La nueva edición de esta prestigiosa obra conserva y
refuerza la orientación de las aplicaciones a la administración y la ...
MATEMÁTICAS
APLICADAS
a la administración
y a la economía
Jagdish C. Arya
Robin W. Lardner
Departament of Mathematics, Sim...
832Formato: 20 ϫ 25.5 cm
México, 2009
ISBN: 978-607-442-302-0
Área: Universitarios
ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W.
Ma...
A
Niki y Shanti
PREFACIO xi
PARTE UNO
ÁLGEBRA
1 ÁLGEBRA 1
1-1 Los números reales 2
1-2 Fracciones 10
1-3 Exponentes 18
1-4 Exponentes frac...
3 DESIGUALDADES 91
3-1 Conjuntos e intervalos 92
3-2 Desigualdades lineales de una variable 98
3-3 Desigualdades cuadrátic...
PARTE DOS
MATEMÁTICAS FINITAS
7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS
FINANCIERAS 265
7-1 Progresiones aritméticas e interés simple 2...
Problemas de repaso del capítulo 10 437
♦ CASO DE ESTUDIO 439
PARTE TRES
CÁLCULO
11 LA DERIVADA 441
11-1 Incrementos y tas...
Repaso del capítulo 14 615
Problemas de repaso del capítulo 14 616
♦ CASO DE ESTUDIO 618
15 INTEGRACIÓN 620
15-1 Antideriv...
En esta versión se conservó y reforzó la orientación de las aplicaciones a la admi-
nistración y la economía, sin descuida...
• Prácticamente todos los ejercicios de la sección Problemas de repaso del
capítulo se actualizaron y, al igual que con lo...
Seleccionando capítulos y/o secciones de capítulos en forma apropiada, el li-
bro puede adaptarse a una gran variedad de c...
1
CAPÍTULO
1
Álgebra
1-1 LOS NÚMEROS REALES
1-2 FRACCIONES
1-3 EXPONENTES
1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS
1-5 OPERACIONES ALG...
Empezaremos dando un breve esbozo de la estructura de los números reales. Los
números 1, 2, 3, etc., se denominan números ...
dio de decimales, los decimales continúan indefinidamente sin presentar ningún pa-
trón repetitivo. Por ejemplo, con diez ...
Propiedades de los números reales
Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un número real; de
manera si...
La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primera,
dado que, por la propiedad conmutativa
(...
g) 2x(4y ϩ 3x) ϭ (2x)(4y) ϩ (2x)(3x) (propiedad distributi-
va)
ϭ (2 ؒ 4)(x ؒ y) ϩ (2 ؒ 3)(x ؒ x) [propiedades asocia-
tiv...
EJEMPLO 3
a) El inverso aditivo de 3 es Ϫ3 dado que 3 ϩ (Ϫ3) ϭ 0. El inverso aditivo
de Ϫ3 es 3 puesto que (Ϫ3) ϩ 3 ϭ 0. C...
EJEMPLO 4
a) ϭ 7
΂ᎏ
1
3
ᎏ
΃
Ϫ1
(Ecuación (1), con a ϭ 7 y b ϭ ᎏ1
3
ᎏ)
ϭ 7(3Ϫ1)Ϫ1 ϭ 7(3) ϭ 21
Este resultado se extiende a ...
1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es válida
o no. Reemplace cada proposición falsa por una que sea co...
En la sección 1-1, vimos que la fracción a/b está definida como el producto de a y
el inverso de b:
ᎏ
a
b
ᎏ ϭ abϪ1 (b 0)
E...
EJEMPLO 2
a) ΂ᎏ
3
5
ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ
7
9
ᎏ΃ϭ ΂ᎏ
3
5
ᎏ΃΂ᎏ
9
7
ᎏ΃ϭ ᎏ
2
3
7
5
ᎏ
b) ΂ᎏ
3
2
x
ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ
4
y
ᎏ΃ϭ ΂ᎏ
3
2
x
ᎏ΃΂ᎏ
4
y
ᎏ΃ϭ ᎏ
3
8
...
EJEMPLO 4
a) ᎏ
7
8
0
4
ᎏ ϭ ᎏ
2
2
ؒ 2
ؒ 5
ؒ 3
ؒ 7
ؒ 7
ᎏ ϭ ϭ ϭ
Observe que tanto el numerador como el denominador se escribe...
EJEMPLO 6 Simplifique:
a) ᎏ
5
6
ᎏ ϩ ᎏ
1
2
ᎏ b) ᎏ
5
6
ᎏ Ϫ ᎏ
3
4
ᎏ
Solución
a) Podemos escribir ᎏ
1
2
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
3
6
ᎏ. Entonce...
EJEMPLO 7 Simplifique:
a) ᎏ
6
x
ᎏ ϩ ᎏ
3
4
y
ᎏ b) ᎏ
9
1
x
ᎏ Ϫ ᎏ
1
6
ᎏ c) ᎏ
a
c
ᎏ ϩ ᎏ
b
d
ᎏ
d) e) 3x Ϭ ΂ᎏ
3
1
x2ᎏ Ϫ ᎏ
4
3
xy...
Por tanto la expresión dada es igual a
3x Ϭ ΂ᎏ
4y
12
Ϫ
x2y
9x
ᎏ΃ϭ ᎏ
3
1
x
ᎏ ؒ ᎏ
4y
12
Ϫ
x2y
9x
ᎏ ϭ ᎏ
4y
36
Ϫ
x3y
9x
ᎏ
(en ...
Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir
΂ᎏ
a
b
ᎏ΃΂ᎏ
d
c
ᎏ΃ϭ a΂ᎏ
1
b
ᎏ΃ؒ c΂ᎏ
1
d
ᎏ΃ϭ a...
1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es válida
o no. Reemplace cada proposición falsa por una verdadera....
22. ΂ᎏ
9
8
t
ᎏ Ϭ ᎏ
3
1
st
ᎏ΃ؒ ᎏ
4
s
ᎏ 23. ΂ᎏ
4
3
xy
ᎏ Ϭ ᎏ
x
y
ᎏ΃ؒ ᎏ
2
9
xy
ᎏ
24. ΂ᎏ
2
x
ᎏ Ϭ ᎏ
2
z
ᎏ΃Ϭ ᎏ
4
z
ᎏ 25. ΂ᎏ
2
3
x...
Esto sugiere que la tabla se completaría continuando la división entre 5 con cada re-
ducción del exponente. De esta maner...
b) x5 ؒ xϪ3 ϭ x5ϩ(Ϫ3) ϭ x2
De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias.
x5 ؒ xϪ3 ϭ (x ؒ x ؒ...
En una expresión, tal como 3c5, la base es c, no 3c. Si necesitamos que la base
sea 3c, debemos encerrarla entre paréntesi...
22 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA
b) ϭ ϭ ϭ
Note que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse en
el denomi...
33. ᎏ
(x
(x
2y
y
)
)
Ϫ
2
3
ᎏ 34. ᎏ
(a
a
b
Ϫ
Ϫ
2b
2)
Ϫ
Ϫ
1
1
ᎏ
35. ᎏ
(Ϫ
x
2
3
x
y
y)3
ᎏ 36.
37. ᎏ
(Ϫ
Ϫ
3
3
x
x
)
2
2
ᎏ 38. ...
DEFINICIÓN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un núme-
ro real no negativo, entonces se dice que...
DEFINICIÓN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un núme-
ro real. Entonces,
am/n ϭ (a1/n)m
Es decir, ...
trabajamos con números más pequeños. En otras palabras, en la práctica calculamos
am/n usando la definición (a1/n) en vez ...
EJEMPLO 6 Encuentre m tal que ϭ 3m.
Solución Expresamos ambos lados como potencia de 3.
ϭ ᎏ
9
3
1
3
/3
ᎏ ϭ ᎏ
(3
3
2)
3
1/3...
(1-6) Encuentre m tal que las proposiciones siguientes sean ver-
daderas.
1. 8͙
3
2ෆ ϭ 2m 2. ᎏ
͙
3
8
2ෆ
ᎏ ϭ 2m
3. Ί
3
ᎏ2
8...
35. ᎏ
x
x
Ϫ
3
1
/7
/7
y
y
2
1
/
/
5
5
ᎏ 36. ᎏ
a
a
4
2
/
/
9
9
b
b
Ϫ
Ϫ
3
1
/
/
4
2
ᎏ
37. ΂ᎏ
p
p
Ϫ
Ϫ
3
1
/
/
5
5
q
q
Ϫ
2
2
/...
Adición y sustracción de expresiones
Cuando 4 manzanas se suman a 3 manzanas obtenemos 7 manzanas. En la misma
forma, 4x ϩ...
Reagrupando los términos, de tal manera que los términos semejantes estén agrupa-
dos juntos, obtenemos la suma en la form...
Para ver esto, sólo haga y ϩ 3 ϭ b. Entonces,
(x ϩ 2)(y ϩ 3) ϭ (x ϩ 2)b ϭ x ؒ b ϩ 2 ؒ b ϭ x(y ϩ 3) ϩ 2(y ϩ 3)
En general, ...
De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando arcos que conecten cada
término en el primer paréntesis con cada ...
En la ecuación (1), si reemplazamos a b por a, obtenemos
(x ϩ a)(x ϩ a) ϭ x2 ϩ (a ϩ a)x ϩ a ؒ a
o bien,
(x ϩ a )2 ϭ x2 ϩ 2...
Esta propiedad es útil cuando dividimos una expresión algebraica entre un mono-
mio, dado que nos permite dividir cada tér...
Los detalles de la división larga se acaban de mostrar y se explican de la manera si-
guiente: en primer lugar, dividimos ...
(1-56) En los ejercicios siguientes, efectúe la operación indica-
da y simplifique.
1. (5a ϩ 7b Ϫ 3) ϩ (3b Ϫ 2a ϩ 9)
2. (3...
45. 3{x2 Ϫ 5[x ϩ 2(3 Ϫ 5x)]}
46. 2{a2 Ϫ 2a[3a Ϫ 5(a2 Ϫ 2)]} ϩ 7a2 Ϫ3a ϩ 6
47. 2a{(a ϩ 2)(3a Ϫ 1) Ϫ [a ϩ 2(a Ϫ 1)(a ϩ 3)]}
...
Solución
a) Escribamos cada término en la expresión dada en términos de sus factores
básicos.
x2 ϭ x ؒ x 2xy2 ϭ 2 ؒ x ؒ y ...
que es una diferencia de dos cuadrados.Usando la fórmula (1) con a ϭ xy2 y b ϭ 3,
tenemos
x2y4 Ϫ 9 ϭ (xy2)2 Ϫ 32 ϭ (xy2 Ϫ ...
EJEMPLO 3 Factorice ax2 ϩ by2 ϩ bx2 ϩ ay2
Solución Podemos agrupar los términos de la expresión dada en aquellos que tie-
...
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  1. 1. La nueva edición de esta prestigiosa obra conserva y refuerza la orientación de las aplicaciones a la administración y la econo- mía, sin descuidar aplicaciones generales a otras áreas, como ciencias sociales, biológicas y físicas, con el propósito de que la obra siga siendo una herramienta útil para una amplia gama de estudiantes. Los cambios más importantes realizados son los siguientes: • Se revisaron y actualizaron las lecturas de inicio de capítulo, en las cuales se presentan casos prácticos probados en el salón de clases. • En todos los capítulos se presenta la solución del caso al término del capítuloyseconcluyeconalgunaspreguntas,cuyafinalidadesestimular el intercambio de ideas entre profesores y alumnos, así como conducir a un análisis más profundo del tema. • Prácticamente todos los ejercicios de la sección Problemas de repaso del capítulo se actualizaron y la solución de los problemas con número impar se incluye al final del texto. • En varios ejercicios de la sección Problemas de repaso del capítulo se presentan conceptos nuevos, cuyo estudio amplía lo expuesto en el texto. Para los profesores está disponible material de apoyo, que incluye la solución a todos los problemas de repaso, en el sitio Web: Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía QUINTA EDICIÓN ARYA I LARDNER I IBARRA PrenticeHallMatemáticasaplicadas alaAdministraciónyalaEconomía ARYA LARDNER IBARRA Vísitenos en: www.pearsoneducacion.net Prentice Hall es una marca de www.pearsoneducacion.net/arya
  2. 2. MATEMÁTICAS APLICADAS a la administración y a la economía Jagdish C. Arya Robin W. Lardner Departament of Mathematics, Simon Fraser University Con la colaboración de Víctor Hugo Ibarra Mercado Universidad Anáhuac-México Norte TRADUCCIÓN Y REVISIÓN TÉCNICA: Víctor Hugo Ibarra Mercado Universidad Anáhuac-México Norte Quinta edición
  3. 3. 832Formato: 20 ϫ 25.5 cm México, 2009 ISBN: 978-607-442-302-0 Área: Universitarios ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Quinta edición Adaptation of the authorized translation from the English language edition, entitled Mathematical analysis for business, economics, and the life and social sciences, Fourth Edition, by Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner, published by Pearson Education, Inc., publis- hing as Prentice Hall, Copyright © 1993. All rights reserved. ISBN 0-13-564287-6 Adaptación de la traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Mathematical analysis for business, economics, and the life and social sciences, cuarta edición, por Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner, publicada por Pearson Education, Inc., publi- cada como Prentice Hall, Copyright © 1993. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Rubén Fuerte Rivera e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño Edición en inglés: Editor-in-chief: Tim Bozik Design director: Florence Dara Silverman Senior editor: Steve Conmy Interior design: Patricia McGowan Executive editor: Priscilla McGeehon Prepress buyer: Paula Massenaro Senior managing editor: Jeanne Hoeting Manufacturing buyer: Lori Bulwin Production editor: Nicholas Romanelli QUINTA EDICIÓN VERSIÓN IMPRESA, 2009 QUINTA EDICIÓN E-BOOK, 2009 D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnéti- co o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA 978-607-442-302-0 ISBN E-BOOK 978-607-442-305-1 PRIMERA IMPRESIÓN Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09 www.pearsoneducacion.net ISBN 978-607-442-302-0
  4. 4. A Niki y Shanti
  5. 5. PREFACIO xi PARTE UNO ÁLGEBRA 1 ÁLGEBRA 1 1-1 Los números reales 2 1-2 Fracciones 10 1-3 Exponentes 18 1-4 Exponentes fraccionarios 23 1-5 Operaciones algebraicas 29 1-6 Factorización 38 1-7 Fracciones algebraicas 46 Repaso del capítulo 1 55 Problemas de repaso del capítulo 1 56 ♦ CASO DE ESTUDIO 58 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 59 2-1 Ecuaciones lineales 60 2-2 Aplicaciones de ecuaciones lineales 68 2-3 Ecuaciones cuadráticas 73 2-4 Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas 81 Repaso del capítulo 2 88 Problemas de repaso del capítulo 2 88 ♦ CASO DE ESTUDIO 90 v Contenido
  6. 6. 3 DESIGUALDADES 91 3-1 Conjuntos e intervalos 92 3-2 Desigualdades lineales de una variable 98 3-3 Desigualdades cuadráticas de una variable 105 3-4 Valores absolutos 111 Repaso del capítulo 3 117 Problemas de repaso del capítulo 3 118 ♦ CASO DE ESTUDIO 120 4 LÍNEAS RECTAS 121 4-1 Coordenadas cartesianas 122 4-2 Líneas rectas y ecuaciones lineales 130 4-3 Aplicaciones de ecuaciones lineales 140 4-4 Sistemas de ecuaciones 148 4-5 Aplicaciones a administración y economía 158 Repaso del capítulo 4 168 Problemas de repaso del capítulo 4 168 ♦ CASO DE ESTUDIO 171 5 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 172 5-1 Funciones 173 5-2 Funciones cuadráticas y parábolas 187 5-3 Más funciones elementales y sus gráficas 193 5-4 Operaciones de funciones 204 5-5 Relaciones implícitas y funciones inversas 209 Repaso del capítulo 5 215 Problemas de repaso del capítulo 5 215 ♦ CASO DE ESTUDIO 218 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES 219 6-1 Interés compuesto y temas relacionados 220 6-2 Funciones exponenciales 231 6-3 Logaritmos 237 6-4 Aplicaciones y propiedades adicionales de los logaritmos 248 Repaso del capítulo 6 260 Problemas de repaso del capítulo 6 260 ♦ CASO DE ESTUDIO 264 vi CONTENIDO
  7. 7. PARTE DOS MATEMÁTICAS FINITAS 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS 265 7-1 Progresiones aritméticas e interés simple 266 7-2 Progresiones geométricas e interés compuesto 273 7-3 Matemáticas financieras 280 7-4 Ecuaciones en diferencias 290 7-5 Notación de sumatoria (sección opcional) 305 Repaso del capítulo 7 312 Problemas de repaso del capítulo 7 313 ♦ CASO DE ESTUDIO 315 8 ÁLGEBRA DE MATRICES 316 8-1 Matrices 317 8-2 Multiplicación de matrices 323 8-3 Solución de sistemas lineales por reducción de renglones 334 8-4 Sistemas singulares 343 Repaso del capítulo 8 348 Problemas de repaso del capítulo 8 349 ♦ CASO DE ESTUDIO 352 9 INVERSAS Y DETERMINANTES 354 9-1 La inversa de una matriz 355 9-2 Análisis insumo-producto 362 9-3 Cadenas de Markov (opcional) 369 9-4 Determinantes 380 9-5 Inversas por determinantes 388 Repaso del capítulo 9 394 Problemas de repaso del capítulo 9 395 ♦ CASO DE ESTUDIO 398 10 PROGRAMACIÓN LINEAL 399 10-1 Desigualdades lineales 400 10-2 Optimización lineal (enfoque geométrico) 407 10-3 Tabla símplex 418 10-4 Método símplex 427 CONTENIDO vii
  8. 8. Problemas de repaso del capítulo 10 437 ♦ CASO DE ESTUDIO 439 PARTE TRES CÁLCULO 11 LA DERIVADA 441 11-1 Incrementos y tasas 442 11-2 Límites 450 11-3 La derivada 460 11-4 Derivadas de funciones elevadas a una potencia 466 11-5 Análisis marginal 473 11-6 Continuidad y diferenciabilidad (sección opcional) 482 Repaso del capítulo 11 491 Problemas de repaso del capítulo 11 492 ♦ CASO DE ESTUDIO 494 12 CÁLCULO DE DERIVADAS 496 12-1 Derivadas de productos y cocientes 497 12-2 La regla de la cadena 503 12-3 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas 511 12-4 Derivadas de orden superior 520 Repaso del capítulo 12 524 Problemas del capítulo 525 ♦ CASO DE ESTUDIO 527 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS 529 13-1 La primera derivada y la gráfica de la función 530 13-2 Máximos y mínimos 535 13-3 La segunda derivada y la concavidad 543 13-4 Bosquejo de curvas polinomiales 552 13-5 Aplicaciones de máximos y mínimos 557 13-6 Máximos y mínimos absolutos 571 13-7 Asíntotas 576 Repaso del capítulo 13 586 Problemas de repaso del capítulo 13 587 ♦ CASO DE ESTUDIO 591 14 MÁS SOBRE DERIVADAS 593 14-1 Diferenciales 594 14-2 Diferenciación implícita 600 14-3 Diferenciación logarítmica y elasticidad 607 viii CONTENIDO
  9. 9. Repaso del capítulo 14 615 Problemas de repaso del capítulo 14 616 ♦ CASO DE ESTUDIO 618 15 INTEGRACIÓN 620 15-1 Antiderivadas 621 15-2 Método de sustitución 629 15-3 Tablas de integrales 636 15-4 Integración por partes 640 Repaso del capítulo 15 644 Problemas de repaso del capítulo 15 645 ♦ CASO DE ESTUDIO 648 16 LA INTEGRAL DEFINIDA 650 16-1 Áreas bajo curvas 651 16-2 Más sobre áreas 660 16-3 Aplicaciones en la administración y la economía 669 16-4 Valor promedio de una función 680 16-5 Integración numérica (sección opcional) 683 16-6 Ecuaciones diferenciales: una introducción 689 16-7 Ecuaciones diferenciales separables 698 16-8 Aplicaciones a probabilidad (sección opcional) 704 Repaso del capítulo 16 713 Problemas de repaso del capítulo 16 714 ♦ CASO DE ESTUDIO 717 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 719 17-1 Funciones y dominios 720 17-2 Derivadas parciales 730 17-3 Aplicaciones para análisis en la administración 737 17-4 Optimización 745 17-5 Multiplicadores de Lagrange (sección opcional) 751 17-6 Método de mínimos cuadrados 759 Repaso del capítulo 17 766 Problemas de repaso del capítulo 17 767 ♦ CASO DE ESTUDIO 771 Apéndices 773 Soluciones a problemas con número impar 791 Índice 807 CONTENIDO ix
  10. 10. En esta versión se conservó y reforzó la orientación de las aplicaciones a la admi- nistración y la economía, sin descuidar aplicaciones generales a otras áreas, tales co- mo ciencias sociales, biológicas y físicas, a fin de que la obra pueda seguir siendo útil a una amplia gama de estudiantes. Las aplicaciones referidas a estas áreas se han integrado por completo en el de- sarrollo de la obra; a veces una aplicación particular se utiliza para motivar ciertos con- ceptos matemáticos; en otros casos, determinado resultado matemático se aplica, ya sea de inmediato o en una sección subsecuente, a un problema concreto, digamos, de análisis empresarial. Por lo general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercanía con el tratamiento del concepto matemático específico en cuestión. No obstante, cabe aclarar que las matemáticas de esta obra se presentan inicialmente en un estilo “lim- pio”, es decir, fuera del contexto de cualquier aplicación particular. Sólo después de es- tablecer cada resultado en un nivel puramente algebraico, se aplica éste a un problema práctico. Aunque se conservaron las características principales del libro, que han hecho de esta obra una de las preferidas por muchos profesores y alumnos, los cambios más importantes realizados son los siguientes. • Se revisaron y actualizaron las lecturas de inicio de capítulo. En ellas se presentan casos prácticos probados en el salón de clases. • Para que la obra tuviera una mayor unidad, ahora en todos los capítulos se presenta un caso práctico como lectura inicial. Una vez que se estudia el material del mismo, la solución del caso se presenta al término del capítu- lo, y se concluye con algunas preguntas que tienen la finalidad de estimu- lar el intercambio de ideas entre profesores y alumnos, así como conducir a un análisis más profundo del tema, o bien, sirven de introducción para el material que se estudiará en los siguientes capítulos. PREFACIO A LA NUEVA EDICIÓN xi Prefacio a la nueva edición
