Logica

Lógica

Fernando Fontes

Universidade do Minho

Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65

Outline

1 Introdução

2 Implicações e Equivalências Lógicas

3 Mapas de Karnaugh

4 Lógica de Predicados

5 Argumentação Matemática

6 Indução Matemática


Introdução

Lógica

Importância da lógica:
Precisar argumentos matemáticos
Verificar a sua validade
Programação de computadores
Verificar a correcção de algoritmos
Circuitos electrónicos digitais

Definição
Uma proposição é uma afirmação que pode ser classificada como
verdadeira ou falsa.


Introdução

Exemplos de proposições:
Guimarães é a capital de Portugal.
x + y = y + x para quaisquer x, y ∈ R.
A milionésima casa decimal de π é 5.
(Não precisamos de saber o valor para considerarmos se é proposição)

4 é positivo e 3 é negativo.
Se hoje é Domingo, então 1 + 1 = 3.
Contra exemplos:
Vamos almoçar?
Estejamos atentos!
x −y =y −x
(Para que valores de x e y ?)


Introdução

Cálculo Proposicional I

Valores Lógicos:
Verdadeiro, representado por V ou 1.
Falso, representado por F ou 0.

Operadores Lógicos:
Negação: Negação de p é representado por ¬p (também
representado por p em expressões lógicas).
¬p é verdadeiro se p for falso e é falso se p for verdadeiro.
Exemplo:
p: Hoje é Domingo.
¬p: Hoje não é Domingo.


Introdução

Cálculo Proposicional II

E(Conjunção): A conjunção de p e q é representada por p ∧ q
(também por p.q ou pq).
p ∧ q é verdadeiro se p e q forem ambos verdadeiros. É falso se p
for falso ou se q for falso (ou ambos).
Exemplo:
q: Hoje está a chover.
p ∧ q: Hoje é Domingo e está a chover.
OU(Disjunção): Disjunção de p ou q é representada por p ∨ q.
p ∨ q é verdadeiro se p for verdadeiro ou se q for verdadeiro. É
falso se p e q forem ambos falsos.


Introdução

Tabelas de verdade I

NEGAÇÃO CONJUNÇÃO DISJUNÇÃO
p ¬p p q p∧q p q p∨q
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1

(Tem que explicitar todas as combinações possíveis.)


Introdução

Tabelas de verdade II

(p ∧ q) ∨ (¬r )
p q r p∧q ¬r (p ∧ q) ∨ (¬r )
0 0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1


Introdução

Outros Operadores Lógicos I

OU EXCLUSIVO: representado por p ⊕ q.
p ⊕ q é verdadeiro quando exactamente uma das proposições p
ou q é verdadeira. É falso quando p e q tiverem o mesmo valor
lógico.

p q p⊕q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


Introdução

Outros Operadores Lógicos II

IMPLICAÇÃO (material): p implica q é representado por p → q.
p → q é falso quando p é verdadeiro e q é falso. É verdadeiro em
qualquer outro caso.

p q p→q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1


Introdução

Outros Operadores Lógicos III

Podemos ler p → q como:
p implica q
Se p então q
p é condição suﬁciente para q
q é condição necessária para p
q sempre que p
q se p

Numa implicação p → q chamamos:
A p a hipótese, o antecedente ou a premissa.
A q a conclusão, ou consequência.


Introdução

Outros Operadores Lógicos IV

EQUIVALÊNCIA (material): p equivale a q, ou p se e só se q,
representado por p ↔ q.
p ↔ q é verdadeiro se p e q tiverem os mesmos valores lógicos.
É falso no outro caso.

p q p↔q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


Introdução

Expressões Lógicas I

Regras de Precedência:
¬ precedência mais alta
∧,∨,⊕ nível de precedência seguinte
→, ↔ precedência mais baixa
Exemplo:
p ∨ ¬q → ¬p ∧ q deve ler-se como:

(p ∨ (¬q)) → ((¬p) ∧ q)

Atenção a expressões ambíguas do tipo p ∨ q ∧ r ou do tipo
p → q → r.


Introdução

Expressões Lógicas II

Exercício:
Veriﬁque que (p ∨ q) ∧ r tem uma tabela de verdade diferente de
p ∨ (q ∧ r ).
Veriﬁque que (p → q) → r tem uma tabela de verdade diferente
de p → (q → r ).


Implicações e Equivalências Lógicas

Implicações e Equivalências Lógicas I

Deﬁnição
Uma expressão lógica que seja sempre verdadeira (quaisquer que
sejam os valores lógicos das proposições que a compõem) é
chamada uma Tautologia.

