Hola, Este archivo contiene la solución a algunos de los ejercicios del Tema 3 y Tema 4 (la otra solución está en formato papel) de la asignatura de Valoración de Activos que se imparte en la Universidade de Vigo, Campus de Ourense. Live & Enjoy, John Leyton.

1. VALORACIÓN DE ACTIVOS
EJERCICIOS DE RENTABILIDAD Y RIESGO
1) Un inversor va a formar una cartera de valores adquiriendo acciones del tipo A y del tipo B.
Las acciones del tipo A tienen una rentabilidad media esperada del 12%, y una desviación típica del
5%; las acciones del tipo B tienen una rentabilidad media esperada del 10% y una desviación típica
del 3% . El coeficiente de correlación entre los dos valores A y B es de -0,3.
1. Utilizando el modelo de Markowitz, calcular la rentabilidad y riesgo esperado de la
cartera anterior para el caso de que se invierta en el valor A 100%, 70%, 50%, 30%, 0% del
presupuesto total de inversión.
2. Calcular aquella proporción de los activos financieros A y B para la cual el riesgo de la
cartera es mínimo. Determinar la rentabilidad asociada al punto de riesgo mínimo.
3. Dibujar la curva rentabilidad-riesgo de la cartera en un diagrama "esperanza de
rentabilidad-desviación típica", señalando la frontera eficiente. Dibujar el gráfico de la
evolución de la rentabilidad y desviación típica (ambas en ordenadas)-porcentaje del valor
A y del valor B (ambos en abscisas)" señalando también la zona eficiente.
4. La evolución del riesgo de la cartera, en función del porcentaje del valor A o el valor B
suele ser una curva, excepto en los casos en que el coeficiente de correlación de los dos
valores A y B tome los valores extremos +1 o -1 ¿Cómo evoluciona el riesgo, medido por la
desviación típica, en dichos casos? Determinación analítica y representación gráfica.
5. Plantear el programa cuadrático que determine la cartera eficiente óptima sabiendo que
el inversor pretende un riesgo máximo deσ p = 3%
6. ¿Por qué la forma usual de las curvas de utilidad del inversor o curvas de indiferencia
ganancia-riesgo suele ser cóncava con relación al eje de ordenadas en un gráfico
"esperanza de rentabilidad (ordenadas)-desviación típica (abscisas)"?
7. ¿Cuál es la probabilidad de que el rendimiento de la cartera de valores A y B esté entre el
0% y el 8%, cuando la inversión se reparta por igual entre los dos activos citados? Se
considerará que los rendimientos se distribuyen según la Ley Normal.
1

2. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
EJERCICIO 1.
XA= “Proporción de acciones de tipo A”; XB= “Proporción de acciones de tipo B”.
E [RA]= 12%; E [RB]= 10%; σA= 5%; σB= 3%; ρ= -0,3.
1. Método de Markowitz.
Las fórmulas que utilizaremos a lo largo de este apartado serán las siguientes:
a) Maximizar:
𝒏
b) minimizar:
𝒏 𝒏
𝑬[𝑹 𝑷 ] = ∑ 𝑿 𝒊 . 𝑬 𝒊 𝛔 𝟐 = ∑ ∑ 𝑿 𝒊 . 𝑿 𝒋 . 𝛔 𝒊𝒋
𝒑
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
Sujeto a (s.a):
Sujeto a (s.a):
𝑛 𝑛
I. σ2𝑝 = ∑ 𝑖=1 ∑ 𝑗=1 𝑋 𝑖 . 𝑋 𝑗 . σ 𝑖𝑗 = 𝑉* 𝑛
𝑛
I. 𝐸[𝑅 𝑃 ] = ∑ 𝑖=1 𝑋 𝑖 . 𝐸 𝑖 = 𝐸 *
II. ∑ 𝑖=1 𝑋 𝑖 = 1
II. 𝑛
∑ 𝑖=1 𝑋 𝑖 = 1
III. ∀𝑋 𝑖 ≥0 III. ∀𝑋 𝑖 ≥ 0
Dónde V* y E* son los parámetros a estimar, lo que implica que los resultados de los valores de ambas variables determinarán cuál
es la mejor cartera para cada valor de ambas variables. Se pueden modificar (paramétricas).
Además recuerda:
𝛔 𝒊𝒋
𝛒= → σ 𝑖𝑗 = ρ × σ 𝑖 × σ 𝑗
𝛔𝒊 × 𝛔𝒋
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3. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
Aunque se vaya a utilizar porcentajes, se recomienda, para realizar los cálculos, utilizar mejor decimales en todos los cálculos.
