Solucionario 5to secundaria
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Solucionario 5to secundaria Document Transcript

  • 1. Quinto Año de Secundaria Solucionarioquinto año de educación secundaria -1-
  • 2. CAPÍTULO 2 ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36) Factorial de un número NIVEL I Resolución 7 1 (n + 3 )!Resolución 1 · = 10 3 (n + 1)!E = (n + 2)! – 2(n+1)! (n + 3)! = 30(n + 1)!E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2] (n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)! ∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D (n + 3)(n + 2) = 30Resolución 2 ∴ n=3 Rpta.: B 7! − 2 × 5! 7 ·6 ·5! − 2·5! 7·6· 5 ! − 2· 5 !M= = = 6! − 10 × 4! 6·5! − 2·5·4! 6· 5 ! − 2· 5 ! Resolución 8 42 − 2 (x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880M= 6−2 (x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880 ∴ M = 10 Rpta.: E (x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880Resolución 3 (x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880 1 1 1 1 (x – 1)!(x + 1)2 =5! · 72 E= = = = 4!+ 3! 4· 3!+ 3! 3!(4 + 1) 3!· 5 x–1=5 4 4 E= = Rpta.: E ∴ x=6 Rpta.: B 3!· 4 · 5 5! Resolución 9Resolución 4 1 1 (n + 1) 1 (x − 1)! (x + 2 ) = 5E= − = − x! 3 n! (n + 1)! n!(n + 1) (n + 1)! n +1 1 n + 1− 1 3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)!E= − = (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! 3x + 6 = 5x E= n ∴ x=3 Rpta.: B ∴ (n + 1)! Rpta.: D Resolución 10Resolución 5 (n + 1)!− n! = (n + 1)n!− n! = n![n + 1− 1] m!(n + 1)! m!(n + 1) n! R= E= = (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! (m + 1)! n! (m + 1)m! n! n!n n!· n · n n! n2 n+1 R= = = ∴ E= Rpta.: B (n − 1)! n(n − 1)! n! m+1 ∴ R = n2 Rpta.: B Resolución 11Resolución 6 11!+10!+ 9! 11· 10· 9· 8!+10· 9· 8!+ 9· 8! R= = (n + 2)! = 6 (n + 2)(n + 1)n! = 6 121· 8! 121· 8! à n! n! 11 10· 9 + 10· 9 + 9 · R= (n + 1)(n + 2) = 6 121 Resolviendo: ∴ R=9 Rpta.: B ∴ n=1 Rpta.: A -2-
  • 3. Quinto Año de SecundariaResolución 12 Resolución 3  (n + 1)!  (n + 3 )! (n + 2)! − n n + 3 + (n − 2)! 2 − =6 P= ( )  n!  (n + 2)! n! (n − 3)! (n + 2)(n + 1)n! − n n + 3 + (n − 2)(n − 3)! 2· (n + 1)n! (n + 3)(n + 2)! = 6 P= ( ) − n! (n − 3)! n! (n + 2)! P = n2 + n + 2n + 2 − n2 − 3n + n − 2 2n + 2 – n – 3 = 6 ∴ P=n Rpta.: C ∴ n=7 Rpta.: C Resolución 4Resolución 13 ( x − 5)! 2 ( x − 4 )!(x + 6 )! − (x + 2)! = 44 = ( x − 3)! ( x − 2)!( x + 4)! x! ( x − 5)! 2 ( x − 4 )!( x + 6 )(x + 5)( x + 4)! − (x + 2)( x + 1) x! = 44 = ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5)! (x − 2) ( x − 3 ) (x − 4 )! (x + 4 )! x! 1 2(x + 6)(x + 5) – (x + 2)(x + 1) = 44 = x–2 = 2x – 8 x−4 x−28x + 28 = 44 ∴ x=6 Rpta.: D ∴ x=2 Rpta.: D Resolución 5Resolución 14 ( x − 2)!+ (x − 1)! = 720 (n + 1)! (n – 1)! = 36n + (n!)2 x (n + 1)n(n–1)!(n–1)! = 36n+[n(n–1)!]2 (x–2)! + (x–1)(x–2)! = 720x (n + 1)n[(n–1)!]2 = 36n + n2[(n–1)!]2 (x–2)!