340 questões de raciocínio lógico

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
1
Professora: Caren Fulginiti
caren@caren.mat.br Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TÉCNICO – TRT 4ª

Este material foi produzido com o intuito de viabilizar que o candidato consiga aprender técnicas
de resolução de questões com a leitura deste texto. É muito importante seguir em ordem os sub-
capítulos e efetuar todos os exercícios propostos.

Professora: Caren Fulginiti da Silva
Contato: caren@caren.mat.br
Licenciada em Matemática – UFRGS
Mestre em Educação – UFRGS

PROGRAMA MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
(último concurso TRT9ª-2010)

MATEMÁTICA: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e
operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes
proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas.

RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas,
lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as
condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na
prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam analisar as habilidades dos
candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais:
raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, formação
de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a
capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de
forma válida, a conclusões determinadas.

PROGRAMA MATEMÁTICA (último concurso TRT4ª- 2006)

MATEMÁTICA: Números inteiros: operações e propriedades, múltiplos e divisores; problemas. Números
racionais: operações nas formas fracionária e decimal. Números e grandezas proporcionais; razões e
proporções; divisão proporcional; regra de três simples e composta. Porcentagem; Juros simples.
Funções de 1° e 2° Graus; problemas. Sistemas de medidas: decimais e não decimais.

copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
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MATEMÁTICA

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS:
SOMA MULTIPLICAÇÃO
+ com + ou - com - Soma e mantém o sinal Mesmo sinal: +
a) (+10) + (+8) = +18 b) (-10) + (-8) =-18 e) (+10) (+8) = +80
f) (-10) (-8) = +80
+ com - Diferença e sinal do maior. Sinal diferente: -
c) (+10) + (-8) = +2 d) (-10) + (+8) = -2 g) (+10) (-8) = -80

Prioridade das Operações : Prioridade dos Parênteses :

1º Raiz e Potência 1º Parênteses ( )
2º Divisão e Multiplicação 2º Colchetes [ ]
3º Subtração e Soma 3º Chaves { }
ATENÇÃO: ENTRE PARÊNTESES E OPERAÇÕES PREVALECEM OS PARÊNTESES.

Observe a diferença: SOLUÇÃORÁPIDA:
(4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5 ) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = (4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 =
− 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 18 =
SOLUÇÃO LENTA: − 7 + 6 − 18 = −19
( 4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 =
Agora sem parênteses...
− 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 6 × 3 = 4 − 32 ÷ 4 + 9 − 5 × 6 ÷ 3 + 1 − 6 × 3 =
− 7 + 24 ÷ 4 − 6 × 3 =
4 − 8 + 9 − 30 ÷ 3 + 1 − 18 =
− 7 + 6 − 18 = −19
4 − 8 + 9 − 10 + 1 − 18 = −22

TABUADA:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 45
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

01. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:
a) 31 + (- 40) : (+ 2) = b) – 10 – 20 : (+ 4) =
c) (+ 30) : (- 6) + (- 18) : (+ 3) = d) (- 91) : 7 + 15 =
e) 7 : (- 7) + 2 . (- 6) + 11 = f) (- 36) : (- 4) + 3 . (- 3) =
g) 35 – 6 . (+ 6) + (+ 54) : (- 6) = h) 81 : (- 9) – 3 . (- 3) + (- 9) =
i) 2 + (- 75) : (- 5) – 4 . (-1) = j) 46 : (- 23) + 7 – 4 . (+ 2) =
l) 8 . (- 11) + 200 : (+ 2) – 12 = m) 63 – 84 : (- 21) – 3 . (+ 23) =


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MÚLTIPLOS
No conjunto dos NATURAIS, chamamos múltiplo de um número, todos os números obtidos
multiplicando o número dado por todos os outros números naturais.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Exemplo: Múltiplos de 12 → 0, 12, 24, 36, ...
Construindo outros conjuntos: Múltiplos de 7: 0, 7, 14, 21, ... Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, ...
A grande questão em multiplicidade é saber se dado um número ele é ou não múltiplo de outro...
Temos várias maneiras de determinar isso e comentarei algumas delas:
1ª) Podemos dizer que um número é múltiplo de outro se construindo o conjunto de seus
múltiplos ele pertencer ao conjunto, por exemplo: Sabemos que 14 é múltiplo de 7 porque ele está no
conjunto dos múltiplos de 7, como construímos acima, e sabemos também que 10 não é múltiplo de 7
porque ele não está. Porém esse método é muito primitivo visto que se o número fosse muito grande
teríamos que construir o conjunto até lá...
2ª) Outra maneira, bastante intuitiva seria fazer a divisão. Sabemos que se ao dividirmos dois
números o resto der zero então o maior é múltiplo do menor, observe:
14 7 10 7
-14 2 -7 1
0 é 3 não é

De qualquer forma esse método normalmente não é o mais rápido, por isso para os números mais comuns
descobriu-se regras de divisibilidade, que com o uso freqüente se tornam as melhores ferramentas:

Nº É divisível por ... se ... Exemplo
2 for par 132, 42
3 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3 183, pois 1+8+3=12
os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou
4 97636, pois 36 é divisível por 4
forem 00
5 terminar em zero ou em 5 80, 655
6 for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo 120, é par e a soma é 3
7 Regra muito difícil melhor dividir
os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou
8 9480, pois 480 é divisível por 8
forem 000
9 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 9 819, pois 8 + 1 + 9 = 18
10 terminar em zero 90, 120
a soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos 291588, pois 9+ 5+ 8 =22, 2+1+8=11
11
algarismos de ordem ímpar der um múltiplo de 11 e 22-11=11
DICA IMPORTANTE:
Uma outra maneira de entender multiplicidade é pensar que se um número N é múltiplo de K, então K
é um número que está dentro de N. Veja um exemplo claro:
• 60 é múltiplo de 20 pois encontramos o 20 dentro do 60 = 20 × 3
Daqui podemos dizer por exemplo que se um número é múltiplo de 12, então com certeza ele é
múltiplo de 1, 2, 3, 4 e 6 também!
Agora cuidado pois se um número for múltiplo de 3, não significa que é múltiplo de 9 !


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Pensemos agora a respeito do número 1500 ...
Casais: 1 e 1500; 2 e 750 e filho deste 20 e 75; 3 e 500 e filho deste 30 e 50 e mais 5 e 300; 4 e 375;
6 e 250 e filho deste 60 e 25 e mais 12 e 125; 10 e 150 e filho deste 15 e 100.

Considerações Importantes:
• Qualquer número é múltiplo de 1 • Zero é múltiplo de qualquer
Construindo o conjunto dos número
múltiplos de 1: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } x2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ... }
x1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } x3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ... }
x5 = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... }
• Só o zero é múltiplo de zero Múltiplo, divisor e divisível????
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } • 16 é múltiplo de 4
x0 = {0, 0, 0, 0, 0, 0, ...} • 16 é divisível por 4
• 4 é divisor de 16
Então múltiplo ≈ divisível

OS NÚMEROS NATURAIS:
Os números naturais se dividem em 4 grupos: O zero, o um, os números primos e os números compostos.
NÚMEROS PRIMOS
Um número é dito primo quando ele admite apenas dois divisores distintos. Um número primo só é
múltiplo de si mesmo e de 1.

O NÚMERO 1 (UM) NÃO É PRIMO!

ALGUNS PRIMOS: (saiba esses de cor...): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

NÚMEROS COMPOSTOS
São todos os números que são obtidos de produtos de primos, por exemplo: Pense no 20 ele é 2 x 2
x 5 ou seja produto de 3 números primos.
Observação: Todos os conceitos podem ser estendidos ao conjunto dos Números Inteiros:
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} e o zero e o um não são primos nem compostos.

MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O MMC é um número, basicamente o menor número que é múltiplo de dois ou mais números dados.
Para encontrá-lo usamos dois métodos o da fatoração (barrinha) ou pela visualização da fatoração dos
números dados. Uma observação importante sobre fatoração é que ela deve ser feita utilizando somente
números primos !
182, 49 2 12 2
91, 49 7 6 2
13, 7 7 3 3
13, 1 13 1 Fatoração:
1, 1 MMC:1274 2231


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MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM
O MDC é um número, basicamente o maior número que divide dois ou mais números dados. Para
encontrá-lo usamos o mesmo método do MMC só que a procura de outra coisa.
Vamos ver um exemplo de como encontrar o MMC e MDC de dois números dados: 120 e 80 ...
Usando o MMC, observe - Qual o MDC entre 120 e 80?
120 , 80 2(♣)
60 , 40 2(♣) Marque onde ambos os Como calcular o MDC de 3 ou
30 , 20 2(♣) números sofreram mais números?
modificação (♣), esses É igual porém devemos marcar
15 , 10 2
fatores multiplicados apenas os números aonde os três
15 , 5 3 geram o MDC, no caso: sofreram modificação ao mesmo
5 , 5 5(♣) 2 × 2 × 2 × 5 = 40. tempo. e assim por diante.

1,1

QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO

PASSOS: 50 2 2 × 5 × 5 = 2 × 52
1º Fatore o número 25 5 (1+1)(2+1)
2º Escreva-o em potências 2×3 =6
3º Some 1 a cada potência 5 5 6 divisores que são:
4º Multiplique-as 1 // 1, 2, 5, 10, 25, 50

Façamos agora com 25, 60, 500...
25 = 52 3(2+1) divisores que são: 1, 5 e 25.
60 = 21⋅ 31⋅ 51 2(1+1) 2(1+1) 2(1+1) = 2⋅2⋅2 = 8 divisores que são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 e 60.
500 = 22 53 3(2+1) 4 (3+1) = 3⋅4 = 12 divisores que são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250 e 500.

CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
Sabendo quantos são fica mais fácil - Exemplos: 6 , 30 e 1000
6 2 2×3
3 3 (1+1)(1+1) 2×2 =4
4 divisores que são: 1, 2, 3, 6
1 //

30 2 2×3×5
(1+1)(1+1)(1+1)
15 3
2×2 ×2 =8
5 5 8 divisores que são:
1 // 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Ou ainda podemos pensar em casais (divisão): Se pensarmos no 12, sabemos que é múltiplo de 6 e de 2
isso porque se efetuarmos a divisão:
12 6
quando o divisor ( 6 ) é fator o quociente também é, daí
-12 2 voltando ao 30 temos 8 divisores que vem aos pares:
1 com 30 ; 2 com 15 ; 3 com 10 ; 5 com 6
0


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Então para 1000:
1000 2
2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 23 × 5 3
500 2 (3+1)(3+1) 4 × 4 =16
250 2 16 divisores que são:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50,
125 5
100, 125, 200, 250, 500, 1000
25 5 Aos pares temos:
5 5 1/1000, 2/500, 4/250, 5/200,
8/125, 10/100, 20/ 50, 25/40
1 //

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI:
Dizemos que dois números são primos entre si quando o MDC entre eles é 1, ou seja, que o maior e
portanto único número que divide ambos é o 1. De um modo mais vulgar poderíamos dizer que olhando
para os fatores primos do números não veríamos nenhum fator comum.
Exemplo: 4 = 22 e 9 = 32 não há fatores comuns
30 = 2 × 3 × 5 e 49 = 72 não há fatores comuns

Detalhe importante: PRIMOS ≠ PRIMOS ENTRE SI
4 e 9 são primos entre si e não são primos.
2 e 9 são primos entre si e só o 2 é primo.
2 e 3 são primos entre si e ambos são primos.
Primos entre si , como já diz o nome é uma relação que se estabelece na presença de pelo menos
dois números.
ALGUMAS DICAS...

01. PAR & IMPAR - Alguns comentários...
Dizemos que um número é par se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 e impar se terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9.
De um modo geral dizemos que todo número par pode ser representado pela forma 2n (onde n ∈ Z)
este fato pode também ser entendido porque bem ou mal todos os pares são múltiplos de 2. E como os
pares e os impares são intercalados temos que os impares de uma forma geral são representados pela
expressão :
2n + 1 ou 2n – 1.
Também é bastante interessante pensarmos a respeito das operações feitas com esses números. O que
acontece se...
PAR + PAR = PAR Agora cuidado com a divisão:
PAR + IMPAR = IMPAR PAR ÷ IMPAR = PAR
IMPAR + IMPAR = PAR IMPAR ÷ IMPAR = IMPAR
PAR × PAR = PAR
PAR ÷ PAR = PAR OU IMPAR!!!!
PAR × IMPAR = PAR
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
IMPAR × IMPAR = IMPAR

02. POTÊNCIAS PERFEITAS:
Γ QUADRADOS PERFEITOS: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Ou podemos pensar em 25 = 52 , 16 = 42 mas não é necessário que a potência seja 2, observe que 16 = 24
e por isso de um modo geral para que um número seja um quadrado perfeito é preciso que seus fatores
primos tomem sempre potências múltiplas de dois.
Dessa forma: 210 × 518 é quadrado perfeito 29 × 54 não é quadrado perfeito
e da mesma forma estendemos essa noção para outras potências...


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Γ CUBOS PERFEITOS: 1, 8, 27, 64, ...
Podemos pensar em 8 = 23 , 27 = 33 mas não é necessário que a potência seja 3, observe que 64 = 46 e
por isso de um modo geral para que um número seja um cubo perfeito é preciso que seus fatores primos
tomem sempre potências múltiplas de três. E assim por diante...
Dessa forma: 23 × 518 é cubo perfeito
29 × 54 não é cubo perfeito
É bom saber de cor a lista dos primeiros quadrados perfeitos e também a lista dos primeiros cubos
perfeitos, esses são números que aparecem corriqueiramente em questões de raciocínio lógico. Bem
como as potências de 2 e de 3., Seguem as listas abaixo:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
quadrado 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
cubo 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331

12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30
quadrado 144 169 196 225 256 289 324 361 400 625 900

potências 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
base 2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
base 3 1 3 9 27 81 243 729 x x x x

03. MMC X MDC = PRODUTO DE DOIS NOS:
1ª Pergunta: Qual o MMC entre 12 e 30? 60
2ª Pergunta: Qual o MDC entre 12 e 30 ? 6

30 , 12 2(♣)
15 , 6 2
MMC = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
15 , 3 3(♣)
MDC = 2 × 3 = 6
5,1 5
1 , 1 //
3ª Pergunta: Será que existe alguma relação possível de ser estabelecida entre o MMC, o MDC e os
números que os geraram?
A resposta é sim, vamos observar atentamente os números: 12 = 22 × 3 30 = 2 × 3 × 5
comum entre eles temos o 2 e o 3 (MDC)
O MMC = 60 = 2 × 2 × 3 × 5, se multiplicarmos 12 × 30 = 22 × 3 × 2 × 3 × 5. Se multiplicarmos MMC
× MDC = 2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3

MMC × MDC
2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3
12 × 30

Sempre: o produto de dois números é igual ao
produto do MMC pelo MDC, formulando: N1 × N2 = MMC × MDC


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EXEMPLOS DE QUESTÕES ENVOLVENDO MULTIPLICIDADE:
01. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 33 para se obter um múltiplo de 12 ?
Veja 33 = 3 × 11 e 12 = 2² × 3. O que falta ao 33 para ter o 12 dentro dele é o 2² ou seja o 4, então o
número 33 × 4 é um múltiplo de 12.