Primer caso: XA= 100%; XB=0%
 𝑛
𝐸[𝑅 𝑃 ] = ∑ 𝑖=1 𝑋 𝑖 . 𝐸 𝑖 → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 𝑋 𝐴 . 𝐸[𝑅 𝐴 ] + 𝑋 𝐵 . 𝐸[𝑅 𝐵 ] → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 100% × 12% + 0% × 10% → 𝑬[𝑹 𝑷 ] = 𝟏𝟐%
 𝑛 𝑛
σ2𝑝 = ∑ 𝑖=1 ∑ 𝑗=1 𝑋 𝑖 . 𝑋 𝑗 . σ 𝑖𝑗 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 100%2 × 5%2 + 0%2 × 3%2 + 2 × 100% × 0% ×
𝐴 𝐴 𝐵
𝟐
(−0,3) × 5% × 3% → 𝛔 𝒑 = 𝟓% → 𝛔 𝑷 = 𝟓% 𝟐
Segundo caso: XA= 70%; XB=30%
 𝑛
𝐸[𝑅 𝑃 ] = ∑ 𝑖=1 𝑋 𝑖 . 𝐸 𝑖 → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 𝑋 𝐴 . 𝐸[𝑅 𝐴 ] + 𝑋 𝐵 . 𝐸[𝑅 𝐵 ] → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 70% × 12% + 30% × 10% → 𝑬[𝑹 𝑷 ] = 𝟏𝟏, 𝟒%
 𝑛 𝑛
σ2𝑝 = ∑ 𝑖=1 ∑ 𝑗=1 𝑋 𝑖 . 𝑋 𝑗 . σ 𝑖𝑗 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 70%2 × 5%2 + 30%2 × 3%2 + 2 × 70% × 30% ×
𝐴 𝐴 𝐵
(−0,3) × 5% × 3% → 𝛔 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟕 → 𝛔 𝑷 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟐%
𝒑
Tercer caso: XA= 50%; XB=50%
 𝑛
𝐸[𝑅 𝑃 ] = ∑ 𝑖=1 𝑋 𝑖 . 𝐸 𝑖 → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 𝑋 𝐴 . 𝐸[𝑅 𝐴 ] + 𝑋 𝐵 . 𝐸[𝑅 𝐵 ] → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 50% × 12% + 50% × 10% → 𝑬[𝑹 𝑷 ] = 𝟏𝟏%
 𝑛 𝑛
σ2𝑝 = ∑ 𝑖=1 ∑ 𝑗=1 𝑋 𝑖 . 𝑋 𝑗 . σ 𝑖𝑗 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 50%2 × 5%2 + 50%2 × 3%2 + 2 × 50% × 50% ×
𝐴 𝐴 𝐵
(−0,3) × 5% × 3% → 𝛔 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 → 𝛔 𝑷 = 𝟐, 𝟓%
𝒑
Cuarto caso: XA= 30%; XB=70%
 𝑛
𝐸[𝑅 𝑃 ] = ∑ 𝑖=1 𝑋 𝑖 . 𝐸 𝑖 → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 𝑋 𝐴 . 𝐸[𝑅 𝐴 ] + 𝑋 𝐵 . 𝐸[𝑅 𝐵 ] → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 30% × 12% + 70% × 10% → 𝑬[𝑹 𝑷 ] = 𝟏𝟎, 𝟔%
 σ2𝑝 = 30%2 × 5%2 + 70%2 × 3%2 + 2 × 30% × 70% × (−0,3) × 5% × 3% → 𝛔 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟕𝟕 → 𝛔 𝑷 = 𝟐, 𝟐%
𝒑
Quinto caso: XA= 0%; XB=100%
 𝑛
𝐸[𝑅 𝑃 ] = ∑ 𝑖=1 𝑋 𝑖 . 𝐸 𝑖 → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 𝑋 𝐴 . 𝐸[𝑅 𝐴 ] + 𝑋 𝐵 . 𝐸[𝑅 𝐵 ] → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 0% × 12% + 100% × 10% → 𝑬[𝑹 𝑷 ] = 𝟏𝟎%
 σ2𝑝 = 0%2 × 5%2 + 100%2 × 3%2 + 2 × 0% × 100% × (−0,3) × 5% × 3% → 𝛔 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟕𝟕 → 𝛔 𝑷 = 𝟑%𝒑
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4. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
Conclusiones:
 El tercer caso es más preferible que el segundo, debido a que se reduce considerablemente el riesgo.
 Si el coeficiente de correlación fuera 1 (ρ=1) el valor en cada caso siempre estaría entre media, es decir, no conseguiríamos
reducir el riesgo de la cartera.
 Cuánto más negativo es el coeficiente de correlación (ρ), más podremos reducir el riesgo de la cartera (σP).
2. Proporción de los activos para que el riesgo de la cartera sea mínimo y su rentabilidad.
Para hallar el mínimo de la cartera hemos de derivar la función de riesgo. Para simplificar los cálculos es conveniente que la fórmula
se exprese en función de una sola variable. Veámoslo.
