Gep7 geometria 2013

Geometría. 1º Año Matemática – Ce.R.P del Norte- 2010
1
EL SISTEMA AXIOMÁTICO (GEP7)
I) Conceptos Primitivos.
El PLANO EUCLIDIANO que simbolizaremos por es un conjunto no vacío cuyos
elementos denominados puntos y los simbolizamos con letras A, B, C,…P, Q, X,……; y en él
reconocemos una familia de subconjuntos por R y cuyos elementos son denominados rectas y
simbolizadas por letras r, s, p, q, t, x, y, …….. . Las relaciones que ligan estos objetos y sus
estructuras internas están reguladas por siete axiomas que caracterizarán a la Geometría
Euclidiana Plana.
II) Axiomas de Incidencia:
 AXIOMA 1: El plano contiene infinitas rectas y a cada recta pertenecen infinitos
puntos.
 AXIOMA 2: Para cada par de puntos P, Q ( P Q) existe una única recta r
R tal que P, Q r.
Notación: r = r (P, Q)
Teorema 1: Dada dos rectas r, s R se cumple una, y sólo una de las siguientes
preposiciones;
i) sr Ø
ii) r = s.
iii) Existe Psr/P . En este caso decimos que las rectas son
secantes en P.
Demostración: A cargo del lector.
Definición 1: Dada dos rectas Rsr, diremos que son paralelas, si y sólo si srósr Ø
Notación: r s.
 AXIOMA 3: EUCLIDES Para cada recta r y para cada punto P existe una única recta
por P paralela a r.
Teorema 2: El paralelismo es una relación de equivalencia en el conjunto R.
Demostración:
i) Reflexiva: r r .definiciónporR)r(
ii) Simétrica: r s s r por definición.
s
r
P
t
Definición 2: Las clases de equivalencia definidas en R por la relación paralelismo se llaman
DIRECCIONES.
Supongamos que esto no ocurra, es decir que no (r t )
entonces; Ptr/PP . Luego tenemos que por P
existen dos rectas paralelas a s; esto contradice el Axioma 3.

2
Observaciones:
1) La clase de equivalencia a la que pertenece una recta r se llama dirección de r y se
simboliza por Dr.
2) Cada dirección se puede caracterizar por una recta. En el caso que ocurra r s decimos
que r y s tienen la misma dirección ( Dr = Ds ).
3) Dr se llama también ―Haz de rect6as paralelas de dirección r‖.
4) ¿Cuántas direcciones tiene el plano P? Pruebe que: DsDrPsrR;sr,Si Ø
Teorema 3: Si se considera la recta x PR, x y la función f de dominio x y
codominio Hp* (conjunto de las rectas que pasan por p (haz) y no paralelas
a x) tal que la imagen de cada punto X x es la recta
r (P, X); entonces f es biyectiva.
Demostración: X f r (X, P)
P
s
x Y X´ X
III) Proyecciones y Ejes de Coordenadas.
Sea x R y D una dirección distinta de Dx, para cada punto M sea dM la recta por M de
dirección D y XM la intersección de x y dM.
XM se llama proyección de M sobre x según la dirección Dr.
r
M
D
dM
XM x
Definición 3: La función pr: x tal que a cada punto M le asigna el punto XM = pr
(M) se le llama proyección de M sobre x según la dirección D.
1. f es función porque para cada X la r
(X, P) es única (Axioma 2.);
2. f es inyectiva porque si X X´ y
resulta r(X, P) = r(X´, P) los puntos
X, X´ y P estarían alineados y
PX´,X, x y esto contradice la
hipótesis P x,
3. f es sobreyectiva porque dada s en
Hp* existe un único Y en x tal que s
x = Y entonces f (Y) = r (Y,
P) = s.

3
Teorema 4: Sean x e y dos rectas distintas y D una dirección, D DX y D Dy; la
proyección de la recta x sobre la recta y según D es una biyección.
Demostración:
d
X X´
x
y
Y´
Y d´
1. Las recta d y d´(d, d´ D) son distintas si X X´ y por lo tanto Y Y´. Entonces pr
es inyectiva;
2. f es sobreyectiva, (a carago del lector).
Observaciones:
1. Este resultado, bastante intuitivo, nos va a poder permitir afirmar que las rectas R
―tienen la misma cantidad de punto‖. Con esta afirmación extendemos, a conjuntos
infinitos, nuestras ideas sobre cantidad de elementos en conjuntos finitos.
2. Sean x e y dos rectas secantes en O; para cada punto M de p consideramos las
proyecciones XM de M en x según Dy e YM en y según Dx.
y
YM M
XM x
O
La función f : xXy tal que a cada punto M le asigna como imagen el par
ordenado (XM, YM) es una biyección de en el producto cartesiano de las rectas x e y.
Esto implica que el plano y el producto cartesiano de dos rectas ―tienen la misma
cantidad de puntos‖, en el sentido que se le asignábamos anteriormente.
IV) Estructura de orden en las rectas.
 AXIOMA 4: Toda recta tiene asociada dos estructuras de orden total (AMPLIO); una
opuesta de la otra.
Observaciones:
1. Con este axioma se quiere decir si _ identifica la relación de orden en una recta r
se cumple, cualesquiera sean los puntos A, B, C de r, que:
i. A _ A (Propiedad reflexiva).
Los puntos XM o YM se denominan coordenadas de M
en el sistema de ejes coordenados definido por las
rectas x e y.



4
ii. A _ B y B _ A A = B (Propiedad antisimétrica)
iii. A _ B y B _ C A _ C (Propiedad transitiva)
iv. Para cada par A, B r, A _ B o B _ A (Propiedad tricotómica)
2. Si A _ B es usual leer ―A precede a B‖ o también que ―B le sigue a A‖ en sentido
amplio. Y escribimos A  B para indicar A _ B y A B.
3. Denominamos recta orientada y escribimos (r, _ ) o sencillamente r

a toda recta
que tiene asociada una relación de orden del tipo indicando en el Axioma 4,
4. Para cada A, B BA , r

(A, B) designa la recta orientada determinada por A y
B y tal que A _ B.
Definición 4: Dada la recta orientada r

y un punto O de ella, llamamos semirrectas opuestas
de origen O a los conjuntos:
XO:rX

OS XO:rX

OS
Notación: Para simbolizar la semirrecta d rigen O y q1ue contienen al punto A escribimos;
(A)OS

Observación: Todavía no estamos en condiciones de probar que ambas semirrectas abiertas
son no vacías. ¿Por qué no?
Definición 5: Dados dos puntos A y B de llamaremos segmentos cerrado de extremos A y
B al conjunto; BXABArXBA :),(,

y segmentos abierto de extremos A y B al
conjunto; BA, {X r

(A,B):A<X<B}
¿Qué pasa si A=B? (segmento nulo!!)
Definición 6: Un conjunto X se llama convexo si y sólo si para cada par de puntos
cualesquiera A, B X se tiene que BA, X.
De la definición surge que, el plano, las rectas, las semirrectas, los segmentos son
conjuntos convexos. También el conjunto vacío es convexo; ¿Por qué?
Un resultado que interesa destacar es que se refiere a intersección de figuras convexas;
entendiendo el término figuras en el mismo sentido que subconjuntos de .
Teorema 5: Si X, Y son figuras convexas de , X Y también lo es. Pero no
necesariamente lo es X X.
Demostración: YXQP,Si
YQPYQP
XQPXQP
,,
,,
YXQP,
Analice el lector, qué pasa en el caso en que las figuras X e Y sean disjuntas ( X YX Ø).
V) Partición del Plano.
 AXIOMA 5: Para cada recta Rr existe una única partición de en tres conjuntos
(no vacíos y disjuntos) ´y,r tales que:
1. ´y son convexos.
2. Si rQP,,´QyP Ø.
 