02. Determinar todos os números compreendidos entre 200 e 600 que sejam divisíveis ao mesmo
tempo por 12, 33.
12 , 33 2
6 , 33 2
3 , 33 3
1 , 11 11
1 , 1 // MMC = 132
O primeiro número que contém o 12 e o 33 dentro dele é o 132, todos os números que forem múltiplos
do 132 terão também o 12 e o 33 dentro de si. Construindo os múltiplos de 132 0, 132, 264, 396,
528, 660 ... Os que estão em negrito são a resposta da questão.

03. Três lâmpadas piscam cada uma com a sua freqüência. A primeira a cada 6 segundos, a segunda a
cada 8 segundos e a terceira a cada 9 segundos. Se essas lâmpadas inicialmente acenderam juntas,
pergunta-se depois de quanto tempo voltaram a piscar juntas novamente ?
Lâmpada 1 6s Lâmpada 2 8s
Lâmpada 3 9s
Considere o momento 0 como o momento em que elas piscaram juntas.
Em que momentos a lâmpada A pisca:
Nos momentos 0, 6, 12, 18, 24, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 6.
Em que momentos a lâmpada B pisca:
Nos momentos 0, 8, 16, 24, 32, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 8
Em que momentos a lâmpada C pisca:
Nos momentos 0, 9, 18, 27, 36, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 9
Quando as três lâmpadas piscarão juntas? Quando o momento for múltiplo de 6, 8 e 9, ou seja o
primeiro dia que isso acontece é no dia que coincide com o MMC de 6, 8 e 9 ... Daí 72s. Sempre em
problemas desse tipo deve-se fazer o MMC dos números, não é necessário pensar sempre todo o
processo novamente. Só aplique o conhecimento.
Respondendo as perguntas temos: a) 72 s

04. Que nº “n” transforma o produto 1620 × n num cubo perfeito ?
1620 = 2²34 5 para que se torne um cubo é preciso multiplicar por 2 3² 5² = 450

05. Qual é o produto de dois números, se o seu MDC é 8 e o seu MMC é 48? Simplesmente sabemos
que N1 × N2 = MMC × MDC, então:
Produto = 8 x 48 = 384

06. A gerente de uma loja de tecidos quer dividir três peças de fazenda em partes iguais e de maior
tamanho possível. Sabendo que as peças medem 75m, 90m e 150m, determine o número de partes em
que será dividida cada peça e o comprimento dessas partes.
O MDC entre 75, 90 e 150 é 15, ou seja esse é o maior nº que divide os três em respectivamente 5, 6 e
10 peças.


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EXERCÍCIOS: 12. O MMC de dois números é 11352 e o MDC é
01. Consultando a tabela de divisibilidade de 2 6. Se um dos números é 264, qual é o outro?
até 11, os números abaixo são múltiplos de quem? 13. Para a confecção de uma tela, dois rolos de
a) 778 b) 1128 c) 579 arame de 40m e 16m vão ser divididos em pedaços
d) 663 e) 1320 f) 252 de mesma medida e a maior possível, sem sobras.
g) 23870 h) 156 i) 504 Quantos pedaços serão obtidos em cada rolo?
02. Qual o MMC entre : 14. O produto de dois números naturais é 875 e
a) 33 e 80 b) 12 e 64 o mdc entre eles é 5. Determine o mmc dos
c) 100 e 250 d) 96 e 150 números.
03. Qual o MDC entre : 15. Numa certa República, o Presidente deve
a) 240 e 780 b) 65 e 156 permanecer em seu cargo durante 4 anos, os
c) 126 e 147 d) 98 e 441 Senadores, 6 anos e os Deputados, 3 anos. Se em
e) 426 e 213 f) 165 e 385 1929 houve eleições para os três cargos, em que
04. Quantos e quais são os divisores de: ano se realizarão novamente juntas as eleições
a) 900 b) 160 c) 252 para esses cargos?
d) 308 e) 120 f) 60
QUESTÕES DE CONCURSOS:

PERGUNTAS: 01. (FUVEST 96) Qual dos cinco números
01. Qual o maior múltiplo de 18 menor que 300? relacionados abaixo, não é um divisor de 1015
02. Calcular o número de divisores de 7000. a) 25 b) 50 c) 64 d) 75 e) 250
03. Qual o menor número pelo qual se deve
02. (UFRGS 92) João corre em uma pista
multiplicar 480 para se obter um múltiplo de 112?
circular, dando uma volta completa a cada 36s.
04. Qual o menor número pelo qual se deve
Pedro corre em sentido oposto, e encontra João a
multiplicar 56 para se obter um múltiplo de 88?
cada 12s. O tempo que Pedro leva para dar uma
05. Determinar o MDC entre os números 132,
volta completa é
60 e 84.
a) 72s b) 36s c) 18s d) 12s e) 6s
06. Determinar os dois números menores
possíveis pelos quais devemos multiplicar os 03. (UFRGS 98) Se P é o produto de todos os
números 24 e 36, a fim de obtermos produtos números primos menores que 1000, o dígito que
iguais. ocupa a casa das unidades de P é:
07. Determinar todos os números a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 9
compreendidos entre 1000 e 3000 que sejam
04. (UFRGS 99) O algarismo das unidades de
divisíveis ao mesmo tempo por 48, 60 e 72.
(610 +1) é
08. Três navios fazem viagens entre dois
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7
portos. O primeiro cada 4 dias, o segundo cada 6
dias e o terceiro cada 9 dias. Tendo esses navios 05. (UFRGS 00) Se n = 107 − 10 , então n não é
partido juntos, depois de quantos dias voltaram a múltiplo de
sair juntos novamente do mesmo local? a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18
09. Qual a diferença entre o MMC e o MDC dos
números 121 e 330? 06. (FUVEST 00) Se x e y são dois nos inteiros,
10. Duas rodas de uma engrenagem têm estritamente positivos e consecutivos, qual dos
respectivamente, 14 e 21 dentes. Cada roda tem nos abaixo é necessariamente um inteiro ímpar?
um dente estragado. Se num dado instante estão a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2
em contato os dois dentes quebrados, depois de e) x + y + 1
quantas voltas esse encontro se repetirá? 07. (FUVEST 05) O menor número natural que
11. Dois ciclistas percorrem uma pista circular devemos adicionar a 987 para que a soma seja o
no mesmo sentido. O primeiro percorre-a em 36 quadrado de um número natural é:
segundos e o segundo, em 30 segundos. Tendo a) 37 b) 36 c) 35 d) 34 e) 33
partido juntos, depois de quantos segundos se
encontrarão novamente no ponto de partida?