Deﬁnição
Uma expressão lógica que seja sempre falsa é chamada uma
Contradição.



Implicações e Equivalências Lógicas II

Exemplo
p → p é uma tautologia.

p p→p
0 1
1 1
p ∧ ¬p é uma contradição.

p p ∧ ¬q
0 0
1 0



Implicações e Equivalências Lógicas III

Exercício
Veriﬁque que são tautologias as seguintes expressões:
1 (a ∨ b) ∨ (¬a ∧ ¬b)
2 (a → b) ↔ ((¬a) ∨ b)



Equivalência Lógica (⇔) I

Dizemos que uma expressão lógica f1 é logicamente equivalente a
outra expressão f2 se e só se os valores lógicos de ambas as
expressões forem iguais quaisquer que sejam os valores lógicos das
proposições que as compõem.
Isto é, as últimas colunas das tabelas de verdade de f1 e f2 são iguais.
Conclui-se que:

f1 ⇔ f2 se e só se f1 ↔ f2 é uma tautologia.



Equivalência Lógica (⇔) II

As equivalências lógicas são úteis para simpliﬁcar expressões.



Equivalência Lógica (⇔) III

Exercício:
Veriﬁque as leis de De Morgan:
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
Veriﬁque p → q ⇔ ¬p ∨ q



Implicação Lógica (⇒) I

Dizemos que uma expressão lógica f1 IMPLICA LOGICAMENTE outra
expressão f2 se e só se quaisquer que sejam os valores lógicos das
proposições que compõem f1 e que tornam f1 verdadeira, também
tornam f2 verdadeira.
Isto é, sempre que na última coluna da tabela de verdade de f1 ocorrer
um valor verdadeiro, terá que ser também verdadeiro o valor
correspondente na última coluna da tabela de verdade de f2 .
Conclui-se que:

f1 ⇒ f2 se e só se f1 → f2 é uma tautologia.



Implicação Lógica (⇒) II

As implicações lógicas são úteis na demonstração de argumentos matemáticos.

Exercício:Veriﬁque o seguinte argumento de redução ao absurdo:
Se ¬p implica uma contradição, então p é verdadeiro.



Implicação Lógica (⇒) III

Forma normal disjuntiva:
Expressão na forma de disjunção de termos compostos por
conjunções e negações.
Exemplo:

(¬p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q¬r ) ∨ (¬p ∧ r )
Forma normal conjuntiva:
Expressão na forma de conjunções de termos compostos por
disjunções e negações.
Exemplo:

(¬p ∨ q ∨ r ) ∧ (p ∨ q¬r ) ∧ (¬p ∨ r )



Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de
verdade. I

Exemplo:

p q p⊕q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

1 Considere as linhas da tabela que dão resultado verdadeiro.
No exemplo 2a e 3a linhas.



verdade. II

2 Para cada uma dessas linhas conjugue as entradas verdadeiras
com a negação das entradas falsas.
No exemplo: 2a linha: ¬p ∧ q
3a linhas: p ∧ ¬q
3 Faça a disjunção das expressões obtidas para cada linha.
No exemplo: (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)



verdade. III

Exercício: Transforme na forma normal disjuntiva as seguintes
expressões:
1 (p ∧ ¬q) → r
2 (¬p → q) ∧ (r ∨ p)

Expressões na forma normal disjuntiva são habitualmente escritas
representando a conjunção a ∧ b por a · b ou ab (com precedência
superior à disjunção) e a negação ¬a por a.
Assim, (p ∧ q ∧ ¬r ) ∨ (p ∧ q¬r ) poderá ser representado como
pqr ∨ pqr



verdade. IV

Uma das simplificações mais usuais de expressões na forma normal
disjuntiva é agrupar termos que diferem apenas no valor de uma das
variáveis. (termos adjacentes)
Exemplo: abc ∨ abc = ab(c ∨ c) = ab ∧ 1 = ab
Se tivermos expressões mais complexas poderá não ser tão fácil
identificar as possíveis simplificações.
Exemplo: abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd =? poderemos recorrer
a métodos gráficos para simplificar.


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh I

Método gráﬁco para simpliﬁcar expressões lógicas na forma normal
disjuntiva que não tenham um número muito elevado de variáveis
(tipicamente até 6 variáveis).
Mapas de Karnaugh para expressões de 2 variáveis
a) xy ∨ xy
b) xy ∨ xy
c) xy ∨ xy ∨ xy
d) x ∨ y


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh II

Objectivo: Agrupar células adjacentes formando blocos.
Blocos com 2 células → termos com uma variável
Blocos com 1 célula → termos com 2 variáveis.