   
 





5
Los conjuntos ý se denominan semiplanos abiertos de borde r. como una de las
consecuencias de la inducción de este axioma es la posibilidad de relacionar los órdenes de
cada recta.
Relaciones entre los órdenes de las rectas
Teorema 6: Sean r´Q´P´,yrQP,r´,rR,rýr , toda recta r s que corta a [
P, P´] corta a [ Q, Q´].
Demostración:
P Q r
X X´ s
P´ Q´ r´
Pruebe el estudiante que si una recta a es paralela al borde de un semiplano , entonces;
aa ó a .
Teorema 7: Sean r y r´ distintas y d una dirección tal que D;rýDr la función
pD: r r´, proyección de r sobre r´ según D es una biyección que conserva el orden en
ró lo invierte. (pD es creciente o decreciente estricta).
Demostración: r
C
B
A D
A´ B´ C´
r´
Teorema 8: Toda semirrecta abierta es no vacía.
x
A´ B´ C´ r´
B r
Si se corta a P´P, en X, r y r´ están
en semiplanos opuestos respecto de s.
¿Por qué?
Y por tanto s corta a Q´Q,
Por el teorema 4. pD es biyectiva. Si
CBA en r las rectas paralelas r(A,A´) y
r(C,C´) están en distinto semiplano respecto
de r(B,B´).
En la recta ordenada r´ se tiene:
i. C´BÁ´ ó
ii. A´BĆ´ ; por lo tanto pD es creciente
estricta en el caso i) y decreciente estricta en
el caso ii)
Sea r una recta y B un punto de ella, por un punto
exterior a r se traza una paralela r´.
En ésta se consideran los puntos A´, B´, y C´
tales que A'< B'< C'. La recta x = r(B, B´) define
una dirección D distinta de Dr.

6
Por el teorema 7 los puntos A = prD (A´), C = prD (C´) (proyecciones de A’ y C´sobre r de
dirección D) cumplen A < B < C ( ó que C < B < A). Por lo que las semirrectas de r de
origen B son no vacías.
VI) El Plano como Espacio Métrico.
El axioma que se introducirá a continuación define la distancia entre dos puntos y en élsi
apela al Cuerpo Ordenado de los Números Reales. Pero es sí es suficiente, para manejarnos
en esta instancia, pensar en la estructura aditiva ordenada de ellos sin entrar a las cuestio nes
que tinen que ver con la completitud.
 AXIOMA 6: Existe una función :d IR, que denominaremos DISTANCIA,
con las siguientes propiedades:
i. )YX,(0Y)d(X,
ii. )YX,(X)d(Y,Y)d(X,
iii. )ZY,Z,(Y)d(Z,Z)d(X,Y)d(X,YX,Z
iv. Y)d(X,YX,Z < )ZY,Z,(Y)d(Z,Z)d(X,
v. Para cada recta orientada (r, _), para cada X r y para cada a IR (0 a)
existe un
único punto Y tal que: Y r

; X _ Y y d(X,Y) = a.-
Observaciones:
1. La función distancia asocia a cada par ordenado de puntos del plano un número real
positivo o nulo; la condición ii) nos dice que el orden de los puntos no afecta.
2. Aunque parezca obvio, d (X,Y) es un número real y [X,Y] es un subconjunto de puntos
del plano.
3. Las condiciones iii) y iv), en sí, traducen la idea intuitiva que ―el segmento de recta es
la distancia más corta entre dos puntos‖. Si X, Y, Z son tres puntos del plano, no alineados,
se cumple que d(X,Y) < d(X,Z) + d(Z,Y), llamado desigualdad triangular. Traduciendo ésta,
la idea intuitiva que en un triángulo, la suma de dos lados es mayor que el tercero.
4. La condición v) nos está diciendo que en cada recta hay dos puntos (uno que precede y
otro que sigue) a distancia dada de otro. En sí, asegura la existencia de uno sólo que sigue;
pero usando el Axioma4, obtenemos un único que precede.
Veamos a continuación una serie de resultados importantes intuibles, entre los que se destaca
el que muestra la identificación de la recta orientada con origen y los Números Reales.
Teorema 9: Si X, Y ; d(X Y) = 0 X = Y.
Demostración:
a. Si X = Y en Axioma 6. iii) tomamos X = Z y se tiene Y)d(X,X)d(X,Y)d(X, y
por lo tanto d(X,X) = 0; usando la unicidad del neutro aditivo de los Números Reales.
b. Si d(X,Y) = 0 y X Y (por ejemplo X < Y con X, Y r (X,Y)), como además
d(X,X) = 0 tendríamos dos puntos que siguen a X (X e Y) en r y a la misma distancia. Esto
contradice la proposición Axioma 6. v).



7
Teorema 10: Dados X, Y YX,ZsiY,X, se cumple que d(X,Z) <
d(X,Y).
Demostración: Aplique Axioma 6. iii)
El que sigue es el resultado importante que incorpora el Axioma 6.
VII) Isomorfismo de la Recta Orientada con Origen (r,o _) y la Estructura
Ordenada de los Números Reales (IR, ).
El teorema siguiente justifica la identificación de la recta (r, o, _) y (IR, ), en esencia
punto con número real. Crea lo que se denomina EJES DE ABCISAS.
Conjuntamente con la observación al Teorema 4, que establece la biyección entre el plano
y el producto cartesiano de dos rectas secantes, identificamos el plano P con R² mediante una
biyección que a cada punto del plano le asocia un único par ordenado de números reales,
coordenadas del punto en el sistema de referencia determinado por dichas rectas.
La llamada GEOMETRÍA ANALÍTICA tiene su base en esta biyección (P R2
) que se
completa definiendo una métrica en el conjunto R2
.
Teorema 11: Para cada recta (r, _ ) orientada y para cada punto O (r, _ ) existe
una única función biyectiva creciente tal que:
1. ƒ: (r, _ ) R
2. ƒ (O) = 0
3. ( X, Y (r, _ ), d(X,Y) = (Y)-(X) ff
Demostración: Existencia. Definimos la función ƒ: (r, _ ) R como sigue:
si O  X, ƒ(X) = d(X,O)
si O = X, ƒ(O) = 0
si X  O, ƒ(X) = - d(X,O)
Probaremos que esta función así definida cumple las condiciones del teorema; 1. y
2. están en la propia definición por lo que debemos probar que es biyectiva, creciente y vale 3.
ƒ es creciente. Sea X < Y; por el Axioma 6. iii) puede suceder que;
i. X  O  Y d(X,Y) = d(X,O) + d(O,Y) d(X,Y) = - ƒ(X) + ƒ(Y)
ii. O  X  Y d(O,Y) = d(O,X) + d(X,Y) d(X,Y) = ƒ(Y) – ƒ(X)
iii. X  Y  O d(X,O) = d(X,Y) + d(Y,O) d(X,Y) = -ƒ(X) + ƒ(X),
en los tres casos vale que: d(X,Y) = ƒ(Y) – ƒ(X) si X < Y, lo que implica ƒ(X) < ƒ(Y). Por
tanto ƒ es creciente.
ƒ es biyectiva. De lo anterior, por ser creciente, ƒ es inyectiva (Y))X)(Y(X ff ; y es
sobreyectiva porque dado x R: sí O  x existe X (r, _) y O _ X tal que d(X,O) = x, y
por lo tanto, ƒ(X) = x; y si X  O existe Y (r, _ ) e Y  O tal que d(Y,O) = -x, o sea ƒ(Y)
= x.
Además se cumple que d(X, Y) = (Y)-X)( ff ya que si X _ Y, d(X,Y) = (Y)-X)( ff .
Si Y  X; d(X,Y) = f(X) – f(Y) = (Y)-X)( ff
Unicidad: Supongamos que exista una función g en la hipótesis del teorema;






 