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RACIOCÍNIO LÓGICO
10

08. (FUVEST 91) No alto de uma torre de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter
emissora de televisão duas luzes “piscam” com igual número de canetas, a menor quantidade de
freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 pacotes que ele poderá obter é
vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por a) 8 b) 10 c)) 12 d) 14 e) 16
minuto. Se num certo instante as luzes piscam
16. (FCC – 2003) O chefe de uma seção de certa
simultaneamente, após quantos segundos elas
empresa dispunha de 60 ingressos para um
voltaram a piscar simultaneamente?
espetáculo, que pretendia dividir igualmente
a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30
entre seus funcionários. Como no dia da
09. (FUVEST 95) O produto de dois números distribuição dos ingressos faltaram 3
inteiros positivos, que não são primos entre si, é funcionários, coube a cada um dos outros receber
igual a 825. Então o mdc desses dois números é 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de
a) 1 b) 3 c) 5 d) 11 e) 15 ingressos entregues a cada funcionário presente
foi
10. (UFRGS 01) O resto da divisão do produto
a) 3 b) 4 c))5 d) 6 e) 7
123456 × 654321 por 6 é:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 17. (FCC – 2001) A tabela abaixo apresenta as
dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e
11. (FUVEST 97) O menor número natural n,
B2.
diferente de zero, que torna o produto de 3888
comprimento (m) largura (m) espessura
por n um cubo perfeito é (mm)
a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 B1 23,10 0,18 1,5
12. (FUVEST 01) Uma senhora tinha entre trinta B2 18 0,18 1,5
e quarenta ações de uma empresa para dividir Todo o papel das bobinas será cortado de modo
igualmente entre todos os seus netos. Num ano, que, tanto o corte feito em B1 como em B2,
quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, resulte em folhas retangulares, todas com a
deixaria uma ação sobrando. No ano seguinte, mesma largura do papel. Nessas condições, o
nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente menor número de folhas que se poderá obter é
entre os quatro netos o mesmo número de ações, a) 135 b) 137 c) 140 d) 142 e) 149
ela observou que sobra-riam 3 ações. Nesta 18. (FCC – 2001) Uma pessoa sabe que, para o
última situação, quantas ações receberá cada transporte de 720 caixas iguais, sua caminhonete
neto? teria que fazer no mínimo X viagens, levando em
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto,
13. O menor nº natural, não nulo, que é divisível ela preferiu usar sua caminhonete duas vezes
por 400, 500 e 1250 é mais e, assim, a cada viagem ela transportou 18
a) 10² b) 10³ c) 5 ⋅ 103 d) 10 4 e) 105 caixas a menos. Nessas condições, o valor de X é
14. (PUCRS 96) Se x e y são números inteiros a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e)30
Obs.: (questão original com problema, texto alterado para ter
x
e = 1 , então x + y necessariamente é solução)
y
a) positivo b) negativo c) ímpar 19. (FCC – 2004) Sabe-se que um número inteiro
d) par e) menor do que 1 e positivo N é composto de três algarismos. Se o
produto de N por 9 termina à direita por 824, a
soma dos algarismos de N é
a) 11 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18
20. (FCC – 2007) No esquema abaixo tem-se o
15. (FCC – 2003) No almoxarifado de certa algoritmo da adição de dois números naturais, em
empresa havia dois tipos de canetas que alguns algarismos foram substituídos pelas
esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com letras A, B, C, D e E.
tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de A14B6
empacotar todas essas canetas de modo que cada +10C8D
pacote contenha apenas canetas com tinta de uma 6E865

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
11

Determinando-se corretamente o valor dessas
22. (FCC – 2008) O diagrama abaixo apresenta o
letras, então, A + B – C + D – E é igual a
algoritmo da adição de dois números inteiros, no
a) 25 b) 19 c) 17 d) 10 e) 7
qual alguns algarismos foram substituídos pelas
21. (FCC – 2007) Um técnico judiciário foi letras A, B, C, D e E.
incumbido da montagem de um manual referente 7B25A
aos Princípios Fundamentais da Constituição +DCB5
Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a E8A86
contra-capa, a numeração das páginas foi feita a Determinando-se corretamente esses algarismos,
partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se verifica-se que
que foram usados 225 algarismos, o total de a) A + C = 2 . D b) B + D = E c) B – A = D
páginas que foram numeradas é d) C = 2 . B e) C – E = A
a) 97 b) 99 c) 111 d) 117 e) 126

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
São todas as frações cujo numerador e denominador são números inteiros e o denominador não é zero.
NUMERADOR
DENOMINADOR

OPERANDO FRAÇÕES:
7 1 14+ 5 19 5 2 10
+ = = MMC × = EM LINHA
5 2 10 10 7 3 21
20
20 10 20 6
÷ = ⋅ = 2⋅ 2 = 4 3 = 20 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 = 4
3 6 3 10
10 3 10
6
INVERTE O SEGUNDO E
INVERTE O DEBAIXO
MULTIPLICA
E MULTIPLICA

Use sempre que possível o cancelamento !
126 25 21 5 5 15
Um de cima com um debaixo... ⋅ = ⋅ = 3⋅ =
35 12 7 2 2 2
126 e 12 dão por 2 63 e 6 ambos dão por 3 21 e 2
e 35 e 25 dão por 5 7 e 5 e ainda 21 dá por 7 3

Comparação: Qual dos números é o maior?
1 2 2 1 1 1
1º & ? O maior é 2º & ? O maior é
9 9 9 8 6 6
9 8
3º & ?
10 9
81 80 81 81 9
Faça: e e compare que é o maior e então como e equivalente a este é o maior.
90 90 90 90 10
1º Se os denominadores forem iguais a maior fração é aquela que tem MAIOR NUMERADOR.
2º Se os numeradores forem iguais a maior fração é aquela que tem MENOR DENOMINADOR.
3º Se tudo for diferente, a primeira coisa é IGUALAR OS DENOMINADORES e depois usar a 1ª regra.


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12

EXERCÍCIOS :
01. Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:
3 1 6 4 1
a) + x = b) − x 4 =
2 3 5 7 7
3 2 9 1 20 3 2 5
c) 2 x + x = d) + x − x =
4 3 4 6 9 4 5 2
3 1  9 3  5 1
e) x  + 2 = f)  −  x  + =
11  5  4 8   12 4
2 4 1 9 7 7 1 5
g) : + = h) − : = i) : 6 + =
3 5 2 5 10 5 2 12
3  5   1 2 1 1
j) :  1 − = k)  +  :  + =
7  14   4 5   3 10 
2 3 3 1
x +
 3 1  1 1
l) 3 7 = m)  −  :  +  = n) 8 6 =
1 1 4 2 3 6 5
+
2 14 12
4 6 1 3 4 1 3 1
o) x  + x = p) + − + =
25 5 5 2 15 6 10 3
4 3 11 1 3 20   1 6
q) − + − = r)  x  x  + =
5 10 5 6  2 3  4 5

NÚMEROS RACIONAIS COM VÍRGULA
Correndo vírgulas Somando
113 113 6,9 + 13,72 + 8,785 =
= 11,3 = 1,13
10 100 Montando vírgula
113 embaixo de vírgula
= 0,113
1000 6,9
nº de zeros igual + 13,72
ao nº de casas. 8,785
29,405
Subtraindo Multiplicando
13,2 – 6,96 = 23,46 × 3,2 =
É bom completar com zeros! Multiplica normalmente e no
Vírgula embaixo de vírgula . final conta as casas depois da
vírgula.
13,20 23,46
- 6,96 × 3,2
6,24 4692
70380
75072 75,072