Cobrir o mapa com blocos de tamanho o maior possível.

a) y b)xy ∨ xy c) x ∨ y d) x ∨ y


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh III

f = f (x, y , z)

Células adjacentes diferem apenas
numa variável.

1a célula é adjacente à 4a coluna!


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh IV

Blocos com 1 célula → termo com 3 variáveis
Blocos com 2 células → termos com 2 variáveis.
Blocos com 4 células → termos com 1 variável.

Exemplo

xy z ∨ xy z ∨ yz ∨ x


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh V

Objectivo da simpliﬁcação:
Cobrir o mapa com blocos (formados por células adjacentes) de tamanho o
maior possível (e com o menor número possível de blocos).
Questão: Como cobrir o mapa anterior com 3 blocos de 4 elementos.
Solução:

x ∨y ∨z

Exercício: Simpliﬁque as seguintes expressões:
xy ∨ xy z ∨ xyz
yz ∨ xy z ∨ xy

Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh VI


Células adjacentes diferem apenas numa variável
1a coluna é adjacente à 4a coluna!
1a linha é adjacente à 4a linha!


Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh VII

Exemplo:

f (x, y , w, z) = xywz ∨ xy wz ∨ xywz ∨ xy wz

Um bloco de 4 células adjacentes!

f (x, y , w, z) = yz


Lógica de Predicados


Considere as afirmações:

P(x): x >3
Q(x, y ): x =y +3
R(x, y , z): x + y − z é par
Estas afirmações não podem ser classificadas como verdadeiras ou
falsas enquanto os valores para as variáveis não forem especificadas.
Mas,
P(2) é falso
Q(6, 3) é verdadeiro
R(2, 2, 3) é falso



Quantificadores

Definição:
Um predicado ou função proposicional é uma afirmação envolvendo
variáveis tal que qualquer substituição de cada variável por um ponto
do seu domínio, torna a afirmação numa proposição.

Quantificadores
Uma alternativa a atribuir valores específicos às variáveis de um
predicado é utilizar quantificadores que também transformam os
predicados em proposições.



Quantiﬁcador Universal ∀ I

∀x P(x)

Para todo o x P(x)

Qualquer que seja x P(x)

“Para todos os valores de x pertencentes ao universo do discurso, a
proposição P(x) é verdadeira.”
O universo poderá (e deverá) ser especiﬁcado quando há
ambiguidades
Exemplo:
∀x∈R x 2 ≥ 0 é uma proposição verdadeira.
∀x∈C x 2 ≥ 0 é uma proposição falsa.



Quantiﬁcador Universal ∀ II

Quando o universo do discurso é ﬁnito
Exemplo:
x ∈ {1, 2, 3, 4}
A proposição

∀x∈{1,2,3,4} P(x)
pode ser escrita como conjunção
P(1) ∧ P(2) ∧ P(3) ∧ P(4)
(i.e. P tem que ser verdadeiro para 1, 2, 3 e 4)

Exercício: ∀x P(x, y ) é Predicado ou Proposição?



Quantiﬁcador Existencial, ∃ I

∃x P(x)

Existe um x tal que P(x).

Existe pelo menos um x tal que P(x).

“Para algum x pertencente ao universo do discurso a proposição P(x)
é verdadeira.”
Da mesma maneira o universo poderá ser especiﬁcado
∃x∈R 2x = 1 é verdadeiro
∃x∈N 2x = 1 é falso



Quantificador Existencial, ∃ II

Quando o universo é finito a proposição

∃x∈{1,2,3,4} P(x)

é o mesmo que a disjunção
P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) ∨ P(4).

Exercício: Justifique que (∀x P(x)) ⇒ (∃x P(x)).



Quantiﬁcador Existencial, ∃ III

∀x P(x)

Para ser verdadeiro, P(x) tem que ser verdadeiro para todos os
valores de x.

Para ser falso basta que arranjemos um exemplo para o qual P(x)
é falso.
Logo,

¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x (¬P(x))



Quantificador Existencial, ∃ IV

∃x P(x)
Para ser verdadeiro, basta que encontremos um exemplo de x para
o qual P(x) é verdadeiro.
Para ser falso teremos que mostrar que não há nenhum exemplo
de um valor de x para o qual P(x) seja verdadeiro. Por outras
palavras, para ser falso, P(x) tem que ser falso para todos os
valores de x.

Logo,

¬(∃x P(x)) ⇔ ∀x (¬P(x))
Exercício: Utilize as Leis de Morgan para verificar as expressões
anteriores para um universo finito {1, 2, 3, 4}.



Quantiﬁcador Existencial, ∃ V

Atenção à ordem dos quantiﬁcadores!