8
Para cada X, Y (r, _) se tiene d(X, Y) = (Y)-X)( gg , y tomando Y = O se
tiene que d(X,O) = (O)-X)( gg = X)(g por ser g(O) = 0.
Como g es creciente:
Si O  X, 0 < g(X) = X)(g = d(X,O)
Si X  O, g(X) < 0 X)(g = -g(X) = d(X,O)
Resulta que g: (r, _) R cumple:
Si O  X g(X) = d(X, O)
Si O = X g(O) = 0 por tanto g = f
Si X  O g(X) = -d(X,O)
Observaciones:
La identificación entre las estructuras (r, O, _ ) y (R, ) demostrada en el teorema 11.
permite trasladar propiedades asociadas al orden de los Números Reales a las rectas
Orientadas con Origen.
Por ejemplo:
i. Toda recta es un conjunto infinito, totalmente ordenado, denso y completo, no acotado
superior ni inferiormente;
ii. Todo subconjunto de la recta no vacío y acotado tiene supremo y ínfimo.
iii. Al número real f(X) le llamaremos abcisa del punto X.
1. Medida algebraica:
Sea (r, O, _) una recta orientada con origen con origen y consideramos dos puntos X, Y
cualesquiera de ella; llamaremos medida algebraica del par ordenado (X,Y), - que
simbolizaremos m(X,Y) – al número real: m(X,Y) = f(Y) – f(X), donde f es la función al que
se refiere el Teorema 11.
Se hace necesario demostrar que esta definición es independiente del origen O de
Coordenadas elegido.
Si O  X  Y m(X,Y) = d(O,Y) – d(O,X) = d(X,Y)
Si O  Y  X m(X,Y) = d(O,Y) – d(O,X) = -d(X,Y)
Si X  O  Y m(X,Y) = d(O,Y) + d(O,Y) = d(X,Y)
Si Y  O  X m(X,Y) = -d(O,Y) – d(O,X) = -d(X,Y)
Si X  Y  O m(X,Y) = -d(O,Y) + d(O,X) = d(X,Y)
Si Y  X  O m(x,Y) = -d(O,Y) + d(O,X) = -d(X,Y)
Por tanto, independientemente del origen, se tiene que:
Si X  Y m(X,Y) = d(X,Y) y si Y  X m(X,Y) = -d(X,Y)
2. Existencia y unicidad del punto medio de un segmento.
Obsérvese que si consideramos los puntos X, Y P tales que X Y, entonces el segmento
abierto YX, Ø.
Teorema 12: Dados X, Y (r, _) con X _ Y existe un único punto M (M
YX, ) tal que d(X,M) = d(M,Y). Dicho M se llama punto medio del segmento
[X,Y].




 

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Demostración: En (r, O, _) sean X  M  Y, entonces; d(X,M) = m(X,M) = m – x y
d(Y,M) = m(M,Y) = y – m de donde m – x = y – m.
Esto implica m =
2
y)(x
Resulta entonces, en correspondencia con el número real m, existe un único punto
M YX, en las condiciones pedidas y su abcisa es
2
y)(x
.
3. Circunferencia y Círculo.
Definición 7: Sea O y a IR+, llamamos circunferencia de centro O y radio a, al
conjunto: C (O, a) = aO)d(X,:X .
Y círculo de centro O y radio a, al conjunto: C (O,a) = aO)d(X,:X
Observaciones:
1. Dados O P y a IR (0 < a) los siguientes constituyen una partición del plano en tres
conjunto disjuntos, siendo sólo el primero de ellos convexo; Ci (O, a) = {X X)d(O,: <
a}, C (O, a),
Ce (O, a) = { X)d(O,:X < a}
2. Toda recta que tenga un punto en (Ci) intercepta a C en dos puntos (Teorema de
Pitágoras y Axioma 6. v))
VIII) Isometrías. (Funciones del plano → plano)
Comentario Previo:
La (GEP7) como Espacio Métrico, tiene asociada un Grupo de transformaciones que la
caracteriza y son las ISOMETRIAS.
Estas son biyecciones del plano en el plano que conservan la distancia. Entre ellas
ocuparán el lugar especial las llamadas ―SIMETRIAS AXIALES”, ya que probaremos
oportunamente que toda isometría se reduce a un producto de, a lo sumo, tres simetrías
axiales.
Otro grupo de transformaciones que se estudiará es el de las SEMEJANZAS que son
biyecciones del plano en el plano que multiplican las distancias por una constante positiva.
En sí son dilataciones o contracciones del plano según sea la constante mayor o menor que 1
(uno). Las isometrías están incluidas en el caso que la constante sea igual a 1.
Definición 8: Una función :f es una ISOMETRIA del plano
YX,((Y))(X),d(Y)d(X,ii.
biyectivaesi.
ff
f
Observaciones:
i. Una función que conserva las distancias es necesariamente inyectiva, puesto que:
X Y d(X,Y) > 0 d(f(X), f(Y)) > 0 f(X) f(Y);


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ii. Existen isometrías puesto que la función :I tal que )X(X(X)I (función
Identidad) es un isometría;
iii. Dadas A A´ figuras planas, si existen una isometría f tal que f(A) = A´,
diremos que A y A´ son congruentes (en el cotidiano, diremos que son iguales).-
Teorema 13: Sea = { f: f es un a isometría de }; entonces ( , º) es un
GRUPO.
Demostración: Sean f, g ; g º f es biyectiva; debemos probar que conserva la distancia.
Si X, Y se tiene que:
d((g º f)(X), (g º f)(Y)) = d( g(f(X)), g ( f(Y))) = d( f(X), f(Y)) = d(X,Y), esto implica que f º
g . Sabemos que º es asociativa y que I cumple que I º f = f º I = f )( f .
Nos queda probar que la función inversa de una isometría es una isometría.
Si f , existe f- - 1
: (por f ser biyectiva) tal que f- - 1
(Y) = X si y sólo si f (X) = Y.
Para probar que f- - 1
debemos probar que conserva la distancia. En efecto, si Y, Y´
se cumple que existen X, X´ tales que f- - 1
(Y) = X y f- - 1
(Y´) = X´ entonces d(Y,Y´) =
d(f(X), f(X´)) = d(X,X´)= d(f- - 1
(Y), f- - 1
(Y´)) y eso permite afirmar que f- - 1
.
Observaciones:
i. El hecho que ( ,º) sea un grupo – que como veremos no es conmutativo -, implica entre
otras cosas, que podemos resolver ecuaciones lineales y que éstas tienen solución única;
ii. Nos interesa saber cómo reaccionan nuestras figuras habituales, segmentos, rectas,
circunferencias, … al aplicarse al plano una isometría.
Es decir, si ésta respeta las categorías de las figuras.
El teorema que sigue es una muestra de ello, dice en esencia que: ―la imagen de un
segmento por una isometría es un segmento”. De este hecho, como veremos muy
importante, sacaremos otras consecuencias que analizaremos a posterior.
Teorema 14. Si P, Q (P Q) y f ; f([P,Q]) = [f(P), f(Q)].
Demostración:
i. Probaremos en principio que si X [P,Q] entonces f(X) [f (P), f (Q)]: Si X
[P,Q] si y sólo si d(P,Q) = d(P,X) + d(X,Q) (Axioma 6. iii) y aplicando f a la igualdad
anterior obtenemos que:
d(f(P), f(Q)) = d(f(P), f(X)) + d(f(X), f(Q)) lo que implica f(X) [f(P), f(Q)].
ii. Recíprocamente, si Y [f(P), f(Q)] aplicando el mismo Axioma 6. iii) se tiene d(f(P),
f(Q)) = =d(f(P), Y) + d(Y, f(Q)) y si aplicamos f- - 1
resulta que d(P,Q) = d(P, f- - 1
(Y)) + d(f- -
1
(Y), Q) lo que implica X = f- - 1
(Y) [P,Q].
Consecuencias:
i. Si r R y f entonces f(r) R;
ii. Si So(A) r (semirrecta de origen O que contiene a A) y f entonces f(So(A) ) =
Sr(O)(f(A)) f(r);
iii. Consideramos dos semirrectas So y So´ del mismo origen, llamaremos (provisoriamente)
―ángulo‖ determinado por ellas al conjunto So So´. Entonces las isometrías transforman
ángulos en ángulos;

