UNIDAD 17CIRCUNFERENCIA
15. CircunferenciaApuntes PSU 2011Unidad 17CircunferenciaConfeccionado, recopilado, diseñado, diagramado,redactado, revisa...
17. Circunferencia1. Circunferencia► CIRCUNFERENCIA: Línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto llamado CE...
2. Lenguaje Algebraico                            2πrα    Medida del arco AB =                             360►ÁNGULO INSC...
17. Circunferencia     E)    I, II y III2.   En la circunferencia de la figura, AB y CD son diámetros.     ¿Cuál(s) de las...
2. Lenguaje Algebraico      B)   45º      C)   70º      D)   90º      E)   No se puede determinar8.    En la circunferenci...
17. Circunferencia      B)   65º      C)   30º      D)   35º      E)   25º14.   PA y PB son dos secantes a la circunferenc...
2. Lenguaje Algebraico      B)   70º      C)   35º      D)   55º      E)   otro valor20.   En la circunferencia de centro ...
17. CircunferenciaRespuestas:1. C      2. E      3. A      4. B         5. D       6. E       7. A      8. A      9. C    ...
2. Lenguaje Algebraico                                         Test 2: Circunferencia1.                                   ...
17. Circunferencia7.    En la circunferencia de centro O,     AOB = 2 DBA. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?      A)   22,5º    ...
2. Lenguaje Algebraico13.   O es centro de la circunferencia,   POQ       QOR      ROS y     OSR = 72º.      ¿Cuánto mide ...
17. Circunferencia19.   En la circunferencia de centro O, se puede determinar la medida del ángulo CBD, si:      (1) se co...
2. Lenguaje AlgebraicoRespuestas:1. A     2. E      3. A         4. C    5. E       6. A      7. D      8. A      9. D    ...
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17 circunferencia

  1. 1. UNIDAD 17CIRCUNFERENCIA
  2. 2. 15. CircunferenciaApuntes PSU 2011Unidad 17CircunferenciaConfeccionado, recopilado, diseñado, diagramado,redactado, revisado, re-revisado y requete revisado porCésar Fernández R.yTatiana Sepúlveda O.Queridos alumnos y alumnas:Hemos hecho lo humanamente posible por evitar errores pasados. Si hay errores, estos son ¡completamentenuevos! y te pedimos que nos avises.Cada test incluye una sección en que tratamos de explicarte en qué te puedes haber equivocado al marcaruna alternativa. Sin embargo, hay alternativas que ni con la mejor voluntad del mundo hemos podidoexplicar. Si tú, en un arranque de creatividad, marcaste una de las alternativas incorrectas y no está explicadaen el análisis de alternativas, por favor cuéntanos cómo lo hiciste para mejorar estos apuntes para el futuro.Prometemos no reírnos de ti. O por lo menos no mucho.Cualquier otra sugerencia que tengas, por favor háznosla saber. Estos apuntes van a seguir perfeccionándoseaño a año.Por último, esperamos y te deseamos que seas constante y riguroso a la hora de desarrollar los ejercicios ylos tests y al analizar tus errores. Sólo preparándote a conciencia y desde ahora ¡ya! lograrás los resultadosque esperas. Este apunte de preparación para la PSU fue confeccionado por el Departamento de Matemáticas del Colegio Alemán de Santiago. - 2010 -Portada: Brian S. Chen, “Artificial Rain”, reproducida con permiso del autor. (www.brianschen.com)
