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La varianza es:Función de densidadDistribución De Poissonla distribución de Poisson es una distribución de probabilidad di...
Donde    k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la     probabilidad de que el evento suce...
 distribución uniforme discretaDISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUAEs una familia de distribuciones de probabilidad para variab...
Los valores en los dos extremos a y b no son por lo general importantes porque noafectan el valor de las integrales de f(x...
Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función dedensidad es:Su función de distribución ...
Calculo de variables aleatoriasSe pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial x por medio de unavar...
Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros a y b cuya función dedensidad para valores 0 < x < 1esAquí...
VarianzaDISTRIBUCIÓN NORMAL,Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una delas dist...
cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no esnormal.1 Además,     la   distribución   norma...
Función      de    distribución   deFunción de densidad de probabilidad, La línea verdecorresponde a la distribución norma...
donde Γ es la función gamma.Función de densidad de probabilidad               Función de distribución de probabilidad  Par...
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente     Donde      Z tiene una distribución norm...
BIBLIOGRAFIAhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_geom%C3%...
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Variables aleatorias. estadistica 1

  1. 1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO ANZOÁTEGUI ESCUELA DE ING. Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INDUSTRIALES ESTADISTICA IPROFESORA: BACHILLER:CARMEN BAS FARIAS LEIVIS C.I:18847080
  2. 2. DESARROLLODISTRIBUCIÓN BINOMIALEs una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en unasecuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p deocurrencia del éxito entre los ensayos.Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posiblesdos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad deocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomialel anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular laprobabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, dehecho, en unadistribución de Bernoulli.Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial deparámetros n y p, se escribe:La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística. Función de probabilidad Función de distribución de probabilidadParámetros númerode ensayos (entero) probabilidad de éxito (realDominioFunción de probabilidad (fp)
  3. 3. Función de distribución (cdf)Media 1Mediana Uno deModaVarianzaEjemplosLas siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse poresta distribución:  Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de treses obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)  Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)  Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad q de moverse de aqui para allá y 1-q de moverse de allá para acáExperimento binomialExisten muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada unode los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de unexperimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha deadmitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades deambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotancomo p yq o p y 1-p).Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido enlos n experimentos.Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución deprobabilidad binomial, y se denota B(n,p).Características analíticasSu función de probabilidad es
  4. 4. dondesiendo las combinaciones de en ( elementos tomadosde en )EjemploSupongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que elnúmero 3 zsalga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidadsería P(X=20):Propiedades características Valor esperado: Varianza:DISTRIBUCIÓN GEOMETRICAla distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones deprobabilidad discretas siguientes: la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.Cuál de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión deconvención y conveniencia.PropiedadesSi la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad deque x ensayos sean necesarios para obtener un éxito esPara x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primeréxito es
  5. 5. Para x = 0, 1, 2, 3,....En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica.El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es y dado que Y = X-1, En ambos casos, la varianza esLas funciones generatrices de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,Como su análoga continua, la distribución exponencial, la distribución geométrica carecede memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito,entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidadcondicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayanobservado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. Ladistribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valoresperado dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayorentropía.La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamentedivisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatoriasindependientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la mismadistribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1.DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICAEs una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo.Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la
  6. 6. categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad deobtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra de n elementos dela población original.PropiedadesLa función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométricapuede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual aDonde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es elnúmero de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseaday x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. Lanotación hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número decombinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a.El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica esy su varianza,En la fórmula anterior, definiendo Y Se obtieneLa distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial amuestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones
  7. 7. en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda.Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, espequeño.DISTRIBUCIÓN MULTINOMIALEn teoría de probabilidad, la distribución multinomial es una generalización dela distribución binomial.La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos deBernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En unadistribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribucióncategórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un numero finitoK de los posibles, con probabilidades p1, ..., pk (tal que pi ≥ 0 para i entre 1 y K ysum_{i=1}^k p_i = 1); y con n sucesos independientes.Entonces sea la variable aleatoria xi, que indica el número de veces que el se ha dado elresultado i sobre los n sucesos. El vector x=(x1, ..., xk) sigue una distribución multinomialcon parámetros n y p, donde p = (p1, ..., pk).Nótese que en algunos campos las distribuciones categóricas y multinomial se encuentranunidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más precisosería una distribución categórica.FUNCIÓN DE PROBABILIDADLa función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue:PROPIEDADESLa esperanza matemática del suceso i observado en n pruebas es:
  8. 8. La varianza es:Función de densidadDistribución De Poissonla distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, apartir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinadonúmero de eventos durante cierto periodo de tiempo.Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en sutrabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matièrecivile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).El eje horizontal es el índice k. La función El eje horizontal es el índice k.solamente está definida en valoresenteros de k. Las líneas que conectan lospuntos son solo guías para el ojo y noindican continuidad.Parámetros:Dominio:Varianza:FUNCIÓN DE DENSIDADLa función de masa de la distribución de Poisson es
  9. 9. Donde k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra kveces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40. e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución dePoisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard enλ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valoresperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es iguala , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parteentera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λesLas variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 aotra de parámetro λ esDISTRIBUCIÓN UNIFORMEExisten dos distribuciones uniformés las cuales son  distribución uniformé continua