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iv. Si C (O, r) es la circunferencia de centro O y radio r y f una isometría, se cumple que
f(C (O, r))= =C (f(O), a);
v. Si es un conjunto convexo entonces f ( ) es un conjunto convexo;
vi. Es más; en un sentido que se precisará en cursos posteriores, en el Espacio Métrico (P, d)
las isometrías son funciones bicontinuas y respetan la condición de convexos de los
conjuntos de .
Anotemos a continuación un resultado importante en todo lo que sigue:
Si una recta tiene dos puntos fijos por una isometría, tienen fijos todos
los puntos.
Teorema 15: Sea Q)(PQP,,f tales que f(P) = P y f(Q) = Q, entonces
f(X) = X ( Q)(P,X r
Demostración: Consideramos la recta r(P, Q) orientada; debemos analizar los casos: X  P
 Q, P  , P  X Q y P  Q  X. Por ser de similar demostración, demostraremos uno sólo
de ellos.
P  X  Q (por el Axioma 6. iii) d(P,Q) = d(P,X) + d(X,Q) y por f se tiene que:
d(f(P, f(Q)) = d(f(P), f(X)) + d(f(X), f(Q)) d(P,Q) = d(P,f(X)) + d(f(X),Q), entonces P <
f(X) < Q; pero como además d(P,X) = d(P, f(X)) (aplicando el Axioma 6. v)) f(X) = X; por
ambos puntos siguen a P y están a la misma distancia de él.
Observaciones:
Como consecuencia y volviendo a insistir sobre este resultado: Si una isometría
tiene dos puntos fijos, tiene fijos los puntos de la recta que ellos
determinan.
Existencia y Unicidad de Isometrías:
Notación: Sea (r, _) R (recta orientada), O r (un punto cualquiera de ella), (So, _ ) (una
de las simetrías de r de origen O) y α (uno de los semiplanos de borde r). Esta terna la
simbolizamos por (O,So, α).
 AXIOMA 7: (Determinación de Isometrías) Dadas dos ternas (O, So, α) y (O´, So´, α´)
existe una única isometría f tal que f(O) = O, f(So) = So´ y f(α) = α´.
Notación: f((O,So, α) = ( O´, So´, α´)
2. SIMETRÍA AXIAL
Sea ℮ R; ella determina en P, dos semiplanos α y α´.
Elijo un punto O ℮ y una semirrecta So ℮ el Axioma 7 afirma que: existen dos únicas
isometrías f, g Rtales que: f((O, So, α)) = (O, So, α´) y g((O, So, α)) = (O, So, α´). g = I ya
que la identidad cumple I((O, So, α)) = (O, So, α) y el axioma asegura la unicidad. En cuanto a
f, aprovechamos hacer lo siguiente:
 

12
Definición 9: Llamamos SIMETRÍA AXIAL DE EJE ℮ a la única isometría f tal que
f(O, So, α) = (O, So, α´), siendo So ℮ y α, α´ semiplanos opuestos de borde ℮.
Observaciones:
i. Vale la pena destacar que la definición es independiente de la elección del punto O.
Probarlo queda a cargo del lector.
ii. Se (℮) = ℮;
iii. Si X α, X´ = Se(X) α´ y por tanto r(X, X´) ℮ = {Xo} con Xo [X, X´], d(X, Xo)
= d(Se(X), Se(Xo) = d(X´, Xo) lo que prueba que ―el eje de simetría contiene los puntos
medios de los segmentos determinados por pares de puntos correspondientes en la simetría”.
iv. Sea Y ℮, d(X,X´) d(Y,X) + d(Y,X´) y como Se(Y) = Y se tiene 2d(X,Xo)
2d(X,Y), es decir:
d(X,Xo) d(X,Y).
Esto implica que Xo es el punto de ℮ a mínima distancia de X. A este punto le llamamos
proyección ortogonal de X en ℮ y lo simbolizamos por pre (X) = Xo.
Definición 10: Llamamos distancia de un punto X a una recta ℮ al número real d(X, pre (X)).
v. (Se º Se) (O, Se, α) = (O, So, α), por el Axioma 7. ; esto implica que: (Se)2
= I.
vi. Del punto v. se deduce que (Se)-1
= Se y que si X´ es la imagen de X por Se se tiene que Se
(r(X,X´))=
= r(X´,X). Es decir que las rectas definidas por puntos correspondientes en una simetría axial
son globalmente invariantes por ella.
Son imágenes de sí misma, con el único punto fijo: su intersección con el eje de simetría.
vii. Si So es una semirrecta de origen O y f tal que f(So) = So, entonces f = I o f = So
℮.
3. PERPENDICULARIDAD:
Definición 11: Dadas las rectas a, b R ( a b), decimos que a es perpendicular a b y
escribimos a b si y sólo si Sb(a) = a
Teorema 16: Si a y b son rectas secantes en O, las proposiciones siguientes son
equivalentes:
i. a b;
ii. ( a)XX, prb (X) = O; (O es la proyección ortogonal de X en b)
iii. Existe P a, P O y tal que prb (P) = O.
Demostración:
i ii. Sb(a) = a; si X a, Sb(X) = X´ a y por tanto r(X,X´) = a. Como X y X´
pertenecen a distinto semiplano de b, r(X, X´) ∩ b = {O}; entonces pro = O.
a)XX,( (prb (X) = O) siendo O punto medio de [X, X´] con X´ cumpliendo que X´ =
Sb(X) de donde Sb (a) = a. Es decir a b.
ii iii. Es inmediato, puesto que si vale para todos los puntos, vale para uno en particular.
iii i. Sb(P) = P´ siendo O punto medio de [P, P´], entonces Sb(r(P, P´)) = r(P, P´) o sea que
Sb(a) = a. Es decir a b.
Aprovechamos estos resultados para probar que la perpendicularidad es invariante por
aplicación de isometrías, y establecer una relación de paralelismo.

13
Teorema 17: Si f , a, b y a b entonces f(a) = f(b). Obsérvese que lo
que afirma es que las isometrías respetan la perpendicularidad.
Demostración: f(a)
f(b)
b
B
O´
O P a B´
P´
Sea {O} = a ∩ b y P un punto de a, O´ = F(O) y P´ = f(P); como a b se tiene que O =
pro(P) y por tanto d(P, O) es la mínima distancia entre P y los puntos de b. Comparamos
ahora las distancias d(P´,O´) y d(P´, B´) con B´ f(b) (B´ O´)
Sabemos que existe B b único tal que f(B) = B´ y que se cumple: d(P,O) = d(P´,O´) y
d(P,B) =
= d(P´,B´). Se tiene que d(P,O) ≤ d(P,B) b)B( entonces d(P´,O´) ≤ d(P´,B´) b´)B´( .
O sea prb(B´) = O´; de donde f(a) f(b) (Teorema 17)
b
Teorema 18: Si a b → b a.
a
B
Demostración:
A
O
A
Supongamos B b tal que pra(B) O y pra(B) = A (A O); como Sb(a) = a se tiene que
Sb(A) = A´ y se cumple que d(B,A) = d(B,A´).
Como pra(B) = A, A es el punto a mínima distancia de B y es único. Pero en nuestro
supuesto d(B,A) = d(B,A´) y entonces tendríamos otro punto A´ de (a), a misma distancia, lo
que implica una contradicción. Luego pra(B) = C y resulta por el Teorema 16. que b a.
Teorema 19: Si a b entonces: a c si y sólo si b║c cualesquiera sean a, b, c R
en las condiciones dadas:

14
Demostración: Si a c, sean a ∩ b = {A1} y c ∩ a = {A2}. Si b no fuera paralela a c
existe P tal que b ∩ c = {P}.
Por ser c a, pra(P) = A2 y como b a, pra(P) = A1 siendo A1 A2 y esto contradice la
unicidad de la proyección ortogonal.
Si b ║ c (b c) sabemos que Sa(b) = b; supongamos ahora que Sa(c) = c´ (c´ c). Como
a ∩ c = {A2}, Sa(A2) = A2.
Si {B´}= b ∩ c; como Sa
-1
=Sa, Sa
-1
(B´) = Sa(B´) = B tal que b ∩ c = {B}. Esto implica que
b no ║c, contradicción que proviene del supuesto C´ = Sa(C) C. Entonces Sa(C) = C, es
decir a c.
Observaciones:
i. Un ángulo como unión de dos semirrectas del mismo origen cuyos lados están
contenidos en rectas perpendiculares se llama RECTO,
ii. La proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r, es la proyección de P sobre r
según la dirección perpendicular a r.
4. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.
4.1 Mediatriz como eje de simetría:
Definición 12: Dados los puntos P, Q (P Q), llamamos MEDIATRIZ del segmento
[P,Q] a la recta m perpendicular a r(P,Q) en el punto medio de [P,Q] .
Teorema 20: La recta m es mediatriz de [P,Q] si y sólo si Sm(P) = Q.
Demostración: Si m es la mediatriz entonces m r(P,Q) en el punto medio O de [P,Q];
entonces Sm(r(P,Q)) = r(P,Q) y además d(O,P) = d(O,Q) lo que implica Sm(P) = Q.
Si Sm(P) = Q implica que el punto medio O de [P,Q] pertenece a m (O m) y que
Sm(r(P,Q)) =r(Q,P); resulta pues m perpendicular a r(P,Q) en el punto de [P,Q]. Luego m es la
mediatriz de [P,Q].
4.2 La mediatriz como Lugar Geométrico:
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de sus extremos; esto lo probaremos en el siguiente:
Teorema 21: Sea m la mediatriz de [P,Q], α el semiplano de borde m que
contienen a P y α´ su opuesto (Q α´); se cumple las siguientes preposiciones:
i. P´ α d(P´, P) < d(P´, Q);
ii. P´ α´ d(P´, P) > d(P´, Q);
iii. P´ m d(P´, P) = d(P´, Q):
Demostración:
A modo de ejemplo se demostrará la parte i.
Si P´ α y Q α´, sea [P´,Q]∩ m = {X}; en la terna (P,X,P´) se cumple que:
d(P´,P) < d(P´,X) + d(X,P) = d(P´,X) + d(X,Q) = d(P´,Q).
Teorema 22: Comparación de oblicuas.
A
r
A´
Sea r R, P, Q r, A r y A´= prr(A),
entonces valen las siguientes preposiciones:
i. d(A,P) < d(A,Q) d(A´,P) < d(A´, Q)
ii. d(A,P) > d(A,Q) d(A´,P) > d(A´,Q)
iii. d(A,P) = d(A,Q) d(A´,P) = d(A´,Q)