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13

EXERCÍCIOS: CONTAS DE DIVISÃO - ALGORITMO
1 DA DIVISÃO (NOME DAS PARTES):
01. Lembrando que, por exemplo, = 0,01 ;
100
DIVIDENDO DIVISOR
qual é a representação decimal das frações:
4 9 8 9 M QUOCIENTE
a) = b) = c) = d) =
10 1000 100 10
5 6 RESTO
e) = f) =
10000 100 Tenha sempre em mente, antes de fazer a
02. Você deve escrever na forma decimal cada conta, mais ou menos o tamanho da
uma das seguintes frações decimais: resposta !!!
76 76 76 376
a) = b) = c) = d) = Estimando:
10 100 1000 10
376 376 376 4545 ÷ 15 = podemos pensar que certamente dará
e) = f) = g) = mais de 100!
100 1000 10000
1265 3048 2107 7 ÷ 4 = podemos pensar que é mais que 1 menos
h) = i) = j) =
10 100 1000 que 2, e que não é um número exato.
7 83 4 ÷ 7 = podemos pensar que mais que 0,5 porque 4
l) = m) =
100 10 passa da metade de 7.
03. Calcule: 45 ÷ 3,2 = podemos esquecer a vírgula e pensar
a) 6,9 + 3,078 + 12,45 = em 45 ÷ 3 = 15. Porém será menos que 15, porque
b) 0,326 + 1,78 + 0,095 = 3 é menor que 3,2.
c) 0,945 + 6 + 21,49 = 33,4 ÷ 0,22 = podemos dizer que esta conta
d) 42,776 + 37,224 = equivale a conta 334 ÷ 2,2 que se aproxima do
e) 8,01 + 4,995 + 10,005 = resultado de 300 ÷ 2 que é 150. Portanto a
f) 0,706 + 15 + 2,71 + 13,8 = resposta deve estar próxima a 150.
04. Calcule: 260,1 ÷ 260 = esta dará muito pouca coisa mais
a) 13,1 – 9,86 = b) 27 – 15,083 = que 1.
c) 9,2 – 5,4207 = REGRAS PARA EFETUAR DIVISÕES:
d) 20 – 19,5983 = e) 0,76 – 0,705 = 1) Na primeira vez, baixe (indicando com um
f) 41,3 – 39,682 = apóstrofe) o suficiente para efetuar a divisão,
05. Calcule o valor das expressões abaixo: limitando-se a baixar o máximo que se tenha
a) 2 – 0,447 + 3,36 = originalmente no dividendo.
b) 30,8 + 22,36 – 10,904 = 2) Responda e coloque o número no quociente, se
c) 18,1 – (43 – 29,85) = não der escreva zero.
d) (10 – 3,6) + (1,41 – 0,98) = 3) A partir do segundo “baixar”, só poderá ser
e) 47 – (72,3 – 58,92) = baixado um número de cada vez. E
f) (51,7 + 8,36) – (16,125 + 7,88) = obrigatoriamente ele deverá ter sua resposta
06. Calcule: posta no quociente E caso não dê ponha zero.
a) 1,003 x 10 = b) 2,015 x 100 = 4) Siga assim até que terminem os números no
c) 12,0092 x 1000 = d) 12,5 x 3,2 = dividendo.
e) 4,23 x 3,1 = f) 4,25 x 0,36 = 5) Quando o dividendo acabar, chame a vírgula.
g) 18 x 0,54 = h) 72,8 x 0,01 = 6) Baixe o primeiro zero emprestado e responda!
i) 32,5 x 0,041 = j) 4,83 x 5 = 7) Repita o procedimento até atingir o número de
l) 4,83 x 0,5 = m) (1,03)²= casas desejado no resultado. (Lembre-se que para
n) (1,07)³= o) (1,24)² = cada zero baixado é obrigatória a colocação de
p) (1,17)³= q) (1,031)²= resposta no quociente)
r) (0,11)²= s) (0,07)³ =


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
14

FAZENDO AS CONTAS: Tipo 03
45’4’5’ 15 7’ 4 a) 3,095 : 7 = b) 43,74 : 34 =
c) 5,03 : 6 = d) 50 : 0,31 =
-45 303 -4 1,75
e) 73 : 3,52 = f) 10 : 31,7 =
045 30’
Tipo 04
-45 -28
a) 3,15 : 4,655 = b) 0,788 : 1,28 =
0 20’ c) 31,7 : 15,357 = d) 3,52 : 2 =
-20 e) 73 : 0,087 = f) 32,16 : 161,7 =
4’0’ 7 0 Avançados
a) 5604 ÷ 56 b) 603121,8 ÷ 60
-35 0,57
c) 1417,22 ÷ 14 d) 0,6 ÷ 23
50’ 45,0 3,2 e) 540,275 ÷ 5,4 f) 197,9 ÷ 9,86
-49 45’0’ 32 g) 1071200 ÷ 52 h) 0,047 ÷ 230
1 - 32 14,06 i) 98300 ÷ 98,2

130
QUESTÕES DE CONCURSOS:
33,40 0,22 -128
23. (FCC – 2006) Ao dividir o número 762 por um
33’4’0’ 22 20’0’
número inteiro de dois algarismos, Natanael
- 22 151,81 - 192
enganou-se e inverteu a ordem dos dois
114 8 algarismos. Assim, como resultado, obteve o
-110 quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se
enganado e efetuasse corretamente a divisão, o
40 260,1 260,0
quociente e o resto que ele obteria seriam,
-22 2601’ 2600
respectivamente, iguais a
180’ - 2600 1,0003 a) 1 e 12 b) 8 e 11 c) 10 e 12 d) 11 e 15
-176 10’0’0’0’ e) 12 e 11
40’ - 7800
24. (FUVEST 03) Num bolão, sete amigos
- 22 2200
ganharão vinte e um milhões, sessenta e três mil e
18 quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em
sete partes iguais. Logo, o que cada um recebeu,
Atenção para as seguintes dificuldades: em reais, foi:
▪ Zero no meio do número a) 3.009.006,00 b) 3.009.006,50
▪ Chamando a virgula c) 3.090.006,00 d) 3.090.006,50
▪ Acertando as casas e) 3.900.060,50
▪ Zero – Vírgula
25. (UFRGS 02) Na promoção de venda de um
produto cujo custo unitário é de R$ 5,75 se lê:
Tipo 01
“Leve 3 , pague 2”. Usando as condições da
a) 2718 : 3 = b) 64096 : 32 =
promoção, a economia máxima que poderá ser
c) 9292 : 23 = d) 7474 : 74 =
feita na compra de 188 itens deste produto é de
e) 4298 : 14 = f) 221166 : 11 =
a) R$ 336,50 b) R$ 348,00 c) R$ 356,50
Tipo 02
d) R$ 366,50 e) R$ 368,00
a) 386 : 12 = b) 645 : 42 =
c) 847 : 66 = d) 1052 : 333 = 26. (FUVEST 95) Dividir um nº por 0,0125
e) 4123 : 903 = f) 12 : 386 = equivale a multiplicá-lo por
g) 420 : 645 = h) 668 : 847 = 1 1
a) b) c) 8 d) 12, 5 e) 80
i) 333 : 4123 = j) 1 : 7= 125 8


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
15

REGRAS DE POTÊNCIA

01. EXPOENTE ZERO 03. EXPOENTE PAR
02. EXPOENTE UM
Todo nº elevado a zero é igual a TRÊS CASOS
Todo nº elevado a um,
um.
(1) (+ 3 ) = +9
2
é igual a ele mesmo.
(− 3) 0
=1 (2) 0
=1
(3)1 = 3 (− 3)1 = −3 (2) (− 3 ) = +9
2
0
 1 1
(3) − 32 = −9
  =1  1 1
3   =
 2 2 ↓
sem parênteses somente o nº é
ATENÇÃO!! − 30 = −1
(x )1 = x elevado ao expoente.
07. EXPOENTE DE EXPOENTE
04. EXPOENTE ÍMPAR 06. EXPOENTE NEGATIVO COM PARÊNTESES
MANTÉM O SINAL! Deve-se inverter o nº. 4
(+ 2) 2  = 28
(2)
3
=8 (− 2) 3
= −8
2−1 =
1
3− 2 =
1 
 

2 9 MULTIPLICA OS EXPOENTES
05. EXPOENTE DE FRAÇÕES −1 −2
 1 2 9
2 3   =3   = 08. EXPOENTE DE EXPOENTE
 3 9  1 1 3 3 4
−  = −  = − SEM PARÊNTESES
 4 16  2 8
4
22 = 216
09. BASES IGUAIS DIVISÃO
MULTIPLICAÇÃO Subtrai os expoentes
Soma os expoentes am .an = am +n am ÷ an = am−n

POTÊNCIAS DE 10 (dez)
3
1000 = 10 100 = 10 2 10= 101 1 = 10 0
0,1 = 10 −1 0,01 = 10 −2 0,001 = 10 −3 0,0001 = 10 −4
QUANDO É MAIOR QUE 1
A potência é igual ao número de zeros