Sabemos que XA+XB= 1 (es decir, el 100%), entonces XB= (1-XA); por lo tanto:
𝒏 𝒏
𝛔 𝟐 = ∑ ∑ 𝑿 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑨𝑩 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + (1 − 𝑋 𝐴 )2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . (1 − 𝑋 𝐴 ). ρ 𝐴𝐵 . σ 𝐴 . σ 𝐵
𝒑 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
→ σ2𝑝 = 𝑋 2 . 0,0025 + (𝟏 − 𝑿 𝑨 ) 𝟐 . 0,0009 + 2. 𝑋 𝐴 . (1 − 𝑋 𝐴 ). (−0,3). 0,05.0,03 → σ2𝑝
𝐴
= 0,0025𝑋 2 + (𝟏 𝟐 + 𝑿 𝟐𝑨 − 𝟐. 𝟏. 𝑿 𝑨 ). 0,0009 − 0,0009𝑋 𝐴 . (1 − 𝑋 𝐴 ) → σ2𝑝
𝐴
= 0,0025𝑋 𝐴 + 0,0009 + 0,0009𝑋 2 − 0,0018𝑋 𝐴 − 0,0009𝑋 𝐴 + 0,0009𝑋 2
2
𝐴 𝐴
𝟐 𝟐
→ 𝛔 𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟑𝑿 𝑨 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟕𝑿 𝑨 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗
Una vez obtenida la fórmula anterior procederemos a derivar sobre XA:
𝜕σ2𝑝
= 2 × (0,0043𝑋 𝐴 ) − 0,0027
𝜕𝑋 𝐴
Ahora igualamos a cero para obtener el valor XA y por consiguiente el valor XB:
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5. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
𝜕σ2𝑝
= 0 → 2 × (0,0043𝑋 𝐴 ) − 0,0027 = 0 → 𝑿 𝑨 = 𝟑𝟏, 𝟑𝟗𝟓𝟑%
𝜕𝑋 𝐴
Por consiguiente, XB=(1-XA); XB=(1-0,313953); XB= 68,6047%
Una vez obtenidas las respectivas proporciones podemos calcular la rentabilidad y el riesgo mínimo esperado de la cartera.
𝑛
𝐸[𝑅 𝑃 ] = ∑ 𝑋 𝑖 . 𝐸 𝑖 → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 𝑋 𝐴 . 𝐸[𝑅 𝐴 ] + 𝑋 𝐵 . 𝐸[𝑅 𝐵 ] → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 31,3953% × 12% + 68,6047% × 10% → 𝑬[𝑹 𝑷 ] = 𝟏𝟎, 𝟔𝟐𝟕𝟗%
𝑖=1
σ2𝑝 = 0,0043𝑋 2 − 0,0027𝑋 𝐴 + 0,0009 → σ2𝑝 = 0,0043 × 0,3139532 − 0,0027 × 0,313953 + 0,0009 → σ2𝑝 = 0,000476 → 𝛔 𝒑 = 𝟐, 𝟏𝟖𝟐𝟏%
𝐴
Solución:
Se puede conseguir un riesgo de la cartera mínimo de 2,1821%, siempre y cuando la proporción de los activos financieros de A
represente el 31,3953% de la cartera y por consiguiente B el 68,6047%. La rentabilidad de la cartera que se conseguiría
cumpliendo estos parámetros sería del 10,6279%.
3. Gráfico:
E[Rp] σp
E[Rp] 12% 5%
13% 11.4% 3.342%
12% 11% 2.5%
11% 10.6% 2.2%
10% E[Rp]
10% 3%
9%
10.6279% 2.1821%
0% 2% 4% 6%
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6. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
Podemos concluir que todas aquellas carteras que tengan una proporción de XA menor al 30% serían ineficientes.
4. Evolución del riesgo con coeficientes de correlación ±1.
a. Correlación perfectamente positiva (ρAB= 1).
𝒏 𝒏
𝛔 𝟐 = ∑ ∑ 𝑿 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑨𝑩 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . 𝛒 𝑨𝑩 . σ 𝐴 . σ 𝐵
𝒑 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
→ σ2𝑝 = 𝑿 𝟐𝑨 . 𝛔 𝟐𝑨 + 𝑿 𝟐𝑩 . 𝛔 𝟐𝑩 + 𝟐. 𝑿 𝑨 . 𝛔 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑩 → σ2𝑝 = (𝑿 𝑨 . 𝛔 𝑨 + 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑩 )2
Vemos como es un binomio de suma al cuadrado (A+B)2=A2+B2+2AB.
b. Correlación perfectamente negativa (ρAB= -1).
