ini versi saya, komentar yang membangun ditunggu :)

1. BAB II
GARIS-GARIS SEJAJAR
1. Pengertian
Dua garis sejajar
Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang datar
dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai tak
berhingga.
Perhatikan gambar berikut
garis m dan garis n di atas ,jika diperpanjang sampai tak berhingga maka keduanya tidak
akan berpotongan,keadaan ini dikatakan kedua garis sejajar.dinotasikan dengan lambang
//
Contoh-contoh Garis-garis Sejajar
•) Bidang datar
Perhatikan bidang-bidang datar berikut
Perhatikan gambar di atas.
Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari persegi panjang
ABCD adalah AB // CD, AD // CB, maka ada 2 garis sejajar.
Perhatikan gambar di atas.
Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari persegi panjang
FGHI adalah FG // HI, FI // GH, maka ada 2 garis sejajar.
1

2. Perhatikan gambar di atas.
Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari trapesium ABCD
adalah AB // CD, maka ada 1 garis sejajar.
•) Bangun ruang
Perhatikan balok ABCD.EFGH berikut
Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar pada balok tersebut
adalah AE // BF, BF // CG, CG // DH, DH //AE, AB // DC, DC // HG, HG // EF, EF // AB,
AD // BC, BC // FG, FG // EH, EH // AD, maka ada 12 pasang garis yang sejajar.
2.Sifat-sifat Garis Sejajar
Sifat pertama:Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu
garis yang sejajar dengan garis itu.
m
B
A n
C
Perhatikan Gambar disamping
Pada gambar tersebut, melalui dua buah titik yaitu titik A dan titik B dapat dibuat
tepat satu garis, yaitu garis m.
Selanjutnya, apabila dari titik C di luar garis m dibuat garis sejajar garis m yang
melalui titik tersebut, ternyata hanya dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis n.
Sifat kedua:Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar
maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua.
l
P m
n
l
P m
Q
n
Selanjutnya perhatikan kedua buah gambar disamping
2

3. Pada gambar di samping diketahui garis m sejajar dengan garis n ( m // n) dan garis l
memotong garis m di t itik P. Apabila garis l yang memotong garis m di titik P diperpanjang
maka garis l akan memotong garis n di satu titik, yaitu titik Q.
Sifat ketiga:Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya maka kedua
garis itu sejajar pula satu sama lain.
m
k
lSekarang, perhatikan disamping.
Pada gambar tersebut, mula-mula diketahui garis k sejajar dengan garis l dan garis m.
Tampak bahwa garis k sejajar dengan garis l atau dapat ditulis k // l dan garis k sejajar dengan
garis m, ditulis k // m. Karena k // l dan k // m, maka l // m. Hal ini berarti bahwa garis l
sejajar dengan garis m.
3.Transversal
Transversal dari dua garis sejajar adalah sebuah garis yang memotong kedua garis
tersebut.
Perhatikan gambar berikut
l
P m
Q
n
dari gambar diatas maka garis l adalah transversal dari garis sejajar m dan n,karena garis l
memotong garis n juga garis m.
A.Pengertian Sudut Dalam (Interior Angles) dan Sudut Luar (Exterior Angles)
Sudut Dalam (Interior Angles) adalah sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajar
yang dipotong oleh sebuah garis dan berada diantara kedua garis tersebut.
Dari gambar diatas yang disebut sudut dalam adalah ∠A4, ∠A3, ∠B1 dan ∠B2
Sudut Luar (Exterior Angles) adalah sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajar
yang dipotong oleh sebuah garis dan berada diluar kedua garis tersebut.
3

4. Dari gambar diatas yang disebut sudut luar adalah ∠A1, ∠A2, ∠B3 dan ∠B4
B. Sudut-sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajar yang dipotong oleh garis
tranversal
•) Sudut-sudut sepihak
1) Sudut-sudut dalam Sepihak
Sudut yang berada di dalam dua garis sejajar dan keduanya terletak di sebelah kiri
maupun kanan garis transversal. Sudut-sudut itu di sebut sudut dalam sepihak.
Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut dalam sepihak adalah ∠A3 dengan
∠B2 dan ∠A4 dengan B1
2) Sudut-sudut luar Sepihak
Sudut yang berada diluar dua garis sejajar dan keduanya terletak di sebelah kiri
maupun kanan garis transversal. Sudut-sudut ini disebut sudut luar sepihak.
Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut luar sepihak adalah ∠A1 dengan
∠B4 dan ∠A2 dengan B3
•) Sudut-sudut Berseberangan
1) Sudut-sudut dalam Berseberangan
Sudut yang berada diantara (di dalam) dua garis sejajar dan berseberangan terhadap
garis transversal. Sudut-sudut itu disebut sudut dalam berseberangan.
Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut dalam berseberangan adalah ∠A3
dengan ∠B1 dan ∠A4 dengan B2
2) Sudut-sudut luar Berseberangan
Sudut yang berada di luar dua garis sejajar dan berseberangan terhadap garis
transversal. Sudut itu disebut sudut luar berseberangan.
Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut luar berseberangan adalah ∠A1
dengan ∠B3 dan ∠A2 dengan B4
•) Sudut Sehadap
Sudut yang menghadap kearah yang sama, Sudut itu disebut sudut sehadap.
Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut sehadap adalah ∠A1 dengan ∠B1,
∠A2 dengan B2, ∠A3 dengan ∠B3 dan ∠A4 dengan B4
4