  10. 10.  distribución uniforme discretaDISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUAEs una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, talesque cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución ensu rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b,que son sus valores mínimo y máximo. La distribución es a menudo escrita en formaabreviada como U(a,b).Utilizando convención de máximo Función de distribución de probabilidadParámetros:Dominio:Función de densidad (pdf):Función dedistribución (cdf):Varianza:FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDADLa función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es:
  11. 11. Los valores en los dos extremos a y b no son por lo general importantes porque noafectan el valor de las integrales de f(x) dx sobre el intervalo, ni dex f(x) dx o expresionessimilares. A veces se elige que sean cero, y a veces se los elige con el valor 1/(b − a).Este último resulta apropiado en el contexto de estimación por el método de máximaverosimilitud. En el contexto del análisis de Fourier, se puede elegir que el valor de f(a)ó f(b) sean 1/(2(b − a)), para que entonces la transformada inversa demuchas transformadas integrales de esta función uniforme resulten en la función inicial,de otra forma la función que se obtiene sería igual "en casi todo punto", o sea excepto enun conjunto de puntos con medida nula. También, de esta forma resulta consistente conla función signo que no posee dicha ambigüedad.DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETAEs una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la mismaprobabilidad. Distribución uniforme (caso discretoSi la distribución asume los valores reales , su función de probabilidad esy su función de distribución la función escalonada:Su media estadística es:Y su varianza es:DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
  12. 12. Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función dedensidad es:Su función de distribución es:Donde e representa el número e.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencialson: valor esperado es:Función de densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad Parámetros 0 Dominio 0, Función de densidad (pdf) λe − λx Función de distribución (cdf) 1 − e − λx VarianzaEjemplo: Para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalosde variable continua que transcuren entre la ocurrencia de dos sucesos "raros", que sedistribuyen según la distribución de Poisson
  13. 13. Calculo de variables aleatoriasSe pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial x por medio de unavariable aleatoria de distribución uniforme u = U(0,1): o, dado que (1 − u) es también una variable aleatoria con distribución U(0,1), puede utilizarse la versión más eficiente:DISTRIBUCIÓN GAMMAEs una distribución de probabilidad continua con dos parámetros k y λ cuya función dedensidad para valores x > 0 esAquí e es el número e y Γ es la función gamma. Para valores la aquellaes Γ(k) = (k − 1)! (el factorial de k − 1). En este caso - por ejemplo para describirun proceso de Poisson - se llaman la distribición distribución Erlang con un parámetro θ =1 / λ.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son E[X] = k / λ = kθ V[X] = k / λ2 = kθ2 Distribución gamma.DISTRIBUCIÓN BETA
  14. 14. Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros a y b cuya función dedensidad para valores 0 < x < 1esAquí Γ es la función gamma.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución beta son Valor esperado: Varianza: .Un caso especial de la distribución beta con a = 1 y b = 1 es la distribución uniforme en elintervalo [0, 1].Para relacionar con la muestra se iguala E[X] a la media y V[X] a la varianza y dedespejan a y b.Función de densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad Parámetros α > 0 forma (real) β > 0 forma (real) Dominio Función de densidad (pdf) Función de distribución (cdf)
  15. 15. VarianzaDISTRIBUCIÓN NORMAL,Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una delas distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia apareceen fenómenos reales.La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respectode un determinado parámetro. Esta curva se conoce comocampana de Gauss.La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenosnaturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a granparte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variablesincontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarseasumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causasindependientes.De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir unfenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseñoexperimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocidocomo método correlacional.La distribución normal también es importante por su relación con la estimaciónpor mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo dela normal son: caracteres morfológicos de individuos como la estatura; caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco; caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; caracteres psicológicos como el cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etc.La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Porejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal,
  16. 16. cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no esnormal.1 Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas lasdistribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección naturalde la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de mediamuestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchostests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones deprobabilidad continuas y discretas.Función de densidadSe dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal deparámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:donde μ (miu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la varianza).5Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman losvalores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan ...tablas para el cálculo delos valores de su distribución.
  17. 17. Función de distribución deFunción de densidad de probabilidad, La línea verdecorresponde a la distribución normal estándar probabilidad Parámetros σ>0 Dominio Función de densidad (pdf) Función de distribución(cdf) Varianza DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO DE PEARSON La distribución χ² (de Pearson), llamada Chi cuadrado o Ji cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetrok que representa los grados de libertad de la variable aleatoria Donde Zi son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria X tenga esta distribución se representa habitualmente así: . Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al latín como chi1 y se pronuncia en castellano como ji.2 Función de densidad Su función de densidad es:
  18. 18. donde Γ es la función gamma.Función de densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad Parámetros grados de libertad Dominio Función de densidad(pdf) Función de distribución(cdf) VarianzaDISTRIBUCIÓN T (DE STUDENT)Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media deuna población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de lasdiferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo deconfianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoceladesviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de unamuestraCaracterización
  19. 19. La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente Donde  Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1  V tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad  Z y V son independientesSi μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que siguela distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidasnormalmente, con media μ y varianza σ2. Sea la media muestral. EntoncesSigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida deantemano, Gosset estudió un cociente relacionado, Dondees la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T esDonde es igual a n − 1.La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de, pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.
  20. 20. BIBLIOGRAFIAhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_multinomialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poissonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_hipergeom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_exponencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_(continua)http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_gammahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Chi-cuadradahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_Betahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_discreta

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