CÁLCULO
PROPOSICIONAL
Linda Natalia Rodríguez vera
Karen Daniela Zapata Realpe
Cesar Augusto Álvarez
Maikol Monje Penagos
Introducción
• ¿ que es pensar con lógica?
• “Si dices una verdad, te mataremos en la
horca, y si mientes te mataremos en ...
Conceptos fundamentales de lógica matemática
1. LA PROPOSICIÓN Y LA APLICACIÓN EN LAS MATEMÁTICAS. PROCESO DE VERIFICAION ...
Una formula matemática sintetiza una proposición considerada verdadera, por ejemplo
el área de un trapecio
Como también:
E...
2. CONECTIVOS Y OPERACIONES PROPOSICIONALES
• ~𝑝, 𝑝⋀𝑞 , 𝑝⋁𝑞, 𝑝 → 𝑞, 𝑝 ↔ 𝑞
2.1 NEGACIÓN
El símbolo ~ de la expresión ~𝑝 significa que el valor de la verdad de la negación
~𝑝 es verdadera si p es fa...
2.2. CONJUNCIÓN
La conjunción de dos proposiciones es verdadera si y solo si las dos proposiciones son
verdaderas.
p q p Λ...
p q p ˅ q
v v f
v f v
f v v
f f f
2.3. DISYUNCIÓN
La disyunción de dos proposiciones es falsa cuando las dos son
verdadera...
2.4. CONDICIONAL O IMPLICACION
Una proposición condicional es falsa si y solo si el
antecedente es verdadero y el consecue...
2.5 BICONDICIONAL O EQUIVALENCIA
• Un bicondicional es verdadero si y solo si y ambas proposiciones son verdaderas o
ambas...
2.6 NEGACIÓN DE LAS OPERACIONES LÓGICAS
1. negación de la conjunción o primera ley de De Morgan
la negación de la conjunci...
3. Negación del condicional. la negación del condicional equivale a la conjunción del
antecedente con la negación del cons...
FORMULAS BIEN FORMADAS DEL
CALCULO PROPOSICIONAL
TAUTOLOGIAS
• Su importancia se debe a que las leyes de la lógica del calculo
proposicional son tautologías y son los esqu...
Contradicción
Una formula bien formada es contradicción si solo si es falsa independientemente de los
valores de las propo...
Observación
una fbf no es tautología ni contradicción se llama formulas bien formada
indeterminadas o contingencia; se car...
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
N° IMPLICACION NOMBRE
1 (p ˄(p→q))→q Ley de separación o modus ponendo ponens
2 ((-q) ˄(p→q))→(...
EQUIVALENCIAS TAUTOLÓGICAS
N° EQUIVALENCIA NOMBRE
2 P↔(-(-P) Ley de doble negación
2 (p→q)↔((-q)→(-p)) Ley de la contrapos...
GRACIAS POR SU
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  1. 1. CÁLCULO PROPOSICIONAL Linda Natalia Rodríguez vera Karen Daniela Zapata Realpe Cesar Augusto Álvarez Maikol Monje Penagos
  2. 2. Introducción • ¿ que es pensar con lógica? • “Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica” rta : “me van a matar en la silla eléctrica”
  3. 3. Conceptos fundamentales de lógica matemática 1. LA PROPOSICIÓN Y LA APLICACIÓN EN LAS MATEMÁTICAS. PROCESO DE VERIFICAION DE LA VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN. Ejemplo: p: 2 es numero par q: 2 es número primo como también r: 2 es numero par y primo. Ejemplo de proposiciones sin sentido completo: Neiva, el lunes es Ejemplo de proposiciones que no se le pueden asignar el valor de verdad verdad o falso Hola , x+5=10
  4. 4. Una formula matemática sintetiza una proposición considerada verdadera, por ejemplo el área de un trapecio Como también: El área del circulo , rectángulo entre otras.
  5. 5. 2. CONECTIVOS Y OPERACIONES PROPOSICIONALES
  6. 6. • ~𝑝, 𝑝⋀𝑞 , 𝑝⋁𝑞, 𝑝 → 𝑞, 𝑝 ↔ 𝑞
  7. 7. 2.1 NEGACIÓN El símbolo ~ de la expresión ~𝑝 significa que el valor de la verdad de la negación ~𝑝 es verdadera si p es falsa y falsa si p verdadera. El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados El perímetro no es la suma de las longitudes de los lados. P ~𝑝 V F F V
  8. 8. 2.2. CONJUNCIÓN La conjunción de dos proposiciones es verdadera si y solo si las dos proposiciones son verdaderas. p q p Λ q V V V V F f F v F F F F
  9. 9. p q p ˅ q v v f v f v f v v f f f 2.3. DISYUNCIÓN La disyunción de dos proposiciones es falsa cuando las dos son verdaderas o las dos son falsas Disyunción se divide en dos : • INCLUSIVA (o matemática) : o lo uno o lo otro. • EXCLUSIVA(o cotidiana): o lo uno o lo otro pero no ambos
  10. 10. 2.4. CONDICIONAL O IMPLICACION Una proposición condicional es falsa si y solo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. P q p→q V V V V F F F V V F F V Directa Reciproca contradirecta contrarreciproca H→T T→H ~H→~T ~T→~H
  11. 11. 2.5 BICONDICIONAL O EQUIVALENCIA • Un bicondicional es verdadero si y solo si y ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas P q p↔q V V V V F F F v f F F V
  12. 12. 2.6 NEGACIÓN DE LAS OPERACIONES LÓGICAS 1. negación de la conjunción o primera ley de De Morgan la negación de la conjunción equivale a la disyunción de las negaciones de las proposiciones 2. Negación de la disyunción o segunda ley de Morgan. La negación de la disyunción equivale a la conjunción de las negaciones de las proposiciones.