QUANDO É MENOR QUE 1
A potência é igual ao número de casas depois da vírgula (inclui o 1)

EXERCÍCIOS:
01. Calcule:
a) (+ 9 )2 = b) (− 9 )2 = c) (+ 9 )3 = d) (− 9 )3 = e) (+ 2)5 =
f) (− 2)5 = g) (− 2)6 = h) (+ 2)6 = i) (− 1)10 = j) (− 3 )4 =
l) (− 7 )3 = m) (− 100 )0 = n) (− 1)101 = o) (− 25 )2 = p) (+ 10 )6 =
q) (− 1)9 = r) (− 1)200 = s) (+ 30 )0 = t) (+ 1)99 = u) − 1100 =
02. Calcule o valor das expressões:
a) (− 9 )2 − (+ 5 ) ⋅ (+ 16 ) = b) (− 2)4 ÷ (+ 16 ) ⋅ (− 1)7 =
c) (− 6 )2 − (− 7 )2 + 130 = d) 52 − (− 3 )3 + (− 4 )2 =
e) 4 ⋅ (− 5 )3 + (− 20 )2 = f) 112 − 4 ⋅ (− 5)2 + 100 =
g) 17 − 3 ⋅ (− 2)2 − (− 6 )2 ⋅ (− 1)7 = h) 41 − 3 ⋅ (− 4 )2 + 60 − 20 ÷ (− 2)2 =
i) 7 ⋅ (− 2)2 − 5 ⋅ (− 2)3 − 102 = j) (− 3 )3 − 5 ⋅ (− 2) + 2 ⋅ (− 3 )2 − 1 =
03. Calcule o valor das seguintes expressões:
2 3 3 2 2 3 4 2 0
 1  1  1 2 3  1   1   1  1 3
a)   +   = b)   ÷   = c) +  ÷  = d)   ÷   −   =
 4 2  3 3 2  10   10   2  4 4


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
16

04. Vamos calcular:
a) 3−2 = b) 10 −3 = c) 2−6 = d) 8−2 = e) (− 4 )−3 =
−1 −2 −3
 2  3  3
f) (− 10 )−2 = g) (− 9 )−1 = h)  +  = i)  −  = j)  −  =
 5  4  2
−5 −2
 1  5
l)  −  = m)  +  =
 2  4
05. Escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo:
a) 0,01 b) 0,00001 c) 0,001

QUESTÕES DE CONCURSOS: 0
3
  + 5−3
4
2.[0,02 − (0,1)2 ] 36. A expressão   − 2 equivale a
27. O valor de é: 5.10 + 1
100
24 1 25
a) 0,0002 b) 0,002 c) 0,02 d) 0,2 e) 2 a) 25 b) c) 24 d) e)
25 25 24
mn − n2
28. O valor numérico da expressão para − 22 − ( −2)2 + 30
n 37. O valor da expressão −1
é
m = 0,2 e n = -0,6 é: −1  1
( −4) + 
2 4 2 4 5 2
a) b) − c) − d) e) 7 7
5 5 5 5 2 a) - b) -4 c) d) 4 e) 0
4 4
29. (UFRGS) O valor de n na igualdade
38. (PUC) A expressão é igual a
( −3)2 + 32
=n é : −2 2
2 .2 + 2.(3 ) + 180
2 2
30
a) 0 b) 1 c) 4 d) 12 e) 18 82 / 3
a) 164 b) 83 c) 82 d) 45 e) 41
30. Se n é um número inteiro positivo a expressão 39. A metade de 4 44 é
( −1)n + ( −1)n +1 tem por valor numérico: a) 422 b) 222 c) 4 43 d) 244 e) 287
a) –2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
40. Substituindo x por -1 na expressão
31. Considerando as expressões 0 1 2 3
x + x + x + x + ..... + x , a mesma equivale a 100
2 4 6 8 10 1 3 5 7 9
A = x .x .x .x .x e B = x .x .x .x .x e fazendo x a) -100 b) -1 c) 0 d) 1 e) 100
= -1 em ambas, então A − B é igual a
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 41. (FUVEST 98) Qual desses números é igual a
0,064?
32. A representação decimal de (0,01)3 é : 2 2 3 2 3
 1   1 2  1   8 
a) 0,03 b) 0,001 c) 0,0001 d) a)   b)   c)   d)   e)  
 80  8 5  800   10 
0,000001 e) 0,0000001

33. (UCS) O valor de y = 4 × 105 × 5 × 10 −3 é:
a) 220 b) 202 c) 2 × 103 d) 20 × 10 −15 e) 2 × 10 4

( −1)4 .( −1)5 − 3.( −1)7
34. A expressão vale:
− 16.( −1)3 .19
a) 2 b) -1 c) 0 d)1 e) 3
−2
2
35. O valor da expressão   + ( −2)− 3 é:
3
17 8 76 9 2
a) b) c) d) e)
8 17 9 76 3


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
17

EQUAÇÕES DE 1º GRAU

SIGA AS REGRAS ESTUDADAS E APENAS ISOLE O X

01. No conjunto R, vamos resolver as seguintes equações do 1º grau com uma incógnita:
a) 11x − 13 = 20 b) 17 x + 50 = 7 x c) 9 x − 8 = 5 x + 20
d) 12x + 21 = 10 x + 16 e) 5(x + 2) − 2(3 x − 1) = 13 f) t − [− t − (t − 1)] = 2 − t
2y 3 3 y 1 x
g) 3(x + 1) − 2(x − 1) = −(x + 5 ) h) − = i) − x + 2 = 1 −
5 4 20 3 2
x + 3 x −1 7 2x − 1 1 1+ x
j) − = l) −2= −
4 3 2 10 5 4

02. Resolva as equações:
x+4 x−8 x−2 x−4
a) x − 4 − =0 b) −4=x c) =
3 2 8 3
4x 3 x − 3 y+4 y 3 − x x +1 x
d) − = e) y − = 1+ f) = −
3 2 3 2 6 8 4 3
t − 5 1 t 3t + 14 2m − 5 m − 1 13m + 3 x + 1 6x + 1 3x + 1
g) − = − h) + = i) + =
2 3 3 12 8 2 4 5 12 3
4−a 4−a 4 x + 1 2 ⋅ (x + 1) 5 ⋅ (3 x + 2) y 5 ⋅ (y − 3 ) y − 3 y
j) a − =4− l) + = m) + + =
5 4 3 3 4 3 12 4 2

PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo equações do 1º grau.

ex 01. Somando 20 kg ao dobro da massa de Marli obtemos 136 kg. Qual é a massa de Marli?
Solução: Considere x a massa de Marli, montando temos:
2x + 20 = 136 2x = 136 – 20 2x = 116 = x = 58

ex 02. Na sucessão de números pares positivos: 2, 4, 6, 8, ... ache os números vizinhos de modo que
a soma deles seja 606.
Pense no primeiro número como x como o outro é o próximo par temos que ele será x + 2 e sabemos
que x + x + 2 = 606 2x + 2 = 606 2x = 604 x = 302 que o outro que é x + 2 = 304.
1 3
ex 03. Três irmãos receberam uma herança. O mais velho recebeu da herança, o mais jovem
3 4
do resto, ficando $150.000 para o terceiro irmão. Qual o valor da herança?
x 2 2
Seja x toda a herança. Para o mais velho coube . Resta então x . Destes x , o mais jovem fica
3 3 3
3 3 2 x
com , ou seja de x = (“de” = ●). O do meio ficou com $150.000. O que sabemos é que somando
4 4 3 2
x x
as três partes teremos a herança toda, ou seja x. Então: + + 150.000 = x
3 2
2x + 3 x + 900.000 6 x
= x = 900.000. Herança igual a $900.000.
6 6

ex 04. Repartir 54 balas entre três meninos sendo que A recebe 8 balas a mais que B, e B recebe 5
balas a mais do que C. Quantas balas A recebe?
Começamos pelo último... C recebe x balas, então B recebe x + 5 e A, x + 5 + 8. Somando os três tem
que dar 54, então x + x + 5 + x + 5 + 8 = 54 3x = 36 x = 12. Então C recebe 12; B,17 e A, 25.