Exemplo: Qual o valor lógico das seguintes proposições?
P: ∀x∈{1,2} ∃y ∈{1,2} x = y
Q: ∃y ∈{1,2} ∀x∈{1,2} x = y

P é verdadeiro!
Q é falso!



Tradução de linguagem natural para expressões lógicas I

Exemplo 1:
“Toda a gente tem um bom amigo.”
Seja B(x, y ) : y é um bom amigo de x.
∀x ∃y B(x, y ).

Exemplo 2:
“Há alguém que é bom amigo de toda a gente.”
∃y ∀x B(x, y ).

Exemplo 3:
“Toda a gente tem exactamente um melhor amigo.”
Seja M(x, y ) : y é o melhor amigo de x.
∀x ∃y ∀z (M(x, y ) ∧ (z = y )) → ¬M(x, y ).



Tradução de linguagem natural para expressões lógicas II

Exemplo 4:
“O Marco Paulo tem pelo menos 2 amores.”
Seja A(x): x é o amor do Marco Paulo.
∃x ∃y A(x) ∧ A(y ) ∧ (x = y ).

Exemplo 5:
“O Marco Paulo tem exactamente 2 amores.”
∃x ∃y ∃z [A(x) ∧ A(y ) ∧ (x = y ) ∧ (x = z) ∧ (y = z)] → ¬A(z).


Argumentação Matemática

Argumentação Matemática I

Como veriﬁcar se um argumento matemático está correcto?
Como cosntruir argumentos matemáticos que permitam mostrar
que uma proposição ou teorema são verdadeiros?
Um TEOREMA é uma aﬁrmação que se pode mostrar ser verdadeira.
Um teorema é habitualmente escrito na forma:
H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ⇒ C
em que as proposições:
H1 , H2 , . . . , Hn são as HIPÓTESES
C é a CONCLUSÃO.
Lemas e Corolários são casos particulares de teoremas.



Argumentação Matemática II

Lemas sem importância própria, usados na demonstração de outros
teoremas.
Corolários são casos particulares de um teorema.

Uma Demonstração de um teorema consiste numa sequência de
proposições que termina na conclusão (C) e que são Válidas.
Para uma proposição de uma demonstração ser válida deverá ser:

ou uma das hipóteses (H1 , H2 , . . .),
uma tautologia conhecida,
derivar de uma proposição anterior por substituição de variáveis livres
(ie variáveis não associadas a um quantiﬁcador),
ou derivar de proposições anteriores por Regras de Inferência.



Regras de Inferência I

P1
P2
. lê-se: P1 , P2 , · · · , Pk logo Q
.
.
Signiﬁcado: P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pk ⇒ Q
Pk
∴ Q

Algumas regras de inferência mais usuais:

Regra Tautologia Nome
p
p → (p ∨ q) Adição
∴ p∨q

p∧q
(p ∧ q) → p Simpliﬁcação
∴ p



Regras de Inferência II
Regra Tautologia Nome
p
p→q [p ∧ (p → q)] → q Modus Ponens (destacamento)

∴ q

¬p
p→q [¬q ∧ (p → q)] → ¬p Modus Tollens
∴ ¬p

p→q
q→r [(p → q) ∧ (q → r )] → (p → r ) Silogismo de hipótese
∴ p→r

p∨q
¬p [(p ∨ q) ∧ ¬p] → q Silogismo de Disjunção
∴ q


Regras de Inferência III

Exemplo 1
Veriﬁque formalmente o seguinte argumento:
“Está frio. Logo está frio ou está chuva.”
p: “está frio”
q: “está chuva”

1 p por hipótese
2 p ∨ q por 1 e adição.



Regras de Inferência IV

Exemplo 2
Veriﬁque o argumento:
“Se hoje estiver sol vou à praia.
Hoje está sol. Logo vou à praia.”
p: “está sol”
q: “vou à praia”

1 p→q por hipótese
2 p por hipótese
3 q por 1,2 e Modus Ponens.



Regras de Inferência V

Exemplo 3
Veriﬁque o seguinte argumento:
“Se eu estudar ou se eu for um génio, então vou passar a MD Se eu
passar a MD vou ter umas boas férias. Logo, se eu não tiver umas
boas férias não sou um génio.”
Uma possível demonstração:
e: “eu estudo”
g: “eu sou um génio”
p: “vou passar a MD”
f : “vou ter umas boas férias”



Regras de Inferência VI

1 e ∨ g → p por hipótese
2 p → f por hipótese
3 g →e∨g adição
4 g →g∨e 3, comutatividade da disjunção
5 g→p 4,1, silogismo da hipótese
6 g→f 5,2, silogismo da hipótese
7 ¬f → ¬g 6, contrapositivo.



