1. Universidad tecnológica de Torreón
Ejemplos de Distribuciones
Probabilidad
Armando Saúl García Favela
12

2. Distribución de bernoulli.
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9
¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =
0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 =
0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16,
para así poder darles un premio, pero la maestra los
seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la
probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero
16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 =
1/16 = 0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno
numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 =
15/16 = 0.9375

3. 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un
automóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿que
probabilidad hay para que pueda salir premiado el
boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0
= 1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno
numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =
341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que
salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados
posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá

4. 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1
- 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que
salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos
resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir
cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli,
ya que cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
En un examen formado por 20 preguntas, cada una de
las cuales se responde declarando
“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que,
históricamente, en el 75% de los casos la
respuesta correcta es “verdadero” y decide responder
al examen tirando dos monedas, pone
“falso” si ambas monedas muestran una cara y
“verdadero” si al menos hay una cruz. Se

5. desea saber qué probabilidad hay de que tenga al
menos 14 aciertos.
Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de
la distribución y el punto k a partir
del cual se calculará la probabilidad. En este caso
n=20, p=0,75 y el punto k=14.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas
Binomial (n,p)
n: Número de pruebas 20
p: Probabilidad de éxito 0,7500
Punto K 14
Probabilidad Pr[X=k] 0,1686
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828
Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172
Media 15,0000
Varianza 3,7500
La probabilidad de que el alumno tenga más de 14
aciertos se sitúa en 0,61.
Distribución poisson

6. Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el
3% de los alumnos de contabilidad son muy
inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si
tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean
muy inteligentes
n= 100
P=0.03
=100*0.03=3
x=5
Ejemplo2.- La producción de televisores en
Samsung trae asociada una probabilidad de
defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85
televisores, obtener la probabilidad que existan 4
televisores con defectos.
n=85
P=0.02
P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
X=4
=1.7

7. Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos
hablan ruso calcular la probabilidad de que si
tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso
n=20
P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418
X=3
=3
Ejemplo4.-El 8% de los registros contables de una
empresa presentan algún problema, si un auditor
toma una muestra de 40 registros ¿Calcular
probabilidad de que existan 5 registros con
problemas?
n=40
P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793
=3.2
X=5
Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las
personas tienen defecto de la vista si tomamos
una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular

8. Probabilidad que existan 5 registros con
problemas?
n=40
P=0.08
=10

9. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD NORMAL
1.-Una población normal tiene una media de 80
una desviación estándar de 14.0
µ = 80
σ = 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor localizado
entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) Probabilidad
acumulada.
0.7611
z =
0.3594
z =
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó
menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
0.3594
z
p(x ≤ 75) = 0.3594

10. c) Calcule la probabilidad de un valor localizado
entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
0.2389
z =
0.0367
z =
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022

11. 2.-Los montos de dinero que se piden en las
solicitudes de préstamos en Down River Federal
Savings tiene una distribución normal, una
media de $70,000 y una desviación estándar de
$20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de
préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
–
z =
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y
$80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
– 0.6915
z =
0.4013

12. –
z =
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 =
0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
acumulada.
0.4013
–
z =
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con
una población de más de 250,000 habitantes, la
media del tiempo de viaje de ida al trabajo es
de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo
pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el
tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga
que la distribución de los tiempos de viaje en
la ciudad de Nueva York tiene una distribución
de probabilidad normal y la desviación
estándar es de 7.5 minutos.

13. µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de
Nueva York consumen menos de 30
minutos?
p( x ≤ 30)
Probabilidad
acumulada.
0.1335
–
z =
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre
30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
acumulada.
0.3300
–
z =
0.1335
–
z =
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 =
19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre
30 y 40 minutos?

