Ejercicios, Estructuras discretas

1. Estructura
Discretas II
EJERCICIOS
PROPUESTOS
Estudiante
Jorge Ramírez
C.I: 21.502.104
SAIA-A
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO (UFT)
FACULTAD INGENIERÍA
Profesora
Adriana Barreto.

2. Dado el siguiente grafo, encontrar:
a) Matriz de adyacencia
b) Matriz de incidencia
c) Es conexo?. Justifique su respuesta
d) Es simple?. Justifique su respuesta
e) Es regular?. Justifique su respuesta
f) Es completo? Justifique su respuesta
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
h) Un ciclo no simple de grado 5
i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor
j) Subgrafo parcial
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
l) Demostrar si es hamiltoniano

3. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 1 0 1 0
V2 1 0 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 1 1 0 1
V4 1 0 1 0 1 1 0 0
V5 1 0 1 1 0 1 1 0
V6 0 1 1 1 1 0 1 1
V7 1 1 0 0 1 1 0 1
V8 0 1 1 0 0 1 1 0
a) Matriz de adyacencia

4. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20
V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
V6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
V7 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
V8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
b) Matriz de incidencia

5. c) Es conexo?. Justifique su respuesta.
Se dice Conexo si para cualquier par de vértices de a y b en G existe al menos una trayectoria (una
secuencia de vértices adyacentes que no repita vértices) de a á b.
De acuerdo con la definición, si es conexo ya que, para todo par de vértices se encuentran
conectados o tienen un camino que los una.
d) Es simple?. Justifique su respuesta.
Si es un grafo simple, debido a que se cumple que ningún vértice tiene lazo, además cada vértice
esta unido por una sola arista; pero todos los vértices poseen un grado diferente, siendo no regular.
e) Es Regular? Justifique su respuesta.
¿Regular?: Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o valencia.
Grado de un vértice es: El número de aristas que inciden en el vértice.
No es un grafo regular, ya que hay vértices que tienen grados o valencias diferentes.
f) Es Completo? Justifique su respuesta.
Completo?: Es aquel grafo con N vértices, en las que existe únicamente una arista por cada par de
vértices. No hay aristas paralelas o sub. Grafos.
En conclusión podemos decir que NO es Completo, porque posee aristas paralelas y más de
una arista por cada par de vértices, dando origen a los sub. Grafos.

6. G) Una cadena simple no elemental de
grado 6.
Una cadena simple es una secuencia finita alternada de vértices y aristas, sin repetir aristas,
no elemental indica que puede repetirse los vértices. El grado nos indica la cantidad de
aristas que debe contener la cadena, en esta oportunidad son seis (6).
Ejemplo:
V3= GRADO 6
V6= GRADO 6
h) Un ciclo no simple de grado 5.
Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.
Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple.
No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de
ningún grado.
I) Árbol generador aplicando el algoritmo
constructor.
1er paso: Seleccionar un vértice S1, hacer H1={S1}
2do paso: Seleccionamos una arista a1que tenga un extremo en H1y el otro extremo en un vértice S2
∉ H1. Hacer H1 ∪ {S2}
3er paso: Seleccionamos una arista a2 que tenga un extremo en H2, y el otro extremo en un vértice S3

7. 3er paso: Seleccionamos una arista a2 que tenga un extremo en H2, y el otro extremo
en un vértice S3 ∉ H2. Hacer H2 ∪ {S3}
Seleccionamos el vértice v1 ⇒ H1={v1}
Seleccionamos la arista a4 ⇒ H2={v1,v4}
A15 ⇒ H3={v1,v4, v5}
A12 ⇒ H4={v1,v4, v5, v3}
A13 ⇒ H5={v1,v4, v5, v3, v6}
A8 ⇒ H6={v1,v4, v5, v3, v6, v2}
A10 ⇒ H7={v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8}
A20 ⇒ H8={v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}
v1
v4
a4
v1
v4
v5
v3
v6
v1
v4
v5
v3
v6
v2
v8

8. Por lo tanto se comprueba que en un árbol dos vértices cualesquiera están unidos
Por un único camino, se demuestra con al poseer árbol generador que es un grafo
conexo, y que G es un árbol entonces el número de aristas es igual al número de
vértices menos 1.
A = {a4, a15, a12, a3, a8, a10, a20}
V = {v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}
Numero de vértices = 8 - 1 = 7
Numero de aristas = 7
j) Subgrafo Parcial.
Un subgrafo parcial se obtiene al conservar todos los nodos o vértices de G y se
suprimen algunas aristas.
Tenemos
v1
v4
v5
v3
v6
v2
v8
v7

9. v1
a2
v3
a3
v2
v4
a15
v5
a17
v6
a19
v7
a20
v8
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo
de Fleury
Si el grafo es euleriano a partir de un vértice cualquiera de G se puede construir una cadena
simple de manera que no se repitan las aristas y no se elijan aristas de corte a no ser que no
se encuentre otra alternativa, al haber agotado las aristas decimos que tenemos un tour euleriano.
Luego de experimentar en repetidas ocasiones el recorrido del grafo sin repetir aristas, no ha sido
posible encontrar un camino euleriano donde no se repitan aristas, por lo tanto no se cumple que el
Grafo sea Euleriano.