  3. 3. 17. Circunferencia1. Circunferencia► CIRCUNFERENCIA: Línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto llamado CENTRO. La región interior de la circunferencia se denomina Círculo. CircunferenciaELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA ►RADIO (r): Trazo que une el centro con un punto de la circunferencia. Círculo Centro ►CUERDA: Trazo que une 2 puntos de la circunferencia Cuerda ►DIÁMETRO (d): Cuerda que pasa por el centro. Diámetro El diámetro equivale a la medida de 2 radios. Radio F ►ARCO: Parte de la circunferencia, limitada por 2 puntos de ella. Dos puntos F y T determinan dos arcos diferentes: el arco menor TF y el arco mayor FT. TPOSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA►DISJUNTAS: ►TANGENTES: La recta toca a la circun- ► SECANTES: La recta y la circunferencia no ferencia en un solo punto, llamado punto La recta y la circunferencia se tienen punto de intersección. de tangencia. intersectan en 2 puntos. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpen- dicular a la recta.POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS►EXTERIORES: Los puntos de ► SECANTES: Las circunferencias ► INTERIORES: Todos los puntoscada tienen dos puntos comunes. de una de ellas son interiores de la circunferencia son exteriores a la otra. otra. ►TANGENTES ► CONCÉNTRICAS:► TANGENTES EXTERIORES: INTERIORMENTE: Las circunferencias tienen el centro Las circunferencias tienen un Las circunferencias tienen un en común. punto común y el resto de los punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la puntos de una son interiores a la otra. otra.RELACIÓN ENTRE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA ►POLÍGONO INSCRITO A LA ►POLÍGONO CIRCUNSCRITO A LACIRCUNFERENCIA: CIRCUNFERENCIA: Los vértices del polígono son puntos de la circun- Los lados del polígono son tangentes a la ferencia y ésta queda circunscrita al polígono. circunferencia. Los lados del polígono son cuerdas de la La circunferencia queda inscrita al polígono.circunferencia.2. Ángulos y Arcos en la Circunferencia►ÁNGULO CENTRAL (o ÁNGULO DEL CENTRO): ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. Un ángulo del centro determina un arco de circunferencia. Se dice que el ángulo subtiende dicho arco. O r A B 1
  4. 4. 2. Lenguaje Algebraico 2πrα Medida del arco AB = 360►ÁNGULO INSCRITO: D Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas. En la figura: ACB. C► ÁNGULO SEMINSCRITO: Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son una cuerda y una tangente O a la circunferencia. En la figura: DCA y también DCB. A BTEOREMAS► ÁNGULOS CENTRAL, INSCRITO y SEMINSCRITO Si un ángulo inscrito, un ángulo seminscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces: O 1) El ángulo inscrito y el seminscrito tienen la misma medida. 2) El ángulo del centro midel el doble que los otros dos: =2 .► ANGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90º.► IGUALDAD DE ÁNGULOS INSCRITOS: Si dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces tienen la misma medida.► ANGULO INTERNO: ► ANGULO EXTERIOR: ►TANGENTES A UNACIRCUNFERENCIA α +β α -β x= x= BA = BC ,  OBA  OBC 2 2 A O x O B x O CCIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTEROS►Cuadrilátero inscrito en una circunferencia ►cuadrilátero circunscrito en una circunferencia A + C = 180º a+c=d+b B + D = 180º D c C D C d A b A a B B Test 1: Circunferencia1. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s) I) Tres puntos distintos y no colineales determinan una circunferencia II) Un diámetro de una circunferencia determina una secante a la circunferencia III) La recta que corta a una circunferencia en un punto, contiene una cuerda de dicha circunferencia. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III2