5. C. Hubungan antara sudut-sudut pada garis-garis sejajar
•) Sudut Sehadap
Dari Gambar di samping, kita akan memperoleh
pasangan sudut sehadap, yaitu ∠A1 dengan ∠B1, ∠A2
dengan ∠B2, ∠A3 dengan ∠B3, ∠A4 dengan ∠B4.
Ternyata akan diperoleh hubungan antar sudut tersebut,
yaitu:
∠A1 = ∠B1
∠A2 = ∠B2
∠A3 = ∠B3
∠A4 = ∠B4
>
>
>
>
>>
D C H G >>
A B E F
>>
Perhatikan pola pengubinan di samping
•) Apabila jajar genjang ABCD kita geser ke kanan sejauh AB maka akan menempati
jajargenjang BEHC, maka:
∠DAB → ∠CBE, berarti ∠DAB = ∠CBE
•) Sekarang kita geser jajargenjang ABCD sejauh 2AB sehingga menempati
jajargenjang EFGH, maka:
∠DAB → ∠HEF, berarti ∠DAB = ∠HEF
Dari kedua pernyataan di atas maka akan kita dapat:
•) ∠DAB= ∠CBE = ∠HEF
•) Sudut diatas adalah sudut sehadap, jadi bias kita tarik kesimpulan bahwa sudut-
sudut sehadap sama besar.
•) Sudut-sudut dalam Berseberangan
D C B’ A’
=
=
- P
-
=
=
A BC’ D’
5

6. Jajargenjang ABCD diputar 180o dengan titik P sebagai pusat. Dengan demikian
maka C’ → B dan B’ → C. Terlihat bahwa:
∠DAB = ∠B’A’D’ = ∠DCB dan ∠ADC = ∠A’D’C’ = ∠ABC
Secara matematik, hal tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut
∠DAB = ∠B’A’D’ (kedua sudut saling bertolak belakang)
∠B’A’D’ = ∠DCB + (sudut-sudut sehadap sama besar)
∠DAB + ∠B’A’D’ = ∠B’A’D’ + ∠DCB
∠DAB = ∠DCB
Dengan cara yang sama kita akan memperoleh ∠ADC = ∠ABC
Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam berseberangan sama
besar.
(a) (b)
Nah perhatikan kedua gambar diatas
Gambar (b) diperoleh dari gambar (a), tapi ada sedikit modifikasi yaitu:
• Buat sembarang titik C dan titik D dimana AC = BD
• Kemudian tarik garis dari titik C ke titik B dan titik D ke titik A.
Sekarang kita sudah dapatkan 2 buah segitiga yaitu segitiga ABC dan segitiga ABD.
Langkah selanjutnya adalah kita tunjukkan bahwa kedua segitiga itu kongruen dengan
langkah-langkah berikut:
∆ ABC = ∆ ABD
Segitiga yang kongruen memiliki panjang sisi yang sama AD = CB, AC = DB, AB = AB
Memiliki besar sudut yang sama ∠A = ∠B dan ∠D = ∠C
Maka terbukti bahwa sudut dalam berseberangan sama besar.
•) Sudut-sudut luar Berseberangan
P
Perhatikan gambar di atas
Jika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A1 = ∠B3 dan ∠A1 + ∠A3Hal
itu dapat dijelaskan sebagai berikut:
∠A1 = ∠A3 (kedua sudut sudut saling bertolak belakang)
∠A3 = ∠B3 + (sudut-sudut sama besar)
∠A1 + ∠A3 = ∠A3 + ∠B3
∠A1 = ∠B3
Dengan cara yang sama dapat ditunjukan bahwa ∠A1 + ∠A3
6

7. Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut luar berseberangan sama
besar.
a b a b
2 1 2 1
3 4 34 m 3 4 3 4
m
m 1 2 1 2
1 2 12 4 3 4 3
b a
(a) (b)
Perhatikan kedua gambar diatas.Kita putar gambar (a) sebesar 180o, kemudian
himpitkan kedua gambar tersebut maka akan diperoleh gambar (b).
Dari gambar diatas dapat kita lihat dan terbukti bahwa:
•) Sudut luar berseberangan sama besar dimana ∠A4 = ∠B2 dan ∠B3 = ∠A1
•) Sudut-sudut dalam Sepihak
Perhatikan gambar di atas
Jika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A4 + ∠B1 = 180o dan ∠A3 +
∠B2 = 180o
Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikut
Karena ∠ A1 dan ∠B1 adalah sudut-sudut yang sehadap maka ∠A1 = ∠B1
Sehingga :
∠A4 + ∠B1 = ∠A4 + ∠A1 = 180o (sudut lurus)
Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula bahwa ∠A3 + ∠B2 = 180o
Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam sepihak jumlahhnya
o
180 .
D C
=
- -
=
A B
Perhatikan gambar jajargenjang diatas. Kita ingat sifat-sifat jajar genjang yaitu:
•) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar
•) Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
7

8. •) sudut yang berdekatan besarnya 180o.
Dari sifat ketiga dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam sepihak besarnya 180o.
•) Sudut-sudut luar Sepihak
Perhatikan gambar di atas
Jika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A1 + ∠B4 = 180o dan ∠A2 +
∠B3 = 180o
Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikut
Karena ∠ A1 dan ∠B1 adalah sudut-sudut yang sehadap maka ∠A1 = ∠B1
Sehingga :
∠A1 + ∠B4 = ∠B1 + ∠B4 = 180o (sudut lurus)
Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula bahwa ∠A2 + ∠B3 = 180o
Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut luar sepihak jumlahhnya
o
180 .
a b
a b
3
m 3 4 3 44 34 m
3 4 34 12 1 2 12
m 1 2
1 2 12
a’ b’
(n) (m)
Perhatikan kedua gambar diatas.Kita geser gambar (n) sehingga garis a bertemu garis
b, kemudian himpitkan kedua gambar tersebut maka akan diperoleh gambar (m).
Dari gambar diatas dapat kita lihat dan terbukti bahwa:
•) Sudut luar berseberangan = 180o
∠A4 + ∠B3 = 180o (sudut pelurus)
∠A1 + ∠B2 = 180o (sudut pelurus)
Contoh Soal
8

9. a) Sebutkan hubungan antar sudut
b) Jika ∠P1 = 45o, maka tentukan besar sudut lainnya dan jelaskan hubungan sudut
tersebut dengan ∠P1
Jawab
a) •) Sudut sehadap: ∠O1 dengan ∠P1, ∠O2 dengan P2, ∠O3 dengan ∠P3 dan ∠O4 dengan
∠P4
•) Sudut dalam berseberangan: ∠P3 dengan ∠O1 dan ∠P4 dengan ∠O2
•) Sudut luar berseberangan: ∠P2 dengan ∠O4 dan ∠P1 dengan ∠O3
•) Sudut dalam sepihak: ∠P3 dengan ∠O2 dan ∠P4 dengan ∠O1
•) Sudut luar sepihak: ∠P2 dengan ∠O3 dan ∠P1 dengan ∠O4
b) ∠P2 = 135o (sedut pelurus)
∠P3 = 45o (sedut bertolak belakang)
∠P4 = 135o (sedut pelurus)
∠O1 = 45o (sedut sehadap)
∠O2 = 135o ( … )
∠O3 = 45o (sedut luar berseberangan)
∠O4 = 135o (sedut luar sepihak)
4.Melukis Garis Sejajar
Untuk melukis garis-garis sejajar dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:
Dengan menggunakan mistar atau penggaris segitiga siku-siku. Untuk melukis garis melalui
sebuah titik sejajar dengan garis yang diketahui.
Diketahui : garis a dan titik P di luar a.
Lukislah : garis b melalui titik P dan sejajar garis a.
Langkah-langkahnya:
a. Impitkan sisi miring penggaris segitiga siku-siku pada garis a.
b. Letakan mistar rapat pada sisi salah satu siku-sikunya.
c. Geserlah penggaris segitiga siku-siku, dengan sisi siku-siku tetap rapat dengan
mistar sehingga sisi miring segitiga siku-siku melalui titik P.
Maka dari proses melukis tersebut kita dapatkan 2 kesimpulan
1.Aksioma kesejajaran ,yaitu melalui sebuah titik tertentu diluar garis yang diketahui
dapat dibuat tepat satu garis sejajar yang diketahui.
2.Torema ,jika suatu garis memotong salah satu garis sejajar,garis tersebut juga
memotong garis yang kedua.
9