𝒏 𝒏
𝛔𝟐
𝒑 = ∑ ∑ 𝑿 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑨𝑩 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . (−𝛒 𝑨𝑩 ). σ 𝐴 . σ 𝐵
𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
→ σ2𝑝 = 𝑿 𝟐𝑨 . 𝛔 𝟐𝑨 + 𝑿 𝟐𝑩 . 𝛔 𝟐𝑩 − 𝟐. 𝑿 𝑨 . 𝛔 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑩 → σ2𝑝 = (𝑿 𝑨 . 𝛔 𝑨 − 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑩 )2
Vemos como es un binomio de suma al cuadrado (A+B)2=A2+B2 - 2AB.
Los demás apartados no se han realizado en clases, pero puedes ver la solución en las páginas 41-44 del documento del siguiente
link:
http://laf.universaliun.org/Estudies/ficheres/apuntes/ADE/3/AnalisisInversionesFinancieras/Apuntes%20Analisis%20Inversione
s%20Financieras.pdf
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7. VALORACIÓN DE ACTIVOS
2) Los índices largos totales de la Bolsa General de Madrid, sector bancario y sector eléctrico, con
base 100 en Diciembre de 2009, tomaron al final de cada uno de los distintos meses de 2010 los
siguientes valores:
M. 2010 INDICE G. I. BANCOS I. ELECTRICAS
1 104,35 109,65 94,66
2 110,41 124,10 90,74
3 106,33 118,93 86,86
4 109,08 120,49 92,98
5 104,46 115,26 88,93
6 99,66 106,23 87,75
7 98,71 104,68 91,06
8 99,75 108,56 90,00
9 95,32 103,50 87,90
10 97,99 103,65 95,47
11 109,48 119,84 102,61
12 107,21 117,20 97,32
CALCULAR:
A) La tasa de retorno de cada uno de los índices en cada uno de los meses mencionados.
B) La rentabilidad media mensual de cada uno de dichos índices.
C) El coeficiente alfa y el coeficiente de volatilidad de cada uno de los dos sectores.
D) El riesgo total, sistemático y específico de cada uno de los dos sectores, medidos por la
varianza y por la desviación típica de su rentabilidad.
E) El coeficiente de determinación de cada uno de los dos ajustes.
2

8. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
EJERCICIO 2.
Calcular:
A) La tasa de retorno.
La fórmula que ha de utilizarse es la siguiente:
𝑰 𝒕 − 𝑰 𝒕−𝟏
𝑹𝒊 𝒕 =
𝑰 𝒕−𝟏
Realizaremos el cálculo de enero para lo siguiente utilizaremos la Excel.
104,35 − 100
𝑅 𝑀1 = → 𝑹 𝑴𝟏 = 𝟒, 𝟑𝟓%
100
M. 2010 Indice G. I. Bancos I. Eléctricas RM RB RE
1 104.35% 109.65% 94.66% 4.35% 9.65% -5.34%
2 110.41% 124.10% 90.74% 5.81% 13.18% -4.14% Rent. Media
3 106.33% 118.93% 86.86% -3.70% -4.17% -4.28% Mensual
4 109.08% 120.49% 92.98% 2.59% 1.31% 7.05% I. General 0.69%
5 104.46% 115.26% 88.93% -4.24% -4.34% -4.36% I. Bancos 1.58%
6 99.66% 106.23% 87.75% -4.60% -7.83% -1.33% I. Elec. -0.10%
7 98.71% 104.68% 91.06% -0.95% -1.46% 3.77%
8 99.75% 108.56% 90.00% 1.05% 3.71% -1.16%
9 95.32% 103.50% 87.90% -4.44% -4.66% -2.33%
10 97.99% 103.65% 95.47% 2.80% 0.14% 8.61%
11 109.48% 119.84% 102.61% 11.73% 15.62% 7.48%
12 107.21% 117.20% 97.32% -2.07% -2.20% -5.16%
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9. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
Donde RM es la rentabilidad del índice general, RB la rentabilidad del índice de bancos y RE la rentabilidad del índice de las
eléctricas.
La interpretación del 4,35% es que es la rentabilidad del mes de enero. Así, para las posteriores.
B) Rentabilidad media mensual.
Ya la hemos calculado con la Excel. La fórmula que habría que utilizar es la siguiente:
𝑛
∑ 𝑖=1 𝑹 𝒊
̅𝑖 =
𝑅
𝑛
Cuestión importante: ¿Cuál es la rentabilidad anual?
La rentabilidad anual NO es el sumatorio de todas las rentabilidades (esto se podría considerar como la rentabilidad acumulada
anual) sino que es, para el caso del índice general:
𝟏𝟎𝟕, 𝟐𝟏% − 100%
𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = → 𝑹𝒆𝒏𝒕. 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟕, 𝟐𝟏%
100%
Se procedería a realizar lo mismo con los demás índices.
Los demás apartados no se han calculado en clases.