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18

3
ex 05. Vamos repartir 125 balas em 3 caixas. A primeira deve conter da quantidade de balas da
7
segunda caixa e a segunda caixa deve conter 11 balas a mais do que a terceira caixa. Quantas balas
devem ser colocadas em cada caixa?

Como a 1ª depende da 2ª e a 2ª depende da 3ª podemos concluir que todos depende da 3ª . Sendo
3 3
assim escreveremos x na 3ª. Na Segunda teremos x + 11 e na 1ª ( x + 11) . Sabemos que ( x + 11) + x +
7 7
3( x + 11) + 7( x + 11) + 7 x 125 ⋅ 7
11 + x = 125 = 3x + 33 + 7x + 77 + 7x = 875 17 x + 110 = 875
7 7
17 x = 875 – 110 = 765 x = 45
3
Voltando temos: 3ª : 45 2ª 45 + 11 = 56 e 3ª ⋅ 56 = 3 ⋅ 8 = 24
7

ex 06. (FCC – 2001) Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um
único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3).
2
Sabe-se que o número de funcionários do setor (2) é igual a do número dos de (3). Se os funcionários
5
3
do setor (1) são numericamente iguais a do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a
8
quantidade de funcionários do setor
a) (1) é 284 b) (2) é 150 c) (2) é 180 d)) (3) é 350 e) (3) é 380
2
(2) depende de (3), tome que em (3) existem x pessoas, então em (2) existem de x. Já em (1) existem
5
3 2
de 784 que são 294 pessoas. Somando (1) + (2) + (3) = 784. Então: x + x + 294 = 784 7x = 2450
8 5
x = 350. Temos em (1) 294; em (2), 140 e em (3), 350. LETRA D
ex 07. (FCC – 2008) Observe o diagrama.

Usando a mesma idéia, é possível determinar os números do interior de cada um dos 4 círculos do
diagrama a seguir.

Desses quatro números, o
a) menor é 3. b) menor é 4. c) maior é 6.
d) maior é 9. e) maior é 12.

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19

Por um lado, chamando de x o número embaixo à direita, podemos escrever que o próximo será x + 4, e
que o anterior é x + 1. Pelo diagrama podemos dizer que 2 · (x + 1) = x + 4 e resolvendo a equação
obtemos x = 2 e colocando os nos no diagrama temos: 2, 6, 9, 3.

PERGUNTAS:

01. Tirar 3 do triplo da idade de Marcelo é a mesma coisa que adicionar cinco a sua idade. Qual é a
idade de Marcelo?
02. A quinta parte de um número inteiro somada com 19 dá 82. Qual é o número?
03. Qual é o salário de Flávio se com a metade ele compra uma bicicleta por R$ 93,26 e ainda
restam R$ 17,61?
3
04. Em um determinado dia, dos alunos da 5ª série A foram participar de uma gincana cultural,
5
1
enquanto dos alunos dessa série participava de uma olimpíada esportiva. Sabendo que 42 alunos da
3
5ª série A participavam de um dos dois eventos, determine:
a) a fração dos alunos da 5ª série A que participaram dos eventos.
b) quantos alunos há na 5ª série A
c) a fração de alunos da 5ª série A não participam dos eventos.
4 1
05. Para pintar de uma parede em um dia e da mesma parede em um segundo dia, um pintor
9 6
gastou 11 litros de tinta. Nessas condições, calcule:
a) a fração da parede que ele pintou nesses dois dias.
b) quantos litros de tinta ele gastará para pintar a parede toda
c) quantas latas ele gastará para pintar a parede toda, se uma lata contém 6 litros de tinta.
2
06. Durante a disputa de um torneio de futebol, um quadro venceu dos jogos que disputou e
3
1
empatou dos jogos. Sabendo que o quadro não perdeu 14 dos jogos que disputou, calcule :
9
a) quantos jogos o quadro disputou nesse torneio.
b) quantos jogos o quadro venceu
c) quantos jogos o quadro empatou.
d) quantos jogos o quadro perdeu.
07. Uma pesquisa foi feita com um certo número de pessoas e constatou-se o seguinte:
1
• das pessoas praticavam somente basquete
3
2
• das pessoas praticavam somente voleibol
5
1
• das pessoas praticavam somente futebol
10
• as 20 pessoas restantes não praticavam esportes
Nessas condições, determine:
a) a fração das pessoas pesquisadas que praticavam esportes
b) a fração das pessoas pesquisadas que não praticavam esportes
c) o total de pessoas pesquisadas
d) o número de pessoas pesquisadas que praticavam basquete
e) o número de pessoas pesquisadas que praticavam voleibol.
08. A idade de César é o quíntuplo da idade de Cleópatra e a soma das idades dos dois é 78 anos.
Quais são as idades?
09. Um tijolo pesa um quilo e meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio?


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RACIOCÍNIO LÓGICO
20

10. A soma de dois números impares e consecutivos é 404. Achar o produto dos dois números.
11. Cinco números consecutivos ímpares somam 105. O segundo número vale?
QUESTÕES DE CONCURSOS: e) (40-2x)-20-x

42. (FGV) A soma de 3 números inteiros e 49. (UFRGS 93) Com A cruzeiros compram-se
consecutivos é 60. Assinale a afirmação uma dúzia de laranjas e meia dúzia de limões. Com
verdadeira: B cruzeiros compram-se meia dúzia de laranjas e
a) O quociente do maior pelo menor é 2. uma dúzia de limões. A quantia , em cruzeiros,
b) O produto dos 3 números é 8000. para se comprar meia dúzia de laranjas e meia
c) Não existem números nesta condição. dúzia de limões é
d) Faltam informações para achar os números. a) 3 ( A + B ) b) 2 ( A + B ) c) A + B
e) O produto dos três números é 7980. A + B A + B
d) e)
2 3
x +1
43. A solução da equação 5 x − = 10 é: 50. (UFRGS 97) Um grupo de estudantes
2
3 7 dedicado à confecção de produtos de artesanato
a) b) c) 3 d) 7 e) 0
7 3 gasta R$ 15,00 em material, por unidade
produzida, e, além disso, tem um gasto fixo de R$
44. (UFMG) De um recipiente cheio de água
600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00.
2
tiram-se do seu conteúdo. Recolocando-se 30l Quantas unidades terão de vender para obterem
3
um lucro de 800,00?
de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do
a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20
volume inicial. A capacidade do recipiente é:
a) 45l b) 75l c) 120l d) 150l e) 180l 1
51. (UFRGS 97) Uma pessoa gasta do dinheiro
4
45. (ULBRA) Um tanque de gasolina de um carro 2
tem capacidade para 50 litros. O marcador que tem e, em seguida do que lhe resta,
3
de gasolina mostra que o combustível ocupa a ficando com R$ 350,00. Quanto tinha
quarta parte do tanque. Se o litro de gasolina inicialmente ?
custa R$ 0,476, o motorista gastará para a) R$ 400,00 b) R$ 700,00 c) R$ 1400,00
completar o tanque: d) R$ 2100,00 e) R$ 2800,00
a) R$ 5,93 b) R$ 6,50 c) R$ 16,00
d) R$ 17,85 e) R$ 23,75 52. (FCC – 2001) No almoxarifado de certa
empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos
46. (FUVEST) O dobro de um número mais a sua em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes
terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. em cada prateleira correspondem a 4 números
Determinando o número, teremos: pares sucessivos, então, dos números seguintes, o
a) 24 b) 12 c) 10 d) 8 e) 31 que representa uma dessas quantidades é o
2 a) 8 b) 12 c)) 18 d) 22 e) 24
47. O número que somado aos seus resulta 30
3
53. (FCC – 2008) Um lote de 9 000 disquetes foi
é:
colocado em 4 caixas de tamanhos diferentes, de
a) impar b) múltiplo de 9 c) divisor de 30
forma que o número de disquetes colocados em
d) primo e) quadrado perfeito 1
cada uma correspondia a da quantidade
48. (UFRGS) De um total de 40 questões 3
planejadas para uma prova, eliminaram-se 2x colocada na anterior. O número de disquetes
delas e do resto, ainda tirou-- se a metade do colocados na
que havia sobrado. Qual a tradução algébrica do a) primeira foi 4 075. b) segunda foi 2 025.
número de questões que restaram? c) terceira foi 850. d) quarta foi 500.
a) (40-2x) - 20 +x b) (40-2x)-20 e) quarta foi 255.
x
c) ( 40 − 2x ) − d) (40-2x)-x
2