10. I) Demostrar si es Hamiltoniano
Un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano, en el cual se debe cumplir
que atraviese cada vértice del grafo exactamente una vez.
el ciclo C=[v1, a3, v2, a10, v8, a20, v7, a19, v6, a17, v5, a15, v4, a11,v3, a2, v1]
Notamos que Vo = Vk
v1 a3 v2
a10
v8
a20
v7
a19v6
a17
v5
a15
v4
a11 v3
a2

11. Dado el siguiente dígrafo
a) Encontrar matriz de conexión
b) Es simple?. Justifique su respuesta
c) Encontrar una cadena no simple no
elemental de grado 5
d) Encontrar un ciclo simple
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de
accesibilidad
f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra
Ponderación de las aristas
Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3

12. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
a) Encontrar matriz de conexión

13. b) Es simple?. Justifique su respuesta
Se cumple que el Dígrafo es simple, ya que no tiene lazos y no existen arcos paralelos
que partan de un mismo vértice a otro.
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
En las cadenas no simples se pueden repetir los arcos durante el recorrido y que sea no elemental, también
nos permite repetir vértices. El grado 5 nos indica el número de arcos que tendrá nuestra cadena.
T = [v4, 9, v1, 5, v3, 8, v4, 9, v1, 6, v5]
d)Encontrar un ciclo simple
El ciclo simple inicia y termina con el mismo vértice y en ella no se pueden repetir arcos.
C = [v6, 14, v5, 11, v4, 9, v1, 1, v2, 4, v6 ]
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
Para comprobar que un grafo es conexo podemos realizar los siguientes pasos:
1) Hallar la matriz de adyacencia y se eleva a la enésima potencia.
2) Se calcula la suma de las potencias de A hasta An.
3) Si todos sus elementos son distintos de cero, el grafo es conexo

14. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
Matriz de adyacencia
Ma(D)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 0 1 1 1 1
V2 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 0 1
V4 0 1 1 0 1 0
V5 1 0 1 1 1 1
V6 0 1 0 1 0 1
Elevamos la matriz al cuadrado para encontrar
los caminos de tamaño dos (02)
M (D)=
2

15. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 0 1 1
V4 0 1 1 1 1 1
V5 0 1 1 1 1 1
V6 1 0 1 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 1
V3 0 1 1 1 1 1
V4 1 1 0 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
Elevamos la matriz a cuatro para encontrar los
caminos de tamaño cuatro (04)
M (D)=
4
Elevamos la matriz al cubo para encontrar los
caminos de tamaño tres (03)
M (D)=
3

16. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 1
V3 0 1 1 1 1 1
V4 1 1 0 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
Ahora calculamos la Matriz de Accesibilidad
Acc(D) = bin [I6 + M + M + M + M + M ]
Elevamos la matriz a la cinco para encontrar los
caminos de tamaño cinco (05)
M (D)=
5
2 3 4 5
Acc(D)= bin

17. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
Luego transformamos la matriz de la manera siguiente:
a) Componente que sea igual a cero (0), permanece como cero (0)
b) Componente diferente de cero (0), convertirla a 1.
Acc(D)= bin
Como la matriz Acc(D) no tiene componentes nula se dice entonces según el colorario 1.2 que el dígrafo
es fuertemente conexo.

18. F) Encontrar la distancia V2 a los de más vértices
utilizando el algoritmo de DIJKSTRA
Pasos:
1) Ubicar el vértice de inicio.
2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que esté directamente a él.
3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así:
4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta anterior que esta directamente
al vértice estudiado.
5) Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando.
6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge
cualquiera de la dos.
[3,1]Símbolo de la iteración
o estudio de distancia
Ponderación de la arista
+ lo que precede
Vértice estudiado
(1,1)# de la iteración

19. d v2 a v1: 2
d v2 a v3: 3
d v2 a v5: 3
d v2 a v4: 4
d v2 a v6: 3
[2,2](1)
[3,2](1)
[3,2](1)
[0,](0)
Ponderación de las aristas
Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3