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10. VALORACIÓN DE ACTIVOS
3) Las Tasas de Rentabilidad de los títulos i y j pueden tomar los siguientes valores (en tanto por
ciento) con las probabilidades que se indican:
R.i R.j P.b
11 10 0,25
9 8 0,25
7 7 0,25
-3 3 0,25
CALCULAR:
A) ¿Cuál es la rentabilidad esperada y el riesgo de cada título?
B) ¿Cuál es la esperanza de rentabilidad y el riesgo total de una cartera repartiendo, por
igual, el total del presupuesto propio del inversor entre los dos títulos del problema
anterior?
C) ¿Cuál sería la rentabilidad esperada de la cartera de un inversor que piensa tomar
prestada una cantidad de títulos de tipo i, cuyo valor de mercado representa el 50% del
capital propio para instantáneamente vender dichos títulos en ese importe e invertirlo
junto al capital propio en títulos j ?
D) ¿Cuál sería el riesgo total de la cartera anterior?
E) ¿Cuál es la cartera de riesgo mínimo?
3

11. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
EJERCICIO 3.
¿Cómo sabemos a partir del enunciado si los títulos tienen un comportamiento igual? Realizando una gráfica.
15%
Ri Rj
10%
11% 10%
Ri
5% 9% 8%
Rj 7% 7%
0% -3% 3%
1 2 3 4 En principio, no van a tener una
-5%
comporatmiento semejante.
A. Rentabilidad esperada y riesgo de cada título.
Xi= “Proporción de acciones de tipo i”; Xj= “Proporción de acciones de tipo j”.
En primer lugar la rentabilidad esperada de ambos títulos:
𝒏
𝑬[𝑹 𝒊 ] = ∑ 𝑿 𝒊 . 𝑷 𝒊 → 𝐸[𝑅 𝑖 ] = 11% × 25% + 9% × 25% + 7% × 25% + (−3%) × 25% → 𝑬[𝑹 𝒊 ] = 𝟔%
𝒊=𝟏
𝒏
𝑬[𝑹 𝒋 ] = ∑ 𝑿 𝒋 . 𝑷 𝒋 → 𝐸[𝑅 𝑖 ] = 10% × 25% + 8% × 25% + 7% × 25% + 3% × 25% → 𝑬[𝑹 𝒋 ] = 𝟕%
𝒊=𝟏
En segundo lugar el riesgo esperado de ambos títulos:
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2012-2013.

12. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
𝒏
𝛔 𝟐 [𝑹 𝒊 ] = ∑(𝑹 𝒊 − 𝑬[𝑹 𝒊 ]) 𝟐 . 𝑷 𝒊 → σ2 [𝑅 𝑖 ]
𝒊=𝟏
= [(11% − 6%)2 . 25%] + [(9% − 6%)2 . 25%] + [(7% − 6%)2 . 25%] + [(−3% − 6%)2 . 25%] → 𝛔 𝟐 [𝑹 𝒊 ]
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟗 → 𝛔[𝑹 𝒊 ] = 𝟓, 𝟑𝟖𝟓%
𝒏
𝟐
𝛔 [𝑹 𝒋 ] = ∑(𝑹 𝒋 − 𝑬[𝑹 𝒋 ]) . 𝑷 𝒋 → σ2 [𝑅 𝑗 ]
𝟐
𝒊=𝟏
= [(10% − 7%)2 . 25%] + [(8% − 7%)2 . 25%] + [(7% − 7%)2 . 25%] + [(3% − 7%)2 . 25%]+→ 𝛔 𝟐 [𝑹 𝒋 ]
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟓 → 𝛔[𝑹 𝒊 ] = 𝟐, 𝟓𝟒𝟗%
Por lo tanto, el título j es más preferible que el título i, ya que es el que proporciona más rentabilidad con un
menor riesgo.
B. Rentabilidad y el riesgo esperado de una cartera en la que:
Xi=50%; Xj= 50%
En primer lugar la rentabilidad esperada sería:
𝒏
𝑬[𝑹 𝑷 ] = ∑ 𝑿 𝒊 . 𝑬 𝒊 → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 𝑋 𝑖 . 𝐸[𝑅 𝑖 ] + 𝑋 𝑗 . 𝐸[𝑅 𝑖 ] → 𝐸[𝑅 𝑃 ] = 50% × 6% + 50% × 7% → 𝑬[𝑹 𝑷 ] = 𝟔, 𝟓%
𝒊=𝟏
En segundo lugar el riesgo esperado sería:
𝒏 𝒏
𝛔 𝟐 = ∑ ∑ 𝑿 𝒊 . 𝑿 𝒋 . 𝛔 𝒊𝒋 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 𝑗2 . σ2 + 2. 𝑋 𝑖 . 𝑋 𝑗 . σ 𝑖𝑗 → σ2𝑝 = 50%2 × 0,0029 + 50%2 × 0,00065 + 2 × 50% × 50% × 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟓
𝒑 𝑖 𝑖 𝑗
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
→ 𝛔 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓𝟔𝟐 → 𝛔 𝑷 = 𝟑, 𝟗𝟓%
𝒑
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13. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
En dónde, 𝛔 𝒊𝒋 lo hemos calculado de la siguiente manera:
𝒏 𝒏
𝛔 𝒊𝒋 = ∑ ∑(𝑹 𝒊 − 𝑬[𝑹 𝒊 ]). (𝑹 𝒋 − 𝑬[𝑹 𝒋 ]) . 𝑷 𝒊𝒋 → σ 𝑖𝑗
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
= (11% − 6%). (10% − 7%). 25% + (9% − 6%). (8% − 7%). 25% + (7% − 6%). (7% − 7%). 25%
+ (−3% − 6%). (3% − 7%). 25% → 𝛔 𝒊𝒋 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟓
Entonces, ¿hemos reducido el riesgo?