(1+x–1) = 720 x [(n–1)!]2 [n2 + n – n2] = 36n (x–2)! = 6! x–2= 6 [(n–1)!]2[n] = 36n ∴ x=8 Rpta.: B (n–1)! = 6 (n–1)! = 3! Resolución 6 (n – 1) = 3 (n + 4)! − (n + 3)! = 25 ∴ n=4 Rpta.: C (n + 2)! (n + 2)! (n + 4 )(n + 3 )(n + 2 )! − (n + 3 )(n + 2 )! = 25 NIVEL II (n + 2 ) (n + 2 )! n2 + 3n + 4n + 12 – n – 3 = 25Resolución 1 n2 + 6n + 9 = 25 n! R= − n2 ∴ n=2 Rpta.: C (n − 2)! n (n − 1)(n − 2)! Resolución 7 R= − n2 = n2 − n − n2 (n − 2)!  A= (n + 1)!+ n!   (2n + 3)!    ∴ R = –n Rpta.: D   (2n + 1)!+ (2n + 2)!   (n + 2)!   Resolución 2  A= (n + 1)n!+ n!  (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)! · (2n + 1)!+ (2n + 2)(2n + 1)!   (n + 2)(n + 1· n! ) n (n + 1)!− n! n (n + 1) n!− n! n· n!(n + 1− 1)M=  =  = (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! = n!  n + 2    · ( 2n + 3 )(2n + 2) (2n + 1)! (2n + 1)!  2n + 3    ( n + 2 )(n + 1)n! n· n· n! n· n· n (n − 1)!M= = (n − 1)! (n − 1)! 2 (n + 1) = n +1 ∴ M = n3 Rpta.: C ∴ A=2 Rpta.: B -3-
  • 4. Resolución 8 (13· 12)2 (11!)2 13· 12· 11 10! · − (n + 7 )! ⋅ (n + 5 )! = 10! 2 (12 + 1) (11!) 2 10! (1+ 11) (n + 6 )!+ (n + 5 )! (13· 12)2 − 13· 12· 11 (n + 7)!(n + 5)! = 10! (13 )2 12 (n + 6) · (n + 5)!+ (n + 5)! (12)2 – 13· 11 (n + 7 )! (n + 5)! = 10! (n + 5)! [n + 6 + 1] ∴ 1 Rpta.: A Resolución 12 (n + 7)(n + 6)! = 10! (n + 6)! = 10! (119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!)24 (n + 7 ) (119! 5!)x!! = (5!!)23!· 24 n + 6 = 10 (119! 120)x!! =(5!!)24! ∴ n=4 Rpta.: E (120!)x!! = (5!!)24!Resolución 9 (5!!)x!! = (5!!)24!R= (a!!+ 2)!− 2(a!!+ 1)! = (a!!+ 2)(a!!+1)!− 2(a!!+ 1)! x!! = 24! x!! = 4!! (a!!+ 1)! (a!!+ 1)! ∴ x=4 Rpta.: BR= (a!!+ 1)! (a!!+ 2 − 2) Resolución 13 (a!!+ 1)! 5 5 5 ∴ R = a!! Rpta.: B = = 5!+ 4!+ 3! 5· 4· 3!+ 4· 3!+ 3! 3!(20 + 4 + 1)Resolución 10 5 1 4 4 = = = Rpta.: D E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!! 3!· 25 3· 2· 1 5 5· 4· 3· 2· 1 5! · E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!! E = (n!!–1)! n!! – n!!! Resolución 14 E = n!!! – n!!! (n + 2)! = 5+ (n + 12)! ∴ E=0 Rpta.: C n! (11+ n)!Resolución 11 (n + 2)(n + 1)n! = 5 + (n + 12)(n + 11)! (13!)2 13! n! (n + 11)! 2 − 2 10!+ 11! (12!) + 2 (12!11!) + (11!) (n+2)(n+1) = 5+n+12 (13!)2 − 13! n2 + 3n+2 = 5+n+ 12 (12!+ 11!)2 10!+ 11! n2 + 2n = 15 ∴ n=3 (13· 12· 11!)2 − 13· 12· 11· 10! (12· 11!+ 11!)2 10!+ 11· 10! ∴ Suma valores = 3 Rpta.: C ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46) NIVEL I Resolución 2Resolución 1 5 pantalones 3 blusas N° maneras = 5 × 3 N° maneras = 6 × 4 ∴ N° maneras = 15 Rpta.: C ∴ N° maneras = 24 Rpta.: D -4-
  • 5. Quinto Año de SecundariaResolución 3 Resolución 9 m 5 ...................