Matematica  Funcion Cuadratica
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Matematica Funcion Cuadratica

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  • 1. Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación U. E. N. Zarina de Asuaje Barquisimeto- Edo- Lara Integrantes: Año/Sección: 3er Año Sección “H” Barquisimeto, Junio del 2012 1
  • 2. INDICE PORTADA………………………………………………….………………..PAG. 01 INDICE……………………………………………………………………….PAG. 02 INTRODUCCION…………………………………………………….……..PAG. 03 RESEÑA HISTORICA………………………………………………………PÁG. 04 FUNCION CUADRATICA…………………………………………………PÁG. 05 REPRESENTACION ANALITICA………………………………………..PAG. 06 REPRESENTACION GRAFICA…………………………………………...PAG. 07 RESUMEN…………………………………………………………………...PAG. 08 ANEXOS……………………………………………………………………..PAG. 09 CONCLUSIONES……………………………………………………………PÁG. 11 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………..PAG. 12 2
  • 3. INTRODUCCION El presente trabajo esta diseñado de forma práctica y sencilla para comenzar a conocer un poco de esta extraordinaria herramienta, recorriendo lo conceptos y características de Función Cuadrática, Grafica de Funciones Cuadráticas, raíces, representación analítica, forma desarrollada, forma factorizada, forma crónica, representación grafica, corte con el eje y, corte con el eje x, extremos y un resumen de todo lo visto en el contenido. El Objetivo del trabajo realizado será estudiar más a fondo los nombres antes mencionados representación (Función analítica, Cuadrática, forma Grafica desarrollada, de Funciones forma Cuadráticas, factorizada, forma raíces, crónica, representación grafica, corte con el eje y, corte con el eje x, extremo) para lograr entender la importancia, características y propiedades de los mismos. Esto nos ayudara, mas adelante, de manera significativa a aclarar ciertas dudas que tengamos con respecto a la materia, así mismo aclarar dudas a terceros. 3
  • 4. RESEÑA HISTORICA Función Cuadrática Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la época llamada "La Edad de Oro" del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C. aproximadamente. Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al Álgebra y la Trigonometría. El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa alKhwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas. En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día. Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue François Viète (1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4. 4
  • 5. FUNCION CUADRATICA Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: En donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico. La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica. GRAFICA DE FUNCIONES CUADRATICAS RAICES Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales. Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como * Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo: * Una solución real doble si el discriminante es cero: * Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo: 5
  • 6. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes. FORMA DESARROLLADA La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como: Con FORMA FACTORIZADA Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como: Siendo a el coeficiente principal de la función, y y las raíces de .En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que la factorización adquiere la forma: En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. FORMA CANÓNICA Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: A esta forma de expresión se la llama forma canónica (o reducida). Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el procedimiento llamado completando el cuadrado: Dado: Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal. 6
  • 7. Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad. Se factoriza formando el cuadrado de un binomio. Sustituyendo: La expresión queda: REPRESENTACION GRAFICA CORTE CON EL EJE Y La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0): Lo que resulta: La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función. A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen CORTE CON EL EJE X La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función: Se tiene que: 7
  • 8. Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión: Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales). EXTREMOS Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo. la coordenada x del Dada la función en su forma desarrollada: vértice será simplemente: La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto. Dada la forma canónica: las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k). RESUMEN Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:  Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.  Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.  Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.  Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.  Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)  Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.  La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a. 8
  • 9. 9
  • 10. Cortes con los ejes Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas Representación gráfica de una función cuadrática Partes Aplicación de Valor Absoluto a Función Cuadrática Viete 10
  • 11. CONCLUSIONES El trabajo antes mencionado nos permitió entender y conocer acerca de la Función Cuadrática, Grafica de Funciones Cuadráticas, raíces, representación analítica, forma desarrollada, forma factorizada, forma crónica, representación grafica, corte con el eje y, corte con el eje x, extremos. Habiendo analizado y entendido estos conceptos presentados estaremos mejor preparados, no solo en el área de matemáticas, sino también en la parte de simetría. 11
  • 12. BIBLIOGRAFIA 1. Grupo Epsilon, ed (9 de 1994) (en español). Estudio de funciones : la función cuadrática (1 edición). Fundación Bancaja. ISBN 978-84-88715-06-7. 2. Gallego Palomero (7 de 1989) (en español). Función cuadrática (1 edición). Ediciones SM. ISBN 978-84-348-2869-8. 3. thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm 4. www.juntadeandalucia.es/.../funciones/teoriafuncioncuadratica/... 5. matematicatuya.com/FUNCIONES/11funcionescuadraticas.html 6. www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html 12