Para saber si hemos reducido el riesgo hemos de calcular el coeficiente de correlación (ρ). La fórmula es la siguiente:
σ 𝑖𝑗 0,00135
ρ= →ρ= → 𝛒 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟑𝟓𝟎𝟗
σ 𝑖 × σ𝑗 0,05385 × 0,02549
Por lo tanto, podemos concluir que en este caso no se consigue reducir significativamente el riesgo de la cartera
debido a que su coeficiente de correlación es muy próximo a 1.
Los demás apartados no se han realizado en clases, pero puedes ver la solución en las páginas 36-41 del documento del siguiente
link:
http://laf.universaliun.org/Estudies/ficheres/apuntes/ADE/3/AnalisisInversionesFinancieras/Apuntes%20Analisis%20Inversione
s%20Financieras.pdf
Universidade de Vigo. Facultad de Ciencias Empresariales y Turismo de Ourense.
2012-2013.

14. VALORACIÓN DE ACTIVOS
4) La desviación típica de la rentabilidad del título A es del 20% siendo la del título B del 40% .
1. Se desea conocer el riesgo total medido por la varianza de su rentabilidad, de la cartera
formada invirtiendo un 60% del presupuesto en el primer título y el resto en el segundo,
bajo cada uno de los siguientes supuestos:
a) Cuando las rentabilidades de los títulos están correlacionadas entre sí perfecta y
positivamente.
b) Cuando dicha correlación es igual a cero.
c) Cuando la correlación es perfecta y negativa.
Explicar a la vista de los resultados obtenidos en los apartados anteriores la relación
existente para Markowitz entre el riesgo total medido por la varianza y la correlación entre
los títulos.
2. En el supuesto de que el coeficiente de correlación entre ambos títulos sea - 0,2 y que las
esperanzas matemáticas de las rentabilidades de las inversiones de un mercado de
capitales en el que únicamente cotizan los títulos A y B sean respectivamente 90% y 95%,
se desea conocer:
a) La varianza, rentabilidad y ecuación de la pendiente de la frontera de mínimo
riesgo, cuando no existe activo sin riesgo.
b) La composición de la cartera de mercado en situación de equilibrio cuando existe
un activo sin riesgo cuyo tipo de rentabilidad es igual al 50%. Puesto que conoce
dos procedimientos realice uno completamente y plantee el otro.
c) La esperanza de rentabilidad y riesgo total de la cartera de mercado en dicha
situación (apartado b).
d) El modelo de mercado de cada título. ¿Cuál de los títulos es más agresivo?
e) El riesgo sistemático y específico de cada título.
4

15. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
EJERCICIO 4.
σA= 20%; σB= 40%
2. Riesgo total de la cartera medido por la varianza siendo XA=60%, XB= 40%. Bajo los supuestos:
a. Correlación perfectamente positiva (ρAB= 1).
𝒏 𝒏
𝛔𝟐
𝒑 = ∑ ∑ 𝑿 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑨𝑩 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . 𝛒 𝑨𝑩 . σ 𝐴 . σ 𝐵
𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
→ σ2𝑝 = 𝑿 𝟐𝑨 . 𝛔 𝟐𝑨 + 𝑿 𝟐𝑩 . 𝛔 𝟐𝑩 + 𝟐. 𝑿 𝑨 . 𝛔 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑩 → σ2𝑝 = (𝑿 𝑨 . 𝛔 𝑨 + 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑩 )2
Vemos como es un binomio de suma al cuadrado (A+B)2=A2+B2+2AB. Por lo tanto:
→ σ2𝑝 = (60% × 20% + 40% × 40%)2 → 𝛔 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟖𝟒
𝒑
b. Correlación igual a cero (ρAB= 0).
𝒏 𝒏
𝛔𝟐
𝒑 = ∑ ∑ 𝑿 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑨𝑩 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 → σ2𝑝 = (𝑋 𝐴 . σ 𝐴 )2 + (𝑋 𝐵 . σ 𝐵 )2 → σ2𝑝
𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
= (60% × 20%)2 + (40% × 40%)2 → 𝛔 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟒
𝒑
c. Correlación perfectamente negativa (ρAB= -1).