  13. 13. 3. Negación del condicional. la negación del condicional equivale a la conjunción del antecedente con la negación del consecuente del condicional. 4. Negación del bicondicional la negación del bicondicional equivale al bicondicional de la negación de una de sus proposiciones
  14. 14. FORMULAS BIEN FORMADAS DEL CALCULO PROPOSICIONAL
  15. 15. TAUTOLOGIAS • Su importancia se debe a que las leyes de la lógica del calculo proposicional son tautologías y son los esquemas de razonamiento.
  16. 16. Contradicción Una formula bien formada es contradicción si solo si es falsa independientemente de los valores de las proposiciones atómicas Para comenzar la discusión de estos temas, analicemos las dos formas bien formadas: p v (~p) y p ˄ (~p) construyamos su tabla: p (~p) p v (~p) p v (~p) V F V F F V V F
  17. 17. Observación una fbf no es tautología ni contradicción se llama formulas bien formada indeterminadas o contingencia; se caracterizan por ser algunas veces verdaderas y otras falsas p q pvp ~(pvp) p→~[(pvp)] 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1
  18. 18. IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS N° IMPLICACION NOMBRE 1 (p ˄(p→q))→q Ley de separación o modus ponendo ponens 2 ((-q) ˄(p→q))→(-p) Ley modus tollendo tollens 3 (p v q ) ˄(-p))→q Ley modus tollendo ponens 4 (p ˄q)→q Ley de simplificación 5 (p ˄q)→(p ˄q) Ley de adjunción 6 (p v q ) →q Ley de simplificación disyuntiva 7 p →(p v q ) Ley de adición 8 ((p →q ) ˄(q→r))→(p→r) Ley de silogismo hipotético 9 ((p v q ) ˄(p→r) ˄(q→s))→(r v s ) Ley de silogismo disyuntivo 10 ((p˄q ) →r)→(p→(q˄r) Ley de importación 11 (p→(q˄r) →((p˄q ) →r) Ley de exportación 12 (p↔q) → (p→q) Ley del Bicondicional 13 (p↔q) →(q→p) Ley del Bicondicional 14 ((p→q)˄(q→p)) →(p↔q) Ley del Bicondicional 15 (p↔q) →((p→q)˄(q→p)) Ley del Bicondicional 16 (p→(q˄(-q) →(-p) Ley del absurdo
  19. 19. EQUIVALENCIAS TAUTOLÓGICAS N° EQUIVALENCIA NOMBRE 2 P↔(-(-P) Ley de doble negación 2 (p→q)↔((-q)→(-p)) Ley de la contraposición o contra reciproca 3 -(p˄q) ↔((-p) v (-q)) Primera ley de Morgan 4 -(pvq) ↔((-p) ˄ (-q)) Segunda leu de Morgan 5 (p˄q) ↔(q˄p) Ley conmutativa de la conjunción 6 (pvq) ↔(qvp) Ley conmutativa de la disyunción 7 (p↔q)↔ (q↔p) Ley conmutativa del Bicondicional 8 (p→q) ↔((-p) v q) Ley de equivalencia entre condicional y disyunción 9 -(p→q) ↔(p ˄ (-q)) Ley de negación del condicional 10 (p↔q) ↔((p→q)˄(q→p)) Leyes del Bicondicional 11 -(p↔q) ↔ ((-p)↔q) Ley de negación del Bicondicional 12 -(p↔q) ↔ (p↔(-q)) Ley de negación del Bicondicional 13 (p v(q˄r)↔((pvq)˄(pvr)) Ley distributiva de la disyunción con conjunción 14 (p˄(qvr) ↔((p˄q)v(p ˄r)) Ley distributiva de la conjunción con la disyunción 15 (p v(qvr) ↔((p v q) v r) Ley asociativa de la disyunción 16 (p ˄(q˄r) ↔((p˄q) ˄ r) Ley asociativa de la conjunción 17 (p↔(q↔r))↔((p↔q)↔r) Ley asociativa del bicondicional
  20. 20. GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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