15
P Q
Demostración: i. Se aplica el Teorema 21. a los puntos Ay A´ tomando m la mediatriz de
[P,Q]; α y α´ los semiplanos de borde m y observando que s = r(A,A´) se tal que s α, si A
está en α, por ser s ║ m.
Las partes ii. iii. Se demuestran en forma análoga.
Teorema 23: Tres puntos no alineados determinan una única circunferencia. Se
llama circunferencia circunscrita al triángulo que ellos determinan.
Demostración: Sean P, Q, R tres puntos no alineados; los centros de las circunferencias que
pasan por P y Q pertenecen a la mediatriz m[P,Q]. Y análogamente, los centros de las
circunferencias que pasan por P y R están en m[P,R]. Por ser P, Q, R puntos no alineados, las
mediatrices no son paralelas y por tanto existe un único punto O de intersección de ambas
mediatrices. Resulta: d(O,P) – d(O,Q) – d(O,R) – r, la circunferencia C (O, r) contiene a los
puntos P, Q y R.
La unicidad de C (O, r) surge a partir de la de O como intersección de dos rectas únicas.
5. EJES DE SIMETRÍA
Definición 13: Una recta ℮ se llama EJE DE SIMETRIA de una figura F si y sólo si S℮(F) =
F. (Decimos que F es globalmente invariante o simplemente invariante por la transformación
S℮)
Ejemplos.
i. La mediatriz m[P,Q] es eje de simetría del segmento [P,Q] (si P Q);
ii. Si F es una figura plana cualquiera, y ℮ una recta cualquiera, entonces ℮ es eje de simetría
de F S℮(F).
iii. Sea C (O, r) una circunferencia de centro O, toda recta ℮ que pase por O es eje de
simetría de ella. Se podrá demostrar más adelante que los únicos ejes de simetría de la
circunferencia son las rectas que pasan por su centro.
iv. Paralela Media: Se consideran las rectas r y r´ paralelas distintas, y la recta p r que
interseca a r en A y a A´ en R´. Sea m la mediatriz de [A,A´]; probaremos que Sm(r) = r´.
p

16
A
r
m
A´
r´
Los teoremas expuestos aseguran que m ║ r y que p m. Además; r ∩ p ={R} Sm(r) ∩
Sm(p) = =Sm(R) = R´. De r p se deduce Sm(r) Sm(p) Sm(r) p.
Luego, la recta Sm(r) pasa por R´ y es perpendicular a p, como también r´ es perpendicular a
p y pasa por R´ se tiene (unicidad) Sm(r) = r´ como queríamos.
La recta m se denomina paralela media del par r, r´.
Observaciones:
i. Si p1 es la recta paralela a p que corta a r y a r´ en los puntos R1 y R1´se cumple que
d(R,R´) = =d(R1,R1´). Esto implica que los puntos de r equidistan de r´ y recíprocamente;
ii. De lo anterior se deduce que el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a
una recta m del plano es constante, es un par de rectas paralelas a ellas ubicadas en
semiplanos opuestos de borde m. Y por las cuales, ella es la paralela media.
Teorema 24: Sean r, r´ R entonces la figura r r´ tiene al menos dos ejes de
simetría.
Demostración:
i. Si r = r´ toda recta ℮ perpendicular a r es eje de simetría, además de la propia recta r;
ii. Si r ║r´ (r r´), son ejes de simetría la paralela media y toda recta perpendicular a ellas;
iii. Si r ∩ r´ = {O}, consideramos la circunferencia C (O, r) que corta a las recta r y r´ en
los puntos P, Q, P´, Q´, (según figuras adjuntas). m
r´ r
Q´ P
O
m´
Q P´
Las mediatrices m de [P,Q´] y m´ de [P,P´] pasan
por el punto O porque equidistan de P, Q, P´,Q´,
por lo tanto Sm(r(P,O)) = r(Q´,Q) o sea que
Sm(r)= r´ y esto implica Sm(r r´) = r´ r.
Se razona análogamente para m´; entonces m y
m´ son los ejes de simetría de la figura r r´

17
Como Sm(P´) = Q, m es paralela media de las rectas r(P,P´) y r(Q,Q´) y también m´ paralela
media de r(P,Q´) y r(P´,Q); por lo tanto m es perpendicular de m´.
Corolario: Sea M m; prr´(M) = Mr´, prr(M) = Mr y por tanto Sm(r´ r (M,
Mr))=r´ rSm(M,Mr´) Sm([M,Mr]) = [M,Mr´].
En resumen d(M,Mr) = d(M,Mr´); lo que implica que m m´ es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de r y r´.
Observamos que vale la preposición recíproca de la anterior: es decir, si r, r´ R, r ∩ r´ =
{O} entonces se cumple que {X : d(X,r) = d(X,r´)} = m m´.
Definición 14: Todo ángulo no llano (como par se semirrectas del mismo origen) tiene un
único eje de simetría que pasa por el vértice; la semirrecta de este eje contenida en el sector
angular se llama BISECTRIZ del ángulo.
Es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.
6. CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
Por entender que el tema tiene su interés práctico-teórico para el curso actual, se incorpora
el mismo y la demostración cuidadosa de uno de ellos.
Por otro lado; tradicionalmente ha tenido y tienen un peso muy fuerte en la enseñanza de
la Geometría Euclidiana y del Espacio en nuestro país.
Observaciones previas:
Diremos que dos figuras del plano , F y F´, son congruentes si existe una isometría f
que cumple: f(F) = F´. Por ser de uso corriente en el lenguaje geométrico, usaremos
también el término iguales para vincular a dos figuras congruentes.
Si F = T(ABC) y F´= T(A´BĆ´), para decidir si son o no iguales tenemos que encontrar una
isometría que transforma todos los elementos de F en todo los elementos de F´.
Los teoremas que siguen – CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS- aseguran la
igualdad en condiciones mínimas.
Condiciones que nos permiten asegurar la igualdad sin determinar la isometría
correspondiente. Enunciaremos tres criterios clásicos, y a modo de ejemplo, demostraremos el
denominado Tercer Criterio de Igualdad de Triángulos.
Teorema 25: PRIMER CRITERIO
Se consideran dos triángulos T(ABC) y T(A´BĆ´) cumpliéndose que: existen tres isometrías
f1, f2 y f3 tales que f1([A,B]) = [A´,B´], f2([A,C]) = [A´,C´] y f3(áng(BAC)) = áng(BÁĆ´);
entonces existe f que cumple con las siguientes igualdades f(A) = A´, f(B) = B´ y f(C) =
= C´. Como consecuencia se puede escribir que f(T(ABC)) = T´(A´BĆ´).