𝒏 𝒏
𝛔 𝟐 = ∑ ∑ 𝑿 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑨𝑩 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . σ 𝐴𝐵 → σ2𝑝 = 𝑋 2 . σ2 + 𝑋 2 . σ2𝐵 + 2. 𝑋 𝐴 . 𝑋 𝐵 . (−𝛒 𝑨𝑩 ). σ 𝐴 . σ 𝐵
𝒑 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵
𝒊=𝟏 𝒋=𝟏
→ σ2𝑝 = 𝑿 𝟐𝑨 . 𝛔 𝟐𝑨 + 𝑿 𝟐𝑩 . 𝛔 𝟐𝑩 − 𝟐. 𝑿 𝑨 . 𝛔 𝑨 . 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑩 → σ2𝑝 = (𝑿 𝑨 . 𝛔 𝑨 − 𝑿 𝑩 . 𝛔 𝑩 )2
Vemos como es un binomio de suma al cuadrado (A+B)2=A2+B2 - 2AB. Por lo tanto:
Universidade de Vigo. Facultad de Ciencias Empresariales y Turismo de Ourense.
2012-2013.

16. Valoración de Activos.
3. Rentabilidad y riesgo de carteras. John Leyton Velásquez.
3º ADE.
→ σ2𝑝 = (60% × 20% − 40% × 40%)2 → 𝛔 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔
𝒑
Conclusiones:
 Cuando el coeficiente de correlación es 1 (ρ=1) el valor en cada caso siempre estaría entre media, es decir, no conseguiríamos
reducir el riesgo de la cartera.
 Cuando el coeficiente de correlación es igual a 0, el riesgo medido por la varianza
 Cuánto más negativo es el coeficiente de correlación (ρ), más podremos reducir el riesgo de la cartera (σP).
3.
Webgrafía:
http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/fphernan/FET.TIX.A.pdf
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:5aIVEhwo_wcJ:ocw.uc3m.es/economia-financiera-y-contabilidad/economia-
financiera-1/material-de-clase-1/tema-4-gestion-de-las-inversiones-teoria-de-
carteras/at_download/file+modelo+de+markowitz+es+igual+al+modelo+de+media+varianza&hl=es&gl=es&pid=bl&srcid=ADGE
ESgkaOASUlvJNZILJTYGQvui5lXdEVz32m9x5fqUm5IJr4YsWUDzs27190q5RCBOrLnIUaSlLLTtkv4-Y1peo_45Zf-
zztYxIVmjhZ3pukAQhUlos5nRdULnP-yU8WWCVKlj7IEX&sig=AHIEtbQgKJzraAoO9n0FiZkGT9sK0zvzag
Universidade de Vigo. Facultad de Ciencias Empresariales y Turismo de Ourense.
2012-2013.

17. VALORACIÓN DE ACTIVOS
5) Los inversores de un mercado de capitales en el que cotizan dos únicos títulos, tienen
expectativas definidas por la matriz de covarianzas y el vector de esperanzas matemáticas de
rentabilidad que a continuación se indican:
σ11 σ12 2 -1
=
σ21 σ22 -1 3
Y el siguiente vector de esperanzas matemáticas de rentabilidad:
E1 = 10
E2 15
Con estos datos se desea conocer:
a) La varianza, rentabilidad y ecuación de la pendiente de la frontera de mínimo riesgo, cuando no
existe activo sin riesgo.
b) La composición de la cartera de mercado en situación de equilibrio cuando existe un activo sin
riesgo cuyo tipo de rentabilidad es igual a 5.
c) La esperanza de rentabilidad y el riesgo total de la cartera de mercado en dicha situación.
d) El coeficiente de volatilidad y el modelo de mercado de cada título.
e) El riesgo específico y sistemático de cada título.
5

18. VALORACIÓN DE ACTIVOS
6) Los inversores de cierto mercado de capitales asignan las siguientes tasas de rentabilidad a
tres títulos cotizados en el mismo, con las siguientes probabilidades:
Probabilidad R1 R2 R3
0,2 -1 0 2
0,6 0 0 1
0,2 1 2 0
Se desea conocer:
a) Las esperanzas de rentabilidad de los tres títulos.
b) La matriz de covarianzas de sus tasas de rentabilidad.
c) La esperanza de rentabilidad y riesgo de una cartera formada combinando los tres títulos
en las siguientes proporciones:
x1 = 0,3 x2 = 0,4 x3 = 0,3
d) La contribución de cada título al riesgo de dicha cartera y a su rentabilidad esperada.
e) Hallar la cartera de mínima varianza y calcular la rentabilidad esperada y el riesgo de las
carteras eficientes.
