Este documento trata sobre la teoría de redes complejas. Discute las propiedades fundamentales de las redes como la distribución del grado de los nodos, el efecto del pequeño mundo y la transitividad. También cubre los tipos de redes como las redes bipartitas y describe cómo simular una red bipartita generando conjuntos de nodos y asignando grados de conexión aleatoriamente.

1. TEORÍA DE REDES COMPLEJAS
Lina Julieth Castiblanco Tolosa
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.
16 de Abril de 2013
Lina Julieth Castiblanco Tolosa TEORÍA DE REDES COMPLEJAS

2. Contenido
Redes.
Tipos de redes.
Propiedades de las redes.
Modelo del juego de los bienes públicos con una red bipartita.
Simulación de una red bipartita.
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3. Contenido
Redes.
Tipos de redes.
Propiedades de las redes.
Modelo del juego de los bienes públicos con una red bipartita.
Simulación de una red bipartita.
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4. Contenido
Redes.
Tipos de redes.
Propiedades de las redes.
Modelo del juego de los bienes públicos con una red bipartita.
Simulación de una red bipartita.
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5. Contenido
Redes.
Tipos de redes.
Propiedades de las redes.
Modelo del juego de los bienes públicos con una red bipartita.
Simulación de una red bipartita.
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6. Contenido
Redes.
Tipos de redes.
Propiedades de las redes.
Modelo del juego de los bienes públicos con una red bipartita.
Simulación de una red bipartita.
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7. Network
Una red es una colección de elementos que generalmente son
llamados nodos unidos por conexiones llamadas aristas o links.
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8. Interés físico por las redes
El estudio de las redes en el campo de la física esta enfocado en los
siguientes aspectos.
Propiedades Estadísticas de las redes.
Estructura de las redes.
Comportamiento Estadístico.
Figura 2. a)Red social en el caso de contactos sexuales, información VIH. b)Red de amistad de niños.
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9. Tipos de Redes
Figura 3. (a) una red no dirigida con sólo un único tipo de nodo y un solo tipo de borde; (b) una red con un número de tipos
discretos de nodos y arista; (c) una red con diferentes nodos y pesos de las aristas; (d) una red dirigida en el que cada arista tiene
una dirección.
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10. Propiedades de las Redes
Distribución de grado
El grado de un nodo en una red es el numero de conexiones de tal
nodo con otros nodos.
Figura4. Estructura de red de la internet.
La distribución de grado en una red se representa habitualmente como P(k) y
es definida como la fracción de nodos en la red con un cierto grado k.
Grado máximo
Kmax
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11. Propiedades de las Redes
Distribución de grado
Figura5. Comparación entre dos distribuciones de grado
en redes libres de escala y redes aleatorias.
Figura 6. Distribución de grado de nodos de la internet.
Distribución de Poisson.
P(k) = e−z
Zk
k!
Distribución con comportamiento
exponencial.
P(k) = Ce−αk
Distribución Libre de Escala.
P(k) = Ckγ
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12. Propiedades de las Redes
El efecto del mundo pequeño
Una red de mundo pequeño es un tipo de red para la que la mayoría
de los nodos no son vecinos entre sí, pero sin embargo la mayoría de
los nodos pueden ser alcanzados desde cualquier nodo origen a través
de un número relativamente corto de saltos entre ellos.
Figura 7.El efecto de mundo pequeño. Distancia entre pares de nodos
en una red.
l =
1
1
2n(n+1)
∑dij
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13. Propiedades de las Redes
Transitividad o Agrupación
En muchas redes se encuentra que el nodo A se conecta al nodo B y el
nodo B se conecta al nodo C entonces existe una probabilidad de que
el nodo A también se conecte con C.
Figura8. Ilustración de la definición de agrupación.
Coeficiente de Agrupación.
C =
3x numerodetriangulosenlared
n´umerodetripletesdeNodosconectados
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14. Propiedades de las Redes
Resistencia de una red
¿Qué porcentaje de nodos deben ser removidos para afectar sustancialmente la
conectividad de la red?
La mayoría de la redes dependen de su función en de conectividad, es decir de la existencia de
caminos que conectan pares de nodos. si un nodo se elimina de la red entonces la longitud típica
de estos caminos se incrementa y en ultima instancia los pares de nodos se desconectan.
Figura 9. a) Eliminación aleatoria de nodos en una escala libre. b)Eliminación de los nodos de mayor grado pueden tener un
efecto devastador.
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15. Redes Bipartitas
En una red es bipartita los nodos se pueden dividir en dos conjuntos
disyuntos y las relaciones se trazan exclusivamente de un conjunto al
otro.
Figura 10. Red bipartita:Si se pretende preservar toda la información sobre la estructura de una red, una representación en forma
de red bipartita es más apropiado.
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16. Simulación de redes bipartitas
Generación de redes bipartitas
Definir los conjuntos de nodos V1 yV2.
Definir los valores de kmax y kmin.
Asignar el grado de conexión aleatoriamente de cada nodo .
Asignar la probabilidad de cada conjunto P1(k),P2(k).
Comprobar que la suma de conectividades del V1 sea igual a V2.
N1κ1 = N2κ2
Conectar los nodos.
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