1. UNIVERSIDAD NACIONAL
“HERMILIO VALDIZAN”
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
TEMA: LINEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS ISOSTATICAS
METODO DE LA RIGIDEZ EN PORTICOS
(KARDESTUNCER)
CURSO: ANALISIS ESTRUCTURAL II
DOCENTE: ING. ANTONIO DOMINGUEZ MAGINO
Huánuco, Febrero del 2012

3. En cambio si aplicamos en el apoyo B, la
reacción en el apoyo A será cero.
Ca r ga = 1
A B
Debemos indicar que las líneas de Rea c c ió n = 1
influencia para vigas estáticamente
determinadas se componen de tramos Ca r ga = 1
rectos debido a que las reacciones son
A B
siempre lineales con respecto a la posición
de carga concentrada. Rea c c ió n = 0
Considerando una viga simplemente
apoyada, tal como se muestra en la figura. Con estos datos obtenidos procedemos a
graficar el diagrama de líneas de
A B influencia.
E
L A B
Línea de influencia
de la reacción en A
1
y
Procedemos a realizar el proceso constructivo
de las líneas de influencia de la reacción en el
apoyo A, para ello utilizamos una carga L
unitaria vertical y hacia abajo.
Si la ubicamos en el apoyo A, en dicho punto
obtendremos una reacción de igual valor y
dirección pero de sentido opuesto. Si aplicamos una carga unitaria en el punto
E de la viga mostrada, la reacción a
obtenerse en el apoyo A será “y”, medida
sobre el diagrama de líneas de influencia

4. En la línea de influencia de la reacción en A
Considerando que sobre la viga actúa una por semejanza de triángulos tenemos:
carga puntual vertical P, a una distancia x del
apoyo B de la viga.
Las líneas de influencia para las reacciones
en los apoyos A y B se muestran a
continuación Por lo tanto la reacción en el apoyo A debido
L
a la carga P es la siguiente:
P
E
A B
1
De forma similar para el apoyo B, el valor de
y
la reacción debido a la carga P es la
siguiente:
1
y´
L- x x

5. De aumentar las cargas puntuales
verticales dispuestas sobre la viga, la
reacción en el apoyo se obtendrá de la Hallar el valor de las reacciones en los
suma de los efectos producidos por cada
uno de ellos, tal como indica el principio apoyos de la viga ABD.
de superposición
0 .5m
P Q S
40 T
A B 60 T
10 T/ m
A B C D
1
2m 2m 2m 2m
C D
E
c
d
e
L
Al no existir fuerzas en la dirección
horizontal aplicadas a la viga la
componente horizontal de la reacción en
A es cero, además la viga es
estáticamente determinada.

6. Línea de influencia para el apoyo A Línea de influencia para el apoyo B
 Aplicando una carga unitaria en A, la  Aplicando una carga unitaria en A o en
reacción en este punto será igual a uno. D, la reacción en B será en ambos
casos cero.
 Aplicando una carga unitaria en B o en D,  Aplicando una carga unitaria en B, la
la reacción en A será en ambos casos reacción en este punto será igual a uno.
cero.
 Aplicando una carga unitaria en C, la
 Aplicando una carga unitaria en C, la reacción en B será mayor que la carga
reacción en A será diferente de cero, pero aplicada y su sentido será hacia arriba.
cuyo sentido es hacia abajo.
0 .5m
40 T 0 .5m
60 T
10 T/ m
40 T
60 T
10 T/ m
A B C D
A B C D
2m 2m 2m 2m
2m 2m 2m 2m
1.0
3/ 2
1/ 2 1.0
1/ 2
0 3/ 8
- 1/ 8
0
- 1/ 2

7. Línea de influencia para el apoyo D Reacción en A:
 Aplicando una carga unitaria en D, la Debido a la carga distribuida
reacción en este punto será igual a uno.
 Aplicando una carga unitaria en
cualquier parte de la viga AC, la Por las cargas puntuales:
reacción en D será igual a cero.
0 .5m
Por lo tanto la reacción en A será:
40 T
60 T
10 T/ m
A B C D Reacción en B:
Debido a la carga distribuida
2m 2m 2m 2m
1.0
3/ 4
Por las cargas puntuales:
Por lo tanto la reacción en B será:
0
Reacción en D:
Una ves determinado las líneas de
influencia, procedemos a hallar las Por las cargas puntuales:
reacciones en los apoyos.