  11. 11. • Prácticamente todos los ejercicios de la sección Problemas de repaso del capítulo se actualizaron y, al igual que con los ejercicios de cada sección, la solución de los problemas con número impar se incluye al final del texto. • En varios ejercicios de la sección Problemas de repaso del capítulo se pre- sentan conceptos nuevos, cuyo estudio amplía lo expuesto en el texto. Se recomienda resolver estos problemas con la finalidad de ampliar la teoría expuesta; sin embargo, si se omite la resolución de éstos, se puede conti- nuar con los siguientes temas sin mayor dificultad. • Con base en los excelentes comentarios y observaciones de muchos usua- rios de esta obra, se hizo una revisión cuidadosa de todo el libro, con la finalidad de enmendar las erratas de la versión anterior. Como antes, el libro está orientado a la enseñanza de las aplicaciones y a la utilización de las matemáticas más que a las matemáticas puras. No se hace hinca- pié en las demostraciones de los teoremas ni se da a éstas un lugar predominante en el desarrollo del texto. Por lo regular, después de enunciar un teorema, procedemos a ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego se da la demos- tración. Las demostraciones más difíciles se han omitido por completo. Este relativo desinterés por los pormenores matemáticos da a los estudiantes el tiempo necesario para mejorar sus habilidades en el uso de diversas técnicas. Se- gún nuestra experiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las técnicas por lo común desarrollan una intuición razonablemente clara del proceso, y la carencia de un completo rigor matemático no constituye una grave deficiencia. Distribución del contenido El libro se divide en tres partes. La Parte Uno presenta el álgebra previa al cálculo; la Parte Dos, las matemáticas finitas; y la Parte Tres, el cálculo propiamente dicho. Las partes Dos y Tres son casi totalmente independientes entres sí y pueden estu- diarse en orden distinto. El álgebra previa al cálculo abarca los primeros seis capítulos del libro. En los primeros tres de ellos presentamos un repaso bastante detallado del álgebra de nivel intermedio y de la solución de ecuaciones y desigualdades en una variable. El resto de la primera parte consta de un capítulo sobre funciones, y otro sobre exponencia- les y logaritmos. La parte del libro dedicada a las matemáticas finitas se compone por sí mis- ma en dos partes casi independientes: el capítulo 7, sobre matemáticas financieras; y los capítulos 8, 9 y 10 sobre matrices, determinantes y programación lineal. El ca- pítulo 10, dedicado a la programación lineal, exige conocer un poco lo tratado en el capítulo 8, pero no requiere lo referente al capítulo 9. Los capítulos 11 al 14 tratan el cálculo diferencial en una variable. Los prime- ros dos temas de estos dos capítulos explican las antiderivadas y se ofrece una opción sobre cómo enfocar la integración. Después de exponer el método de sustitución, de inmediato se presentan las tablas de integrales, de modo que el profesor que desee pasar rápidamente a las aplicaciones pueda hacerlo. Por otro lado, si el profesor desea dedicar más tiempo a las técnicas de inte- gración, puede posponer la sección sobre las tablas y tratar primero la sección final del capítulo 15. El segundo de estos capítulos estudia la integral definida y sus apli- caciones al cálculo de áreas, análisis gerencial y ecuaciones diferenciales. El capítulo final constituye una introducción al cálculo diferencial de funcio- nes de variables. xii PREFACIO A LA NUEVA EDICIÓN
  12. 12. Seleccionando capítulos y/o secciones de capítulos en forma apropiada, el li- bro puede adaptarse a una gran variedad de cursos. Por ejemplo, puede impartirse adecuadamente con cursos de álgebra superior, álgebra y matemáticas finitas, álge- bra y cálculo o matemáticas finitas y cálculo, si se seleccionan los capítulos perti- nentes. El siguiente diagrama ilustra la estructura del libro en cuanto a requisitos previos de conocimientos. PREFACIO A LA NUEVA EDICIÓN xiii 1, 2 Y 3 REPASO DE ÁLGEBRA 4 LÍNEAS RECTAS 5 Y 6 FUNCIONES Y GRÁFICAS, LOGARITMOS Y EXPONENCIALES 8 7 MATRICES PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS 9 10 DETERMINANTES PROGRAMACIÓN LINEAL 11-14 CÁLCULO DIFERENCIAL 15-16 17 CÁLCULO FUNCIONES DE INTEGRAL VARIAS VARIABLES ÁLGEBRA UNIVERSITARIA Por último, queremos manifestar nuestro agradecimiento al incontable número de personas que nos han hecho invaluables comentarios sobre las versiones anterio- res del texto. Los cambios realizados en esta nueva edición están significativamente influidos por esta información. Consideramos de gran valor las aportaciones de nues- tros usuarios, por lo cual, reiteramos la invitación para que nos hagan llegar sus comen- tarios o sugerencias a la dirección de correo electrónico editorialmx@pearsoned.com
  13. 13. 1 CAPÍTULO 1 Álgebra 1-1 LOS NÚMEROS REALES 1-2 FRACCIONES 1-3 EXPONENTES 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 1-6 FACTORIZACIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS REPASO DEL CAPÍTULO Este capítulo revisa las técnicas fundamentales de álgebra. Está dirigido a los estudiantes que, por una u otra razones, lo necesiten para refrescar sus habilidades algebraicas básicas. T E M A R I O Objetivo del capítulo Álgebra y algunos cálculos mentales Una compañera nos sorprendió cuando, en una clase, nece- sitábamos calcular el área de un cuadrado de 75 cm por lado y ella de inmediato respondió que el área era de 5625 cm2. El profesor intrigado le preguntó que cómo había hecho la operación tan rápido; a lo que ella contestó diciendo que al 7 le sumó 1, cuyo resultado es 8, multiplicó éste (el 8) por 7 obteniendo 56 y colocó el número 25 después del 56. Así obtuvo la respuesta. Nuestra compañera agregó que este método lo había aprendido de su papá, quien le comentó que sólo servía para números que terminaran en 5. El profesor se quedó pensativo probando con varios números y, después de un rato, nos explicó lo siguiente: “Este caso, realizar una operación con rapidez, se puede explicar con el apoyo del álgebra”. “Veamos —di- jo—, para representar un número que termine en 5, indica- mos con d el número de decenas y así formamos el núme- ro: 10d ϩ 5 Al elevar este número al cuadrado —recuerden la forma de elevar un binomio al cuadrado—, obtenemos: (10d ϩ 5)2 ϭ 100d ϩ 100d ϩ 25 Si factorizamos los primeros dos términos del lado dere- cho, cuyo factor común es 100d, tenemos: (10d ϩ 5)2 ϭ 100d(d ϩ 1) ϩ 25 Con esto podemos entender la ‘regla’para elevar con rapi- dez al cuadrado un número que termine en 5. Para ilustrar el uso de esta regla, apliquémosla al ejemplo siguiente: Elevemos (35)2. a) Nos fijamos en el número de decenas, en este caso, tres. b) Éste lo multiplicamos por el dígito que es uno mayor a él; cuatro. c) Formamos el número que inicia con el resultado anterior, 12, y termina con 25; es decir, 1225”. El profesor terminó comentando sobre la utilidad del álgebra y de todo lo que nos puede ayudar en nuestra vida profesional. Con ayuda de esta regla, realice las siguientes ope- raciones: 1. 252 2. 652 3. 952 4. 1152 5. 7.52 6. 1052
  14. 14. Empezaremos dando un breve esbozo de la estructura de los números reales. Los números 1, 2, 3, etc., se denominan números naturales. Si sumamos o multiplica- mos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 ϩ 5 ϭ 13 y 8 ϫ 5 ϭ 40; la suma 13 y el producto 40 son números naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 Ϫ 5 ϭ 3 y 8 Ϭ 2 ϭ 4 son núme- ros naturales; pero 5 Ϫ 8 y 2 Ϭ 7 no son números naturales. Así, dentro del sistema de números naturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre pode- mos restar o dividir. Con la finalidad de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sis- tema de los números naturales al sistema de los números enteros. Los enteros in- cluyen los números naturales, los negativos de cada número natural y el número ce- ro (0). De este modo, podemos representar el sistema de los enteros mediante . . . , Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, . . . Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos o restamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo, Ϫ3 ϩ 8 ϭ 5, (Ϫ3)(5) ϭ Ϫ15 y 3 Ϫ 8 ϭ Ϫ5 son enteros. Pero aún no podemos dividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que: 8 Ϭ (Ϫ2) ϭ Ϫ4 es un entero, pero Ϫ8 Ϭ 3 no lo es. Por tanto, dentro del sis- tema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir. Para superar la limitación de la división, extendemos el sistema de los enteros al sistema de los números racionales. Este sistema consiste de todas las fracciones a/b, donde a y b son enteros con b 0. Un número es racional si podemos expresarlo como la razón de dos enteros con denominador distinto de cero. Así ᎏ8 3 ᎏ, Ϫᎏ5 7 ᎏ, ᎏ0 3 ᎏ y 6 ϭ ᎏ6 1 ᎏ son ejemplos de números racio- nales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir cualesquiera dos números racionales (exceptuando la división entre cero)* y el resultado siempre es un núme- ro racional. De esta manera las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética: adición, multiplicación, sustracción y división son posibles dentro del sistema de los números racionales. Cuando un número racional se expresa como un decimal, los decimales termi- nan o presentan un patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo, ᎏ1 4 ᎏ ϭ 0.25 y ᎏ9 8 3 0 ᎏ ϭ 1.1625 corresponden a decimales que terminan, mientras que ᎏ1 6 ᎏ ϭ 0.1666. . . y ᎏ4 7 ᎏ ϭ 0.5714285714285. . . corresponden a decimales con patrones que se repiten. También existen algunos números de uso común que no son racionales (es de- cir, que no pueden expresarse como la razón de dos enteros). Por ejemplo, ͙2ෆ, ͙3ෆ y ␲ no son números racionales. Tales números se denominan números irraciona- les. La diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advier- te en sus expresiones decimales. Cuando un número irracional se presenta por me- 2 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA 1-1 LOS NÚMEROS REALES *Véase el parágrafo final de esta sección.
  15. 15. dio de decimales, los decimales continúan indefinidamente sin presentar ningún pa- trón repetitivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales ͙2ෆ ϭ 1.4142135623. . . y ␲ ϭ 3.1415926535. . . No importa con cuántos decimales expresemos estos números, nunca presentarán un patrón repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren en el caso de los números racionales. El término número real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones decimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los núme- ros racionales, mientras que los restantes corresponden a los números irracionales. ☛ 1 Geométricamente, los números reales se pueden representar por los puntos so- bre una línea recta denominada recta numérica. Con la finalidad de hacer esto, se- leccionemos un punto arbitrario O sobre la línea que represente al número cero. Los números positivos se representan entonces por los puntos a la derecha de O y los ne- gativos por los puntos a la izquierda de O. Si A1 es un punto a la derecha de O tal que OA1 tiene longitud unitaria, entonces A1 representa al número 1. Los enteros 2, 3, . . . , n, . . . están representados por los puntos A2, A3, . . . , An, . . . , están a la de- recha de O y son tales que OA2 ϭ 2OA1, OA3 ϭ 3OA1, . . . , OAn ϭ nOA1, . . . De manera similar, si B1, B2, . . . , Bn, . . . , son los puntos a la izquierda de O tales que las distancias OB1, OB2, OB3, . . . , son iguales a las distancias OA1, OA2, . . . , OAn, . . . , respectivamente, entonces los puntos B1, B2, B3, . . . , Bn, . . . , representan a los números negativos Ϫ1, Ϫ2, Ϫ3, . . . , Ϫn, . . . En esta forma, todos los enteros pueden representarse mediante puntos sobre la recta numérica. (Véase la figura 1). SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 3 Los números racionales pueden representarse por puntos sobre la recta numé- rica que están situados un número apropiado de unidades fraccionarias a partir de O. Por ejemplo, el número ᎏ9 2 ᎏ está representado por el punto situado cuatro unidades y media a la derecha de O y Ϫᎏ7 3 ᎏ está representado por el punto que está situado dos unidades y un tercio a la izquierda de O. De manera similar, todo número racional puede representarse por un punto sobre la línea. Se deduce que todo número irracional también puede representarse por un punto sobre la recta numérica. En consecuencia, todos los números reales, tantos los racionales como los irracionales, pueden representarse por tales puntos. Más aún, cada punto sobre la recta numérica corresponde a uno y sólo un número real. Debi- do a esto, es bastante común el uso de la palabra punto con el significado de núme- ro real. Bn B3 B2 A1 A2 A3 AnB1 O 1 2 3OϪn nϪ3 Ϫ2 Ϫ1 FIGURA 1 ☛ 1. ¿Qué tipo de número es cada uno de los siguientes?: a) ᎏ Ϫ 2 3 ᎏ b) (Ϫ͙2ෆ)2 c) ᎏ ␲ 2 ᎏ Respuesta a) racional, real; b) natural, entero, racional, real; c) irracional, real.
  16. 16. Propiedades de los números reales Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un número real; de manera similar, cuando dos números reales se multiplican, también el resultado es un número real. Estas dos operaciones de adición y multiplicación son fundamenta- les en el sistema de los números reales y poseen ciertas propiedades que en breve enunciaremos. Estas propiedades por sí mismas parecen ser más bien elementales, quizás aun obvias, pero son vitales para entender las diversas manipulaciones al- gebraicas que efectuaremos después. PROPIEDADES CONMUTATIVAS Si a y b son dos números reales cualesquie- ra, entonces, a ϩ b ϭ b ϩ a y ab ϭ ba Por ejemplo, 3 ϩ 7 ϭ 7 ϩ 3, 3 ϩ (Ϫ7) ϭ (Ϫ7) ϩ 3, 3 ؒ 7 ϭ 7 ؒ 3 y (3)(Ϫ7) ϭ (Ϫ7)(3). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos núme- ros son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier or- den que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente. PROPIEDADES ASOCIATIVAS Si a, b y c son tres números reales cualesquiera, entonces, (a ϩ b) ϩ c ϭ a ϩ (b ϩ c) y (ab)c ϭ a(bc) Por ejemplo, (2 ϩ 3) ϩ 7 ϭ 2 ϩ (3 ϩ 7) ϭ 12 y (2 ؒ 3) ؒ 7 ϭ 2 ؒ (3 ؒ 7) ϭ 42. Estas propiedades se conocen como propiedades asociativas de la adición y de la mul- tiplicación, respectivamente. Establecen que, si tres números se suman (o se multi- plican) a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en pri- mer término. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos. En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los paréntesis en las ex- presiones anteriores. Podemos escribir a ϩ b ϩ c para indicar la suma de a, b y c y abc para su producto sin ninguna ambigüedad. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Si a, b y c son números reales cualesquiera, entonces, a(b ϩ c) ϭ ab ϩ ac y (b ϩ c)a ϭ ba ϩ ca Por ejemplo, 2(3 ϩ 7) ϭ 2(3) ϩ 2(7) ϭ 6 ϩ 14 ϭ 20. Esto es sin duda cierto por- que 2(3 ϩ 7) ϭ 2 ؒ 10 ϭ 20. Por otra parte, (Ϫ2)[3 ϩ (Ϫ7)] ϭ (Ϫ2)(3) ϩ (Ϫ2)(Ϫ7) ϭ Ϫ6 ϩ 14 ϭ 8. Podemos evaluar la expresión dada directamente, obtenien- do la misma respuesta: (Ϫ2)[3 ϩ (Ϫ7)] ϭ (Ϫ2)(Ϫ4) ϭ 8. 4 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA
  17. 17. La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primera, dado que, por la propiedad conmutativa (b ϩ c)a ϭ a(b ϩ c) y también ba ϩ ca ϭ ab ϩ ac Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera pro- piedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales. Las propiedades distributivas son particularmente importantes en los cálculos al- gebraicos. Como veremos, éstas sustentan muchas operaciones incluidas en la simplifi- cación de expresiones y, si se leen “hacia atrás”, esto es, de derecha a izquierda, forman la base para los métodos de factorización. ☛ 2 Los ejemplos siguientes ilustran algunos usos elementales de estas propiedades de los números reales al simplificar las expresiones algebraicas. EJEMPLO 1 a) x(y ϩ 2) ϭ xy ϩ x(2) (propiedad distributiva) ϭ xy ϩ 2x (propiedad conmutativa) b) 2x ϩ 3x ϭ (2 ϩ 3)x (propiedad distributiva) ϭ 5x c) 2(3x) ϭ (2 ؒ 3)x (propiedad asociativa) ϭ 6x d) (2x)(3x) ϭ [(2x) ؒ 3]x (propiedad asociativa) ϭ [3 ؒ (2x)]x (propiedad conmutativa) ϭ [(3 ؒ 2)x]x (propiedad asociativa) ϭ (6x)x ϭ 6(x ؒ x) (propiedad asociativa) ϭ 6x2 donde x2 denota x ؒ x. Esta respuesta final pudo obtenerse agrupando los términos semejantes en el producto original: los números 2 y 3 multiplicados dan 6 y las dos x multiplicadas dan x2. La parte siguiente ilustra este procedimiento. e) [5(3ab)] (2a) ϭ (5 ؒ 3 ؒ 2)(a ؒ a)b ϭ 30a2b Esta respuesta puede justificarse mediante una sucesión de pasos que emplean las leyes asociativa y conmutativa, como en la parte d). f ) 2x ϩ (3y ϩ x) ϭ 2x ϩ (x ϩ 3y) (propiedad conmutativa) ϭ (2x ϩ x) ϩ 3y (propiedad asociativa) ϭ (2x ϩ 1x) ϩ 3y ϭ (2 ϩ 1)x ϩ 3y (propiedad distributiva) ϭ 3x ϩ 3y SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 5 ☛ 2. ¿Cuáles propiedades de los números reales son utilizadas en cada una de las siguientes igualdades? a) 2 ϩ 3 ؒ 4 ϭ 2 ϩ 4 ؒ 3 b) 2 ϩ 3 ؒ 4 ϭ 3 ؒ 4 ϩ 2 c) 2 ϩ (3 ϩ 4) ϭ (3 ϩ 4) ϩ 2 d) 2 ϩ (3 ϩ 4) ϭ 4 ϩ (2 ϩ 3) e) 3x ϩ 3x ϭ (3 ϩ 3)x f) 3x ϩ xy ϭ x(3 ϩ y) Respuesta a) conmutativa; b) conmutativa; c) conmutativa; d) ambas, conmutativa y asociativa; e) distributiva; f) ambas, distributiva y conmutativa.