14. p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
acumulada.
0.5910
–
z =
0.1335

15. –
z =
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) =
0.5910 – µ = 1,200
0.1335 =
0.4575 = σ = 225 45.75%
Probabilidad
4.- Las acumulada. ventas
z
5% = .0500
mensuales de
silenciadores en el área de Richmond, Virginia,
tiene una distribución normal, con una media
de $1,200 y una desviación estándar de $225.
Al fabricante le gustaría establecer niveles de
inventario de manera que solo haya 5% de
probabilidad de que se agoten las existencias.
¿Dónde se deben establecer los niveles de
inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
5% ó 0.0500
–
z
1.65
X=
1,571.25

16. x = 1,571.25
5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para
asistir a una universidad privada en Estados
Unidos era de $20,082. Suponga que la
distribución de los costos anuales se rigen por
una distribución de probabilidad normal y que
la desviación estándar es de $4,500. El 95% de
los estudiantes de universidades privadas
paga menos de ¿Qué cantidad?
µ = 20,082 95% ó 0.9500 1.64
σ = 4,500 z
z
– Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =
x = 27,462. X=
27,462
75

18. Distribución de gamma.
El número de pacientes que llegan a la consulta de un
médico sigue una distribución de Poisson de media 3
pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que
transcurra menos de una hora hasta la llegada del
segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria
“tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo
paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a, p)
a : Escala 6,0000
p : Forma 2,0000
Punto X 1,0000
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667

19. La probabilidad de que transcurra menos de una hora
hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.
Ejercicio 2
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años,
de pacientes que son sometidos a una cierta
intervención quirúrgica en un hospital sigue una
distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81,
calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de
supervivencia es menor que 0,1.
Resultados con Epidat 3.1

20. Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de,
aproximadamente, 10 años.

21. Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de una
pieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la misma
es de 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿A
cuanto debemos cobrar la hora de reparación para
obtener un beneficio medio de 3 mil euros?
Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio
medio, E(B), sea 3.
El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K*
E(X) = 4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se
deduce que K=1/4, es decir 250 euros, para obtener un
beneficio de 3 mil euros.
Un fabricante de focos afirma que su producto durará
un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar
este promedio esta persona verifica 25 focos cada
mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05,
él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué
conclusión deberá él sacar de una muestra de 25
focos cuya duración fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%

22. 510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
EJEMPLO2 El profesor Pérez olvida poner su
despertador 3 de cada 10 días. Además, ha
comprobado que uno de cada 10 días en los que pone
el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar
su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en
los que olvida poner el despertador, llega a tiempo
adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen
en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez
llegue a tiempo a dar su primera clase?

23. Solución: En primer lugar conviene identificar el
experimento aleatorio que estamos realizando. Este
consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor
Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el
suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el
despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera
clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un
sistema completo de sucesos. A continuación
traducimos en términos de probabilidad de los sucesos
anteriores todos los datos que nos dan en el
enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el
complementario de T , por tanto nos piden que
calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema
completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de
la probabilidad total, de donde tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

24. En la expresión anterior aparecen varios de los datos
que nos ha proporcionando el enunciado, sin embargo
no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯).
Para calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la
expresión anterior se puede escribir como:P(T¯) =
+ =0.69
EJEMPLO3
La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica
tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular
la probabilidad de que en una muestra de tamaño
n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5
mm:
P (μ<20.5)

25. Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una
distribución t de n-1 grados de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de
25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%
EJEMPLO4
Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de
los siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de
libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de
libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que
verifica:
S [W · w0=95] = 0=95

26. Para encontrar este valor en la tabla de la distribución
t-Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de
libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad
acumulada, en nuestro caso: 0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las
posiciones anteriores hasta cruzarnos en el punto
w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3
grados de libertad será el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos
horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos
al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos
verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al
valor 0.95 (probabilidad acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-
Student para colas probabilísticas que van desde 0=75
hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25,
tendremos que realizar la siguiente consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

27. w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de
modo similar al caso anterior, pero buscando en la fila
30 de la tabla. Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
EJEMPLO5
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil
I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la
tabla)

28. El valor donde se cruzan todos estos datos será el
percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840