Tucker-Lagrange

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Optimización de sistemas

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Tucker-Lagrange

  1. 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y EVALUACIÓN DE FUNCIONES PROF. SARA LÓPEZ Mariana Jaspe C.I: 18.832.069 Ingeniería de Sistemas (47)
  2. 2. Historia y Definición Formulación Las condiciones necesarias que deben satisfacer los óptimos de problemas de optimización no lineal con restricciones de desigualdad fueron publicadas por primera vez 1939 por William Karush y posteriormente fue renombrada tras el articulo de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker. Para definirlo el teorema podemos decir que son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. son generalizaciones del método de Lagrange para restricciones de desigualdad. Teoremas Condiciones de Regularidad Aplicaciones
  3. 3. Tomando en cuenta lo anteriormente considerando el problema de optimización: mencionado y Historia y Definición Formulación Teoremas Sujeto a: Condiciones de Regularidad . . . El método de solución procede de la siguiente manera. Cambiemos cada restricción de desigualdad a una restricción de igualdad introduciendo una variable si de la siguiente manera: Aplicaciones
  4. 4. Suponga una formulación para un problema de minimización. Si es un optimo, entonces deben existir números reales llamados multiplicadores no negativos tales que es un punto crítico para F. es decir cumple: Bloque I Historia y Definición Formulación Teoremas Condiciones de Regularidad Aplicaciones Bloque II: condición de Holgura Complementaria Bloque III
  5. 5. Suponga una formulación para un problema de maximización. Si es un optimo, entonces deben existir números reales llamados multiplicadores no negativos tales que es un punto crítico para F. es decir cumple: Bloque I Historia y Definición Formulación Teoremas Condiciones de Regularidad Aplicaciones Bloque II Bloque III
  6. 6. Historia y Definición En la condición necesaria anterior, el multiplicador dual puede ser igual a cero. Este caso se denomina degenerado o anormal. La condición necesaria no tiene en cuenta las propiedades de la función sino la geometría de las restricciones. Existen una serie de condiciones de regularidad que aseguran que la solución no es degenerada. Estas incluyen: •Cualificación de la restricción de independencia lineal (CRIL): los gradientes de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad son linealmente independientes. •Cualificación de la restricción de MangasarianFromowitz (CRMF): los gradientes de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad son linealmente independientes positivos. Formulación Teoremas Condiciones de Regularidad Aplicaciones
  7. 7. Cualificación de la restricción de rango constante (CRRC): para cada subconjunto de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad, el rango en el entorno es constante. Cualificación de la restricción de dependencia lineal constante positiva (DLCP): para cada subconjunto de restricciones activas de desigualdad y de gradientes de las restricciones de igualdad, si es linealmente dependiente positivo entonces es linealmente dependiente positivo en el entorno es linealmente dependiente positivo si existe distintos de cero. Condición de Slater: para un problema únicamente con restricciones de desigualdad, existe un punto. Puede verse que CRIL=>CRMF=>DLCP, CRIL=>CRRC=>DLCP, aunque CRMF no es equivalente a CRRC. Historia y Definición Formulación Teoremas Condiciones de Regularidad Aplicaciones
  8. 8. Historia y Definición Además de servir para utilizar las condiciones de optimización de segundo orden y para indicar las restricciones que se encuentran saturadas, tienen una clara interpretación económica y financiera. Dado el óptimo de un programa con restricciones de desigualdad podría plantearse un programa equivalente eliminando las restricciones no saturadas y expresando en forma de igualdad las saturadas. También son aplicados en sistemas eléctricos, en el área de sistemas, matemática, toma de decisiones entre otras. Formulación Teoremas Condiciones de Regularidad Aplicaciones
  9. 9. En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero Historia y Definición Objetivos Formulación Péndulo Simple Método de Newton Aplicaciones
  10. 10. Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z. •Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos. •Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange. •Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante. •Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional. Historia y Definición Objetivos Formulación Péndulo Simple Método de Newton Aplicaciones
  11. 11. Sea una función continua y derivable de varias variables f(x,y) (“varias” variables, o sea, dos en este ejemplo). Sabemos que para encontrar los extremos de la función (es decir, los puntos (x,y) donde alcanza su máximo o mínimo valor), debemos resolver las ecuaciones: Historia y Definición Objetivos Formulación Péndulo Simple Método de Newton Aplicaciones Esto es lo mismo que especificar el punto donde el gradiente de la función en el plano XY se anula:
  12. 12. Historia y Definición Se denomina péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría. El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse. Objetivos Formulación Péndulo Simple Método de Newton Aplicaciones
  13. 13. Historia y Definición Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, ell, del hilo. El movimiento es periódico, pero no se puede asegurar que sea armónico. Objetivos Formulación Péndulo Simple Método de Newton Para determinar la naturaleza de las oscilaciones se debe de escribir la ecuación del movimiento de la partícula. La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N). Aplicaciones
  14. 14. Economía: La optimización reprimida desempeña un papel central en la economía. Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se representa como uno de maximizar una función de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto . El multiplicador Lagrange tiene una interpretación económica como el precio de la oposición asociado con la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos . Otros ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas. Teoría de control: En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se interpretan como constates variables, y los multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevo como la minimización del hamiltoniano , en el principio mínimo de Pontryagin. Historia y Definición Objetivos Formulación Péndulo Simple Método de Newton Aplicaciones
  15. 15. KUHN- TUCKER Son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Aplica condiciones de regularidad dependiendo de la situación Busca simplificar la función en una sola y mas simple de entender. Posee métodos para la resolución para problemas de maximización y minimización LAGRANGE Visualiza algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z. Interpreta gráficamente los resultados obtenidos Aproxima las soluciones a partir de la observación del simulador Resuelve el problema mediante multiplicadores de la función.
  16. 16. REFERENCIAS ELECTRÓNICAS: La información mostrada fue extraída de las siguientes fuentes •http://informacionreferentealaoptimizacion.blogspot.com/ •http://informaciondemetodos.blogspot.com/ •http://www.ecured.cu/index.php/M%C3%A9todo_de_Lagrange •http://www.fis.utfsm.cl/fis140/Lagrange.pdf •http://optimizacionmetodos.blogspot.com/ •http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/tag/polinomiosde-lagrange/ •http://www.slideserve.com/gafna/el-m-todo-de-kuhn-tucker

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