18
Teorema 26: SEGUNDO CRITERIO
Si para dos triángulos T(ABC) y T(A´BĆ´) existe f1, f2, f3 tales que: f1([A,B)] = [A´,B´],
f2(áng(BAC)) = áng(BÁĆ´) y f3(áng(ABC)) = áng(A´BĆ´); entonces existe una isometría f
tal que f(A) = A´, f(B) = B´ y f(C) = C´. Como ya habíamos hecho notar, esta situación
la denotamos en la forma f(T(ABC)) = T(A´BĆ´). Adoptando la notación usual, escribimos
[A,B] = [A´,B´] para indicar que existe una f tal que f([A,B]) = [A´,B´].
Teorema 27: TERCER CRITERIO
Los triángulos T(ABC) y T(A´BĆ´) son tales que : [A,B] = [A´,B´], [A,C] = [A´,C´], [B,C] =
[B´,C´]; entonces T(ABC) = T(A´BĆ´).
Demostración:
α´ C´
α C A´
A B´
B
C´´
α´´
Sea f f(A, SA(B), α) = (A´, SA´(B´), α´´) (que existe y es única por el Axioma 7.),
siendo α el semiplano de borde r(A,B) que contiene a y α´´ el de borde r(A´,B´) que no
contiene a C´. Como C α, C´´ = f(C) α´´ ( f(T(ABC)) = T(A´BĆ´´) )
Tenemos d(A,C) = d(A´,C´´) y d(A,C) = d(A´,C´) lo que implica d(A´, C´´) = d(A´, C´) y
análogamente d(B´, C´´) = d(B´, C´´) por lo tanto A´ y B´ equidistan de C´ y C´´. De donde, la
recta m=r(A´,B´) es mediatriz del segmento [C´´,C´]; podemos deducir que Sm(C´´) = C´.
Consideremos finalmente, la isometría g = Sm º f; es inmediato que ésta cumple que g(A) =
=A´, g(B) = =B´ y g(C) = C´ por lo que g(T(ABC)) = T(A´BĆ´) y hemos podido definir una
isometría que transforma T(ABC) en T(A´BĆ´) que era lo que se pedía.
NOTA: A continuación haremos un análisis de las ISOMETRÍAS que permitirá lograr
una representación canónica de ellas en base a productos de SIMETRÍAS AXIALES.
Es un hecho significativo que toda isometría del plano admita una representación en
base a producto de simetrías axiales. Pero es más, demostraremos que para cualquier
isometría puede expresarse como producto de a lo sumo tres simetrías axiales.

19
6. CARACTERIZACIÓN DE LAS ISOMETRÍAS RESPECTO AL NÚMERO DE PUNTOS
FIJOS.
Probaremos a continuación que el estudio del número de puntos fijos de las isometrías
permite demostrar, según cada caso, como decíamos anteriormente, que éstas se pueden
representar por el producto de a lo sumo tres simetrías axiales.
Tal representación no es única, pudiéndose elegir ésta de infinitas formas.
Teorema 28: Si una isometría f tiene puntos fijos, no alineados, es la Identidad I.
Demostración: Supongamos que se tiene A, B, C (A r(B,C)) y la isometría f tal
que f(A) = A, f(B) = B y f(C) = C.
Si ocurre que f I, es decir que existe Xo tal que f(Xo) Xo. Entonces se cumple que:
d(A, Xo) = d(f(A), f(Xo)) = d(A, f(Xo))
d(B, Xo) = d(f(B), f(Xo)) = d(B, f(Xo))
d(C, Xo) = d(f(C), f(Xo)) = d(C, f(Xo))
Esto implica que los puntos A, B y C equidistan de los extremos del segmento [Xo, f(Xo)]
y por lo tanto pertenecer a la recta mediatriz de él. Lo que implica que están alineados, en
contradicción con nuestra hipótesis de trabajo.
Luego, ,X f(X) = X; es decir: f = I
Teorema 29: Si tenemos f, g y A, B, C (no alineados) y se cumple que
f(A) = g(A), f(B) = g(B) y f(C) = g(C), entonces f = g.
Demostración: Consideramos la isometría h = g -1
º f, entonces:
A — f f(A) = g(A) — g -1
A = h(A)
B — f f(B) = g(B) — g-1
B = h(B)
C — f f(C) = g(C) — g-1
C = h(C)
Por el teorema 28 h = I; es decir; g -1
º f = I. De donde g º (g -1
º f) = g º I (g º g -1
) º f =
g º I I º f = I º f = g º f f = g.
Teorema 30: Si una isometría tiene dos puntos fijos distintos, es la Identidad o la
Simetría Axial de eje la recta que determinan dichos puntos.
Demostración: Sean f y A, B (A B) dos puntos que cumplen f(A) = A y f(B) =
B; el Teorema 15. asegura que son fijos todos los puntos de la recta ℮ = r(A,B). Esta recta
define en dos semiplanos α y α´
Si en ℮ consideramos un punto O y una semirrecta So ℮ como f(So) = So la isometría
puede aplicar α en α º α en α´.
En esencia tenemos dos únicas alternativas para f:
1. Si f((O, So, α)) =( O, So, α) como también la Identidad cumple con esta relación, la
unicidad que incorpora el Axioma 7. asegura que f = I.
2. f((O, So, α)) = (O, So, α´) y como la Simetría Axial S℮ cumple con esta igualdad, el
Axioma 7. asegura que f = S℮.
Teorema 31: Sea f , A tal que f(A) = A y si X (X A) f(X) X;
entonces f se puede representar como el producto de dos simetrías cuyos ejes pasan
por A.

20
Demostración: Sea B un punto cualquiera del plano distinto de A y B´ = f(B). Como d(A,B) =
=d(A,B´), A pertenece a la mediatriz m de [B,B´]
B
m
A
B´
Consideremos g = Sm º f entonces:
A — f f(A) = A — Sm A
B — f f(B) = B — Sm B
Entonces g tiene dos puntos fijos A y B; el Teorema 30. asegura que g = I ó g = Sm siendo
m´ = =r(A,B).
i. Si g = I, se tiene que f = Sm lo que implicaría que f tiene infinitos punto fijos en
contradicción con la hipótesis, que asegura la existencia de único punto fijo A.
ii. Si g = Sm´ entonces f = Sm º Sm´ con m ∩ m´={A}.
Observación: Esta representación de f por producto de dos simetrías axiales no es única,
puesto que la elección del punto B fue arbitraria. Más adelante, en la GUIA 4., se verán que
dos representaciones distintas de f por pares de simetrías axiales deben cumplir una condición
que tiene que ver el ángulo que formen los ejes.
Teorema 32: Sea f tal que f(X) X, X , entonces f se representa por el
producto de dos simetrías axiales de ejes paralelos, o por el producto de tres simetrías
axiales con ejes no paralelos ni concurrentes.
Demostración: Sea A P, un punto cualquiera del plano A´ = f(A) y m la mediatriz de
[A, A´]; consideremos ahora la isometría g = Sm º f.
A
m
A´
A — f A´ — Sm A y esto implica que g tiene un punto fijo A; por lo que puede ser,
de acuerdo a los resultados obtenidos en los teoremas anteriores;
i. g = I; entonces f = Sm; este resultado es contradictorio ya que f no tiene puntos fijos.
ii. g = Sm´ (A m´); entonces f = Sm º Sm´ debiendo cumplirse que m ∩ m´= Ø, (es decir
m ║m´) pues f no tiene puntos fijos.
iii. g = Sm´ º Sm´´ con m´ ∩ m´´ = {A}; entonces se tiene que f = Sm º (Sm´ º Sm´´) con los ejes
de simetría m, m´ y m´´ no son paralelos ni concurrentes.

21
RESUMEN:
1. Los teoremas demostrables en este último bloque, justifica el énfasis puesto en el estudio
de la Simetría Axial y sus consecuencias;
2. Muestran que toda isometría plana puede representarse por el producto de a lo sumo tres
simetrías axiales y no de manera única;
3. En consecuencia, para una isometría plana f cualquiera ocurre una y una sola de las
siguientes alternativas:
i. f = I
ii. Existe una única m R tal que f = Sm
iii. Existe un par m, m´ R tales que f = Sm´ º Sm
iv. Existe una terna m, m´, m´´ R - ni paralelas ni concurrentes - tales que
f = Sm´´ º (Sm´ º Sm).
Fin del tema ISOMETRÍAS.