  18. 18. g) 2x(4y ϩ 3x) ϭ (2x)(4y) ϩ (2x)(3x) (propiedad distributi- va) ϭ (2 ؒ 4)(x ؒ y) ϩ (2 ؒ 3)(x ؒ x) [propiedades asocia- tiva y conmutativa como en la parte a)] ϭ 8xy ϩ 6x2 La propiedad distributiva puede usarse en el caso en que más de dos cantida- des se sumen dentro de los paréntesis. Esto es, a(b ϩ c ϩ d) ϭ ab ϩ ac ϩ ad etcétera. EJEMPLO 2 4(x ϩ 3y ϩ 4z) ϭ 4x ϩ 4(3y) ϩ 4(4z) (propiedad distributiva) ϭ 4x ϩ (4 ؒ 3)y ϩ (4 ؒ 4)z (propiedad asociativa) ϭ 4x ϩ 12y ϩ 16z ELEMENTOS IDENTIDAD Si a es un número real cualquiera, entonces, a ϩ 0 ϭ a y a ؒ 1 ϭ a Es decir, si 0 se suma a a, el resultado aún es a y si a se multiplica por 1, el resul- tado de nuevo es a. Por esta razón, los números 0 y 1 a menudo se conocen como elementos identidad para la adición y la multiplicación, respectivamente, porque no alteran número alguno bajo sus respectivas operaciones. INVERSOS Si a es un número real arbitrario, entonces existe un único número real denominado el negativo de a (denotado por Ϫa) tal que a ϩ (Ϫa) ϭ 0 Si a no es cero, entonces también existe un único número real denominado el recí- proco de a (denotado por aϪ1) tal que a ؒ aϪ1 ϭ 1 Observe la similitud entre las dos definiciones: cuando Ϫa se suma a a, el resulta- do es el elemento identidad para la adición y cuando aϪ1 se multiplica por a, el re- sultado es el elemento identidad para la multiplicación. A menudo nos referiremos a Ϫa como el inverso aditivo de a y a aϪ1 como el inverso multiplicativo de a. (Algunas veces aϪ1 se denomina simplemente inverso de a). 6 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA
  19. 19. EJEMPLO 3 a) El inverso aditivo de 3 es Ϫ3 dado que 3 ϩ (Ϫ3) ϭ 0. El inverso aditivo de Ϫ3 es 3 puesto que (Ϫ3) ϩ 3 ϭ 0. Como el inverso aditivo de Ϫ3 se denota por Ϫ(Ϫ3), se sigue que Ϫ(Ϫ3) ϭ 3. En realidad, un resultado correspondiente vale pa- ra cualquier número real a: Ϫ(Ϫa) ϭ a b) El inverso multiplicativo de 3 es 3Ϫ1 dado que 3 ؒ 3Ϫ1 ϭ 1. El inverso mul- tiplicativo de 3Ϫ1 sería denotado por (3Ϫ1)Ϫ1 y estaría definido por el requerimiento de que 3Ϫ1 ؒ (3Ϫ1)Ϫ1 ϭ 1. Pero dado que 3Ϫ1 ؒ 3 ϭ 1, se sigue que (3Ϫ1)Ϫ1 es igual a 3. De nuevo este resultado puede generalizarse para cualquier número real a dis- tinto de cero: (aϪ1)Ϫ1 ϭ a (El inverso del inverso de a es igual a a). Una vez que hemos definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, po- demos definir lo que entenderemos por las operaciones de sustracción y división. Definimos a Ϫ b como el número a ϩ (Ϫb), es decir, a más el negativo de b. De manera similar, definimos a Ϭ b como el número abϪ1, es decir, a multiplicado por el recíproco de b. La expresión a Ϭ b está definida sólo cuando b 0. También se indica por la fracción a/b y tenemos que Definición de ᎏ a b ᎏ: ᎏ a b ᎏ ϭ abϪ1 (1) Haciendo a ϭ 1 en la ecuación (1), resulta que ᎏ 1 b ᎏ ϭ 1 ؒ bϪ1 ϭ bϪ1 De aquí, la fracción 1/b significa lo mismo que el inverso multiplicativo bϪ1. Por ejemplo, 3Ϫ1 ϭ ᎏ1 3 ᎏ. Por tanto, se sigue de la ecuación (1) que ᎏ a b ᎏ ϭ a΂ᎏ 1 b ᎏ΃ dado que bϪ1 ϭ 1/b. ☛ 3 SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 7 ☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los números reales se utilizan en cada una de las igualdades siguientes? a) x ϩ 3x ϭ 1x ϩ 3x ϭ (1 ϩ 3) x ϭ 4x b) (2 ϩ 1) ϩ (Ϫ1) ϭ 2 ϩ [1 ϩ (Ϫ1)] ϭ 2 ϩ 0 ϭ 2 c) 3 ؒ ᎏ1 3 ᎏ ϭ 1 Respuesta a) propiedad del ele- mento idéntico multiplicativo y propiedad distributiva; b) propiedad asociativa, inverso aditivo y neutro aditivo; c) idéntico multiplicativo y defini- ción de ᎏ1 a ᎏ
  20. 20. EJEMPLO 4 a) ϭ 7 ΂ᎏ 1 3 ᎏ ΃ Ϫ1 (Ecuación (1), con a ϭ 7 y b ϭ ᎏ1 3 ᎏ) ϭ 7(3Ϫ1)Ϫ1 ϭ 7(3) ϭ 21 Este resultado se extiende a cualesquiera pares de números reales a y b (b 0): ᎏ 1 a /b ᎏ ϭ ab b) Para cualquier número real, (Ϫ1)b ϭ Ϫb. Esto se debe a que b ϩ (Ϫ1)b ϭ 1 ؒ b ϩ (Ϫ1)b ϭ [1 ϩ (Ϫ1)]b (propiedad distributiva) ϭ 0 ؒ b ϭ 0 Por tanto, (Ϫ1)b debe ser el inverso aditivo de b, es decir Ϫb. c) a(Ϫb) ϭ a[(Ϫ1)/b] [por la parte b)] ϭ (Ϫ1)(ab) (usando las propiedades asociativa y conmutativa) ϭϪ(ab) Por ejemplo, 3(Ϫ7) ϭ Ϫ(3 ؒ 7) ϭ Ϫ21 d) 3(x Ϫ 2y) ϭ 3[x ϩ (Ϫ2y)] (definición de sustracción) ϭ 3x ϩ 3(Ϫ2y) (propiedad distributiva) ϭ 3x Ϫ [3(2y)] [de la parte c)] ϭ 3x Ϫ [(3 ؒ 2)y] (propiedad asociativa) ϭ 3x Ϫ 6y En general, la propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos negativos. Por ejemplo, a(b Ϫ c) ϭ ab Ϫ ac De esa manera podemos resolver este ejemplo en forma directa. 3(x Ϫ 2y) ϭ 3x Ϫ 3(2y) ϭ 3x Ϫ 6y Observe que cuando una expresión dentro de paréntesis debe multiplicarse por una cantidad negativa, todo término dentro del paréntesis cambia de signo. Ϫ(a ϩ b) ϭ (Ϫ1)(a ϩ b) ϭ (Ϫ1)a ϩ (Ϫ1)b ϭ Ϫa Ϫ b EJEMPLO 5 Ϫ2(x Ϫ 3y) ϭ (Ϫ2)x Ϫ (Ϫ2)(3y) ϭ Ϫ2x ϩ 6y Note que tanto x como Ϫ3y que están dentro de los paréntesis cambian de signo, quedando como Ϫ2x y ϩ6y, respectivamente. 7 ᎏ (ᎏ1 3 ᎏ) 8 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA
  21. 21. 1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una que sea co- rrecta. a) 3x ϩ 4x ϭ 7x b) (3x)(4x) ϭ 7x c) 2(5 Ϫ 4y) ϭ 10 Ϫ 4y d) Ϫ(x ϩ y) ϭ Ϫx ϩ y e) 5x Ϫ (2 Ϫ 3x) ϭ 2x Ϫ 2 f) 5 Ϫ 2x ϭ 3x g) Ϫ3(x Ϫ 2y) ϭ Ϫ3x Ϫ 6y h) (Ϫa)(Ϫb)(Ϫc) Ϭ (Ϫd) ϭ Ϫ(abc Ϭ d) i) a Ϭ (b Ϭ c) ϭ (ac) Ϭ b j) a Ϫ (b Ϫ c) ϭ (a ϩ c) Ϫ b k) (Ϫx)(Ϫy) ϭ Ϫxy l) ᎏ Ϫ Ϫ a b ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ m) ᎏ 0 x ᎏ ϭ 0 para todos los números reales x (2-60) Simplifique las siguientes expresiones. 2. 5 Ϫ (Ϫ3) 3. Ϫ7 Ϫ (Ϫ3) 4. 5(Ϫ3) 5. (Ϫ3)(Ϫ7) 6. 8 Ϭ (Ϫ2) 7. (Ϫ9) Ϭ (Ϫ3) 8. Ϫ(2 Ϫ 6) 9. Ϫ(Ϫ4 Ϫ 3) 10. (3)(Ϫ2)(Ϫ4) 11. (Ϫ5)(Ϫ3)(Ϫ2) 12. 3(1 Ϫ 4) 13. 2(Ϫ2 Ϫ 3) 14. Ϫ2(Ϫ4 Ϫ 2) 15. Ϫ4(3 Ϫ 6) 16. Ϫ6 Ϫ 2(Ϫ3 Ϫ 2) 17. 3(x ϩ 2y) 18. 4(2x ϩ z) 19. 2(2x Ϫ y) 20. 3(4z Ϫ 2x) 21. Ϫ(x Ϫ 6) 22. Ϫ(Ϫx Ϫ 3) 23. 3(x Ϫ 4) 24. 2(Ϫx Ϫ 3) 25. Ϫ2(Ϫx Ϫ 2) 26. Ϫ4(x Ϫ 6) 27. Ϫx(y Ϫ 6) 28. Ϫx(Ϫy Ϫ 6) 29. 2(x Ϫ y) ϩ 4x 30. 3y ϩ 4(x ϩ 2y) 31. Ϫ2z Ϫ 3(x Ϫ 2z) 32. Ϫ4x Ϫ 2(3z Ϫ 2x) 33. (x ϩ y) ϩ 4(x Ϫ y) 34. 3(y Ϫ 2x) Ϫ 2(2x Ϫ 2y) 35. 5(7x Ϫ 2y) Ϫ 4(3y Ϫ 2x) 36. 4(8z Ϫ 2t) Ϫ 3(Ϫt Ϫ 4z) 37. x(Ϫy)(Ϫz) 38. (Ϫx)(Ϫy)(Ϫz) 39. (Ϫ2)(Ϫx)(x ϩ 3) 40. (Ϫx)(Ϫy)(2 Ϫ 3z) 41. 2(Ϫa)(3 Ϫ a) 42. (Ϫ37 p)(2q)(q Ϫ p) 43. x(Ϫ2)(Ϫx Ϫ 4) 44. (Ϫ2x)(Ϫ3)(Ϫy Ϫ 4) 45. Ϫx(x Ϫ 2) ϩ 2(x Ϫ 1) 46. Ϫ2(Ϫ3x)(Ϫ2y ϩ 1) Ϫ (Ϫy)(4 Ϫ 5x) 47. 2x ϩ 5 Ϫ 2(x ϩ 2) 48. 3x Ϫ tϪ 2(x Ϫ t) 49. 2(x Ϫ y) Ϫ x 50. 4x(x ϩ y) Ϫ x2 51. 4[2(x ϩ 1) Ϫ 3] 52. x[3(x Ϫ 2) Ϫ 2x ϩ 1] 53. x[Ϫ3(Ϫ4 ϩ 5) ϩ 3] 54. 4[x(2 Ϫ 5) Ϫ 2(1 Ϫ 2x)] 55. xϪ1 (x ϩ 2) 56. xϪ1 (2x Ϫ 1) 57. (Ϫ2x)Ϫ1 (3x Ϫ 1) 58. (Ϫ3x)Ϫ1 (6 ϩ 2x) 59. (xy)Ϫ1 (x ϩ y) 60. (Ϫxy)Ϫ1 (2x Ϫ 3y) SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 9 Observación sobre la división entre cero. La afirmación a/b ϭ c es cierta si y sólo si la proposición inversa a ϭ b ؒ c es válida. Consideremos una fracción en la cual el denominador b es cero, tal como ᎏ3 0 ᎏ. Ésta no puede ser igual a ningún nú- mero real c porque la afirmación inversa 3 ϭ 0 ؒ c no puede ser válida para ningún real c. Por tanto ᎏ3 0 ᎏ no está bien definido. Asimismo, ᎏ0 0 ᎏ no es un número real bien de- finido porque la proposición inversa 0 ϭ 0 ؒ c es válida para cada número real c. Así, concluimos que cualquier fracción con denominador cero no es un número real bien definido o, en forma equivalente, que la división entre cero es una operación que carece de sentido. Por ejemplo, x/x ϭ 1 es cierto sólo si x 0. ☛ 4 ☛ 4. ¿Están definidas las expre- siones siguientes? a) ᎏ b ϩ (3 a b Ϫ 4b) ᎏ b) ᎏ b ϩ (3b a Ϫ 4b) ᎏ Respuesta a) no; b) sí, siempre y cuando a 0 EJERCICIOS 1-1
  22. 22. En la sección 1-1, vimos que la fracción a/b está definida como el producto de a y el inverso de b: ᎏ a b ᎏ ϭ abϪ1 (b 0) En particular, ᎏ 1 b ᎏ ϭ bϪ1 Con base en la definición anterior es posible deducir todas las propiedades que se usan al manejar fracciones. En esta sección nos detendremos un poco a examinar es- te tipo de operaciones.* Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dos numeradores y luego los dos denominadores. ΂ᎏ a b ᎏ ΃΂ᎏ d c ᎏ ΃ϭ ᎏ b a d c ᎏ EJEMPLO 1 a) ΂ᎏ 2 3 ᎏ΃΂ᎏ 5 9 ᎏ΃ϭ ᎏ 2 3 ؒ ؒ 5 9 ᎏ ϭ ᎏ 1 2 0 7 ᎏ b) ΂ᎏ 2 3 x ᎏ΃΂ᎏ 4 y ᎏ΃ϭ ᎏ ( 3 2x ؒ ) y 4 ᎏ ϭ ᎏ 8 3 x y ᎏ c) 3x΂ᎏ 5 4 y ᎏ΃ϭ ΂ᎏ 3 1 x ᎏ΃΂ᎏ 5 4 y ᎏ΃ϭ ϭ ᎏ 1 5 2 y x ᎏ ☛ 5 División de fracciones Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se invierte y después se multiplica por la primera. En otras palabras, ΂ᎏ a b ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ d c ᎏ΃ϭ ΂ᎏ a b ᎏ΃΂ᎏ d c ᎏ΃ϭ ᎏ a b d c ᎏ (3x) ؒ 4 ᎏ 1 ؒ (5y) 10 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA 1-2 FRACCIONES ☛ 5. Evalúe a) ᎏ 2 3 ᎏ ؒ ᎏ 7 3 ᎏ b) ᎏ 2 x ᎏ ؒ ᎏ 7 5 ᎏ Respuesta a) ᎏ 1 9 4 ᎏ; b) ᎏ 1 7 0 x ᎏ *Las demostraciones de las propiedades que aparecen en recuadros se dan como una serie de teoremas al final de esta sección.