  5. 5. 17. Circunferencia E) I, II y III2. En la circunferencia de la figura, AB y CD son diámetros. ¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) AC BD II) ACD ABD III) AC // BD A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III3. Si O es el centro de la circunferencia de la figura, entonces el valor del ángulo x es: A) 280º B) 320º C) 300º D) 100º E) Otro valor4. Los puntos A, B, C, D, E y F dividen a la circunferencia de centro O de la figura en seis arcos congruentes. Entonces el ángulo CAB mide : A) 18º B) 30º C) 36º D) 60º E) 72º5. En la circunferencia de la figura está inscrito el triángulo ABC y la recta PA es tangente en el punto A. Si CAB = 50º y CAP = 72º, entonces ACB = A) 94º B) 18º C) 72º D) 58º E) 54º6. ¿Cuál de los ángulos inscritos en la circunferencia de la figura tiene una medida distinta a los tres restantes? A) a B) b C) c D) r E) Ninguno de ellos7. En la circunferencia de la figura, AB es un diámetro de ella. Entonces x = A) 20º 3
  6. 6. 2. Lenguaje Algebraico B) 45º C) 70º D) 90º E) No se puede determinar8. En la circunferencia de centro O, BCD = 125º. Entonces BAD = A) 55º B) 60º C) 45º D) 65º E) No se puede determinar9. ABCD es un cuadrilátero inscrito en la circunferencia. Entonces x = A) 60º B) 70º C) 80º D) 100º E) 120º10. En la circunferencia de centro O de la figura, ABCD es un cuadrilátero inscrito cuyas diagonales son AC y BD . Si CAD = 50º y ACB = 30º, entonces el valor de x – y es: A) -10º B) 60º C) 40º D) 20º E) 0º11. En la circunferencia de centro O de la figura, COD = 40º y AOB = 30º. ¿Cuánto mide el ángulo CHD? A) 40º B) 35º C) 30º D) 20º E) 15º12. En la circunferencia de centro O de la figura, BEA = 50º y AOB = 70º. ¿Cuánto mide el ángulo COD? A) 70º B) 60º C) 50º D) 30º E) 25º13. ¿Cuánto mide el ángulo exterior AEB en la circunferencia de centro O de la figura? A) 60º4
  7. 7. 17. Circunferencia B) 65º C) 30º D) 35º E) 25º14. PA y PB son dos secantes a la circunferencia de centro O de la figura. ¿Cuánto mide el ángulo del centro COD? A) 60º B) 50º C) 30º D) 35º E) 40º15. AC y BD son diámetros de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ángulo ABO, si el ángulo COD mide 100º? A) 20º B) 25º C) 40º D) 50º E) 80º16. ABCD es un rectángulo inscrito en la circunferencia de centro O, OE AB y EOC = 130º. ¿Cuánto mide el ángulo ACD? A) 20º B) 40º C) 45º D) 50º E) 65º17. O es el centro de la circunferencia de la figura y QROP es cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo RSP? A) 22,5º B) 30º C) 45º D) 60º E) 90º18. La figura es una semicircunferencia de radio OB , en que CD AB . Si ACD = 20º, entonces ABC = A) 20º B) 50º C) 60º D) 70º E) 90º19. En la figura, AC y BC son tangentes a la circunferencia de centro O. Si ACB = 70º, entonces ABO = A) 110º 5
  8. 8. 2. Lenguaje Algebraico B) 70º C) 35º D) 55º E) otro valor20. En la circunferencia de centro O, AOB DBC. Luego el ángulo BDC se expresa como: A) 180º - x B) 180º - 2x C) 180º - 3x D) 180º - 4x E) 180º - 6x21. En la circunferencia de centro O y diámetro AC, ¿cuál es la medida del arco EA? (1) DBE = 50º (2) EBD es triángulo rectángulo E D A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. A C C) Ambas juntas, (1) y (2). O D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional B22. EF , AB y CD son diámetros de la circunferencia de centro O. Si AOC = 50º, ¿cuánto mide el  EOB? D B (1)  FOD = 2  AOC F FOD + AOC O (2)  EOB = 2 E A) (1) por sí sola. A B) (2) por sí sola. C C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional6