22
7. SEMEJANZAS
Estudiaremos a continuación las transformaciones del plano que contraen o dilaten la
distancia; son las denominadas SEMEJANZAS. Ellas conservan la forma de las figuras
(usamos este término en el habitual) y veremos que se pueden representar por producto de
isometrías por homotecias.
Comenzaremos nuestro estudio definiendo las HOMOTECIAS que son, como veremos,
dilataciones o contracciones radiales del plano.
Ellas son en las semejanzas, las que determinan la contracción o dilatación del plano.
7.1 Homotecias:
Definición 15:; Dados O y k IR*
, se llama Homotecia de centro O y razón k –
simbolizada por Ho,k ó H, si no hay confusión sobre el centro de homotecia y su razón – a la
siguiente función definida como sigue:
i. H:
ii. H(O) = O
iii. Si X (X O) y X´ = H(O) se cumple; a) X´ r(O,X), b) X´ = k.X.
Observaciones:
i. Esto quiere decir que en la recta orientada con origen r(O,X) (O X), k.X es el punto que
cumple:
a. k.X So(X) si k > 0 y k.X op.So(X) si k < 0.
b. d(O, k.X) = )x,O(d.k .
ii. También se puede considerar a las homotecias como funciones que transforman el vector
OX en el vector k.OX.
iii. De la definición se deduce que:
i. I = HO,1, la identidad es una homotecia; ii. Si So es la simetría central de centro O se
cumple que So= HO,-1; iii. Si k, k´ IR*
y k´ = - k entonces HO,k´ = So º HO, k = HO, k º So.
Este resultado nos permite elaborar conclusiones analizando solamente las homotecias de
razón positiva, puesto que las de razón negativa se obtienen de las anteriores a menos de una
simetría central.
Teorema 33: Sea HO,k = H la homotecia de centro O razón k > 0; entonces H es
una biyección del plano.
Demostración:
H es inyectiva: Si X, Y (X Y), H(X) H(Y).
1. Si Y So(X) entonces H(X), H(Y) So(X) (Definición 15) y como d(X,O) d(Y,O) se
tiene que k.d(X,O) k.d(Y,O). Esto implica que d(H(X), O) d(H(Y), O), es decir;
H(X) H(Y).
2. Si Y So(X) entonces So(X) ∩ So(Y) = {O}; como H(X) So(X), y H(Y) So(Y) por
definición se tiene H(X) H(Y).

23
H es sobreyectiva: Sea X´ ; si X´ = O entonces es la imagen por H del punto O por
definición. Si X´ O, existe en So(X´) un único punto X tal que d(O,X) =
´)X,O(d.k
1
(Axioma 6.5), o sea d(X´,O) = =k.d(X,O) por lo que H(X) = X´. Esto concluye la
demostración del teorema.
Observaciones:
i. La función inversa de una homotecia es la homotecia:
Si HO, k(X) = X´ entonces HO, k
1
(X´) = X y esto implica que (HO,k)-1
= HO, k
1
;
ii. Producto (composición) de homotecias del mismo centro:
Sean HO,k y H´O,k´ (k > 0 y k´ > 0), si X´´ = (H´ º H) (X) y X´= H(X) cumpliéndose que:
X´ So(X) y d(X´,O) = k.d(X,O)
X´´ So(X´) y d(X´´,O) = k.d(X´,O), de donde se concluye que d(X´´,O) =
=k.k´.d(X,O) y X´´ So(X). Esto implica que (HO,k´ º HO,k)(X) = HO,k.k´(X) )X( ; es
decir: HO,k´ º HO,k = HO,k.k´;
iii. Si HO = {H:H homotecia de centro O}, las observaciones hachas permiten deducir que
(HO,º) es un GRUPO CONMUTATIVO.
Esperemos ciertos resultados, para poder analizar cómo actúan las homotecias sobre las
figuras habituales de nuestra Geometría Euclidiana Plana.
7.3. TEOREMA DE THALES:
Observaciones:
i. Este es un resultado clave e ineludible de la Geometría Euclidiana, sin el cual es
imposible avanzar en el desarrollo de ésta. Que por otro lado tiene dos características
aparentemente contradictorias; primera; que lo que él afirma resulta ser intuitivamente
evidente y por lo tanto no es resistido a la hora de aplicarlo, y segunda, es de demostración
especialmente complicada que entendemos supera los niveles promedios de trabajo en
Educación Matemática a Nivel Medio.
ii. esto lleva a los autores a obviar su demostración por las razones expresadas,
permitiéndoles enunciar el referido teorema en forma general haciendo las consideraciones
didácticas que permiten su aplicación usual.
Con esto queremos decir que, el enunciado usual aparece aquí como un corolario de esta
nueva presentación. Esto no debe inquietar, todas las consecuencias usuales aparecen
enunciadas y/o demostradas en el texto.
Teorema de Thales:
Teorema 34: Se consideran las rectas (x,O,_ ) y (y,O,_ ) y una dirección D( x D,
y D); si pD: x y es la proyección de la recta x en la y según la dirección D, se
cumple que:
 

24
X( x) (α R), pD(α, X) = α, pD(X)
x
α.X
D
X
O
y
pD(X) α.pD(X)
A continuación, y como corolario del teorema anterior, enunciaremos el mismo resultado
desde la óptica usual que a los efectos prácticos es la misma operativa.
Corolario 35: TEOREMA de THALES. Sean r, r1 y r2 tres rectas tales que r1∩r2 = {O} y r1,
r2 Dr. Por dos puntos cualesquiera X1, Y1 r1 se consideran las rectas r´, r´´ Dr que
cortan a r2 en X2 e Y2 respectivamente; entonces se cumple que:
r2 r1
O r
X1 X2 r´
)Y,X(d
)YX(d
)Y,O(d
)X,O(d
)Y,O(d
)X,O(d
21
2,1
2
2
1
1
Y1 Y2 r´´
Teorema 35: Recíproco de Thales: Sean So,1 y So,2 dos semirrectas ordenadas de
origen O; X1, Y1 So,1 (O  X1  Y1) y X2, Y2 So,2 (O  X2  Y2) tales que;
)Y,O(d
)X,O(d
Y,O(d
)X,O(d
2
2
)1
1
, entonces r(X1,X2) es paralela a r(Y1,Y2).
Demostración: Analizado la figura hecha en la demostración del teorema anterior,
consideremos por Y1 la recta r* paralela a r´. Esta corta a r2 en Y2*; el Teorema de Thales

25
asegura que
*)Y,O(d
)X,O(d
)Y,O(d
)X,O(d
2
2
1
1
y si (kk
)Y,O(d
)X,O(d
1
1
IR+) se tiene que d(O,Y2*) =
= )X,O(d.
k
1
2 pero también d(O,Y2) = )X,O(d.
k
1
2 .
Entonces Y2, Y2* So(X2) y d(O,Y2) = d(O,Y2*); el Axioma 6 asegura que Y2 = Y2*; luego
r2* = r(Y1,Y2) y ésta es paralela a la recta r1 = r(X1,X2) lo que demuestra el teorema.
Ahora estamos en condiciones de examinar algunas consecuencias de este teorema.
Empecemos a ver cómo reaccionan nuestras figuras más usuales – rectas y circunferencias –
frente a las homotecias.
Teorema 36: Se considera una homotecia HO,k (k > 0) y una recta r, entonces:
i. H(r) = r´ R y r´║r;
ii. Si X, Y r y d(H(X), h(Y)) = k.d(X,Y)
Demostración:
1. Si O r y X r, H(X) r (por Definición 15) por lo H(r) r. Y para cada X´ de r existe
X So(X´) único tal que d(O,X) = ´)X,O(d.
k
1
por lo tanto X´= H(X). Esto implica que r
H(r); y como conclusión H(r) = r.
Sea X, Y r; supongamos O  X  Y, ahora aplicamos el Axioma 6 y se tiene que d(O,X) +
+d(X,Y) = d(O,Y) entonces k.d(O,X) + k.d(X,Y) = k.d(O,Y) y aplicando H se tiene que
d(O,H(X)) + kd(X,Y)= d(O,H(Y)) (*).
Como kd(X,Y) > 0 y d(O,H(Y)) > d(O,H(X)) se tiene O  H(X)  H(Y) y por tanto
d(O,H(X)) + d(H(X), H(Y)) = d(O,H(Y)) (**)
De (*) y (**) surge que k.d(X,Y) = d(H(X), H(Y)).
2. r´
r
A´
A
X´
O X
Y
Y
Por el Recíproco de Thales, r (A´,X´) ║r (A,X) o sea que r (A´,X´) = r´ por lo que H(r) r
(*). Sea Y´ r´; e {Y} = r (O,Y´) r.
Por Thales
)A,O(d
´)A,O(d
Y)d(O,
Y´)d(O,
y como se tiene k
)A,O(d
´)A,O(d
luego k
)Y,O(d
´)Y,O(d
o sea que
se cumple d(O,Y´) = k.d(O,Y) por lo que H(Y) = Y´ con lo que hemos probado que: dado Y´
r´ existe Y r tal que H(Y) = Y´ o sea r´ H(R) (**).
De (*) y (**) se tiene d(X´,Y´) = k.d(X,Y) es decir que d(H(Y)) = k.d(X,Y).
Si O r; fijamos un punto cualquiera
A r, y por A´ = H(A) trazamos la recta r´║r
por A´. H(X)X´A,Xr,X se
cumple que d(O,X´) = k.d(O,X).
Además d(O,A´) = k.d(O,A); y de ambas
relaciones surge:
k
)A,O(d
´)A,O(d
X)d(O,
X´)d(O,