8. E
A B
Consideremos una viga simplemente
apoyada, tal como se muestra, en la cual se Línea de influencia
Momentos en E
desea conocer los momentos que se M N
originan en una sección E, debido a un
sistema de cargas cualesquiera dispuesta
sobre ella. En caso que se desee conocer el valor de
E alguna ordenada del diagrama obtenido se
A B procede de la siguiente manera:
L  De acuerdo al punto en donde se desea saber
la ordenada del diagrama de influencia, se
mide la distancia desde ese punto al apoyo
A partir de la sección E, se mide su distancia correspondiente.
hacia los apoyos, consideremos que para  El valor de la ordenada buscada será igual a
este caso es M y N. una fracción del máximo momento en la
La mayor longitud vertical del diagrama la sección.
E
cual se colocará en la sección E, será igual
A B
al cociente entre el producto y la suma de
1 2
dichas distancias M y N.
Determinado el valor máximo, se procede a
une el extremo del segmento con los
extremos, tal como se muestra en la figura.
x y
M N

9. Determinar el valor del momento flector a Determinamos el diagrama de líneas de
dos metros del apoyo izquierdo de la viga influencia para una sección E a 2m. del
mostrada. apoyo.
40 T
20 T
E 2 T/ m
A B
40 T
20 T
2 T/ m
A B A D
B C
0 .5m 2m 1.5m 1m

10. La posición máxima del momento se
determina derivando el momento con
respecto a e igualando a cero.
 Carga concentrada única:
Considerando una viga simple apoyada de
luz L sobre la cual actúa una carga P, a una El momento máximo se producirá al centro
distancia P de uno de los apoyos de la luz, cuando la carga este aplicada en
ella, siendo su valor:
P
A B
 Tren de cargas concentradas:
F
El máximo momento se produce las fuerzas
se hallan colocadas de manera que el punto
medio del tramo divide en partes iguales la
distancia entre aquella carga y la resultante
de todas las que actúa sobre la viga
Considerando una viga simplemente
apoyada de luz mayor a 8.40 m, determinar
la sección en la que se produce el momento
flector máximo, para el sistema de cargas
móviles del semitrailer HS-20 de la norma
americana.

11. En forma similar calculando el momento
respecto al apoyo A de la resultante del
Normalicemos el tren de cargas del HS-20 sistema tenemos:
poniendo el sistema en función a la carga del
eje delantero. Maximicemos el momento
reduciendo al mínimo las distancias entre ejes
posteriores. Denominemos “n” al valor de la
distancia entre la carga central y la sección ala Igualando ambas expresiones obtenemos:
centro de la luz de la viga. n=0.7m
4 .2 m 4 .2 m
n n Entonces para el sistema de cargas del HS-20,
el momento flector máximo se producirá en una
P 4P 4P sección de la viga a 0.7m del eje central de la
A B misma y su valor será calculado considerando
R= 9 P que la carga del eje central se encuentra en
dicha sección.
4 .2 m 0 .7 m 3 .5m
Calculando el momento del sistema de
cargas respecto al apoyo A tendremos: P 4P 4P
A B
P=3629kg=8000Lb

12. P
E
A B
Considerando una viga simplemente apoyada AB,
Ra Rb
en la cual deseamos conocer los esfuerzos de
corte que se originan en una sección E bajo la
acción de una carga concentrada vertical P.
Cuando la fuerza P se encuentra a la derecha de la (+ ) Ve
sección E, el esfuerzo de corte en dicha sección es
positivo y numéricamente iguala a la reacción que (- )
se produce en el apoyo izquierdo.
P
E
A B
Así, las líneas de influencia del esfuerzo de corte
Ry se obtendrán tomando las zonas sombreadas de
Rx
los dos diagramas de líneas de influencia de las
reacciones en los apoyos, tal como se indica.
(+ ) y E
A B
Ve (- )
1.0 Rb
Cuando la fuerza P se encuentra a la izquierda
de la sección E, el esfuerzo de corte en dicha
sección es negativo y numéricamente iguala a la
reacción que se produce en el apoyo derecho. 1.0
a b

13.  En una sección a 1.20 m del apoyo izquierdo:
Se tiene una viga simplemente apoyada de 4.80 m
de luz, la cual se halla en toda su longitud sometida
a la acción de una carga uniformemente repartida
de 2.4 ton/m. Se desea conocer: A E B
 ¿Cuál es el máximo esfuerzo de corte positivo que
puede producirse en la viga y en que sección se
ocasionaría?
 ¿Cuál es el valor del esfuerzo de corte en una
sección a 1.20 m del apoyo izquierdo?
 El máximo esfuerzo de corte positivo se producirá
en el apoyo izquierdo, siendo su valor
Corte positivo:
A B
Corte negativo:
Corte en E:

15. C ó (0.25C+W)
(C ó T)+W

16. 0.90 (2C+W)

17. SOLUCIÓN
*El momento máximo se origina en el tramo BC y los mayores esfuerzos para el momento
positivo se da en algún punto del tramo BC para el cual se aplicará TEOREMA DE BARETT, y
el mayor esfuerzo para el máximo momento negativo se da en los puntos R1 Y R2 de los
tramos de AB y CD.