6

19. VALORACIÓN DE ACTIVOS
7) Los inversores de cierto mercado de capitales asignan a los tres títulos únicos que cotizan
en el mismo, la siguiente matriz de covarianzas:
σ11 σ12 σ13 3 -1 0
σ21 σ22 σ23 = -1 3 0
σ31 σ32 σ33 0 0 4
Y el siguiente vector de esperanzas matemáticas, expresado en porcentajes:
E1 15
E2 = 16
E3 17
Suponiendo la tasa libre de riesgo del 6%, se desea saber:
1) Planteamiento para calcular la composición de la cartera de mercado en situación
de equilibrio.
2) Si el planteamiento anterior diera como resultado:
x1 = 0,3776
x2 = 0,3980
x3 = 0,2245
Calcular la esperanza de rentabilidad y riesgo total de dicha cartera.
3) El coeficiente de volatilidad de cada título.
4) La ecuación SML.
5) Las ecuaciones de las líneas características de los tres títulos.
6) El riesgo sistemático y específico de cada título.
7) La esperanza de rentabilidad y el riesgo total de una cartera formada repartiendo
por igual el presupuesto propio entre los tres títulos.
8) El índice de Sharpe.
9) ¿Es eficiente la mencionada cartera?
10) La ecuación de la CML.
7

20. VALORACIÓN DE ACTIVOS
8) Los datos correspondientes a dos valores mobiliarios A y B, para un período determinado
de 6 años se resumen en la tabla siguiente, así como los correspondientes valores del índice
general del mercado (índice corto), los valores están expresados en enteros:
Datos activo A Datos activo B Valor del
índice
Año Cotización a Dividendo Cotización a Dividendo general de
final de año anual final de año anual mercado a
final de año
0 300 -- 200 -- --
1 304 2,00 205 3,00 103
2 310 3,12 210 3,20 103
3 322 6,80 217 3,50 105
4 335 3,10 223 4,85 103
5 326 2,30 218 2,77 99
6 327 2,26 218 2,18 102
1. El índice general del mercado se calcula anualmente tomando como valor base para
principios de año, 100 unidades, y suponiendo que las variaciones en este índice
proporcionan una buena estimación de la rentabilidad del mercado. para el supuesto
anterior, se desea conocer el valor de ésta y las correspondientes a los activos A y B en los
6 años considerados.
2. Siguiendo el modelo de mercado de Sharpe, se desea:
a) Estimar los parámetros ai y ßi.
b) Explicar el significado financiero del coeficiente ßi o coeficiente de volatilidad del
valor i.
c) Definir valor agresivo y valor defensivo desde el punto de vista de su volatilidad.
d) Representar gráficamente las rectas de regresión entre Rit y RMt.
3. Calcular el riesgo específico y el riesgo sistemático de cada valor, así como el riesgo total y
representarlos gráficamente.
4. Explicar qué se entiende por línea de Mercado (SML) y mostrar su expresión analítica.
En el caso de que los valores del índice de mercado (tabla anterior) no sean lo
suficientemente representativos considerando que la distribución de probabilidad para el
rendimiento de la 'cartera de mercado' viene dada la tabla que se representa a
continuación, y que el rendimiento de los activos sin riesgo se considera del 5%,
determinar la ecuación de la línea SML del mercado definido por los datos iniciales, así
como su representación gráfica. Determinar, asimismo, las rentabilidades de los valores A
8

21. VALORACIÓN DE ACTIVOS
y B para que estén en equilibrio; ¿lo están ahora con los datos disponibles? Representar la
línea de mercado en función de la covarianza entre la rentabilidad de los títulos y la del
mercado.
Rendimiento de la cartera de mercado R'M Probabilidad
5 0,1
7 0,2
9 0,4
11 0,2
13 0,1
5. En el supuesto de formar una cartera con el 50% del presupuesto en valores A y el 50% en
valores B, calcular la rentabilidad esperada y la desviación típica de la misma (se utilizará el
modelo de Markowitz y el de Sharpe). Explicar someramente las diferencias
fundamentales entre los modelos anteriores.
6. Dibujar la curva, esperanza de rentabilidad (ordenadas)- riesgo de la cartera (abscisas), de
la cartera formada por distintos porcentajes de valores A y B. Representar las carteras
eficientes (se utilizará como medida del riesgo la desviación típica dada por el modelo de
Sharpe).
7. En el supuesto de que el propietario de la cartera anterior tenga la posibilidad de prestar o
pedir prestado una parte del presupuesto total de inversión a una tasa del 2,5%.
Determinar analítica y gráficamente las carteras eficientes.
8. Calcular y definir la performance de las carteras siguientes (del apartado sexto):
x A = 50% x B = 50%
x A = 30% x B = 70%
Utilizar los datos del enunciado, así como los índices de Sharpe, Jensen y Treynor.
9