26
Como consecuencia de estos resultados hagamos algunas
Observaciones:
i) Sea ha demostrado que las homotecias cumplen:
i1. Transforman rectas en rectas paralelas;
ii2. Como consecuencia; si consideramos un par de semirrectas ( O, O´) α = med. áng
( O, O´) α = med. áng(H ( O),H( O´)); es decir las homotecias conservan la medida
de los ángulos;
ii) Si X, Y, Z P y Z [X,Y] → H(Z) [H(X), H(Y)] o sea que H es una homotecia de
centro O y razón k IR*, entonces se tiene que H(C(A,r)) = C(H(A), k .r). Las homotecias
transforman circunferencias en circunferencias.
NOTA:
Las proposiciones demostradas para homotecias de razones positivas – en virtud de
la Observación iii.3 página 19 – se tornan válidas para las homotecias de razones negativas.
SEMEJANZAS.
Definición 16: Llamamos SEMEJANZA de razón k ( k IR+ , k 0 ) a la función k ( o
solamente) tal que:
i. : es biyectiva;
ii. d( ))Y(),X( = k.d(X,Y) )YX,(
Observaciones:
i. Si X Y, d(X,Y) 0 y por tanto ))Y(),X( 0 y esto implica )Y()X( . Es
decir es biyectiva.
ii. En virtud de la Definición 15, las homotecias son semejanzas de un tipo especial.
A continuación presentaremos un resultado clave, que se refiere a la representación de las
semejanzas por producto de homotecias por isometrías.
3. REPRESENTACION DE SEMEJANZAS
Teorema 37: Para cada SEMEJANZA k (k IR*) y para cada punto O , si
H es la homotecia de centro O y razón k´ tal que ´k = k, existe una única isometría f
y una única isometría g tales que: H º f y g º H
Demostración: probaremos que:
i. H-1
º = f
ii. H-1
º = g, f y g son isometrías.
i. Por ser y H-1
biyectivas, lo es f = H-1
º

27
ii. Sean X, Y ; consideremos X´ = (X) , Y´ = (Y) , X´´ = H-1
(X´) e Y´´= H-1
(Y´).
Sabemos que d(X´,Y´) = k.d(X,Y) y que d(X´´,Y´´) =
´k
1
´.d(X´,Y´), de donde d(X´´,Y´´) =
d(X,Y) por lo que f es una isometría.
Como H-1
º = f se tiene que = H º f como queríamos;
iii. En cuanto a la unicidad: Si f, f ´ tales que se cumple que = H º f = H º f ´ y por
tanto f = f ´.
Se procede análogamente para g.
Observaciones:
i. Recíprocamente; cualquiera sea la homotecia H – Ho,k y cualesquiera sean las isometrías f
y g , H º f y g º H son SEMEJANZAS de razón k ;
ii. Si es el conjunto de todas las semejanzas del plano entonces la estructura )º,( es
un GRUPO no conmutativo;
iii. Si r R y , )r( R. Y si C (A,a) es la circunferencia de centro A y radio a
IR+, entonces ( C (A,a) – C a´)(A),( siendo a´ - k.a con k, la razón de
semejanza de ;
iv. Ya que las homotecias transforman rectas en rectas paralelas y las isometrías conservan la
medida de los ángulos; las semejanzas también.
v. Como las homotecias no cambian el sentido del plano, las semejanzas serán directas o
indirectas o no según sea la isometría asociada;
vi. Las isometrías son semejanzas de razón 1; por lo tanto )º,( es un SUBGRUPO NO
CONMUTATIVO DE )º( ;
vii. como se demostrará en la GUÍA 4; si k es una semejanza de razón k IR+ (k 1),
existe un único punto O tal que O(O)k .
Este punto O se llama punto fijo de dicha semejanza; es posible entonces representar de
manera única la semejanza como producto de una homotecia de centro O (HO,k´) con ´k = k
po una isometría f. Tal que f es una representación de centro O (si k es una semejanza
directa) o es una simetría axial de eje pasando por O ( k es una semejanza indirecta) .

28
4. CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS:
Por considerarlos de interés en las aplicaciones, analizaremos condiciones suficientes de
semejanza entre triángulos, llamados habitualmente: Criterio de Semejanza de Triángulos.
Definición 16: Decimos que los triángulos T(ABC) y T(A´BĆ´) son semejantes si existe una
semejanza tal que ´T)T( (Es decir : Á)A( , ´B)B( y Ć)C( )
Observaciones:
i. A´ = A´´ A
B´´ C´´
B C
C´ C´´
La definición 16 muestra que en se corresponden los ángulos del mismo vértice y son
iguales, además
´)C´,B(d
)C,B(d
´)C´,A(d
)C,A(d
´)B´,A(d
)B,A(d
.
ii. Dos triángulos T(ABC) y T(A´BĆ´) que cumplen las condiciones anteriores son
semejantes. En efecto definimos una isometría f tal que f (A) = A´, f (SA (B)) = SA´ (B´) y f
(α) = α´ siendo α el semiplano de borde r (A,B) que contiene a C y α´ el de borde r (A´,B´)
que contiene a C´.
Resulta entonces que f (B) = B´´ SA´ (B´); y como se tiene que áng(BAC) = áng(BÁĆ´)
entonces f(SA(C)) = SA´ (C´). Por otro lado f (C) = C´´ con C´´ SA´ (C´). Y por la igualdad
de los ángulos resulta r (B´´,C´´) paralela a r (B´,C´).
Esto permita afirmar que:
T(ABC) — f — T(A´B´Ć´´) — HA´,k — T(A´BĆ´) siendo k =
)C,B(d
´)C´,B(d
)C,A(d
´)C´,A(d
)B,A(d
´)B´,A(d
o sea T(ABC) — k = HA´, k º f — T(A´BĆ´)
Finalmente:
iii. Si T(A´B´Ć´´) es tal que d(A,B) = d(A´,B´´) y r (B´´,C´´) paralela a r (B´,C´), todo
criterio que asegure la igualdad de los triángulos T(ABC) y T(A´B´Ć´´), asegura la
semejanza de los triángulos T(ABC) y T(A´BĆ´), pues T(A´B´Ć´´) y T(A´BĆ´) son
homotéticos.

29
Teorema 38:
PRIMER CRITERIO Si T(ABC) y T´(A´BĆ´) son triángulos tales que áng(BCA) =
=áng(BÁĆ´) y
´)C´,A(d
)C,A(d
´)B´,A(d
)B,A(d
; entonces T y T´ son semejantes.
Demostración: Se cumple que
´)C´,A(d
´´)C´,A(d
´)B´,A(d
´´)B´,A(d
comparando con la hipótesis y sabiendo
que d(A,B) = d(A´,B´´) resulta d(A,C) = d(A´,C´´). Y con la igualdad de ángulos se tiene que
T(ABC) =
= T(A´B´Ć´´) y con esto implica la tesis.
Teorema 39:
SEGUNDO CRITERIO Si T(ABC) y T´(A´BĆ´) son tales que áng(BAC) = áng(BÁĆ´) y
áng(ABC) = áng (A´BĆ´) entonces T y T´ son semejantes.
Demostración: T(ABC) y T(A´B´Ć´´) son iguales por tener respectivamente iguales loa
ángulos de vértice A y A´ y de B y B´´ y además d(A,B) = d(A´,B´´)
Teorema 40:
TERCER CRITERIO Si T(ABC) y T´(A´BĆ´) son tales que
´)C´,B(d
)C,B(d
´)C´,A(d
)C,A(d
´)B´,A(d
)B,A(d
entonces T y T´ son semejantes .
Demostración: A cargo del lector.-
Diversos resultados consecuencias de éstos han aparecido ya y otros aparecerán a lo largo del
curso.

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