incógnitas: </li></ul><ul><li>v = número de vacas c = número de caballos t = número de terneros </li></ul><ul><li>Ahora planteamos ecuaciones: </li></ul><ul><li>Ec.1 v/8+c/9+t/5 = 15 </li></ul><ul><li>Ec.2 v+t = 65 </li></ul><ul><li>Procedemos a resolver: </li></ul><ul><li>Por lógica podemos deducir que el número de caballos sería igual a total de animales menos la suma del número de vacas con el número de terneros: </li></ul><ul><li>c = 110-(v+t) -> c = 110-65 -> c = 45, teniendo este valor podemos reemplazar en Ec.1 : </li></ul><ul><li>v/8+c/9+t/5 = 15 -> v/8+45/9+t/5 = 15 -> v/8+5+t/5 = 15 -> Ec.3 v/8+t/5 = 10, ahora teniendo un sistema de ecuaciones 2x2 procedemos a resolver: </li></ul><ul><li>Ec.2 v+t = 65 -> v = 65-t -> y reemplazamos en Ec. 3 : </li></ul><ul><li>v/8+t/5 = 10 -> (65-t)/8+t/5 = 10 -> 325-5t+8t = 400 -> 3t = 75 -> t = 75/3 -> t = 25, con este valor podemos calcular el número de vacas: </li></ul><ul><li>Ec.2 v+t = 65 -> v+25 = 65 -> v = 65-25 -> v = 40 </li></ul><ul><li>Entonces, hay 40 vacas, 25 terneros y 45 caballos. </li></ul>
  7. 7. El perímetro de una sala rectangular es 56m. Si el largo se disminuye en 2m y el ancho se aumenta en 2m, la sala se hace cuadrada. Hallar las dimensiones de la sala. <ul><li>Designamos variables para nuestras incógnitas: </li></ul><ul><li>a = ancho de la sala l = largo de la sala </li></ul><ul><li>Ahora planteamos ecuaciones: </li></ul><ul><li>Ec.1 a+a+l+l = 56m -> 2a+2l = 56m </li></ul><ul><li>Ec.2 2(a+2)+2(l-2) = 4(a+2) -> 2a+4+2l-4 = 4a+8 -> -2a+2l = 8, despejamos 1 de las incóngitas: </li></ul><ul><li>2l = 8+2a -> l = 4+a, y reemplazamos en Ec.1: </li></ul><ul><li>2a+2l =56m -> 2a+2(4+a) =56m -> 2a+8+2a =56m -> 4a = 48m -> a = 48m/4 -> a = 12m </li></ul><ul><li>Procedemos a reemplazar este valor en una de las ecuaciones: </li></ul><ul><li>l = 4+a -> l = 4+12 -> l = 16m </li></ul><ul><li>Tenemos que el largo de la sala es de 16m y el ancho 12m. </li></ul>

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