← Personas V2 = 20 5 --------------- ← asientos m! m (m − 1) (m − 2 )! N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1 = 20 = 20 ( m − 2 )! (m − 2)! ∴ N° maneras = 120 Rpta.: C m(m–1) = 4 × 5 ∴ m=5 Rpta.: C Resolución 10Resolución 4 A B C D ← asientos N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3 Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta- ∴ N° maneras = 360 Rpta.: B mos. N° maneras = 4!Resolución 5 ∴ N° maneras = 24 Rpta.: B 3 : anillos: 4 : dedos N° maneras = 4· 3· 2 Resolución 11 ∴ N° maneras = 24 Rpta.: C N = a b c d > 6000 6523Resolución 6 N° maneras = 1· 3· 2· 1 10 : amigas ∴ N° maneras = 6 Rpta.: D 6 : invitadas Resolución 12 10· 9· 8· 7 N° maneras = C10 6 = 8· 7· 6· 5 1 2· 3· 4 · C8 = 4 1 2· 3· 4 · ∴ N° maneras = 210 Rpta.: B ∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: BResolución 7 Resolución 13 n N = abc   = 15  4 números: {1; 2; 3; 4; 5} n (n − 1)(n − 2 )(n − 3 ) N° maneras = 5· 4· 3 = 15 ∴ N° maneras = 60 Rpta.: D 1 2· 3· 4 · n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3 Resolución 14 ∴ n=6 Rpta.: B  n + 1  n   :  ... (1)  n   n − 1Resolución 8 Entonces: x x C5 + C6 = 28  n + 1  n + 1   n + 1  = =  = n+1 C5 + C6 = C6 +1 = 28 x x x  n   n + 1− n   1  ( x + 1) x (x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 28  n   n  n 1 2· 3· 4· 5· 6 ·  = = =n  n − 1  n − (n − 1)   1  (x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3 En (1): ∴ x=7 Rpta.: C n+1 ∴ Rpta.: D n -5-
  • 6. Resolución 15 Resolución 7 x C5 = 21  p + q (p + q)! = (p + q)!  =  p  p! (p + q) − p  !   p! q! x (x − 1)(x − 2)(x − 3 )(x − 4 ) = 21 1 2·3· 4· 5 · Además: x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3  p + q  p + q   p + q  = =  ∴ x=7 Rpta.: E  q   (p + q) − q   p  ∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B NIVEL IIResolución 1 Resolución 8 4 : biólogos → se escogen 2 3 : químicos → se escogen 2 De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminos 5 : matemáticos → se escogen 3 De venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminos N° maneras = 9· 9 = 81 N° maneras = C4 · C3 · C5 2 2 3 Quitamos los 9 caminos de ida. N° maneras = 81 – 9  4·3  3·2  5·4·3  ∴ N° maneras = 72 Rpta.: B N° maneras =  1· 2  ·  1· 2  ·  1· 2 · 3       Resolución 2 ∴ N° maneras = 180 Rpta.: C N° maneras = 7· 6 · 5 ∴ N° maneras = 210 Rpta.: D Resolución 9 xResolución 3   = 0 ..... (1)  10  Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Se sabe que: N = a bc d e  m ↓ ↓↓ ↓ ↓  =0 ⇔ m<n ∧ m>0 98765 n N° formas = 9· 8·7· 6· 5 En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ∴ N° formas = 15120 Rpta.: C Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9Resolución 4 ∴ Producto: 9! Rpta.: D L I B R O → 5 letras N° palabras = 5! Resolución 10 ∴ N° palabras = 120 Rpta.: B  n + 1  n   n   n + 1 − Q= + + + Resolución 5  2   1  n − 1  n − 1 25· 24 Se sabe que: C25 = 2 12 ·  m  m   =  ∴ N° partidos = 300 Rpta.: D  n   m − n  n + 1  m + 1 n  n   nResolución 6  =  y  =   n − 1  2   n − 1  1  N° diagonales = C8 − N° lados Luego: 2  n + 1  n    (n + 1)n  8 ·7 Q = 2   +   = 2  + n N° diagonales = 1· 2 − 8   2   1   12 ·  ∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B ∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B -6-