  9. 9. 17. CircunferenciaRespuestas:1. C 2. E 3. A 4. B 5. D 6. E 7. A 8. A 9. C 10. C 11. B12. D 13. C 14. E 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. C 21. E 22. BAnálisis de Alternativas1. 7. 14.Alternativa C: CORRECTA. III es falsa Alternativa A: CORRECTA. Alternativa E: CORRECTA. Alternativa B: a+x=90º pero a x APB = CD BA : 2  3. Alternativa C: corresponde al valor de aAlternativa A: CORRECTA. Alternativa D: imposible pues a+x=90ºAlternativa B: el ángulo del centro se 15.consideró igual a 40º Alternativa C: CORRECTA. 8. Alternativa A: CORRECTAAlternativa C: se consideró ángulo ΔAOB isósceles ,AO y OB radios En el cuadrilátero inscrito A+ C=180ºcompleto igual a 380ºAlternativa D: se consideró ángulo 16. 9.completo igual a 180º Alternativa A: Corresponde al arco DA Alternativa C: CORRECTA. Alternativa B: CORRECTA. En el cuadrilátero inscrito D+ B=180º Alternativa C: Se consideró AC bisectriz4.Alternativa A: se consideró el arco BC = Alternativa D: Corresponde al ángulo ACB 10.36º Alternativa A: x no es ángulo inscritoAlternativa B: CORRECTA. 17. Alternativa C: CORRECTA. Alternativa C: CORRECTA.Alternativa C: se consideró el arco BC = Alternativa D: se consideró y =80º y x= 60º72º PSR inscrito que subtiende el mismo arco Alternativa E: se consideró y =80ºAlternativa D: corresponde al BOC que el ángulo del centro POR 11.5. 18. Alternativa B: CORRECTA.Alternativa A: se consideró ABC= 72º Alternativa D: CORRECTA. CHD = CD AB : 2  Alternativa B: se consideró el arco CB = DCA CAB180º 12.Alternativa C: corresponde al ABC Alternativa D: CORRECTA. 19.Alternativa D: CORRECTA. COD = CD AB : 2   Alternativa A: corresponde al ángulo BOAAlternativa E: se consideró el arco CB = Alternativa B: faltó dividir por 2180º Alternativa C: CORRECTA. 13. Alternativa D: corresponde al ángulo CBAy arco CA = 72º Alternativa C: CORRECTA. AEB = CD BA : 2   20.6.Alternativa E: CORRECTA. Alternativa C: CORRECTA.Todos son ángulos inscritos que subtienden AOB = 2xel mismo arco. 7
  10. 10. 2. Lenguaje Algebraico Test 2: Circunferencia1.  En la circunferencia de centro O, PQ   QR RP . ¿Cuánto mide el ángulo OQR? A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 120º2. En la circunferencia de centro O, AC = BC y AOB = 4 BAO. Entonces CBO = A) 60º B) 50º C) 45º D) 40º E) 30º3. En la circunferencia ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Si AB   CD , entonces AB CD II) Si AB // CD , entonces AB CD III) Si AB CD , entonces AB // CD A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III4. En la circunferencia de centro O, OBA = BOC = 2 AOB. Entonces CBO = A) 36º B) 45º C) 54º D) 108º E) 72º5. En la circunferencia de centro O, QPO POQ. Luego x= A) 270º B) 120º C) 315º D) 330º E) 300º6.  En la circunferencia de centro O, AB   BC CA ¿Cuánto mide el ángulo BAO? A) 30º B) 35º C) 45º D) 60º E) 120º8
  11. 11. 17. Circunferencia7. En la circunferencia de centro O, AOB = 2 DBA. ¿Cuánto mide el ángulo ACB? A) 22,5º B) 30º C) 40º D) 45º E) 90º8. En la circunferencia de centro O, se ha inscrito un hexágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo x? A) 120º B) 60º C) 45º D) 50º E) 70º9. En la circunferencia de centro O, OA AB . Si COB = 2 AOC, entonces BCO = A) 40º B) 50º C) 60º D) 80º E) 90º10. AO es radio de la circunferencia y OC CB . Si OCA = 80º, entonces AOC mide: A) 40º B) 50º C) 60º D) 100º E) 20º11. En la circunferencia de centro O, PQ OQ y RQO = 60º. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) PQ // OR II) OP QR III) RQP = 2 QPO A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III12. AB es diámetro de la circunferencia de centro O. Si CBO = 70º, entonces ACO = A) 20º B) 30º C) 35º D) 40º E) 70º 9