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
21

54. (FCC – 2008) Das 182 páginas de um 58. (FCC – 2007) Pelo controle de entrada e
relatório, digitadas por Adilson, Benilson e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal
Cevilson, sabe-se que: o número das digitadas por Regional Federal, verificou-se em certa semana
2 que o número de visitantes na segunda-feira cor-
Adilson correspondia a do número das
3 3
respondeu a do da terça-feira e este correspon-
digitadas por Benilson; o número das digitadas por 4
11 2
Benilson, a das digitadas por Cevilson. deu a do da quarta-feira. Na quinta-feira e na
12 3
Quantas páginas Cevilson digitou a mais do que sexta-feira houve igual número de visitantes, cada
Benilson? um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se
a) 28 b) 22 c) 12 d) 8 e) 6 nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total
de visitantes foi 750, o número de visitantes na
55. (FCC – 2006) Certo dia, um técnico judiciário
a) segunda-feira foi 120.
foi incumbido de digitar um certo número de
b) terça-feira foi 150.
páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em
c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira.
45 minutos, adotando o seguinte procedimento:
d) quinta-feira foi igual ao da terça-feira.
– nos primeiros 15 minutos, digitou a metade
e) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.
do total das páginas e mais meia página;
– nos 15 minutos seguintes, a metade do 59. (FCC – 2007) Certo dia, Veridiana saiu às
número de páginas restantes e mais meia página; compras com uma certa quantia em dinheiro e foi
– nos últimos 15 minutos, a metade do número a apenas três lojas. Em cada loja ela gastou a
de páginas restantes e mais meia página. quarta parte da quantia que possuía na carteira e,
Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o em seguida, usou R$ 5,00 para pagar o
total de páginas do texto era um número estacionamento onde deixou seu carro. Se após
compreendido entre todas essas atividades ainda lhe restaram R$
a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente
d) 14 e 17 e) 17 e 20 na carteira estava compreendida entre
a) R$ 20,00 e R$ 50,00.
56. (FCC – 2004) Hoje, dois técnicos judiciários,
b) R$ 50,00 e R$ 80,00.
Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480
c) R$ 80,00 e R$ 110,00.
processos para arquivar, respectivamente. Se
d) R$ 110,00 e R$ 140,00.
Marilza arquivar 20 processos por dia e Ricardo
e) R$ 140,00 e R$ 170,00.
arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias,
contados de hoje, Marilza terá menos processos
60.(FCC – 2003) Do total de processos
para arquivar do que Ricardo?
arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que:
a) 12 b) 14 c))16 d) 18 e) 20
3 1
foram arquivados numa primeira etapa e
57. (FCC – 2007) De acordo com um relatório 8 4
estatístico de 2006, um setor de certa empresa numa segunda. Se os 9 processos restantes foram
expediu em agosto um total de 1347 documentos. arquivados numa terceira etapa, o total de
Se a soma dos documentos expedidos em processos era
setembro e outubro foi o triplo do de agosto e o a) 18 b)) 24 c) 27 d) 30 e) 34
número dos expedidos em setembro ultrapassou o
de outubro em 853 unidades, a diferença entre a
quantidade de documentos expedidos em
setembro e a de agosto foi
a) 165 b) 247 c) 426 d) 427 e) 1 100


MATEMÁTICA E
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22

SISTEMAS DE 1º GRAU
Exemplos: Adição 01 Adição 02 Substituição 01
2x + y = 5 2x − y = 3 y = 3x + 2
01)  02)  03) 
8 x − y = 5 3 x + 2y = 8 2x − y = −4
10x = 10 x=1 2x – ( 3x + 2 ) = -4
Voltando: 4 x − 2y = 6 2x – 3x – 2 = -4

2.1+y=5 3 x + 2y = 8 -x = -2 x=2
y=5–2=3 7x = 14 x=2 y=3.2+2=8
Solução: ( 1 , 3 ) Voltando: 2 . 2 – y = 3 Solução: ( 2 , 8 )
y = 4 – 3 = 1 Solução: ( 2 , 1 )
Usando qualquer um dos métodos, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas:
x + y x − y
 =
x − 5y = 15 3 x + y = −2 x = 2y 
04)  05)  06)  07)  5 3
2x + y = 19 x + 2y = 6 2x − 5 y = 3 x
 =y+2
2

2x − y = 12
 x = −5 y 6 x − 3 y = 20 2x = 3 y 
08)  09)  10)  11)  x y
4x − y = −21 4 x + 3 y = 40 x + y = 50 3 + 2 = 6

7 x + 6 y = 23 x − 2y = −4 8 x + 5 y = 11 2x − 3 y = 11
12)  13)  14)  15) 
5 x + 6 y = 21 − x − 4 y = 10 4 x + 5 y = 3 2x + 7 y = 1
x y
x + y = 6 x + 5 y = −24  = 10 +
16)  17)  18)  5 2
x = y + 2 3 x − 2y = −4 x − y = 29


PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DO 1º GRAU

O Objetivo nesse tipo de problema é que você traduza o texto da questão em um sistema, inventando
para isso duas letras diferentes, cada uma representando um dos dois objetos do problema.
Preferencialmente escolha letras que tenham relação com o problema, por exemplo se forem vacas e
galinhas escolha V e G e não x e y.

Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo sistemas do 1º grau.

EX 01. No fim de um dia de trabalho, o caixa de um banco consegue juntar 160 notas de R$ 10,00 e
de R$ 50,00, num total de R$ 6.240,00. Quantas notas há de cada espécie?
Considere D = nº de notas de R$ 10 e C = nº de notas de R$ 50
Sabemos que D + C = 160 e que 10D + 50C = 6240
D + C = 160 − 10D − 10C = −1600
Montando o sistema:  
10D + 50C = 6240 10D + 50C = 6240
40C = 4640 C =116
10D + 10 ( 116 ) = 1600 10D = 1600 – 1160 = 440 D = 44
ex 02. Quando trabalho ganho R$ 32,00 por dia. Quando falto pago multa de R$ 25,00. Em 45 dias
recebi um total de R$ 528,00, quantos dias eu faltei?
Considere T = dias trabalhados e F = dias com falta
Sabemos que T + F = 45 e que ganha 32T e perde 25F e que isso 32T – 25F = 528.
T + F = 45
Montando o sistema: 
32T − 25F = 528
Temos que F = 45 – T por substituição: 32T – 25( 45 – T ) = 528 32T – 1125 + 25T = 528
57T = 1653 T = 29. Voltando temos que F = 45 – 29 = 16.

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