Funciones

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Funciones

  1. 1. Una función es una relación entre dos variables, x e y. A cada valor de la x (variable independiente) le corresponde un único valor de la y (variable dependiente). La función se representa gráficamente sobre ejes cartesianos. Las funciones describen fenómenos mediante relaciones entre las variables que intervienen. Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona el fenómeno que en ella se describe. 1. LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS. La representación de las funciones se hace en un diagrama cartesiano: - En el eje horizontal, la x En el eje vertical, la y. Además, en cada eje hay una escala. El dominio de definición es el intervalo en el que se mueve la x. Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y. - - X es la variable independiente. Y es la variable dependiente. La función asocia a cada valor de x un único valor de y. se dice que y es función de x. Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:  La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).  La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas) Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa x y su ordenada y. El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición de la función. Los ejes deben estar graduados en sendas escalas, de modo que se puedan cuantificar los valores de las dos variables. 2. VARIACIONES DE UNA FUNCIÓN. Las funciones pueden presentar tramos en los que es creciente y tramos en los que es decreciente. Para estudiar las variaciones de una función hemos de mirar su gráfica de izquierda a derecha, es decir, hemos de ver cómo varía la y cuando x aumenta. - Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta la variable dependiente, y. Un función es decreciente cuando al aumentar x disminuye y. También podemos decir que una función tiene un tramo creciente o decreciente. - Una función tiene su máximo en un punto cuando su ordenada es mayor que la ordenada de los puntos que lo rodean. Una función presenta un mínimo en un punto cuando su ordenada es menor que en la de los puntos que lo rodea.
  2. 2. 3. TENDENCIAS DE UNA FUNCIÓN. Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Funciones periódicas son aquellas cuyo comportamiento se va repitiendo cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese intervalo se llama periodo. Una función periódica queda perfectamente determinada conociendo su comportamiento en un periodo. 4. DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD. Si la variable independiente pasa dando saltos de cada valor al siguiente, no es continua, y la variable se llama discreta. La gráfica de la función consta de una serie de puntos. En otras ocasiones, aunque la variable independiente sea continua, la función presenta saltos bruscos. Esos saltos se llaman discontinuidades, y la función que los tiene se dice que es discontinua. Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidad de ningún tipo. Por tanto, su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. También se puede decir de una función que es continua en un tramo, aunque tenga discontinuidades en otros lugares. 5. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN. La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona algebraicamente las dos variables que intervienen. La expresión analítica tiene dos grandes ventajas sobre la representación gráfica:   Resulta muy cómodo y breve dar la función de este modo. Con ella se pueden obtener, con toda precisión, los valores de la función a partir de la variable independiente. Y tiene un inconveniente: la fórmula, en principio, nos dice poco sobre el comportamiento de la función. Hay que efectuar cálculos y elaborarla para llegar a ver claro cómo se comporta globalmente. 6. FUNICÓN DE PROPORCIONALIDAD y= mx La función de proporcionalidad tiene por ecuación: y=mx. Se representa mediante una recta que pasa por (0,0). La constante de proporcionalidad, m (que puede ser positiva o negativa), se llama pendiente de la recta y tiene que ver con su inclinación. Para representar una función de proporcionalidad, y=mx, tendremos en cuenta las siguientes cosas que sabemos de su gráfica: - Es una recta, pues a variaciones iguales de la x corresponden variciones iguales de y.
  3. 3. - Pasa por el punto (0,0), pues si x= 0, entonces y=m·x = 0 Por tanto, para representarla solo falta obtener otro punto. Se consigue dándole un valor a x y obteniendo el correspondiente valor de y. Por ejemplo, para representar y= 3/4x, obtenemos el punto correspondiente a x=4: y = ¾ · 4 =3. Es una recta que pasa por (0,0) y (4,3) La pendiente (coeficiente de la x) es la variación (positiva o negativa) que experimenta la y cuando la x aumenta una unidad. Para hallarla se divide la variación de la y por la variación de la x entre dos de sus puntos. 7. LA FUNCIÓN y = mx + n La ecuación y=mx + n se representa mediante una recta con las siguientes características: - Su pendiente es m (la pendiente es el coeficiente de la x cuando está despejada la y). Su ordenada en el origen es n. es decir, corta al eje Y en el punto (0,n). 8. RECTA DE LA QUE SE CONOCE UN PUNTO Y LA PENDIENTE. Supongamos que de una recta conocemos un punto (x0, y0) y su pendiente, me. Entonces su ecuación pude ponerse así: y = y0 + m (x-x0) ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE 9. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Para hallar la pendiente de la recta que pasa por dos puntos conocidos, se puede proceder gráficamente, midiendo (o contando cuadraditos) la variación de la x y la variación de la y. Pero también se obtiene (más rápida y eficazmente) mediante este cálculo: P1 (x1, y1)P2 (x2, y2) = 10. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA TIPO DE FUNCIÓN Y = mx EJEMPLO Y=½x TRANSFORMACIÓN ax + by = c x-2y = 0 a=1, b= -2, c=0 y= mx + n Y=½x-3 X -2y=6 Y = k (paralela al eje X) Y=3 0x + y = 3 a=1, b= -2, c=6 a=0, b= 1,c=3 Y = y0 + m (x-x0) Y=2+3/4 (x-5) 3x -4y =7 a=3, b= -4,c=7

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