  23. 23. EJEMPLO 2 a) ΂ᎏ 3 5 ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 7 9 ᎏ΃ϭ ΂ᎏ 3 5 ᎏ΃΂ᎏ 9 7 ᎏ΃ϭ ᎏ 2 3 7 5 ᎏ b) ΂ᎏ 3 2 x ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 4 y ᎏ΃ϭ ΂ᎏ 3 2 x ᎏ΃΂ᎏ 4 y ᎏ΃ϭ ᎏ 3 8 xy ᎏ c) 5y Ϭ ΂ᎏ 5 6 x ᎏ΃ϭ ΂ᎏ 5 1 y ᎏ΃΂ᎏ 5 6 x ᎏ΃ϭ ᎏ 25 6 xy ᎏ d) ΂ᎏ 2 3 x ᎏ΃Ϭ (2y) ϭ ΂ᎏ 2 3 x ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 2 1 y ᎏ΃ϭ ΂ᎏ 2 3 x ᎏ΃ ΂ᎏ 2 1 y ᎏ΃ϭ ᎏ 4 3 xy ᎏ e) ΂ᎏ a b ᎏ΃ Ϫ1 ϭ 1 Ϭ ΂ᎏ a b ᎏ΃ϭ 1 ؒ ᎏ b a ᎏ ϭ ᎏ b a ᎏ (Es decir, el recíproco de cualquier fracción se obtiene intercambiando el numera- dor y el denominador de la fracción). ☛ 6 En vista de este último resultado, podemos reescribir la regla anterior para la división: para dividir entre una fracción, debe multiplicar por su recíproco. Cancelación de factores comunes El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden multiplicarse o divi- dirse por un número real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la frac- ción. ᎏ a b ᎏ ϭ ᎏ a b c c ᎏ (c 0) EJEMPLO 3 (a) ᎏ a b ᎏ ϭ ᎏ 2 2 a b ᎏ (b) ᎏ 3 5 ᎏ ϭ ᎏ 1 6 0 ᎏ ϭ ᎏ 1 9 5 ᎏ ϭ ᎏ Ϫ Ϫ 1 2 2 0 ᎏ ϭ ؒ ؒ ؒ (c) ᎏ 5 6 x ᎏ ϭ ᎏ 1 1 0 2 x x 2 ᎏ (con tal que x 0) Esta propiedad de las fracciones puede usarse con la finalidad de reducir una fracción a su mínima expresión, lo que significa dividir el numerador y el denomi- nador entre todos los factores comunes. (Esto se llama también simplificación de la fracción). SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 11 ☛ 6. Evalúe a) ᎏ 2 3 ᎏ Ϭ ᎏ 3 2 ᎏ; b) ᎏ 2 x ᎏ Ϭ ᎏ 7 5 ᎏ Respuesta a) ᎏ 4 9 ᎏ; b) ᎏ 1 5 4 x ᎏ
  24. 24. EJEMPLO 4 a) ᎏ 7 8 0 4 ᎏ ϭ ᎏ 2 2 ؒ 2 ؒ 5 ؒ 3 ؒ 7 ؒ 7 ᎏ ϭ ϭ ϭ Observe que tanto el numerador como el denominador se escriben primero en tér- minos de sus factores primos y, luego, el numerador y el denominador se dividen entre aquellos factores que son comunes a ambos números, como el 2 y el 7. (Este proceso algunas veces se denomina cancelación). b) ᎏ 6 8 x x 2 y y 2ᎏ ϭ ϭ ϭ ᎏ 3 4 x y ᎏ (xy 0) En este ejemplo, el numerador y el denominador fueron divididos entre 2xy en la simplificación. c) ᎏ 2 4 x y ( ( x x ϩ ϩ 1 1 ) ) ᎏ ϭ ᎏ 2 x y ᎏ (x ϩ 1 0) Aquí el factor común 2(x ϩ 1) fue cancelado del numerador y del denominador. ☛ 7 Adición y sustracción de fracciones Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse simplemen- te sumando sus numeradores. ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b c ᎏ ϭ ᎏ a ϩ c b ᎏ Una regla similar se aplica a la sustracción: ᎏ a c ᎏ Ϫ ᎏ b c ᎏ ϭ ᎏ a Ϫ c b ᎏ EJEMPLO 5 a) ᎏ 1 5 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 1 1 2 ᎏ ϭ ᎏ 5 ϩ 12 11 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 6 2 ᎏ ϭ ᎏ 4 3 ᎏ b) ᎏ 2 3 x ᎏ Ϫ ᎏ 2 5 x ᎏ ϭ ᎏ 3 2 Ϫ x 5 ᎏ ϭ ᎏ Ϫ 2x 2 ᎏ ϭ Ϫᎏ 1 x ᎏ (Note la cancelación de factores comunes al llegar a las respuestas finales). Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restar- se, las fracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador. 2΋ ؒ 3 ؒ x΋ ؒ x ؒ y΋ ᎏᎏ 2΋ ؒ 2 ؒ 2 ؒ x΋ ؒ y ؒ y΋ 2 ؒ 3 ؒ x ؒ x ؒ y ᎏᎏ 2 ؒ 2 ؒ 2 ؒ x ؒ y ؒ y 5 ᎏ 6 5 ᎏ 2 ؒ 3 2΋ ؒ 5 ؒ 7΋ ᎏᎏ 2΋ ؒ 2 ؒ 3 ؒ 7΋ 12 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA ☛ 7. Evalúe a) ᎏ 2 3 ᎏ ؒ ᎏ 1 4 5 ᎏ; b) ᎏ 2 x ᎏ Ϭ ᎏ 3 8 x y ᎏ Respuesta a) ᎏ 5 2 ᎏ; b) ᎏ 4 3 y ᎏ
  25. 25. EJEMPLO 6 Simplifique: a) ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ b) ᎏ 5 6 ᎏ Ϫ ᎏ 3 4 ᎏ Solución a) Podemos escribir ᎏ 1 2 ᎏ ϭ ϭ ᎏ 3 6 ᎏ. Entonces ambas fracciones tienen el mismo denominador, de modo que podemos sumarlas. ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϭ ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 3 6 ᎏ ϭ ᎏ 5 ϩ 6 3 ᎏ ϭ ᎏ 8 6 ᎏ ϭ ᎏ 4 3 ᎏ b) En la parte a), multiplicamos el numerador y el denominador de ᎏ1 2 ᎏ por 3 para obtener un denominador igual al de la otra fracción. En esta parte, ambas frac- ciones deben modificarse para que tengan un factor común. Escribimos ᎏ 5 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 0 2 ᎏ y ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 9 2 ᎏ Por tanto, ᎏ 5 6 ᎏ Ϫ ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 0 2 ᎏ Ϫ ᎏ 1 9 2 ᎏ ϭ ᎏ 10 1 Ϫ 2 9 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 2 ᎏ En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores dife- rentes, primero reemplazamos cada fracción por una equivalente que tenga un de- nominador común. Con el propósito de mantener los números tan pequeños como sea posible, elegimos el más pequeño de tales denominadores comunes, denomina- do el mínimo común denominador (m.c.d.). Aún obtendríamos la respuesta correcta utilizando un denominador común más grande, pero es preferible usar el mínimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte b) del ejemplo 6, pudimos emplear 24 como un denominador común: ᎏ 5 6 ᎏ Ϫ ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 2 2 0 4 ᎏ Ϫ ᎏ 1 2 8 4 ᎏ ϭ ᎏ 20 2 Ϫ 4 18 ᎏ ϭ ᎏ 2 2 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 2 ᎏ La respuesta final es la misma, pero habríamos tenido que trabajar con números más grandes. Para calcular el m.c.d. de dos o más fracciones, los denominadores deben es- cribirse en términos de sus factores primos. El m.c.d. se forma entonces tomando to- dos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cada uno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera de los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de ᎏ5 6 ᎏ y ᎏ3 4 ᎏ, se encuentra escribiendo los denominadores en la forma 6 ϭ 2 ؒ 3 y 4 ϭ 2 ؒ 2. Los factores primos que ocurren son 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es 2 ؒ 2 ؒ 3 ϭ 12. Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x2y. Es- cribimos 12x ϭ 2 ؒ 2 ؒ 3 ؒ x y 10x2y ϭ 2 ؒ 5 ؒ x ؒ x ؒ y Tomando cada factor el mayor número de veces que aparezca, tenemos que m.c.d. ϭ 2 ؒ 2 ؒ 3 ؒ 5 ؒ x ؒ x ؒ y ϭ 60x2y ☛ 8 1 ؒ 3 ᎏ 2 ؒ 3 SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 13 ☛ 8. En cada caso, ¿cuál es míni- mo común denominador? a) ᎏ 2 3 ᎏ y ᎏ 5 6 ᎏ; b) ᎏ 2 1 xy ᎏ y ᎏ 8 x y ᎏ Respuesta a) 6; b) 8xy
  26. 26. EJEMPLO 7 Simplifique: a) ᎏ 6 x ᎏ ϩ ᎏ 3 4 y ᎏ b) ᎏ 9 1 x ᎏ Ϫ ᎏ 1 6 ᎏ c) ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b d ᎏ d) e) 3x Ϭ ΂ᎏ 3 1 x2ᎏ Ϫ ᎏ 4 3 xy ᎏ΃ Solución a) El m.c.d. es 12 ᎏ 6 x ᎏ ϭ ᎏ 1 2 2 x ᎏ y ᎏ 3 4 y ᎏ ϭ ᎏ 3( 1 3 2 y) ᎏ ϭ ᎏ 1 9 2 y ᎏ Por tanto, ᎏ 6 x ᎏ ϩ ᎏ 3 4 y ᎏ ϭ ᎏ 1 2 2 x ᎏ ϩ ᎏ 1 9 2 y ᎏ ϭ ᎏ 2x 1 ϩ 2 9y ᎏ b) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que ᎏ 9 1 x ᎏ ϭ ᎏ 1 2 8x ᎏ y ᎏ 1 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 3 8 x x ᎏ Entonces, ᎏ 9 1 x ᎏ Ϫ ᎏ 1 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 2 8x ᎏ Ϫ ᎏ 1 3 8 x x ᎏ ϭ ᎏ 2 1 Ϫ 8x 3x ᎏ c) El m.c.d. es cd ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b d ᎏ ϭ ᎏ a cd d ᎏ ϩ ᎏ b cd c ᎏ ϭ ᎏ ad c ϩ d bc ᎏ ☛ 9 d) Aquí tenemos una fracción cuyo denominador a su vez incluye una frac- ción. Primero simplificamos el denominador: 5b Ϫ ᎏ b 3 ᎏ ϭ ᎏ 15b 3 Ϫ b ᎏ ϭ ᎏ 14 3 b ᎏ Entonces la expresión dada es ᎏ 14 4 b a ͞3 ᎏ ϭ 4a΂ᎏ 14 3 b ᎏ΃ Ϫ1 ϭ 4a΂ᎏ 1 3 4b ᎏ΃ϭ ᎏ 6 7 a b ᎏ e) Primero simplificamos la expresión que se encuentra entre paréntesis. El mínimo común denominador es 12x2y. ᎏ 3 1 x2ᎏ Ϫ ᎏ 4 3 xy ᎏ ϭ ᎏ 12 4 x y 2y ᎏ Ϫ ᎏ 12 9 x x 2y ᎏ ϭ ᎏ 4y 12 Ϫ x2y 9x ᎏ 4a ᎏ 5b Ϫ ᎏ b 3 ᎏ 14 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA ☛ 9. Evalúe y simplifique a) ᎏ 2 3 ᎏ ϩ ᎏ 5 4 ᎏ; b) ᎏ 2 x y ᎏ Ϫ ᎏ 8 7 y x ᎏ Respuesta a) ᎏ 2 1 3 2 ᎏ; b) Ϫ ᎏ 3 8 x y ᎏ
  27. 27. Por tanto la expresión dada es igual a 3x Ϭ ΂ᎏ 4y 12 Ϫ x2y 9x ᎏ΃ϭ ᎏ 3 1 x ᎏ ؒ ᎏ 4y 12 Ϫ x2y 9x ᎏ ϭ ᎏ 4y 36 Ϫ x3y 9x ᎏ (en donde x3 ϭ x ؒ x2 ϭ x ؒ x ؒ x). Demostraciones de los teoremas Concluimos esta sección demostrando las propiedades básicas de las fracciones que hemos utilizado en los ejemplos anteriores. TEOREMA 1 ΂ᎏ 1 b ᎏ΃΂ᎏ 1 d ᎏ΃ϭ ᎏ b 1 d ᎏ DEMOSTRACIÓN Por definición, ΂ᎏ 1 b ᎏ΃ϭ bϪ1 y ΂ᎏ 1 d ᎏ΃ϭ dϪ1, de modo que ΂ᎏ 1 b ᎏ΃΂ᎏ 1 d ᎏ΃ϭ bϪ1 dϪ1 Como, (bϪ1 dϪ1) (bd) ϭ (bϪ1 b) ؒ (dϪ1 d) (usando las propiedades asociativa y conmutativa) ϭ 1 ؒ 1 ϭ 1 Por tanto, bϪ1 dϪ1 debe ser el inverso multiplicativo de db, es decir, bϪ1 dϪ1 ϭ ᎏ b 1 d ᎏ como se requería. Observación Este resultado puede reescribirse en la forma (bd)Ϫ1 ϭ bϪ1 dϪ1. TEOREMA 2 ΂ᎏ a b ᎏ΃΂ᎏ d c ᎏ΃ϭ ᎏ b a d c ᎏ DEMOSTRACIÓN ᎏ a b ᎏ ϭ abϪ1 ϭ a΂ᎏ 1 b ᎏ΃ y también ᎏ d c ᎏ ϭ c΂ᎏ 1 d ᎏ΃ SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 15
  28. 28. Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir ΂ᎏ a b ᎏ΃΂ᎏ d c ᎏ΃ϭ a΂ᎏ 1 b ᎏ΃ؒ c΂ᎏ 1 d ᎏ΃ϭ ac ؒ ΂ᎏ 1 b ᎏ ؒ ᎏ 1 d ᎏ΃ ϭ ac΂ᎏ b 1 d ᎏ΃ (por el teorema 1) ϭ ᎏ b a d c ᎏ como se pedía. TEOREMA 3 ΂ᎏ a b ᎏ΃ Ϫ1 ϭ ᎏ b a ᎏ DEMOSTRACIÓN Por definición, a/b ϭ abϪ1. Por tanto, por el teorema 1, ΂ᎏ a b ᎏ΃ Ϫ1 ϭ (abϪ1)Ϫ1 ϭ aϪ1(bϪ1)Ϫ1. Pero (bϪ1)Ϫ1 ϭ b, de modo que ΂ᎏ a b ᎏ΃ Ϫ1 ϭ aϪ1b ϭ baϪ1 ϭ ᎏ b a ᎏ como se requería. TEOREMA 4 ΂ᎏ a b ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ d c ᎏ΃ϭ ΂ᎏ a b ᎏ΃ؒ ΂ᎏ d c ᎏ΃ DEMOSTRACIÓN Por definición, x Ϭ y ϭ xyϪ1. Por tanto, tenemos las igualda- des: ΂ᎏ a b ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ d c ᎏ΃ϭ ΂ᎏ a b ᎏ΃ؒ ΂ᎏ d c ᎏ΃ Ϫ1 ϭ ΂ᎏ a b ᎏ΃ؒ ΂ᎏ d c ᎏ΃ (por el teorema 3) TEOREMA 5 ᎏ a b ᎏ ϭ ᎏ a b c c ᎏ (c 0) DEMOSTRACIÓN Para cualquier c 0, la fracción c/c ϭ 1, puesto que, por de- finición c/c ϭ ccϪ1. Por tanto, por el teorema 2, ᎏ a b c c ᎏ ϭ ΂ᎏ a b ᎏ΃ؒ ΂ᎏ c c ᎏ΃ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ 1 ϭ ᎏ a b ᎏ como se pedía. 16 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA
  29. 29. 1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una verdadera. a) ᎏ 3 x ᎏ ϩ ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ 7 x ᎏ b) ᎏ 3 x ᎏ ϩ ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ 7 x ᎏ c) ᎏ a b ᎏ ϩ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ b a ϩ ϩ d c ᎏ d) ᎏ a b ᎏ ؒ ΂ᎏ d c ᎏ ؒ ᎏ e f ᎏ΃ϭ ᎏ a b c d e f ᎏ e) ΂ᎏ a b ᎏ Ϭ ᎏ d c ᎏ΃Ϭ ᎏ e f ᎏ ϭ ᎏ b a c d e f ᎏ f) ᎏ a b ᎏ Ϭ ΂ᎏ d c ᎏ Ϭ ᎏ e f ᎏ΃ϭ ᎏ b a c d e f ᎏ g) ᎏ 1 a ᎏ ϩ ᎏ 1 b ᎏ ϭ ᎏ a ϩ 1 b ᎏ h) ϭ ᎏ 1 ϩ 1 y ᎏ i) ᎏ 6 7 ᎏ ؒ ᎏ 8 9 ᎏ ϭ j) ϭ ᎏ 1 2 ᎏ 1 ϩ 2 ϩ 3 ϩ 4 ϩ 5 ᎏᎏᎏ 2 ϩ 4 ϩ 6 ϩ 8 ϩ 10 6 ؒ 9 ϩ 7 ؒ 8 ᎏᎏ 7 ؒ 9 x΋ ᎏ x΋ ϩ y (2-58) Evalúe cada una de las siguientes expresiones. Escriba las respuestas en los términos más simples. 2. ᎏ 2 9 ᎏ ؒ ᎏ 6 5 ᎏ 3. ΂ᎏ 8 3 ᎏ΃΂ᎏ 1 4 5 ᎏ΃ 4. ᎏ 3 4 ᎏ ؒ ᎏ 8 5 ᎏ ؒ ᎏ 4 9 ᎏ 5. ᎏ 2 5 ᎏ ؒ ᎏ 3 6 ᎏ ؒ ᎏ 1 7 0 ᎏ 6. ΂ᎏ 2 3 5 x ᎏ΃΂ᎏ 2 9 5 x ᎏ΃ 7. ΂ᎏ 1 1 4 5 x y ᎏ΃΂ᎏ 2 2 5 4 y ᎏ΃ 8. 7x2 ΂ᎏ 2 6 1 y x ᎏ΃ 9. ΂Ϫᎏ 2 3 x y ᎏ΃(Ϫ5xy) 10. ΂ᎏ 1 1 8 1 ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 3 8 3 ᎏ΃ 11. ΂ᎏ 1 3 4 ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 1 6 5 ᎏ΃ 12. ᎏ 4 9 ᎏ Ϭ ΂ᎏ 2 3 ᎏ ؒ 8΃ 13. ΂ᎏ 1 2 2 5 ᎏ ؒ ᎏ 1 7 5 ᎏ΃Ϭ ᎏ 2 7 0 ᎏ 14. ΂ᎏ 1 7 0 x ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 2 5 1x ᎏ΃ 15. (2x) Ϭ ΂ᎏ 3 5 xy ᎏ΃ 16. 4 Ϭ ΂ᎏ 9 8 x ᎏ΃ 17. ΂ᎏ 8 3 x ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 1 4 5 x ᎏ΃ 18. ΂ᎏ 3 2 x 0 2 ᎏ ؒ 4y΃Ϭ ΂ᎏ 6 2 x 5 y ᎏ΃ 19. ΂ᎏ 5 2 x ᎏ ؒ ᎏ 3 4 y ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ x 1 2 2 y ᎏ΃ 20. 8xy Ϭ ΂ᎏ 2 3 x ᎏ ؒ ᎏ 2 5 x y ᎏ΃ 21. 6x2 Ϭ ΂ᎏ 4 y x ᎏ ؒ ᎏ 3 2 y2 ᎏ΃ SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 17 TEOREMA 6 ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b c ᎏ ϭ ᎏ a ϩ c b ᎏ (c 0) DEMOSTRACIÓN Por definición, ᎏ a c ᎏ ϭ acϪ1 y ᎏ b c ᎏ ϭ bcϪ1 Por tanto, ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b c ᎏ ϭ acϪ1 ϩ bcϪ1 ϭ (a ϩ b)cϪ1 (por la propiedad distributiva) ϭ ᎏ a ϩ c b ᎏ como se requería. EJERCICIOS 1-2
  30. 30. 22. ΂ᎏ 9 8 t ᎏ Ϭ ᎏ 3 1 st ᎏ΃ؒ ᎏ 4 s ᎏ 23. ΂ᎏ 4 3 xy ᎏ Ϭ ᎏ x y ᎏ΃ؒ ᎏ 2 9 xy ᎏ 24. ΂ᎏ 2 x ᎏ Ϭ ᎏ 2 z ᎏ΃Ϭ ᎏ 4 z ᎏ 25. ΂ᎏ 2 3 xt ᎏ Ϭ ᎏ 4 x t ᎏ΃Ϭ ᎏ 2 3 t ᎏ 26. ᎏ 2 z ᎏ Ϭ ΂ᎏ 2 z ᎏ Ϭ ᎏ 4 z ᎏ΃ 27. ᎏ 2 3 xt ᎏ Ϭ ΂ᎏ 4 x t ᎏ Ϭ ᎏ 2 3 t ᎏ΃ 28. ᎏ 1 6 ᎏ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 29. ᎏ 1 1 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 1 5 ᎏ 30. ᎏ 4 5 x ᎏ Ϫ ᎏ 1 x 0 ᎏ 31. ᎏ 1 x ᎏ ϩ ᎏ 2 1 x ᎏ 32. ᎏ 2 x ᎏ ϩ ᎏ 3 x ᎏ 33. ᎏ 2 y x ᎏ ϩ ᎏ 3 1 x ᎏ 34. ᎏ 6 a b ᎏ Ϫ ᎏ 2 a b ᎏ 35. ᎏ 6 a b ᎏ ϩ ᎏ 2 9 a b ᎏ 36. ᎏ 6 7 x ᎏ ϩ ᎏ 4 3 x2ᎏ 37. ᎏ 1 3 0 y x2ᎏ Ϫ ᎏ 6 1 x ᎏ 38. ᎏ p x 2ᎏ ϩ ᎏ p y q ᎏ 39. ᎏ x y ᎏ ϩ ᎏ y z ᎏ ϩ ᎏ x z ᎏ 40. ᎏ x y ᎏ Ϫ ᎏ y x ᎏ 41. ᎏ 3 x y 2 ᎏ ϩ4y 42. ᎏ 1 6 ᎏ ϩ ΂ᎏ 2 x ᎏ ϩ ᎏ 2 x ᎏ΃ 43. ᎏ 1 6 ᎏ Ϫ ΂ᎏ 2 x ᎏ Ϫ ᎏ 2 x ᎏ΃ 44. ᎏ 3 a b ᎏ Ϫ 2΂ᎏ a b ᎏ Ϫ ᎏ 2 b a ᎏ΃ 45. ΂ᎏ 2 x ᎏ ϩ ᎏ 2 x ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 6 x ᎏ΃ 46. ΂ᎏ 9 x y ᎏ ϩ ᎏ 6 1 xy ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 3 1 xy ᎏ΃ 47. ΂ᎏ 1 4 ᎏ Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 1 2 ᎏ Ϫ ᎏ 1 5 ᎏ΃ 48. ΂ᎏ 2 3 ᎏ ϩ ᎏ 1 1 2 ᎏ΃ؒ ΂ᎏ 1 7 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ΃ 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. ΂ᎏ a b ᎏ ϩ ᎏ 2 3 a b ᎏ΃Ϭ ΄΂ᎏ 3 8 x ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 9 x ᎏ΃ϩ ᎏ 1 4 ᎏ΅ 58. ΂ᎏ x 6 y ᎏ΃Ϭ ΄΂ᎏ 2 3 ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 6 x ᎏ΃Ϫ ᎏ 3 4 x ᎏ΅ ΂ᎏ 5 2 p q ᎏ΃΂ᎏ p 3 ᎏ΃ϩ ᎏ 8 p q 2 ᎏ ᎏᎏ 4p ϩ ᎏ 1 p 2 ᎏ ΂ᎏ 2 3 a b ᎏ΃΂ᎏ 4 5 b ᎏ΃ϩ a ᎏᎏ 2b ϩ ᎏ 1 b 5 ᎏ ᎏ 2 1 x ᎏ Ϫ ᎏ 3 1 x ᎏ ᎏ ᎏ 4 1 y ᎏ Ϫ ᎏ 5 1 y ᎏ 7x Ϫ ᎏ 2 3 x ᎏ ᎏ 15y Ϫ ᎏ 3 y ᎏ 2Ϫ ᎏ3 4 ᎏ ᎏ 3 ϩ ᎏ1 8 ᎏ ᎏ1 3 ᎏ Ϫ ᎏ1 4 ᎏ ᎏ ᎏ1 5 ᎏ Ϫ ᎏ1 6 ᎏ ᎏ8 5 ᎏ ϩ ᎏ2 3 ᎏ ᎏ 2 ϩ ᎏ4 7 ᎏ ᎏ1 2 ᎏ Ϫ ᎏ1 3 ᎏ ᎏ ᎏ1 4 ᎏ ϩ ᎏ1 5 ᎏ 18 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA Si m es un entero positivo, entonces am (léase a a la potencia m o la m-ésima po- tencia de a) se define como el producto de m factores a multiplicados a la vez. Por lo que am ϭ a ؒ a ؒ a ؒ ؒ ؒ ؒ ؒ a En este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo, 24 ϭ 2 ؒ 2 ؒ 2 ؒ 2 ϭ 16 (cuatro factores de 2) 35 ϭ 3 ؒ 3 ؒ 3 ؒ 3 ؒ 3 ϭ 243 (cinco factores de 3) En la expresión am, m se llama la potencia o exponente y a la base. Así en 24 (la cuarta potencia de 2), 2 es la base y 4 es la potencia o exponente; en 35, 3 es la ba- se y 5 el exponente. Esta definición de am cuando el exponente es un entero positi- vo es válida para todos los valores reales de a. Observe el patrón en la tabla 1, en la cual se dan varias potencias de 5 en or- den decreciente. Tratemos de completar la tabla. Notemos que cada vez que el ex- ponente disminuye en 1, el número de la derecha se divide entre 5. 1-3 EXPONENTES
  31. 31. Esto sugiere que la tabla se completaría continuando la división entre 5 con cada re- ducción del exponente. De esta manera, llegamos a las igualdades siguientes: TABLA 1 51 ϭ 5 50 ϭ 1 5Ϫ1 ϭ ᎏ1 5 ᎏ ϭ ᎏ 5 1 1ᎏ 5Ϫ2 ϭ ᎏ 2 1 5 ᎏ ϭ ᎏ 5 1 2ᎏ 5Ϫ3 ϭ ᎏ 1 1 25 ᎏ ϭ ᎏ 5 1 3ᎏ 5Ϫ4 ϭ ᎏ 6 1 25 ᎏ ϭ ᎏ 5 1 4 ᎏ Este patrón en forma natural nos conduce a la definición siguiente de am en el caso de que el exponente m sea cero o un número negativo. DEFINICIÓN Si a 0, entonces a0 ϭ 1 y si m es un entero positivo cualquiera (de modo que Ϫm es un entero negativo), aϪm ϭ ᎏ a 1 mᎏ Por ejemplo, 40 ϭ1, ΂ᎏ 3 7 ᎏ΃ 0 ϭ 1, (Ϫ5)0 ϭ 1, etc. Asimismo, 3Ϫ4 ϭ ᎏ 3 1 4 ᎏ ϭ ᎏ 8 1 1 ᎏ y (2)Ϫ5 ϭ ᎏ (Ϫ 1 2)5 ᎏ ϭ ᎏ Ϫ 1 32 ᎏ ϭ Ϫ ᎏ 3 1 2 ᎏ ☛ 10 De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denomi- nadas las leyes de los exponentes, las cuales se enuncian a continuación. Propiedad 1 am ؒ an ϭ amϩn Esto es, cuando dos potencias de una base común se multiplican, el resulta- do es igual a la base elevada a la suma de los dos exponentes. Este resultado vale para cualquier número real a, excepto en el caso de que m o n sea negativo, reque- rimos que a 0. EJEMPLO 1 a) 52 ؒ 53 ϭ 52ϩ3 ϭ 55 Podemos verificar que esto sea correcto desarrollando las dos potencias del producto. 52 ؒ 53 ϭ (5 ؒ 5) ؒ (5 ؒ 5 ؒ 5) ϭ 5 ؒ 5 ؒ 5 ؒ 5 ؒ 5 ϭ 55 SECCIÓN 1-3 EXPONENTES 19 ☛ 10. Evalúe a) (Ϫᎏ1 5 ᎏ)0; b) (Ϫᎏ1 2 ᎏ)Ϫ3 Respuesta a) 1; b) –23 ϭ Ϫ8 54 625 53 125 52 25 51 5 50 ? 5Ϫ1 ? 5Ϫ2 ? 5Ϫ3 ? 5Ϫ4 ?