18. *Tramo BC: Aplicando el teorema de BARETT
14.78 (4.30) +3.57 (8.60) = 33.13 X
X=2.85m
X1= 1.45m

20. Mmax. (+) = 14.78 (2.97 +4.96 ) +3.57 (2.66)
Mmax. (+) = 126.70 Tn - m
•Tramo AB y CD
Mmax. (-) = 14.78 (3.21 +4.62 ) + 3.57 ( 2.62) + 14.78 ( 3.02 + 5.35) + 3.57 ( 2.44)
Mmax. (-) = 257.48 Tn - m

21. -Tandem (T)
11.2×1.2 = 22.4×X
X = 0.6
Mt = 11.2 ( 6.49 + 4.41)
Mt = 122.08 tn –m

22. -sobrecarga = W = 0.96 Tn/m
w = 0.96 tn/m
Mw =0.96×4.96×20/2
Mw =47.60 tn-m
-Tandem (T)
Mt = 11.2 (4.44 + 4.62) + 11.2 (4.66 +
5.35)
Mt = 213.58 tn - m

23. -sobrecarga = W = 0.96 Tn/m
w = 0.96 tn/m w = 0.96 tn/m
Mw =0.96×( (4.62×25/2)+ (5.34×18/2))
Mw =101.66 tn-m
(C ó T)+W
*126.69 ×1.33 +47.60 =216.10 tn - m
*257.48×1.33 + 101.66 = 444.11 tn -m

25. 1. Esto es aplicable a aquellos marcos rígidos planos donde los elementos
prismáticos están rígidamente unidos entre si y las cargas están
únicamente aplicadas solamente sobre los nudos.
2. Los ejes locales propuestos están orientados de tal manera que ningún
extremo de un elemento tenga preferencia. y
x
i
z
j
z
x
y
3. El objetivo del método matricial de rigidez para el análisis es establecer
la relación entre las cargas externas dadas y los desplazamientos en los
nudos de la estructura.
La matriz de rigidez de un elemento prismático en los marcos rígidos
planos puede entonces obtenerse de esta ecuación suprimiendo
aquellas filas y columnas que no son aplicables.

26. 4. Para transformar la ecuación de coordenadas locales a generales,
necesitara de la matriz de rotación R entre estos sistemas de
coordenadas, donde los cosenos directores de los ejes locales en “i” del
elemento ij con respecto a los ejes generales son:

27. 4. Tanto ∆i como ∂ij representan la misma cantidad vectorial en dos sistemas
diferentes:
5. Con el fin de tratar con una matriz de rotación, se realiza lo siguiente:

29. Ejemplo:
Solución:
Calcular las reacciones en el La ecuación general es:
siguiente marco rígido plano
{P} = [K]*{∆}
debido a las cargas mostradas.
EI/EA = 100 pies2, en todos los
elementos.
Los desplazamientos (∆1 y ∆3) están
80 k-pies restringidos, por lo tanto la ecuación
general se reduce a:
{P2} = [K22]*{∆2}
60 k. Donde:
{P2} : Vector de cargas en el
30
y nudo 2.
pies
x
[K22] : Matriz de rigidez global.
20 pies 40 pies
[K22] = -([K221]+[K223])
{∆2} : Vector de desplazamientos
del nudo 2.

30. Elemento 2-1:
Matriz de Rigidez Global de 2-1:
[K221] = [R21]T[K21][R21]
Matriz de Rigidez Local del
Elemento 2-1:
Elemento 2-3:

31. Matriz de Rigidez Local del Matriz de Rigidez Global de 2-2:
Elemento 2-3:
[K22] = -([K221]+[K223])
Calculo de los desplazamientos
del nudo 2:
{P2} = [K22]*{∆2}
{∆2} = [K22]-1{P2}
Matriz de Rigidez Global de 2-3:
[K223] = [R23]T[K23][R23]

32. Calculo de las Reacciones:
Elemento 1-2:
{P1} = [K12]{∆2}
Matriz de Rigidez Global de 1-2:
[K12] = [R12]T[K12][R12]
Matriz de Rigidez Local del
Elemento 1-2: Reacciones del apoyo 1:
{P1} = [K12]{∆2}

33. Elemento 3-2:
{P3} = [K32]{∆2}
Matriz de Rigidez Global de 3-2:
[K32] = [R32]T[K32][R32]
Matriz de Rigidez Local del
Elemento 3-2: Reacciones del apoyo 3:

34. Ejemplo:
Solución:
Calcular las reacciones para las La ecuación final completa es:
cargas indicadas.
E, I y A son constantes.
I/A = 1000.
Por condiciones de contorno:
15 k-pies
∆i=0 i=3,4
15 k.
La ecuación final es:
6
pies
10 k.
Las matrices de Rigidez de los elementos
son:
10 Elemento 21:
pies
y
x
8 pies

35. Elemento 31: Elemento 42:
La ecuación final es:
Los desplazamientos de los nudos libres resultan:

36. Las reacciones son:
Donde:
K31 = K13*
K43 = K34*

37. GRACIAS…