Exercício de integral tripla

1. Professor Arthur Moraes Cremonezi 1
Cálculo Diferencial e Integral 3
Coordenadas Esféricas

2. LEMBRETE - Conversão de Coordenadas
(Cilíndricas - Retangulares)
Para converter de coordenadas cilíndricas para
coordenadas retangulares, usamos as equações
cosx r θ= sy r enθ= z z=
enquanto que para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamos
as equações
2 2 2
r x y= + tg
y
x
θ =
z z=
R é o raio do cilindro em relação ao eixo z.

3. é o ângulo entre o
eixo positivo e o vetor
.OP
uuur
z
é o mesmo ângulo que
em coordenadas
cilíndricas.
Sistema de Coordenadas Esféricas
•
θ
P = ( ), ,ρ θ φ
•
φ
onde
ρ
ρ =
x
y
z
O
OP
uuur
θ
φ
Note que:
0ρ ≥ 0 φ π≤ ≤
È a distância
de P até a
origem

4. Sistema de Coordenadas Esféricas

5. Conversão de Coordenadas
(Esféricas - Retangulares)
•
θ
P = ( ), ,ρ θ φ
•
φ
ρ
x
y
z
O
P = ( ), ,x y z
x
y
⋅
⋅
'P = ( ), ,0x y
r
z
φ
Q ⋅

6. Do triângulo retângulo , temos'OPP
cos
z
φ
ρ
= cosz ρ φ=
sen
r
φ
ρ
= senr ρ φ=
Do triângulo retângulo , obtemos'QOP
⇒
⇒
( )i
( )ii
cos
x
r
θ = cosx r θ=
sen
y
r
θ = seny r θ=
⇒
⇒
( )iii
( )iv

7. cossenx ρ φ θ= sen seny ρ φ θ=
também, a distância entre dois nos mostrta que
Para converter de coordenadas esféricas para
coordenadas retangulares, substituímos em para
encontrar a coordenada e substituímos em para
encontrar a coordenada , daí
( )ii ( )iii
x ( )ii ( )iv
y
cosz ρ φ=
usamos este resultado para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas esféricas.
2
ρ =
2
OP
uuur
= 2 2 2
x y z+ +

8. 8
Exemplo 1:
Encontre uma equação em coordenadas esféricas para a esfera
( ) 11
222
=−++ zyx

9. Exemplo 2:
9
Encontre uma equação em coordenadas esféricas para o cone
22
yxz +=

10. 10
Integral tripla em Coordenadas
Esféricas
∫ ∫ ∫
∫∫∫
=
=
=
2
1
2
1
2
1
dd
dd
),,(
2
2
θ
θ
φ
φ
ρ
ρ
θφρφρ
θφρφρ
θφρ
dsen
dsendV
dVf
R

11. Exemplo 3:
11
Usando Coordenadas esféricas calcule o volume do “sorvete de casquinha”
cortado da esfera sólida e pelo cone1≤ρ
3
π
φ =

12. Exemplo 4:
12
Se um ponto P tem coordenadas esféricas , encontre suas
coordenadas cartesianas.






3
,
6
,4
ππ

13. Exemplo 5:
13
Transforme a equação para coordenadas
cartesianas
θφρ cos2sen=

14. Exemplo 6:
14
Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido limitado
acima pela esfera e abaixo pelo cone16222
=++ zyx
22
yxz +=