  32. 32. b) x5 ؒ xϪ3 ϭ x5ϩ(Ϫ3) ϭ x2 De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias. x5 ؒ xϪ3 ϭ (x ؒ x ؒ x ؒ x ؒ x) ΂ᎏ x ؒ 1 x ؒ x ᎏ ΃ϭ x ؒ x ϭ x2 ☛ 11 Propiedad 2 ᎏa a m nᎏ ϭ amϪn (a 0) Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el resultado es igual a la base elevada a un exponente que es la diferencia del exponente que es- tá en el numerador y el exponente del denominador. EJEMPLO 2 a) ᎏ5 5 7 3ᎏ ϭ 57Ϫ3 ϭ 54 b) ᎏ 4 4 Ϫ 3 2ᎏ ϭ 43Ϫ(Ϫ2) ϭ 43ϩ2 ϭ 45 c) ᎏ3 3 Ϫ2 ᎏ ϭ ᎏ3 3 Ϫ 1 2 ᎏ ϭ 3Ϫ2Ϫ1 ϭ 3Ϫ3 d) ᎏ x2 x ؒ Ϫ x 3 Ϫ4 ᎏ ϭ ᎏx x 2 Ϫ Ϫ 3 4 ᎏ ϭ x2Ϫ4Ϫ(Ϫ3) ϭ x1 ϭ x ☛ 12 Propiedad 3 (am)n ϭ amn (a 0 si m o n es negativo o cero) Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al produc- to de los dos exponentes. EJEMPLO 3 a) (33)2 ϭ 33 и 2 ϭ 36 Podemos comprobar que esto es correcto, dado que (33)2 ϭ 33 ؒ 33 ϭ 33ϩ3 ϭ 36 b) (4Ϫ2)Ϫ4 ϭ 4(Ϫ2)(Ϫ4) ϭ 48 c) x5(xϪ2)Ϫ1 ϭ x5 ؒ x(Ϫ2)(Ϫ1) ϭ x5 ؒ x2 ϭ x5ϩ2 ϭ x7 d) ᎏ ( ( x x Ϫ 2 2 ) ) Ϫ Ϫ 2 2 ᎏ ϭ ᎏ x x (Ϫ (2 2 )( ) Ϫ (Ϫ 2 2 ) ) ᎏ ϭ ᎏ x x Ϫ 4 4 ᎏ ϭ xϪ4Ϫ4 ϭ xϪ8 e) ᎏ x 1 Ϫp ᎏ ϭ (xϪp)Ϫ1 ϭ x(Ϫp)(Ϫ1) ϭ xp ☛ 13 20 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA ☛ 11. Simplifique a) 43 · 4Ϫ5; b) x4 · xϪ6 · x2 Respuesta a) ᎏ 1 1 6 ᎏ; b) 1 ☛ 12. Simplifique a) 33 Ϭ 3Ϫ2; b) x4 Ϭ (xϪ6 и x2) Respuesta a) 35 ϭ 243; b) x8 ☛ 13. Simplifique a) 33 и (32)Ϫ2; b) (x4)4 Ϭ (xϪ3)Ϫ3 Respuesta a) 3Ϫ1 ϭ ᎏ1 3 ᎏ; b) x7
  33. 33. En una expresión, tal como 3c5, la base es c, no 3c. Si necesitamos que la base sea 3c, debemos encerrarla entre paréntesis y escribir (3c)5. Por ejemplo 3 ؒ 23 ϭ 3 ؒ 8 ϭ 24, no es lo mismo que (3 ؒ 2)3 ϭ 63 ϭ 216. Para el caso de que la base es un producto, tenemos la propiedad siguiente. Propiedad 4 (ab)m ϭ ambm (ab 0 si m Յ 0) Esto es, el producto de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al pro- ducto de las m-ésimas potencias de los dos números. ☛ 14 EJEMPLO 4 a) 64 ϭ (2 ؒ 3)4 ϭ 24 ؒ 34 b) (x2y)4 ϭ (x2)4y4 ϭ x8y4 c) (3a2bϪ3)2 ϭ 32(a2)2(bϪ3)2 ϭ 9a4bϪ6 d) ϭ ϭ ᎏ x x Ϫ Ϫ 2 8 y y Ϫ Ϫ 6 4 ᎏ ϭ ؒ ϭ xϪ2Ϫ(Ϫ8)yϪ6Ϫ(4) ϭ x6yϪ2 Propiedad 5 ΂ᎏ a b ᎏ΃ m ϭ ᎏ a b m m ᎏ (b 0 y a 0 si m Յ 0) Es decir, el cociente de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al co- ciente de las m-ésimas potencias de tales números. EJEMPLO 5 a) ΂ᎏ 3 2 ᎏ΃ 4 ϭ ᎏ 3 2 4 4 ᎏ b) ΂ᎏ x y ᎏ΃ 5 ϭ ᎏ x y 5 5 ᎏ ϭ x5yϪ5 c) x3 ΂ᎏ x y 2 ᎏ΃ Ϫ2 ϭ x3ᎏ (x y 2 Ϫ )Ϫ 2 2 ᎏ ϭ x3ᎏ y x Ϫ Ϫ 2 4 ᎏ ϭ x3Ϫ(Ϫ4)yϪ2 ϭ x7yϪ2 ☛ 15 EJEMPLO 6 Simplifique las expresiones siguientes, eliminando paréntesis y ex- ponentes negativos. a) ᎏ ( x a Ϫ x) 7 5 ᎏ b) ᎏ ( ( x x 2 Ϫ z 2 3 ) ) 2 3 ᎏ c) x4(2x Ϫ 3xϪ2) d) (xϪ1 ϩ yϪ1)Ϫ1 e) ᎏ xϪ ( 1 xy ϩ )Ϫ y 1 Ϫ1 ᎏ Solución a) ᎏ ( x a Ϫ x) 7 5 ᎏ ϭ ᎏ a x 5 Ϫ x 7 5 ᎏ ϭ a5x5Ϫ(Ϫ7) ϭ a5x12 yϪ6 ᎏ yϪ4 xϪ2 ᎏ xϪ8 xϪ2(y3)Ϫ2 ᎏ (x2)Ϫ4yϪ4 (xy3)Ϫ2 ᎏ (x2y)Ϫ4 SECCIÓN 1-3 EXPONENTES 21 ☛ 14. Evalúe a) 2 и 23 y (2 и 2)3 b) 3 и 2Ϫ2 y (3 и 2)Ϫ2 Respuesta a) 16 y 64; b) ᎏ 3 4 ᎏ y ᎏ 3 1 6 ᎏ ☛ 15. Simplifique a) 33 и (3x)Ϫ2 b) ΂ᎏ x 2 4 ᎏ΃ 2 Ϭ (4xϪ2)Ϫ2 Respuesta a) ᎏ x 3 2 ᎏ; b) 4x4
  34. 34. 22 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA b) ϭ ϭ ϭ Note que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse en el denominador. c) x4(2x Ϫ 3xϪ2) ϭ x4(2x) Ϫ x4(3xϪ2) ϭ 2x4ϩ1 Ϫ 3x4Ϫ2 ϭ 2x5Ϫ 3x2 d) Primero debemos simplificar la expresión dentro de los paréntesis. El denominador común es xy. xϪ1 ϩ yϪ1 ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ Ahora recordando que el recíproco de una fracción se obtiene intercambian- do el numerador y el denominador. De modo que (xϪ1 ϩ yϪ1)Ϫ1 ϭ ΂ ΃ Ϫ1 ϭ e) ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ y ϩ x Solución alterna ϭ (xϪ1 ϩ yϪ1) ؒ xy ϭ xϪ1 ؒ xy ϩ yϪ1 ؒ xy (propiedad distributiva) ϭ 1 ؒ y ϩ 1 ؒ x ϭ y ϩ x ☛ 16 xϪ1 ϩ yϪ1 ᎏᎏ (xy)Ϫ1 1 ᎏ xϪ1 1 ᎏ yϪ1 yϪ1 ᎏ xϪ1yϪ1 xϪ1 ᎏ xϪ1yϪ1 xϪ1 ϩ yϪ1 ᎏᎏ xϪ1yϪ1 xϪ1 ϩ yϪ1 ᎏᎏ (xy)Ϫ1 xy ᎏ y ϩ x y ϩ x ᎏ xy y ϩ x ᎏ xy x ᎏ xy y ᎏ xy 1 ᎏ y 1 ᎏ x 1 ᎏ x10z9 xϪ4 ᎏ x6z9 x(Ϫ2)(2) ᎏ (x2)3(z3)3 (xϪ2)2 ᎏ (x2z3)3 ☛ 16. Sería incorrecto por completo en el ejemplo 6d) si hubiésemos escrito (xϪ1 ϩ yϪ1)Ϫ1 ϭ (xϪ1)Ϫ1 ϩ (yϪ1)Ϫ1 ϭ x ϩ y. ¿Puede ver por qué esto es incorrecto? Pruebe dando dos valores para x y y, tales como 2 y 4. (1-61) Simplifique las expresiones siguientes. No use paréntesis ni exponentes negativos en la respuesta final. 1. (25)2 2. (34)3 3. (a3)7 4. (x4)5 5. (Ϫx2)5 6. (Ϫx5)2 7. y2 ؒ y5 8. x7 ؒ x4 9. a3 ؒ aϪ5 10. bϪ2 ؒ b6 11. (3x)2xϪ7 12. (4x)Ϫ2x4 13. (2x)2(2xϪ1)3 14. ᎏ x 2 3 ᎏ (4xϪ1)2 15. (x2yz)3(xy)4 16. (3yz2)2(y3z)3 17. (xϪ2y)Ϫ2 18. (abϪ3)Ϫ1 19. (xy2z3)Ϫ1(xyz)3 20. (x2pq2)2(xp2)Ϫ1 21. ᎏ (2 4 4 2 )2 ᎏ 22. ᎏ (3 3 3 5 )2 ᎏ 23. ΂ᎏ 1 3 ᎏ΃ Ϫ2 Ϭ 3Ϫ4 24. ΂ᎏ 1 5 ᎏ΃ 3 Ϭ 5Ϫ2 25. ᎏ x x Ϫ 5 2 ᎏ 26. ᎏ y y Ϫ Ϫ 3 7 ᎏ 27. ᎏ (x x 2 4 )3 ᎏ 28. ᎏ ( z z Ϫ 2) 8 4 ᎏ 29. ᎏ ( ( a a Ϫ 4) 2 Ϫ )6 3 ᎏ 30. ᎏ ( ( b b Ϫ 3 7 ) ) 3 2 ᎏ 31. ᎏ ( ( Ϫ Ϫ x x ) 3 Ϫ )2 3 ᎏ 32. ᎏ ( ( Ϫ Ϫ y y Ϫ 2 1 ) ) Ϫ Ϫ 2 3 ᎏ EJERCICIOS 1-3
  35. 35. 33. ᎏ (x (x 2y y ) ) Ϫ 2 3 ᎏ 34. ᎏ (a a b Ϫ Ϫ 2b 2) Ϫ Ϫ 1 1 ᎏ 35. ᎏ (Ϫ x 2 3 x y y)3 ᎏ 36. 37. ᎏ (Ϫ Ϫ 3 3 x x ) 2 2 ᎏ 38. ᎏ ( ( Ϫ 2x 2 2 x y 2 ) y Ϫ 3) 1 2 ᎏ 39. ᎏ (2 ( a a Ϫ 3b 1b )3 2)2 ᎏ 40. ᎏ (Ϫ (x 3 Ϫ x 3 2 y y 4 Ϫ )3 2)2 ᎏ 41. x2(x4 Ϫ 2x) 42. x3(xϪ1 Ϫ x) 43. 2x(x5 ϩ3xϪ1) 44. 3x2(x4 ϩ 2xϪ3) 45. x4(2x2 Ϫ x Ϫ 3xϪ2) 46. 2xϪ3(x5 Ϫ 3x4 ϩ x) 47. (2Ϫ1 ϩ xϪ1)Ϫ1 48. [(2x)Ϫ1 ϩ (2y)Ϫ1]Ϫ1 49. (xy)Ϫ1(xϪ1 ϩ yϪ1)Ϫ1 50. (aϪ2 ϩ bϪ2)Ϫ1 51. ΂ᎏ 7 x ᎏ΃΂ᎏ 1 3 4x ᎏ΃ϩ ΂ᎏ 2 3 x ᎏ΃ 2 52. xϪ3 ΂ᎏ 5 6 x ᎏ΃ Ϫ1 Ϫ ΂Ϫᎏ 2 1 x ᎏ΃ 2 53. ᎏ 1 3 0 y x3 ᎏ ϩ ᎏ 15 2 xy ᎏ 54. ᎏ 12 5 xϪ3 ᎏ Ϫ ᎏ 15 2 xϪ2 ᎏ 55. ᎏ 2x 1 Ϫ2 ᎏ ϩ ᎏ 3x 1 Ϫ2 ᎏ 56. ᎏ 4y 1 Ϫ4 ᎏ Ϫ ᎏ 3y 1 Ϫ4 ᎏ 57. ΂ᎏ x 4 3y ᎏ΃Ϭ ΂ᎏ 4 x ᎏ Ϭ ᎏ y 6 3 ᎏ΃ 58. ᎏ x 4 Ϫ x 3 ᎏ Ϫ ᎏ 6 x x5 ᎏ 59. yϪ5 ΂2xy Ϭ ᎏ 3 x y2 ᎏ΃ 60. ΂ᎏ 2 x ᎏ ϩ xϪ1 ΃Ϭ ΂ᎏ x 2 2 ᎏ ϩ ᎏ 5x 1 Ϫ2 ᎏ΃ 61. xϪ1 Ϭ (x ϩ xϪ1)Ϫ1 (Ϫab2c)Ϫ1 ᎏᎏ aϪ2bcϪ1 SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 23 Hemos definido am cuando m es cualquier entero, ahora extenderemos la definición al caso en que m es un número racional arbitrario. Nos gustaría hacer esta extensión en tal forma que las propiedades 1 a 5 de la sección 1-3 continúen siendo válidas, aun en el caso de que m y n no sean enteros. En primer término, consideraremos la definición de a1/ n cuando n es un ente- ro distinto de cero. Para que la propiedad 3 continúe vigente cuando m ϭ 1/n, de- be ser válido que (a1/ n)n ϭ a(1/ n)n ϭ a1 ϭ a De este modo, si hacemos b ϭ a1/n, es necesario que bn ϭ a. EJEMPLO 1 a) 81/3 ϭ 2 ya que 23 ϭ 8 b) (Ϫ243)1/5 ϭ Ϫ3 ya que (Ϫ3)5 ϭ Ϫ243 En el caso de que n sea un entero par, surgen dos dificultades con esta defini- ción de a1/n. Por ejemplo, sea n ϭ 2 y a ϭ 4. Entonces, b ϭ 41/ 2 si b2 ϭ 4. Pero hay dos números cuyo cuadrado es igual a 4, es decir, b ϭ 2 y b ϭ Ϫ2. De modo que necesitamos decidir qué entenderemos cuando escribamos b ϭ 41/ 2. En realidad, definiremos 41/ 2 como ϩ2. En segundo lugar, suponga que a es negativo. En tal caso, b ϭ a1/ 2 si b2 ϭ a. Sin embargo, el cuadrado de cualquier número negativo (positivo, negativo o cero) nunca es negativo. Por ejemplo, 42 ϭ 16 y (Ϫ3)2 ϭ 9, y ambos son positivos. En consecuencia b2 nunca es negativo para cualquier número real b, de modo que cuan- do a Ͻ 0, a1/ 2 no existe en los números reales. Así, (Ϫ1)1/ 2 o (Ϫᎏ4 3 ᎏ)1/ 2 carecen de sentido como números reales. Adoptaremos la siguiente definición. 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS
  36. 36. DEFINICIÓN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un núme- ro real no negativo, entonces se dice que b es la n-ésima raíz principal de a si bn ϭ a y b Ն 0. Así, la n-ésima raíz de a es el número no negativo el cual, al elevarse a la n-ésima potencia, da el número a. Denotamos la n-ésima raíz principal por b ϭ a1/n. Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un número real cualquiera, entonces b es la n-ésima raíz de a si bn ϭ a, expresada una vez más co- mo a1/n. Es decir, b ϭ a1/n si bn ϭ a; b Ն 0 si n es par. Las raíces impares están definidas para todos los números reales a, pero las raíces pares sólo están definidas cuando a no es negativo. EJEMPLO 2 a) 321/5 ϭ 2 porque 25 ϭ 32 b) (Ϫ216)1/3 ϭ Ϫ6 ya que (Ϫ6)3 ϭ Ϫ216 c) 161/4 ϭ 2 porque 24 ϭ 16 y 2 Ͼ 0 d) (729)1/6 ϭ 3 ya que 36 ϭ 729 y 3 > 0 e) 11/n ϭ 1 para todo entero positivo n, porque 1n ϭ 1 f ) (Ϫ1)1/n ϭ Ϫ1 para todo entero positivo impar n, debido a que (Ϫ1)n ϭ Ϫ1 cuando n es impar. g) (Ϫ81)1/4 no existe, porque los números negativos sólo tienen raíces n-ési- mas cuando n es impar. El símbolo ͙ n aෆ también se utiliza en vez de a1/n. El símbolo ͙ළ se denomina signo radical y ͙ n aෆ a menudo se llama radical. Cuando n ϭ 2, a1/2 se denota sim- plemente por ͙aෆ más bien que por ͙ 2 aෆ: se llama la raíz cuadrada de a. También, ͙ 3 aෆ ϭ a1/3 es la tercera raíz de a, por lo regular se le llama raíz cúbica, ͙ 4 aෆ ϭ a1/4 es la raíz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejemplo 2 pueden volverse a formu- lar utilizando esta notación: a) ͙ 5 3ෆ2ෆ ϭ 2; b) ͙ 3 Ϫෆ2ෆ1ෆ6ෆ ϭ Ϫ6; c) ͙ 4 1ෆ6ෆ ϭ 2 d) ͙ 6 7ෆ2ෆ9ෆ ϭ 3; e) ͙ n 1ෆ ϭ 1 para n un entero positivo f) ͙ n Ϫෆ1ෆ ϭ Ϫ1 para n un entero positivo impar g) ͙ 4 Ϫෆ8ෆ1ෆ no existe ☛ 17 Ahora estamos en posición de definir am/n para un exponente racional m/n. 24 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA ☛ 17. Evalúe lo siguiente, si existen: a) (Ϫ27)1/3 b) (64)1/6 c) ͙ 5 Ϫෆ3ෆ2ෆ d) (Ϫᎏ 1 1 6 ᎏ)1/4 e) ͙ 6 Ϫෆ7ෆ2ෆ9ෆ f) ͙ 101 Ϫෆ1ෆ Respuesta a) –3; b) 2; c) –2; d) y e) no existen; f ) –1
  37. 37. DEFINICIÓN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un núme- ro real. Entonces, am/n ϭ (a1/n)m Es decir, la (m/n)-ésima potencia de a es la m-ésima potencia de la raíz n-ésima de a. Observación Si n es par, a no debe ser negativo. Si m es negativo, a no de- be ser cero. EJEMPLO 3 a) 93/2 ϭ (91/2)3 ϭ 33 ϭ 27 b) 4Ϫ1/2 ϭ (41/2)Ϫ1 ϭ 2Ϫ1 ϭ ᎏ1 2 ᎏ c) 16Ϫ3/4 ϭ (161/4)Ϫ3 ϭ 2Ϫ3 ϭ ᎏ1 8 ᎏ De la parte b) del ejemplo 3, podemos generalizar el resultado siguiente: aϪ1/n ϭ Esto se sigue dado que aϪ1/n ϭ (a1/n)Ϫ1 ϭ ᎏ a 1 1/n ᎏ TEOREMA Si am/n existe, entonces, am/n ϭ (am)1/n Es decir, la (m/n)-ésima potencia de a es igual a la raíz n-ésima de la m-ésima po- tencia de a. Este teorema, el cual no probaremos, ofrece un método alternativo de calcu- lar cualquier potencia fraccionaria. EJEMPLO 4 a) 163/4 ϭ (161/4)3 ϭ 23 ϭ 8, o 163/4 ϭ (163)1/4 ϭ (4096)1/4 ϭ 8 b) 363/2 ϭ (361/2)3 ϭ 63 ϭ 216, o 363/2 ϭ (363)1/2 ϭ (46,656)1/2 ϭ 216 Observación Si m/n no está en su mínima expresión, entonces (am)1/n puede existir mientras que am/n no. Por ejemplo, sea m ϭ 2, n ϭ 4 y a ϭ Ϫ9. Entonces, (am)1/n ϭ [(Ϫ9)2]1/4 ϭ 811/4 ϭ 3 pero am/n ϭ (Ϫ9)2/4 ϭ [(Ϫ9)1/4]2 no existe. Según los ejemplos 3 y 4, es claro que cuando evaluamos am/n, es más fácil extraer la raíz n-ésima primero y después elevar a la m-ésima potencia; de esa manera 1 ᎏ ͙ n aෆ SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 25
