1.
Kalkulus I
3 SISTEM KOORDINAT
3.1 SISTEM KOORDINAT
• Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu
titik.
• Ada beberapa macam sistem koordinat: Sistem Koordinat Cartesius, Sistem
Koordinat Kutub, Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola.
• Pada bagian ini hanya akan dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius saja.
3.2 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS
• Sistem koordinat cartesius terdiri dari 2 garis lurus, satu garis mendatar
(horisontal) dan garis yang lain tegak (vertikal).
• Garis mendatar ini disebut sumbu-x, sedangkan garis yang tegak disebut
sumbu-y.
• Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi
tanda O.
• Biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-bilangan
real positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan
real negatif.
• Titik-titik di sebelah atas O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif
dan di sebelah bawah O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real negatif.
• Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4 daerah, disebut
kuadran, yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV.
Kwadran II Kwadran I
x < 0, y > 0 x > 0, y > 0
O
Kwadran III Kwadran IV
x < 0, y < 0 x > 0, y < 0
Gambar 3.1 Empat Kuadran dalam Koordinat Cartesius
Lukmanulhakim Almamalik III - 1

2.
Kalkulus I
• Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan
(x, y) .
• Titik P(x, y) mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y
masing-masing adalah y dan x .
• Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah
bawah) titik asal O, dan
• Apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau
sebelah atas) titik asal O.
• Sumbu x disebut absis, sedangkan sumbu y disebut ordinat.
Contoh 3.1
Koordinat titik A adalah (-1,4), titik B adalah (3,-1) dan titik P adalah (5,2).
• •
A(−1,4) • • P (5,2)
•
• • • • • • • • • • • •
•
• • B(3,−1)
Gambar 3.2 Titik-titik A, B, dan P dalam koordinat Cartesius
3.3 RUMUS JARAK
• d(P,Q) = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y1 ) 2
Lukmanulhakim Almamalik III - 2

3.
Kalkulus I
y
Q( x2 , y 2 )
y
P( x1, y1 )
x R( x3 , y3 )
O x
Gambar 3.3 Rumus Jarak dari P ke Q
Contoh 3.2
Cari jarak antara titik P(-2,3) dan titik Q(4,-1)
Penyelesaian:
Jarak dari titik P ke titik Q adalah
d(P,Q) = (4 - (-2)) 2 + (-1 - 4) 2 = 36 + 16 = 52 ≈ 7,21
3.4 PERSAMAAN LINGKARAN
• Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap
(jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).
• Persamaan lingkaran yang berjari-jari r dan berpusat di (h,k) mempunyai
persamaan (x – h)2 + (y – h)2 = r2
Lukmanulhakim Almamalik III - 3

4.
Kalkulus I
Contoh 3.3
Persamaan lingkaran r = 3 dan berpusat di (6,4) adalah x – 6 )2 + (y – 4)2 = 9
r =3 • (6,4)
•
•
•
•
•
• • • • • • • • • • • • • •
Gambar 3.4 Lingkaran dengan jari-jari tiga dan berpusat di titik (6,4)
3.5 GARIS LURUS
• Merupakan kurva yang paling sederhana.
y 2 − y1
• Kemiringan Garis = m =
x 2 − x1
y
B(x 2 , y 2 )
y2-y1
A(x 1 , y1 ) x2-x1
Gambar 3.5 Dua titik A dan B dihubungkan membentuk garis
dengan kemitingan m
Lukmanulhakim Almamalik III - 4

5.
Kalkulus I
4 −1 3
m = =
5 −1 4−2 2
m = = -2 y
0−2
3 −1 1 2 −1 1
m= =- m= =
-2−2 2 4−2 2
• (0,5) • (4,4)
(‐2,3) •
• • A( 2,1)
• •(4,2)
(6,1) 1−1
• • m = 6 − 2 = 0
•
• • • • • • • • • • • • •
• • •
x
Gambar 3.6 Persamaan garis dengan kemiringan m yang berbeda-beda.
• Garis yang melalui titik (tetap) (x1, y1) dengan kemiringan m mempunyai
persamaan:
y – y1 = m (x – x1)
dimana m disebut kemiringan titik dari persamaan sebuah garis.
Contoh 3.4
Cari persamaan garis yang melalui titik (-4,2) dan (6,-1)
Penyelesaian:
-1 − 2 3
Kemiringan garis yang melewati titik (-4,2) dan (6,-1) adalah m = =− .
6−4 10
Dengan menggunakan titik (-4,2) sebagai titik tetap, kita dapatkan persamaan
garisnya yaitu
3
y–2= − (x+4)
10
Lukmanulhakim Almamalik III - 5

6.
Kalkulus I
• Persamaan Garis dalam bentuk: Ax + By + C = 0
Contoh 3.5
Ubahlah bentuk persamaan-persamaan garis berikut ke dalam bentuk persamaan
Ax + By + C = 0
a. y – 2 = - 4 (x +2)
b. y = 5x – 3
c. x = 5
Penyelesaian:
Persamaan garis dalam bentuk: Ax + By + C = 0
a. 4x + y + 6 = 0
b. -5x + y + 3 = 0
c. x + 0y -5 = 0
• Persamaan linier umum Ax + Bx + C = 0 , A dan B keduanya tidak 0.
• Dua garis tak-tegak dikatakan sejajar jika dan hanya jika keduanya
mempunyai kemiringan yang sama.
Persamaan garis pertama: y – y1 = m1 (x – x1)
Persamaan garis kedua: y – y2 = m2 (x – x2)
Garis pertama dan kedua sejajar jika m1=m2
• Dua garis tak-tegak saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan
keduanya saling berkebalikan negatif.
Persamaan garis pertama: y – y1 = m1 (x – x1)
Persamaan garis kedua: y – y2 = m2 (x – x2)
Garis pertama dan kedua saling tegak lurus jika m1 . m2 = -1
Lukmanulhakim Almamalik III - 6

7.
Kalkulus I
Latihan 3.1
A. Gambarkan titik-titik berikut pada bidang koordinat dan kemudian carilah
jarak titik-titik tersebut.
1. (2,-1) , (5,3)
2. (4,2),(2,4)
3. (-2,1), (7,13)
B. Carilah persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan berikut
1. Pusat (1,-2), jari-jari 6
2. Pusat (-3,4) jari-jari 8
3. Pusat (2,-1) melalui (5,3)
C. Cari kemiringan dari garis yang mengandung dua titik yang diberikan
1. (2,3) dan (4,8)
2. (-4,2) dan (8,2)
3. (-6,0) dan (0,6)
D. Tuliskan persamaan garis dari soal C ke dalam bentuk Ax + By + C = 0
E. Tulislkan persamaan garis melalui (3,-3) yang:
1. Sejajar garis y = 2x +5
2. Tegak lurus garis y = 2x + 5
3. Sejajar garis 2x + 3y = 6
4. Tegak lurus garis 2x + 3y =6
5. Sejajar garis x = 8
6. Tegak lurus garis x = 8
Lukmanulhakim Almamalik III - 7