Técnicas de Demonstração I

Demonstração Directa
H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ⇒ C
Começando pelas hipótese e usando as regras de inferência,
tautologias e outras proposições válidas tentar chegar à
conclusão C.
Demonstração por Contradição (redução ao absurdo)
H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ∧ ¬C ⇒ contradição
Demonstração do contrapositivo
¬C ⇒ ¬(H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn )



Técnicas de Demonstração II

Demonstração por enumeração dos casos
Usa o facto que
H1 ∨ H2 ∨ . . . ∨ Hn ⇒ C
é equivalente a

(H1 ⇒ C) ∧ (H2 ⇒ C) ∧ . . . ∧ (Hn ⇒ C)

Cada um pode ser mostrado separadamente.



Técnicas de Demonstração III

Exemplo
Mostre que se 3n + 2 é ímpar, então n também é ímpar
i) por contradição
ii) por contrapositivo

i) Por contradição
(3n + 2 é ímpar) ∧ (n é par) ⇒ contradição
Por hipótese:
3n + 2 = 2k + 1 para algum k inteiro
n = 2l para algum l inteiro
Mas
3n + 2 = 3(2l) + 2 = 6l + 2 = 2k + 1



Técnicas de Demonstração IV

Da última igualdade
k = 6l+1 = 3l + 1
2 2

Como k e l são inteiros, temos uma contradição.
ii) Pelo contrapositivo (n par) ⇒ (3n + 2 par)
Por hipótese
n = 2k , k inteiro
Donde
4n + 2 = 3(2k ) + 2 = 2(3k + 1) é par.



Técnicas de Demonstração V

Exemplo:
Mostre que se n não é divisível por 3 então a divisão de n2 por 3 dá
sempre resto 1. (Sugestão: use enumeração de casos)

i) Resto 1. n = 3k + 1, k inteiro
ii) Resto 2. n = 3k + 2, k inteiro

i) n2 = (3k + 1)2 = 9k 2 + 3k + 1 = 3(3k 2 + k ) + 1, resto 1.
ii) n2 = (3k + 2)2 = 9k 2 + 6k + 4 = 3(3k 2 + 2k + 1) + 1, resto 1.


Indução Matemática

Técnica de demonstração de teoremas do tipo:
“P(n) é verdadeiro para qualquer inteiro positivo n.”
Exemplo:
n(n+1)
Mostre que o somatório dos n primeiros inteiros é igual a 2 , para
qualquer n inteiro positivo n.
É fácil veriﬁcar para os primeiros



1=1
1+2
1+2=2 =3
2
1+3
1+2+3=6=3
2
1+4
1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4
2

Mas por enumeração não conseguimos mostrar para todos os inteiros
positivos n.



Indução Matemática I

1 Passo de Base: Mostrar que P(1) é verdadeiro.
2 Passo de Indução: Assumindo que P(k ) é verdadeiro, mostrar
que P(k + 1) também é verdadeiro, para qualquer k . (i.e.
P(k ) → P(k + 1), ∀k )

Expressando a Indução Matemática como uma Regra de Inferência:
P(1)
P(k ) → P(k + 1), ∀k ∈N
∴ P(n), ∀k ∈N
Ou como

[P(1) ∧ (P(k ) → P(k + 1), k ∈ N)] ⇒ P(n), ∀n∈N



Indução Matemática II

n(n+1)
“O somatório dos n primeiros inteiros é igual a 2 ”
Demonstração por indução matemática

1 Passo de base
1·2
P(1) : 1 = 2 = 1 verdadeiro
2 Passo de indução (P(k ) → P(k + 1))
P(k ) : 1 + 2 + . . . k = k k +1
2
k +2
P(k + 1) : 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (k + 1) · 2
k (k +1)
P(k ) → 1 + 2 + . . . k = 2
(k +1)(k +2)
→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = 2 + (k + 1)



Indução Matemática III

k (k +1)+2(k +1)
→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = 2
(k +1)(k +2)
→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = 2

→ P(k + 1)
Verdadeiro



Interpretação I

O primeiro dominó tomba.
Se um qualquer dominó tombar, então o seguinte tomba também.

∴ todos os dominós tombam.



Interpretação II

Exercício:
Mostre a fórmula da soma de uma progressão geométrica
n
rn − 1
ri = r .
r −1
n=1
Mostre que 2n < n! para n ≥ 4.
Se o cardinal de um conjunto A for n, então o número de
subconjuntos de A é igual a 2n . Mostre por indução.


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