  38. 38. trabajamos con números más pequeños. En otras palabras, en la práctica calculamos am/n usando la definición (a1/n) en vez de (am)1/n. Con estas definiciones, es posible demostrar que las leyes de los exponentes, que se establecieron en la sección 1-3, también son válidas para exponentes fraccio- narios. Las volvemos a escribir y las ilustramos con algunos ejemplos. Reenuncie- mos estas leyes, ya que son muy importantes. 1. am ؒ an ϭ amϩn 2. ᎏ a a m n ᎏ ϭ amϪn 3. (am)n ϭ amn 4. (ab)m ϭ ambm 5. ΂ᎏ a b ᎏ΃ m ϭ ᎏ a b m m ᎏ Al utilizar estas leyes, debemos recordar que tienen algunas restricciones: en cual- quier potencia, si el exponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el expo- nente contiene una raíz par, la base no debe ser negativa. EJEMPLO 5 a) 53 ؒ 57/2 ϭ 53ϩ7/2 ϭ 513/2 b) 4Ϫ2 ؒ 47/3 ϭ 4Ϫ2ϩ7/3 ϭ 41/3 c) ᎏ ( 4 4 7 ) / 3 2 /2 ᎏ ϭ 47/2Ϫ3/2 ϭ 42 ϭ 16 d) ᎏ 9 9 1 Ϫ / 2 2 ᎏ ϭ 91/2Ϫ(Ϫ2) ϭ 95/2 ϭ (91/2)5 ϭ 35 ϭ 243 e) ᎏ x x 9 4 /4 ᎏ ϭ x9/4Ϫ4 ϭ xϪ7/4 f) (53)7/6 ϭ 53(7/6) ϭ 57/2 g) (3Ϫ4/3)Ϫ6/5 ϭ 3(Ϫ4/3)(Ϫ6/5) ϭ 38/5 h) aϪm ϭ (am)Ϫ1 ϭ ᎏ a 1 m ᎏ para cualquier número racional m i) (36)1/2 ϭ (4 ؒ 9)1/2 ϭ 41/2 ؒ 91/2 ϭ 2 ؒ 3 ϭ 6 j ) (x2y)1/2 ϭ (x2)1/2y1/2 ϭ x2(1/2)y1/2 ϭ xy1/2 k) (3a2/5bϪ4)Ϫ1/2 ϭ 3Ϫ1/2(a2/5)Ϫ1/2(bϪ4)Ϫ1/2 ϭ 3Ϫ1/2aϪ1/5b2 l) ͙ 4 aෆbෆ ϭ (ab)1/4 ϭ a1/4b1/4 ϭ ͙ 4 aෆ ͙ 4 bෆ m) ͙x/ෆyෆ ϭ ΂ᎏ x y ᎏ΃ 1/2 ϭ ᎏ x y 1 1 / / 2 2 ᎏ ϭ ᎏ1 4 ᎏ n) ΂ᎏ 2 8 7 ᎏ΃ Ϫ2/3 ϭ ᎏ 2 8 7 Ϫ Ϫ 2 2 / / 3 3 ᎏ ϭ ᎏ ( ( 2 8 7 1 1 / / 3 3 ) ) Ϫ Ϫ 2 2 ᎏ ϭ ᎏ 2 3 Ϫ Ϫ 2 2 ᎏ ϭ ᎐᎐ ϭ ΂ᎏ 1 4 ᎏ΃΂ᎏ 9 1 ᎏ΃ϭ ᎏ 9 4 ᎏ ☛ 18 ᎏ1 9 ᎏ ͙xෆ ᎏ ͙yෆ 26 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 18. Simplifique a) 31/3 и 32/3 b) 31/3 и (32/3)Ϫ2; c) (x1/2)3 и ͙xෆ d) (x1/3)1/2 Ϭ x7/6 e) (8x)2/5 и ΂ᎏ 4 x ᎏ΃ 3/5 Respuesta a) 3; b) 3Ϫ1; c) x2 d) xϪ1; e) x
  39. 39. EJEMPLO 6 Encuentre m tal que ϭ 3m. Solución Expresamos ambos lados como potencia de 3. ϭ ᎏ 9 3 1 3 /3 ᎏ ϭ ᎏ (3 3 2) 3 1/3 ᎏ ϭ ᎏ 3 3 2 3 /3 ᎏ ϭ 3(2/3)Ϫ3 ϭ 3Ϫ7/3 Por tanto, m ϭ Ϫ ᎏ 7 3 ᎏ EJEMPLO 7 Evalúe: a) ΂1 ᎏ 2 6 2 4 5 ᎏ΃ 1/2 ; b) ΂ᎏ 64 7 x3 ᎏ΃ Ϫ2/3 Solución a) ΂1 ᎏ 2 6 2 4 5 ᎏ΃ 1/2 ϭ ΂ᎏ 2 2 8 2 9 5 ᎏ΃ 1/2 ϭ ΂ᎏ 1 1 7 5 2 2 ᎏ΃ 1/2 ϭ ΄΂ᎏ 1 1 7 5 ᎏ΃ 2 ΅ 1/2 (por la ley 5) ϭ ΂ᎏ 1 1 7 5 ᎏ΃ 2 и (1/2) (por la ley 3) ϭ ΂ᎏ 1 1 7 5 ᎏ΃ 1 ϭ 1 ᎏ 1 2 5 ᎏ b) ΂ᎏ 6 2 4 7 x3 ᎏ΃ Ϫ2/3 ϭ ΂ᎏ 4 3 3x 3 3 ᎏ΃ Ϫ2/3 ϭ ΄΂ᎏ 4 3 x ᎏ΃ 3 ΅ Ϫ2/3 (por la ley 5) ϭ ΂ᎏ 4 3 x ᎏ΃ Ϫ2 ϭ ᎏ (4x 1 /3)2 ᎏ (por la ley 3) ϭ ᎏ 16x 1 2/9 ᎏ ϭ ᎏ 16 9 x2 ᎏ EJEMPLO 8 Simplifique la siguiente expresión: Solución En expresiones tales como ésta, por lo general conviene escribir todas las bases en términos de sus factores primos. ϭ ϭ (por las leyes 3 y 5) ϭ (combinando términos con bases iguales) ϭ ϭ 1 24p и 33p и 53p ᎏᎏ 24p и 33p и 53p (22p и 22p)(3p и 32p) и 53p ᎏᎏᎏ (2p и 23p)(33p) и 53p 22p и 33p/3 и 53p и 22p и 32p ᎏᎏᎏ 23и(p/3) и 32и(3p/2) и 23p и 53p (22)p и (33)p/3 и (53)p и (2и3)2p ᎏᎏᎏ (23)p/3 и (32)3p/2 и (2 и 5)3p 4p и 27p/3 и 125p и 62p ᎏᎏᎏ 8p/3 и 93p/2 и 103p 4p и 27p/3 и 125p и 62p ᎏᎏᎏ 8p/3 и 93p/2 и 103p ͙ 3 9ෆ ᎏ 27 ͙ 3 9ෆ ᎏ 27 SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 27
  40. 40. (1-6) Encuentre m tal que las proposiciones siguientes sean ver- daderas. 1. 8͙ 3 2ෆ ϭ 2m 2. ᎏ ͙ 3 8 2ෆ ᎏ ϭ 2m 3. Ί 3 ᎏ2 8 ᎏ ๶ϭ 2m 4. 3͙3ෆ ؒ ͙ 3 3ෆ ϭ 3m 5. ͙͙ෆ2ෆෆ ϭ 4m 6. ͙4 ͙ 3 ෆ͙ෆෆ2ෆෆෆ ϭ 2m (7-26) Evalúe las expresiones siguientes. 7. ͙8ෆ1ෆ 8. ͙ 3 2ෆ7ෆ 9. Ί1๶ᎏ 1๶9 6 ᎏ ๶ 10. Ί3 3๶ᎏ3 8๶ᎏ ๶ 11. ͙ 5 Ϫෆ3ෆ2ෆ 12. ͙ 3 Ϫෆ0ෆ.1ෆ2ෆ5ෆ 13. ͙(Ϫෆ3ෆ)2ෆ 14. Ί(Ϫ๶ᎏ2 5 ᎏ ๶)2 ๶ 15. (81)Ϫ3/4 16. (ᎏ 2 8 7 ᎏ)Ϫ4/3 17. (0.16)Ϫ1/2 18. (Ϫ0.16)3/4 19. 0.125Ϫ2/3 20. 0.00163/4 21. (9Ϫ3 ؒ 163/2)1/6 22. 93/4 ؒ 3Ϫ1/2 23. 164/5 ؒ 8Ϫ2/5 24. 251/3(ᎏ1 5 ᎏ)Ϫ4/3 25. (27)Ϫ2/3 Ϭ (16)1/4 26. Ϫ(ᎏ 3 1 6 ᎏ)1/8 Ϭ (6)Ϫ5/4 (27-56) Simplifique las expresiones siguientes. 27. (16x4)3/4 28. ΂ᎏ2 6 7 4 x3 ᎏ ΃ 2/3 29. (32x5yϪ10)1/5 30. Ί 3 ᎏ 2 8 ๶7 a ๶b 3 ๶3ᎏ ๶ 31. ͙ 4 x3ෆ/2ෆ ؒෆ 1ෆ6ෆx1ෆ/2ෆ 32. (x1/3 ؒ xϪ2/5)3 33. (x1/2 ؒ xϪ1/3)2 34. (16xϪ4)Ϫ1/2 Ϭ (8x6)1/3 28 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA EJEMPLO 9 Simplifique (͙2ෆ7ෆ ϩ ͙7ෆ5ෆ)/2 ͙1ෆ2ෆ. Solución Observemos que los tres radicales en esta expresión pueden simplificar- se factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de los números. ͙2ෆ7ෆ ϭ ͙9ෆ ؒෆ 3ෆ ϭ ͙9ෆ ؒ ͙3ෆ ϭ 3͙3ෆ ͙7ෆ5ෆ ϭ ͙2ෆ5ෆ ؒෆ 3ෆ ϭ ͙2ෆ5ෆ ؒ ͙3ෆ ϭ 5͙3ෆ ͙1ෆ2ෆ ϭ ͙4ෆ ؒෆ 3ෆ ϭ ͙4ෆ ؒ ͙3ෆ ϭ 2͙3ෆ Por tanto, ϭ ϭ ϭ ᎏ 8 4 ᎏ ϭ 2. EJEMPLO 10 Simplifique: a) ͙xෆ(͙x3ෆ ϩ ͙ 3 x2ෆ); b) ᎏ ͙xෆ ͙ 3 ϩ xෆ 2x ᎏ Solución Exprese los radicales en términos de exponentes fraccionarios y luego utilice las propiedades distributivas y las leyes de los exponentes. a) ͙xෆ(͙x3ෆ ϩ ͙ 3 x2ෆ) ϭ x1/2(x3/2 ϩ x2/3) ϭ x1/2 ؒ x3/2 ϩ x1/2 ؒ x2/3 ϭ x2 ϩ x7/6 b) ᎏ ͙xෆ ͙ 3 ϩ xෆ 2x ᎏ ϭ ᎏ x1/2 x1 ϩ /3 2x ᎏ ϭ (x1/2 ϩ 2x)xϪ1/3 ϭ x1/2 ؒ xϪ1/3 ϩ 2x1 ؒ xϪ1/3 ϭ x1/6 ϩ 2x2/3 ☛ 19 8͙3ෆ ᎏ 4͙3ෆ 3͙3ෆ ϩ 5͙3ෆ ᎏᎏ 2(2͙3ෆ) ͙2ෆ7ෆ ϩ ͙7ෆ5ෆ ᎏᎏ 2͙1ෆ2ෆ ☛ 19. Simplifique a) ͙ 3 4ෆ и ͙ 3 1ෆ6ෆ b) ͙ 3 3ෆ Ϭ (͙ 3 9ෆ)2 c) ͙ 4 x3ෆ и ͙͙ෆxෆෆ d) ͙xෆ(͙x3ෆ ϩ 3͙xෆ) Respuesta a) 4; b) 3Ϫ1; c) x d) x2 ϩ 3x EJERCICIOS 1-4
  41. 41. 35. ᎏ x x Ϫ 3 1 /7 /7 y y 2 1 / / 5 5 ᎏ 36. ᎏ a a 4 2 / / 9 9 b b Ϫ Ϫ 3 1 / / 4 2 ᎏ 37. ΂ᎏ p p Ϫ Ϫ 3 1 / / 5 5 q q Ϫ 2 2 / / 5 5 ᎏ΃ 10 38. 39. ᎏ 2 y x 3 5 / / 4 2 ᎏ Ϭ ᎏ 3 x y 2 2 / / 3 5 ᎏ 40. (Ϫ2x2y)1/5(4Ϫ1xyϪ2)Ϫ2/5 41. 3͙4ෆ5ෆ ϩ ͙2ෆ0ෆ 42. 2͙2ෆ4ෆ Ϫ ͙5ෆ4ෆ 43. 2͙1ෆ8ෆ Ϫ ͙3ෆ2ෆ 44. 45. ͙6ෆ3ෆ Ϫ ͙1ෆ7ෆ5ෆ ϩ 4͙1ෆ1ෆ2ෆ 46. ͙1ෆ1ෆ2ෆ Ϫ ͙6ෆ3ෆ ϩ 47. Ϫ 2͙2ෆ0ෆ ϩ 48. 2͙ 3 Ϫෆ1ෆ6ෆ Ϫ ͙ 3 Ϫෆ5ෆ4ෆ 49. a2/3 ؒ aϪ3/4 ؒ (a2)Ϫ1/6 ؒ ᎏ (a1 1 /12)5 ᎏ 50 ᎏ ͙1ෆ2ෆ5ෆ 20 ᎏ ͙5ෆ 224 ᎏ ͙2ෆ8ෆ ´8͙2ෆ Ϫ 4͙8ෆ (x2y)Ϫ1/3(xy)1/4 ᎏᎏ (xyϪ2)1/12 50. a2/3 ؒ bϪ5/7 ؒ ΂ᎏ a b ᎏ΃ 7/8 ؒ ᎏ a b 1 2 1 3 / / 2 5 4 6 ᎏ 51. 52. 53. ΂ᎏ x x a b ᎏ΃ c ؒ ΂ ΃ a ؒ ΂ᎏ x x c a ᎏ΃ b 54. ΂ᎏ x x a 2 ϩ b b ᎏ΃΂ᎏ x x b 2 ϩ c c ᎏ΃΂ ΃ 55. 56. 57. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. a) ͙5ෆ ϭ ͙2ෆ ϩ ͙3ෆ b) ͙8ෆ ϭ ͙2ෆ ϩ ͙2ෆ c) ͙2ෆ1ෆ ϭ ͙7ෆ ؒ ͙3ෆ d) ͙(Ϫෆ3ෆ)2ෆ ϭ 3 e) ͙Ϫෆ9ෆ ϭ Ϫ3 f) ͙aෆ2ෆ ϭ a para todo real a g) ͙aෆ2ෆϩෆ bෆ2ෆ ϭ a ϩ b si a Ͼ 0 y b Ͼ 0 h) am ؒ an ϭ amn i) ᎏ a a m n ᎏ ϭ am/n j) ͙3 ෆ͙3 aෆෆ ϭ a1/6 k) ͙aෆ2ෆ ϭ a si a Ͼ 0 28m и 35m и 103m ᎏᎏ 85m/3 и 49m и 252m (27)2n/3 и (8)Ϫn/6 ᎏᎏ (18)Ϫn/2 xcϩa ᎏ x2a xb ᎏ xc (xaϩb)2(yaϩb)2 ᎏᎏ (xy)2aϪb 23m и 32m и 5m и 6m ᎏᎏ 8m и 93m/2 и 10m SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 29 Cantidades del tipo 2x2 Ϫ 3x ϩ 7, 5y3 Ϫ y2 ϩ 6y ϩ 2 y 2x Ϫ 3/y ϩ 4 se denomi- nan expresiones algebraicas. Los bloques de construcción de una expresión alge- braica se llaman términos. Por ejemplo, la expresión 2x2 Ϫ 3x ϩ 7 tiene tres térmi- nos, 2x2, Ϫ3x y 7. La expresión x2y/3 Ϫ y/x tiene dos términos, x2y/3 y y/x. En el término 2x2, el factor 2 se denomina el coeficiente numérico (o simple- mente el coeficiente). El factor x2 se denomina la parte literal del término. En el término Ϫ3x, el coeficiente es Ϫ3 y la parte literal x. En el término x2y/3, el coefi- ciente es ᎏ1 3 ᎏ y la parte literal es x2y. El término 7 no tiene parte literal y se llama tér- mino constante. El coeficiente es 7. Una expresión algebraica que contiene un solo término se denomina mono- mio. Una expresión que contiene exactamente dos términos se llama binomio y la que contiene precisamente tres términos se denomina trinomio. Los siguientes son unos cuantos ejemplos de expresiones de estos tipos. Monomios: 2x3, Ϫ5y2, 7/t, 3, 2xy/z Binomios: 2x ϩ 3, 3x2 Ϫ 5/y, 6x2y Ϫ 5zt Trinomios: 5x2 ϩ 7x Ϫ 1, 2x3 ϩ 4x Ϫ 3/x, 6y2 Ϫ 5x ϩ t En general una expresión que contiene más de un término se denomina multinomio. 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS
  42. 42. Adición y sustracción de expresiones Cuando 4 manzanas se suman a 3 manzanas obtenemos 7 manzanas. En la misma forma, 4x ϩ 3x ϭ 7x. Esto es una simple consecuencia de la propiedad distributiva, dado que 4x ϩ 3x ϭ (4 ϩ 3)x ϭ 7x Si usted compara con la sección 1-1 verá que aquí utilizamos la ley distributiva “ha- cia atrás”, esto es, de derecha a izquierda. De una manera similar, podemos sumar cualesquiera dos expresiones cuyas partes literales sean iguales. Simplemente su- mamos los dos coeficientes numéricos. EJEMPLO 1 a) 2x ϩ 9x ϭ (2 ϩ 9)x ϭ 11x b) 4ab ϩ 3ab ϭ (4 ϩ 3)ab ϭ 7ab c) ᎏ 2 y x ᎏ ϩ ᎏ 2 x y ᎏ ϭ 2 ؒ ᎏ x y ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ؒ ᎏ x y ᎏ ϭ ΂2 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ΃ᎏ x y ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ ؒ ᎏ x y ᎏ ϭ ᎏ 5 2 x y ᎏ Dos o más términos de una expresión algebraica se dice que son semejantes si tienen las mismas partes literales. Por ejemplo, 2x2y y 5yx2 son semejantes dado que sus partes literales, x2y y yx2, son iguales. De manera similar, los tres términos 3x2yz3, Ϫ7x2z3y y z3x2y/2 son términos semejantes. En general, dos términos seme- jantes sólo pueden diferir en sus coeficientes numéricos o en el orden en que apare- cen las variables. Dos o más términos semejantes pueden sumarse o restarse usando la propie- dad distributiva, como se ilustró en el ejemplo 1. A continuación ejemplos adicio- nales. EJEMPLO 2 a) 2x3 Ϫ 7x3 ϭ (2 Ϫ 7)x3 ϭ Ϫ5x3 b) 5x2y Ϫ 3x2y ϩ 2yx2 ϭ (5 Ϫ3 ϩ 2)x2y ϭ 4x2y Los términos que no son semejantes no pueden combinarse de la manera que acaba de verse. Así, los términos en la expresión 2x2 ϩ 5xy no pueden combinarse para dar un término individual. Cuando sumamos dos o más expresiones algebraicas, reagrupamos los térmi- nos de tal manera que dos expresiones que sean semejantes aparezcan juntas. ☛ 20 EJEMPLO 3 Sume 5x2y3 Ϫ 7xy2 ϩ 3x Ϫ 1 y 6 Ϫ2x ϩ 4xy2 ϩ 3y3x2 Solución La suma requerida es 5x2y3 Ϫ 7xy2 ϩ 3x Ϫ 1 ϩ (6 Ϫ 2x ϩ 4xy2 ϩ 3y3x2) ϭ 5x2y3 Ϫ 7xy2 ϩ 3x Ϫ 1 ϩ 6 Ϫ 2x ϩ 4xy2 ϩ 3x2y3 30 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA ☛ 20. Simplifique las expresiones siguientes: a) 2ab2 Ϫ 4ab2a b) x3 ϩ 2x Ϫ (2x3 Ϫ 2x) Respuesta a) Ϫ2ab2; b) –x3 ϩ 4x