  12. 12. 2. Lenguaje Algebraico13. O es centro de la circunferencia, POQ QOR ROS y OSR = 72º. ¿Cuánto mide el ángulo PTQ? A) 108º B) 36º C) 72º D) 27º E) 18º14. Si en la circunferencia de centro O, OBA = 2 AOB, entonces ACB = A) 18º B) 36º C) 54º D) 72º E) 108º15. En la circunferencia de centro O, CD // AB . Si CDA = 20º, entonces x= A) 160º B) 120º C) 150º D) 140º E) 100º 16. BC es un cuarto de la circunferencia con centro en A . Si BD AB , entonces DAC = A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º17. AC y BE son diámetros de la circunferencia de la figura. Si AOB = 2 BOC, entonces el BDC mide: A) 30º B) 45º C) 60º D) 120º E) No se puede determinar18. Los tres triángulos de la figura tienen dos de sus vértices en la circunferencia y el tercero en el centro de ella. ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera, si = 30º? A) = B) =2 C) =3 D) =2 E) =310
  13. 13. 17. Circunferencia19. En la circunferencia de centro O, se puede determinar la medida del ángulo CBD, si: (1) se conocen las medidas de los ángulos AOB y ACB. (2) se conocen las medidas de los ángulos DEA y ACB. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.20. El triángulo ABC inscrito en la circunferencia de centro O es equilátero, si: 1 (1) ABO = CBO = AOB 4 (2) AC BC y BAO = 30º A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.21. AB es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo ABC? (1) AB = 2 AC (2) COB = 2 AOC A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.22. En la circunferencia de centro O, se puede determinar la medida del ángulo CDO, si se sabe que: (1) CD // AB (2) AOC DOB A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 11
  14. 14. 2. Lenguaje AlgebraicoRespuestas:1. A 2. E 3. A 4. C 5. E 6. A 7. D 8. A 9. D 10. C 11. E12. A 13. E 14. A 15. D 16. B 17. A 18. D 19. B 20. D 21. D 22. EAnálisis de Alternativas1. ΔPQO es equilátero. Alternativa B: corresponde al POQAlternativa A: CORRECTA. Alternativa C: se multiplicó en vez deAlternativa B: error al restar 6. dividir por dosAlternativa C: se consideró RO OQ Alternativa A: CORRECTA. Alternativa E: CORRECTA.Alternativa D: faltó dividir por 2 ΔABC es equilátero.Alternativa E: corresponde al ROQ 14. 7. Alternativa A: CORRECTA.2. Alternativa D: CORRECTA. Alternativa B: faltó dividir por dosAlternativa E: CORRECTA.  AOB = 90º ACB = AB /2 Alternativa D: se multiplicó en vez deOA OB ( radios) ACB = 60º dividir por dos 9.3. Alternativa A: corresponde al COB 15.Alternativa A: CORRECTA. Alternativa C: corresponde al CBO   Alternativa D: CORRECTA. CA BDII es falsa III es falsa Alternativa D: CORRECTA. 16. 10. Alternativa B: CORRECTA. Alternativa A: corresponde al COB ΔABD es equilátero y CAB = 90º Alternativa C: CORRECTA. Alternativa D: corresponde al OCB 17.4. Alternativa E: se consideró ΔACO isósceles Alternativa A: CORRECTA. BOC = 60ºAlternativa A: corresponde al AOBAlternativa C: CORRECTA. 12. 18.Alternativa D: faltó dividir por dos Alternativa A: CORRECTA. Alternativa D: CORRECTA.Alternativa E: corresponde al BOC ΔABC es recto en C y AO OC Puedes resolver la siguiente ecuación: 6 +(180º-2 )·3=360º5. 13.Alternativa E: CORRECTA. Alternativa A: corresponde al POS12

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