  43. 43. Reagrupando los términos, de tal manera que los términos semejantes estén agrupa- dos juntos, obtenemos la suma en la forma siguiente: 5x2y3 ϩ 3x2y3 Ϫ 7xy2 ϩ 4xy2 ϩ 3x Ϫ 2x Ϫ 1 ϩ 6 ϭ (5 ϩ 3)x2y3 ϩ (Ϫ7 ϩ 4)xy2 ϩ (3 Ϫ 2)x ϩ (Ϫ1 ϩ 6) ϭ 8x2y3 ϩ (Ϫ3)xy2 ϩ 1x ϩ 5 ϭ 8x2y3 1Ϫ 3xy2 ϩ x ϩ 5 EJEMPLO 4 Reste 3x2 Ϫ 5xy ϩ7y2 a 7x2 Ϫ 2xy ϩ 4y2 ϩ 6 Solución En este caso, buscamos 7x2 Ϫ 2xy ϩ 4y2 ϩ 6 Ϫ (3x2 Ϫ 5xy ϩ 7y2) Después de suprimir los paréntesis, cada término dentro de los paréntesis cambia de signo. En consecuencia, la expresión anterior es equivalente a la siguiente: 7x2 Ϫ 2xy ϩ 4y2 ϩ 6 Ϫ 3x2 ϩ 5xy Ϫ 7y2dddd ϭ 7x2 Ϫ 3x2 Ϫ 2xy ϩ 5xy ϩ 4y2 Ϫ 7y2 ϩ 6 ϭ (7 Ϫ 3)x2 ϩ (Ϫ2 ϩ 5)xy ϩ (4 Ϫ 7)y2 ϩ 6 ϭ 4x2 ϩ 3xy ϩ (Ϫ3)y2 ϩ 6 ϭ 4x2 ϩ 3xy Ϫ 3y2 ϩ 6 Multiplicación de expresiones La expresión a(x ϩ y) denota el producto de a y x ϩ y. Para simplificar esta expre- sión suprimiendo los paréntesis, multiplicamos cada término dentro del paréntesis por el número que está afuera, en este caso a: a(x ϩ y) ϭ ax ϩ ay Esto es simplemente por la propiedad distributiva. De manera similar, este método funciona siempre que una expresión algebraica se multiplique por cualquier mono- mio. EJEMPLO 5 a) Ϫ2(x Ϫ 3y ϩ 7t2) ϭ (Ϫ2)x Ϫ (Ϫ2)(3y) ϩ (Ϫ2)(7t2) ϭ Ϫ2x ϩ 6y Ϫ 14t2 b) x2y(x2 ϩ 3x Ϫ 5y3) ϭ x2y ؒ x2 ϩ x2y ؒ 3x Ϫ x2y ؒ 5y3 ϭ x4y ϩ 3x3y Ϫ 5x2y4 ☛ 21 Cuando multiplicamos dos expresiones algebraicas a la vez, la propiedad dis- tributiva puede usarse más de una vez con la finalidad de suprimir los paréntesis. Consideremos el producto (x ϩ 2)(y ϩ 3). Podemos emplear la propiedad distribu- tivas para quitar los primeros paréntesis. (x ϩ 2)(y ϩ 3) ϭ x(y ϩ 3) ϩ 2(y ϩ 3) SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 31 ☛ 21. Simplifique las expresio- nes siguientes eliminando los pa- réntesis: a) 3(x – 2) ϩ x(x – 3) b) x3 – 2x – 2x(x2 – 1) Respuesta a) x2 – 6; b) –x3
  44. 44. Para ver esto, sólo haga y ϩ 3 ϭ b. Entonces, (x ϩ 2)(y ϩ 3) ϭ (x ϩ 2)b ϭ x ؒ b ϩ 2 ؒ b ϭ x(y ϩ 3) ϩ 2(y ϩ 3) En general, las propiedades distributivas de la sección 1-1 funcionan con a, b, c reemplazadas por cualesquiera expresiones (como se hace con las otras propiedades de los números reales). Ahora usamos de nuevo esta propiedad para suprimir los pa- réntesis restantes. x(y ϩ 3) ϭ xy ϩ x ؒ 3 ϭ xy ϩ 3x y asimismo 2(y ϩ 3) ϭ 2y ϩ 2 ؒ 3 ϭ 2y ϩ 6 Por tanto, (x ϩ 2)(y ϩ 3) ϭ xy ϩ 3x ϩ 2y ϩ 6 En la figura 2 los cuatro términos (productos) de la derecha pueden obtener- se multiplicando cada uno de los términos de los primeros paréntesis sucesivamen- te por cada uno de los términos de los segundos paréntesis. Cada término de los pri- meros paréntesis está unido por un arco a cada término de los segundos paréntesis y el producto correspondiente también aparece. Los cuatro productos dan entonces el desarrollo completo de la expresión. ☛ 22 32 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 22. Utilice la propiedad distri- butiva (o método de los arcos) para eliminar los paréntesis: a) (x ϩ 2)(x ϩ 3) b) (x2 ϩ 2)(x2 – 2) Respuesta a) x2 ϩ 5x ϩ 6 b) x4 – 4 También pudo hacer lo que se pide con el método PIES de multiplicación de dos expresiones binomiales. (PIES se establece por “Primeros, Internos, Externos, Segundos”). Eso es equivalente al método de los arcos descrito aquí. Sin embargo, el método de arcos es mucho mejor ya que puede utilizarlo para multiplicar cuales- quiera dos multinomios. EJEMPLO 6 Desarrolle el producto (3x Ϫ 4)(6x2 Ϫ 5x ϩ 2). (Esto significa su- primir los paréntesis). Solución Usamos la propiedad distributiva: (3x Ϫ 4)(6x2 Ϫ 5x ϩ 2) ϭ 3x(6x2 Ϫ 5x ϩ 2) Ϫ 4(6x2 Ϫ 5x ϩ 2) ϭ (3x)(6x2) Ϫ (3x)(5x) ϩ (3x)(2) ϩ (Ϫ4)(6x2) Ϫ (Ϫ4)(5x) ϩ (Ϫ4)(2) ϭ 18x3 Ϫ 15x2 ϩ 6x Ϫ 24x2 ϩ 20x Ϫ 8 ϭ 18x3 Ϫ 15x2 Ϫ 24x2 ϩ 6x ϩ 20x Ϫ 8 (agrupando términos semejantes) ϭ 18x3 Ϫ (15 ϩ 24)x2 ϩ (6 ϩ 20)x Ϫ 8 ϭ 18x3 Ϫ 39x2 ϩ 26x Ϫ 8 2y ϩ 2и32y xy 3x 2и3 (x ϩ 2) (y ϩ 3) xy ϩ 3x FIGURA 2
  45. 45. De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando arcos que conecten cada término en el primer paréntesis con cada término dentro del segundo. En este caso, existen seis de tales arcos, dando lugar a seis productos en la expansión en el lado derecho. (Véase la figura 3). EJEMPLO 7 Simplifique 3{5x[2 Ϫ 3x] ϩ 7[3 Ϫ 2(x Ϫ 4)]} Solución Con el propósito de simplificar una expresión en la cual intervienen más de un conjunto de paréntesis, siempre empezamos con los paréntesis que están más adentro. 3{5x[2 Ϫ 3x] ϩ 7[3 Ϫ 2(x Ϫ 4)]} ϭ 3{5x[2 Ϫ 3x] ϩ 7[3 Ϫ 2x ϩ 8]} ϭ 3{10x Ϫ 15x2 ϩ 21 Ϫ 14x ϩ 56} ϭ 3{Ϫ15x2 ϩ 10x Ϫ 14x ϩ 21 ϩ 56} ϭ 3{Ϫ15x2 Ϫ 4x ϩ 77} ϭ Ϫ45x2 Ϫ 12x ϩ 231 Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuen- cia que pueden manejarse como fórmulas estándar. Inicialmente, consideremos el producto (x ϩ a)(a ϩ b). (x ϩ a)(x ϩ b) ϭ x(x ϩ b) ϩ a(x ϩ b) ϭ x2 ϩ bx ϩ ax ϩ ab ϭ x2 ϩ (b ϩ a)x ϩ ab Por tanto, (x ϩ a)(x ϩ b) ϭ x2 ϩ (a ϩ b)x ϩ ab. (1) EJEMPLO 8 a) Tomando a ϭ 2 y b ϭ 7 en la ecuación (1), tenemos que (x ϩ 2)(x ϩ 7) ϭ x2 ϩ (2 ϩ 7)x ϩ 2 ؒ 7 ϭ x2 ϩ 9x ϩ 14 b) (x ϩ 3)(x Ϫ 2) ϭ (x ϩ 3)(x ϩ (Ϫ2)) ϭ x2 ϩ [3 ϩ (Ϫ2)]x ϩ 3(Ϫ2) ϭ x2 ϩ x Ϫ 6 SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 33 (3x Ϫ 4) (6x2 Ϫ 5x ϩ 2) 6x Ϫ24x2 20x Ϫ8 Ϫ15x2 18x3 18x3 Ϫ 15x2 ϩ 6x Ϫ 24x2 ϩ 20x Ϫ 8 FIGURA 3
  46. 46. En la ecuación (1), si reemplazamos a b por a, obtenemos (x ϩ a)(x ϩ a) ϭ x2 ϩ (a ϩ a)x ϩ a ؒ a o bien, (x ϩ a )2 ϭ x2 ϩ 2ax ϩ a2 (2) Este resultado da el desarrollo del cuadrado de un binomio.El cuadrado de la suma de dos términos es igual a la suma de los cuadrados de los dos términos más el do- ble de su producto. EJEMPLO 9 a) (2x ϩ 7)2 ϭ (2x)2 ϩ 2(2x)(7) ϩ 72 ϭ 4x2 ϩ 28x ϩ 49 b) ΂3x ϩ ᎏ 4 y ᎏ΃ 2 ϭ (3x)2 ϩ 2(3x)΂ᎏ 4 y ᎏ΃ϩ ΂ᎏ 4 y ᎏ΃ 2 ϭ 9x2 ϩ ᎏ 24 y x ᎏ ϩ ᎏ 1 y 6 2 ᎏ Si reemplazamos a a por Ϫa en la fórmula (2), obtenemos otra fórmula. (x Ϫ a)2 ϭ x2 Ϫ 2ax ϩ a2 (3) Esto expresa el cuadrado de la diferencia de dos términos como la suma de los cua- drados de los dos términos menos el doble de su producto. Por último, si reemplazamos a b por Ϫa en la ecuación (1), obtenemos (x ϩ a)(x Ϫ a) ϭ x2 ϩ (a Ϫ a)x ϩ a(Ϫ a) ϭ x2 ϩ 0x Ϫ a2 En consecuencia, tenemos que (x ϩ a)(x Ϫ a) ϭ x2 Ϫ a2 (4) Este resultado establece que el producto de la suma y la diferencia de dos términos es la diferencia de los cuadrados de los dos términos. EJEMPLO 10 a) (2x ϩ 3)(2x Ϫ 3) ϭ (2x)2 Ϫ 32 ϭ 4x2 Ϫ 9 b) (͙3ෆ ϩ ͙2ෆ)(͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ) ϭ (͙3ෆ)2 Ϫ (͙2ෆ)2 ϭ 3 Ϫ 2 ϭ 1 c) (3x Ϫ 4y)(3x ϩ 4y) ϭ (3x)2 Ϫ (4y)2 ϭ 9x2 Ϫ 16y2 ☛ 23 División de expresiones En el teorema 6 de la sección 1-2 vimos que la ley distributiva se extiende a la divi- sión y tenemos las siguientes expresiones generales. ᎏ a ϩ c b ᎏ ϭ ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b c ᎏ 34 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA ☛ 23. Utilice las fórmulas estándar (1) a (4) para eliminar los paréntesis: a) (x ϩ 2)(x Ϫ 3) b) (x2 ϩ y)(x2 Ϫ y) c) (x ϩ xϪ1)2 Respuesta a) x2 Ϫ x Ϫ 6 b) x4 Ϫ y2; c) x2 ϩ 2 ϩ xϪ2
  47. 47. Esta propiedad es útil cuando dividimos una expresión algebraica entre un mono- mio, dado que nos permite dividir cada término por separado entre el monomio. EJEMPLO 11 a) ᎏ 2x2 2 ϩ x 4x ᎏ ϭ ᎏ 2 2 x x 2 ᎏ ϩ ᎏ 4 2 x x ᎏ ϭ x ϩ 2 Observe que dividimos cada término entre el factor común 2x. b) ϭ ᎏ 2 x x 2 3 ᎏ Ϫ ᎏ 5 x x 2 2y ᎏ ϩ ᎏ 7 x x 2 ᎏ ϩ ᎏ x 3 2 ᎏ ϭ 2x Ϫ 5y ϩ ᎏ 7 x ᎏ ϩ ᎏ x 3 2 ᎏ c) ϭ ᎏ 2 3 5 t t3 ᎏ ϩ ϩ Ϫ ϭ ᎏ 25 3 t2 ᎏ ϩ 4t ϩ 5 Ϫ ᎏ 2 t ᎏ En una fracción, el número o expresión algebraica del numerador a menudo se denomina el dividendo (lo cual significa que es la cantidad que está siendo divi- dida) y el número o expresión por la que es dividido se llama divisor. En la parte b) del ejemplo 11, 2x3 Ϫ 5x2y ϩ 7x ϩ 3 es el dividendo y x2 es el divisor, mientras que en la parte c), 25t3 ϩ 12t2 ϩ 15t Ϫ 6 es el dividendo y 3t el divisor. Cuando queremos dividir una expresión algebraica entre un divisor que con- tiene más de un término, con frecuencia usamos un procedimiento denominado di- visión larga. Describiremos este procedimiento para expresiones que sólo contie- nen potencias enteras no negativas de una sola variable. (Tales expresiones se cono- cen por polinomios). EJEMPLO 12 Divida 23 Ϫ 11x2 ϩ 2x3 entre 2x Ϫ 3 Solución Aquí 23 Ϫ 11x2 ϩ 2x3 es el dividendo y 2x Ϫ 3 es el divisor. Antes de que empecemos la división, los términos en el dividendo y en el divisor deben arre- glarse en orden decreciente de las potencias de x y llenar con coeficientes cero las potencias faltantes. En consecuencia, el dividendo debe escribirse como 2x3 Ϫ 11x2 ϩ 0x ϩ 23. x2 Ϫ 4x Ϫ 6 ← Cociente Divisor → 2x Ϫ 3ͤ2ෆx3ෆ Ϫෆ 1ෆ1ෆx2ෆ ϩෆ 0ෆxෆϩෆ 2ෆ3ෆ ← Dividendo ← Residuo 2x3 Ϫ 3x2 ᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐ Ϫ 8x2 ϩ 0x ϩ 23 Ϫ 8x2 ϩ 12x ᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐ Ϫ 12x ϩ 23 Ϫ 12x ϩ 18 ᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐ 5 6 ᎏ 3t 15t ᎏ 3t 12t2 ᎏ 3t 25t3 ϩ 12t2 ϩ 15t Ϫ 6 ᎏᎏᎏ 3t 2x3 Ϫ 5x2y ϩ 7x ϩ 3 ᎏᎏᎏ x2 SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 35
  48. 48. Los detalles de la división larga se acaban de mostrar y se explican de la manera si- guiente: en primer lugar, dividimos 2x3 (el primer término en el dividendo) entre 2x (el primer término en el divisor), obteniendo 2x3/2x ϭ x2. Esto da el primer térmi- no del cociente.Multiplicamos el divisor, 2x Ϫ 3, por el primer término del cocien- te, x2, para obtener 2x3 Ϫ 3x2. Restamos esto al dividendo, obtenemos la diferencia Ϫ8x2 ϩ 0x ϩ 23. Para obtener el siguiente término del cociente, dividimos el pri- mer término de esta diferencia, Ϫ8x2, entre 2x, el primer término del divisor. Esto da Ϫ8x2/2x ϭ Ϫ4x, el cual se convierte en el segundo término del cociente. Multi- plicamos otra vez el divisor por este segundo término, Ϫ4x, con lo que obtenemos Ϫ8x2 ϩ 12x; restamos esto a Ϫ8x2 ϩ 0x ϩ 23, los cuales nos dan la siguiente dife- rencia, Ϫ12x ϩ 23. Continuamos este procedimiento hasta que obtengamos una diferencia cuya máxima potencia sea menor que la correspondiente al divisor. Llamamos a este última diferencia el residuo. La respuesta puede escribirse en la forma ᎏ 2x3 Ϫ 2x 11 Ϫ x2 3 ϩ 23 ᎏ ϭ x2 Ϫ 4x Ϫ 6 ϩ ᎏ 2x 5 Ϫ 3 ᎏ ☛ 24 En general, tenemos ϭ Cociente ϩ Observación Esta forma de escribir el resultado de la división larga es la misma que usamos en aritmética.Por ejemplo, consideremos la fracción 627/23, en la cual el dividendo es 627 y el divisor es 23. Por división larga ordinaria encontra- mos que el cociente es 27 y el residuo es 6. Divisor → ← Divisor ← Cociente ← Residuo Por tanto, escribimos ᎏ 6 2 2 3 7 ᎏ ϭ 27 ϩ ᎏ 2 6 3 ᎏ Ahora, en vez de dividir 627 entre 23, intente dividir 6x2 ϩ 2x ϩ 7 entre 2x ϩ 3. Cuando x ϭ 10 estas cantidades son lo mismo. Debe encontrar un cociente de 2x ϩ 7 y un residuo de 6. La división algebraica larga es un reflejo de la división arit- mética. Si multiplicamos ambos lados de este cálculo por 23, obtenemos el resultado 627 ϭ (27 ⋅ 23) ϩ 6 161 ᎏ 6 46 ᎏ 167 27 ᎏ 23ͤ6ෆ2ෆ7ෆ Residuo ᎏᎏ Divisor Dividendo ᎏᎏ Divisor 36 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA ☛ 24. Por medio del uso de la división larga, simplifique (3x2 ϩ 11x ϩ 4) Ϭ (x ϩ 3) Respuesta Cociente ϭ 3x ϩ 2 residuo ϭ Ϫ2
  49. 49. (1-56) En los ejercicios siguientes, efectúe la operación indica- da y simplifique. 1. (5a ϩ 7b Ϫ 3) ϩ (3b Ϫ 2a ϩ 9) 2. (3x2 Ϫ 5x ϩ 7) ϩ (Ϫ 2 ϩ 6x Ϫ 7x2 ϩ x3) 3. (2͙aෆ ϩ 5͙bෆ) ϩ (3͙aෆ Ϫ 2͙bෆ) 4. (4xy ϩ 5x2y Ϫ 6x3) ϩ (3y3 Ϫ 6xy2 ϩ 7xy ϩ x3 Ϫ 2x2y) 5. (7t2 ϩ 6t Ϫ 1) Ϫ (3t Ϫ 5t2 ϩ 4 Ϫ t3) 6. (x2 ϩ 3xy ϩ 4y2) Ϫ (2x2 Ϫ xy ϩ 3y2 Ϫ 5) 7. (2͙xෆ ϩ ͙2ෆyෆ) Ϫ (͙xෆ Ϫ 2͙2ෆyෆ) 8. (5͙xyෆ Ϫ 3) Ϫ (2 Ϫ 4͙xyෆ) 9. 4(2x ϩ 3y) ϩ 2(5y ϩ 3x) 10. 2(x Ϫ 4y) ϩ 3(2x ϩ 3y) 11. Ϫ(x Ϫ 7y) Ϫ 2(2y Ϫ 5x) 12. 3(x2 Ϫ 2xy ϩ y2) Ϫ (2xy Ϫ x2 ϩ 2y2) 13. x(2x2 ϩ 3xy ϩ y2) Ϫ y(5x2 Ϫ2xy ϩ y2) 14. a2b(a3 ϩ 5ab Ϫ b3) ϩ 2ab(a4 Ϫ 2a2b ϩ b3a) 15. (x Ϫ 3)(y ϩ 2) 16. (x ϩ 4)(y Ϫ 5) 17. (2x ϩ 1)(3y Ϫ 4) 18. (5x Ϫ 2)(2y Ϫ 5) 19. (a ϩ 2)(3a Ϫ 4) 20. (x ϩ 3y)(2x ϩ y) 21. (x ϩ 3)(2x2 Ϫ 5x ϩ 7) 22. (a Ϫ 2b)(a2 Ϫ 2ab ϩ b2) 23. (x ϩ 4)(x Ϫ 4) 24. (y2 Ϫ 2)(y2 ϩ 2) 25. (2t ϩ 5x)(2t Ϫ 5x) 26. (͙aෆ Ϫ ͙bෆ)(͙aෆ ϩ ͙bෆ) 27. (͙xෆ ϩ 3͙yෆ)(͙xෆ Ϫ 3͙yෆ) 28. (5͙xෆ ϩ 2y)(5͙xෆ Ϫ 2y) 29. (x ϩ y Ϫ z)(x ϩ y ϩ z) 30. (x Ϫ 2y ϩ z)(x ϩ 2y ϩ z) 31. (x2 Ϫ 1)(x3 ϩ 2) 32. (y2 ϩ 2y)(y3 Ϫ 2y2 ϩ 1) 33. ΂x2 Ϫ ᎏ 1 x ᎏ΃(x3 ϩ 2x) 34. ΂2xy Ϫ ᎏ x y ᎏ΃΂xy2 ϩ ᎏ 2 x y ᎏ΃ 35. (y ϩ 6)2 36. (x Ϫ 5)2 37. (2x ϩ 3y)2 38. (4x Ϫ 5y)2 39. (͙2ෆx Ϫ ͙3ෆy)2 40. (͙xෆ ϩ 2͙yෆ)2 41. (2x ϩ 3y)2 ϩ (2x Ϫ 3y)2 42. 3[(x ϩ y)2 Ϫ (x Ϫ y)2] 43. xy[(x ϩ y)2 ϩ (x Ϫ y)2] 44. (3a Ϫ b)2 ϩ 3(a ϩ b)2 SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 37 Este es un ejemplo del resultado general Dividendo ϭ (Cociente)(Divisor) ϩ Residuo Este es un resultado útil, porque nos permite verificar la respuesta de cual- quier división larga. Podemos utilizar este resultado para comprobar el ejemplo 12. 2x3 Ϫ 11x2 ϩ 23 ϭ (x2 Ϫ 4x Ϫ 6)(2x Ϫ 3) ϩ 5 Dividendo ϭ (Cociente)(Divisor) ϩ Residuo ☛ 25 ☛ 25. Verifique si es correcta la siguiente división larga: ᎏ 3x2 Ϫ x Ϫ 3x 2 Ϫ 10 ᎏ ϭ 3x ϩ 3 ϩ ᎏ x Ϫ 4 2 ᎏ Respuesta Debe verificar que 3x2 – 3x – 10 ϭ (3x ϩ 3)(x – 2) ϩ 4. Esto no es correcto. (El residuo debe ser –4) EJERCICIOS 1-5
  50. 50. 45. 3{x2 Ϫ 5[x ϩ 2(3 Ϫ 5x)]} 46. 2{a2 Ϫ 2a[3a Ϫ 5(a2 Ϫ 2)]} ϩ 7a2 Ϫ3a ϩ 6 47. 2a{(a ϩ 2)(3a Ϫ 1) Ϫ [a ϩ 2(a Ϫ 1)(a ϩ 3)]} 48. (a ϩ 3b)(a2 Ϫ 3ab ϩ b2) Ϫ (a ϩ b)2(a ϩ 2b) 49. ᎏ 4x3 2 Ϫ x 3x2 ᎏ 50. ᎏ 15x5 5 Ϫ x2 25x3 ᎏ 51. ᎏ x3 ϩ 7x2 x Ϫ 2 5x ϩ 4 ᎏ 52. 53. 54. t3 ϩ 2t2 Ϫ 3t ϩ 1 ᎏᎏ t͙tෆ t2 Ϫ 2t ϩ 7 ᎏᎏ ͙tෆ y4 ϩ 6y3 Ϫ 7y2 ϩ 9y Ϫ 3 ᎏᎏᎏ 3y2 55. ᎏ 6x2y 2 Ϫ xy 8xy2 ᎏ ϩ ᎏ x3y2 x ϩ 2y 2 2 x2y3 ᎏ 56. ᎏ 3x4 3 Ϫ x3 9 y x2y2 ᎏ Ϫ ᎏ 4x3 2 Ϫ x2y 8xy2 ᎏ (57-64) Simplifique por medio de la división larga: 57. (x2 Ϫ 5x ϩ 6) Ϭ (x Ϫ 2) 58. (6x2 ϩ x Ϫ 1) Ϭ (3x Ϫ 1) 59. (t2 ϩ 1) Ϭ (t Ϫ 1) 60. (6x2 Ϫ 5x ϩ 1) Ϭ (2x Ϫ 3) 61. (x3 ϩ 2x2 ϩ x ϩ 5) Ϭ (x ϩ 2) 62. x3 Ϭ (x ϩ 1) 63. (2x3 Ϫ 3x2 ϩ 4x ϩ 6) Ϭ (2x ϩ 1) 64. (6x3 ϩ 11x2 Ϫ 19x ϩ 5) Ϭ (3x Ϫ 2) 38 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA 1-6 FACTORIZACIÓN Si el producto de dos enteros a y b es c, es decir, c ϭ a и b, entonces a y b se lla- man factores de c. En otras palabras, un entero a es un factor de otro entero c si a divide exactamente c. Por ejemplo, 2 y 3 son factores de 6; 2, 3, 4 y 6 son factores de 12; etcétera. Esta terminología también se emplea para expresiones algebraicas. Si dos (o más) expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dice que son factores de la expresión que se obtuvo como producto. Por ejemplo, la expre- sión 2xy se obtuvo multiplicando 2, x y y, de modo que 2, x y y son los factores de 2xy. Más aún, por ejemplo, 2y es un factor de 2xy ya que 2xy puede obtenerse mul- tiplicando 2y por x. De manera similar, x es un factor de la expresión 2x2 ϩ 3x puesto que pode- mos escribir 2x2 ϩ 3x ϭ x(2x ϩ 3) y x2 es un factor de 6x2 ϩ 9x3 ya que podemos escribir 6x2 ϩ 9x3 ϭ x2(6 ϩ 9x). El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se llama factorización de la expresión. En esta sección, examinaremos ciertos méto- dos mediante los cuales podemos factorizar expresiones algebraicas. La primera etapa en la factorización de una expresión algebraica es extraer to- dos los monomios que sean comunes a todos los términos.El ejemplo siguiente ilus- tra esto. EJEMPLO 1 Factorice todos los monomios comunes de las expresiones siguien- tes. a) x2 ϩ 2xy2 b) 2x2y ϩ 6xy2 c) 6ab2c3 ϩ 6a2b2c2 ϩ 18a3bc2
  51. 51. Solución a) Escribamos cada término en la expresión dada en términos de sus factores básicos. x2 ϭ x ؒ x 2xy2 ϭ 2 ؒ x ؒ y ؒ y Observando las dos listas de factores básicos, advertimos que x es el único factor co- mún a ambos términos. De modo que escribimos x2 ϩ 2xy2 ϭ x ؒ x ϩ x ؒ 2y2 ϭ x(x ϩ 2y2) Note cómo la propiedad distributiva se utiliza para extraer el factor común, x. b) Expresando cada término en términos de sus factores básicos, tenemos 2x2y ϭ 2 ؒ x ؒ x ؒ y y 6xy2 ϭ 2 ؒ 3 ؒ x ؒ y ؒ y Los factores 2, x y y, aparecen en ambas listas, por lo que el factor común es 2xy. Esto da 2x2y ϩ 6xy2 ϭ 2xy ؒ x ϩ 2xy ؒ 3y ϭ 2xy(x ϩ 3y) de nuevo, usando la propiedad distributiva. c) Primero factorizamos los términos: 6ab2c3 ϭ 2 ؒ 3 ؒ a ؒ b ؒ b ؒ c ؒ c ؒ c 6a2b2c2 ϭ 2 ؒ 3 ؒ a ؒ a ؒ b ؒ b ؒ c ؒ c 18a3bc2 ϭ 2 ؒ 3 ؒ 3 ؒ a ؒ a ؒ a ؒ b ؒ c ؒ c El factor común de estos tres términos es 2 ؒ 3 ؒ a ؒ b ؒ c ؒ c ϭ 6abc2 6ab2c3 ϩ 6a2b2c2 ϩ 18a3bc2 ϭ 6abc2 ؒ bc ϩ 6abc2 ؒ ab ϩ 6abc2 ؒ 3a2 ϭ 6abc2(bc ϩ ab ϩ 3a2) ☛ 26 Ahora abordaremos el problema de extraer factores que son expresiones bino- miales de expresiones algebraicas de diversos tipos. Algunas de las fórmulas esta- blecidas en la sección 1-5 son útiles en la factorización, en particular la fórmula si- guiente. a2 Ϫ b2 ϭ (a Ϫ b) (a ϩ b) (1) Esta fórmula puede usarse para factorizar cualquier expresión que sea reducible a la diferencia de dos cuadrados. EJEMPLO 2 Factorice completamente: a) x2y4 Ϫ 9; b) 5x4 Ϫ 80y4 Solución a) La expresión dada puede escribirse como (xy2)2 Ϫ 32 SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN 39 ☛ 26. Saque todos lo factores comunes de a) 12ab – 8a2b b) 4xyz – 6x2z ϩ 12xy2 c) x(3x – 1)2 –y(3x – 1)2 Respuesta a) 4ab(3 – 2a) b) 2x(2yz Ϫ 3xz ϩ 6y2) c) (3x – 1)2(x – y)
  52. 52. que es una diferencia de dos cuadrados.Usando la fórmula (1) con a ϭ xy2 y b ϭ 3, tenemos x2y4 Ϫ 9 ϭ (xy2)2 Ϫ 32 ϭ (xy2 Ϫ 3) (xy2 ϩ 3) Ninguna de las expresiones entre paréntesis en el lado derecho puede factorizarse aún más. b) Antes que todo, verifiquemos si podemos factorizar algún monomio de 5x4 Ϫ 80y4.En este caso, dado que el término es divisible entre 5, sacamos el factor común 5. 5x4 Ϫ 80y4 ϭ 5(x4 Ϫ 16y4) La expresión x4 Ϫ 16y4 es una diferencia de cuadrados. 5x4 Ϫ 80y4 ϭ 5[(x2)2 Ϫ (4y2)2] ϭ 5[(x2 Ϫ 4y2)(x2 ϩ 4y2)] ϭ 5[(x2 Ϫ 4y2)(x2 ϩ 4y2) La factorización no está completa, porque x2 Ϫ 4y2 ϭ x2 Ϫ (2y)2 puede factorizarse aun como (x Ϫ 2y)(x ϩ 2y). En consecuencia, nos falta un paso. 5x4 Ϫ 80y4 ϭ 5(x2 Ϫ 4y2)(x2 ϩ 4y2) ϭ 5(x Ϫ 2y)(x ϩ 2y) (x2 ϩ 4y2) ☛ 27 Observaciones 1. La fórmula (1) nos permite factorizar cualquier expresión que tenga la forma de una diferencia de cuadrados. No existe una fórmula corres- pondiente para expresar la suma a2 ϩ b2 como el producto de dos o más factores. Una expresión que contiene la suma de dos cuadrados, tal como a2 ϩ b2 o 4x2 ϩ 9y2, no puede factorizarse. Sin embargo, expresiones tales como a3 ϩ b3, a4 ϩ b4, etc., que contienen la suma de dos potencias más altas pueden factorizarse. Esto se examina después. 2. Podemos escribir x2 Ϫ 2 ϭ x2 Ϫ (͙2ෆ)2 ϭ (x Ϫ ͙2ෆ)(x ϩ ͙2ෆ) Por lo regular es aceptable incluir números irracionales (como ͙2ෆ) en los factores. Sin embargo, preferimos no usar expresiones que incluyan a ͙xෆ como factores.Por ejemplo, como regla no escribiremos x Ϫ 4 ϭ (͙xෆ)2 Ϫ 22 ϭ (͙xෆ Ϫ 2) (͙xෆ ϩ 2) Una técnica útil al factorizar expresiones algebraicas que contienen un núme- ro par de términos es el método de agrupamiento. En este método, los términos se agrupan en parejas y los monomios comunes se extraen de cada par de términos.Es- to a menudo revela un factor binomial común a todas las parejas.Este método es en particular útil para expresiones que contienen cuatro términos. 40 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA ☛ 27. Utilice la fórmula para la diferencia de cuadrados, para factorizar 2x2 – 4 Respuesta (͙2ෆx Ϫ 2)(͙2ෆx ϩ 2) o bien 2(x Ϫ ͙2ෆ)(x ϩ ͙2ෆ)
  53. 53. EJEMPLO 3 Factorice ax2 ϩ by2 ϩ bx2 ϩ ay2 Solución Podemos agrupar los términos de la expresión dada en aquellos que tie- nen a x2 como factor y en aquellos que tienen a y2 como factor: (ax2 ϩ bx2) ϩ (ay2 ϩ by2) Cada término dentro de los primeros paréntesis es divisible entre x2, y cada término en los segundos paréntesis es divisible entre y2; por tanto, podemos escribir esta ex- presión como x2(a ϩ b) ϩ y2(a ϩ b) Note que (a ϩ b) es común a ambos términos. Así, x2(a ϩ b) ϩ y2(a ϩ b) ϭ (a ϩ b)(x2 ϩ y2) De aquí que la expresión dada tenga los factores (a ϩ b) y (x2 ϩ y2) EJEMPLO 4 Factorice la expresión 2x3y Ϫ 4x2y2 ϩ 8xy Ϫ 16y2 Solución Observemos en primer lugar que los términos de esta expresión tienen un monomio como factor común 2y, y podemos escribir 2x3y Ϫ 4x2y2 ϩ 8xy Ϫ 16y2 ϭ 2y(x3 Ϫ 2x2y ϩ 4x Ϫ 8y) Dentro de los paréntesis, agrupamos juntos los primeros dos términos y extraemos el factor común x2; también agrupamos los dos últimos términos y sacamos el fac- tor común 4. x3 Ϫ 2x2y ϩ 4x Ϫ 8y ϭ x2(x Ϫ 2y) ϩ 4(x Ϫ 2y) x2 es común 4 es común ϭ (x Ϫ 2y) (x2 ϩ 4) Observe que este mismo resultado pudo obtenerse agrupando el primer y el tercer término y el segundo con el cuarto. x3 ϩ 4x Ϫ 2x2y Ϫ 8y ϭ x(x2 ϩ 4) Ϫ 2y(x2 ϩ 4) x es común Ϫ2y es común ϭ (x2 ϩ 4) (x Ϫ 2y) Regresando a la expresión original, tenemos 2x3y Ϫ 4x2y2 ϩ 8xy Ϫ16y2 ϭ 2y(x Ϫ 2y)(x2 ϩ 4) No es posible factorizar aún más las expresiones de la derecha, de modo que aquí termina la factorización. ☛ 28 Un tipo importante de factorización que aparece con frecuencia requiere ha- llar los factores de expresiones del tipo x2 ϩ px ϩ q SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN 41 ☛ 28. Por agrupación, factorice la expresión x3 ϩ 2x2 – 9x – 18 Respuesta (x ϩ 2)(x2 – 9) ϭ (x ϩ 2)(x – 3)(x ϩ 3)