  • 7. Quinto Año de SecundariaResolución 11 Resolución 12  n  n −1   +  = 99  n + 1  n − 2  Se sabe que:  m  =0 ⇔ m < k N° maneras = 1· 5· 4· 3· 2· 1 k  ∴ N° maneras = 120 Rpta.: E  n   =0  n + 1 Resolución 13Luego: 3 : entradas → se toma 1 n −1  n −1  3 : de fondo → se toma 1 0+  = 99   = 99  n − 2  (n − 1) − (n − 2)  5 : postres → se toma 1 3 3 5 N° maneras = C1 · C1 · C1  n − 1   = 99 n – 1 = 99  1  N° maneras = 3· 3· 5 ∴ n = 100 Rpta.: D ∴ N° maneras = 45 Rpta.: A BINOMIO DE NEWTON (Pág. 51, 52, 53) NIVEL IResolución 1A) (x–2y)5 = x5 – 5x4 · 2y + 10x3· (2y)2 – 10x2 · (2y)3 + 5x(2y)4 – (2y)5 = x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5B) (1 + 3a)7 = 17 + 7(1)6(3a) + 21(1)5(3a)2 + 35(1)4(3a)3 + 35(1)3(3a)4 +21(1)2(3a)5 + 7(1)(3a)6 + (3a)7 =1 + 21a + 189a2 + 945a3 + 2835a4 + 5103a5 + 5103a6 + 2187a7C) (1–b)11 = 111 – 11(1)10(b)1 + 55(1)9b2 – 165(1)8b3 + 330(1)7b 4 – 462(1)6b5 + 462(1)5b6 – 330(1)4b7 + 165(1)3· b8 – 55(1)2·b9 + 11(1)b10 – b11 = 1 – 11b + 55b2 – 165b3 + 330b4 – 462b5 + 462b6 – 330b7 + 165b8 – 55b9 + 11b10 – b11 6  1 6 5 -1 4 -1 2 3 -1 3 2 -1 4 -1 5 -1 6D)  x − x  = x – 6(x) ·(x ) + 15(x) (x ) –20(x) (x ) + 15(x) (x ) – 6(x)(x ) + (x )   = x6 – 6x4 + 15x2 – 20 + 15x-2 – 6x-4 + x-6 4  2 1E)  z + 2  = (z2)4 + 4(z2)3(z-2) + 6(z2)2(z-2)2 + 4(z2)(z-2)3 + (z-2)4  z  =z8 + 4z4 + 6 + 4z-4 + z-8 6  3 x3 F)  4−  = (3x-4)6 – 6(3x-4)5(4-1x3) + 15(3x-4)4(4-1x3)2 – 20(3x-4)3(4-1x3)3 + x 4    15(3x-4)2(4-1x3)4 – 6(3x-4)(4-1x3)5 + (4-1x3)6 −24 729 −17 1215 −10 135 −3 135 4 9 11 1 18 = 729x − x + x − x + x − x + x 2 16 16 256 512 4096 -7-
  • 8. Resolución 2 Resolución 3  11 A) (2x – y)4A) (x – y)11 ; t7 = t6+1 =   x11−6 y6 6  4 1 coef(t2) = coef(t1+1) =  1  2 (−1) 3 ∴ t7 = 462x5y6   ∴ coef(t2) = – 32  21B) (a + b)21 ; t5 = t4+1 =   a21− 4b4 B) (3a + b)6 4 ∴ t5 = 5985 a17 b4  6 4 2 coef(t3) =   (3 ) (4 ) = 19440 10 10 −9 9  2  1 1  10   1   −1C) a − b ; t10 = t9+1 =    b    9  a     x 2 y2  10 C)  −   y x  ∴ t10 = – 10a-1 b-9   10  10−8 8  2 2  7  7  2 7 − 7  −2  7 coef(t9) = coef(t8+1)=  10  (1) ( −1)8 = 45D) x y − 2    xy   ; t8 = t7+1 =  7  x y   ( ) 2  xy    8   D) (–a + 12)5 ∴ t8 = –128x-7y-14  5 5−4 coef(t5) = coef(t4+1) =  4( −1) (12)4 = −5·124  10    10−10E) (2a – b)10 ; t11 = t10+1 =  10  (2a ) ( −b )10   E) (p 2 v 2 –1)14 ∴ t11 = b10  14  coef(t8) = coef(t7+1) =  7  (1)14-7(–1)7 = –3432 4 1    1   4  4 −1  −1 F)  1−  ; t2 = t1+1 =   (1)    xyz  1   xyz  F) (2x2y + xy3)8 8 ∴ t2 = –4x-1y-1z-1 coef(t5) =   (2)8-4 (1)4 = 1120  4Resolución 4 5 2 1 ( ) 5 2 −1 3x − x  = 3x − x  5 2 1 2 5 2 4 -1 2 3 -1 2 2 2 -1 3 2 -1 4 -1 5 3x − x  = (3x ) – 5(3x ) (x ) + 10(3x ) (x ) – 10(3x ) (x ) + 5(3x )(x ) – (x )  5 2 1 10 7 4 -2 -5 3x − x  = 243x – 405x + 270x – 90x + 15x – x  A) coef(t4) = –90 B) t3 C) No existe el término independiente de x:Resolución 5 Nos piden: 2 12 (x)3k-24 = x-3 3k – 24 = –3 k=7 3 2 − 3xy x y   ( = 2x y −2 −1 − 3xy ) 3 12 Luego: tk+1 = t7+1 = t8 12−k  12   2  (−3xy3 ) kA) tk+1 =  k   2   12    x y    B) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12    12  (y)4k-12 = y12 4k – 12 = 12 k=6 tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12   ∴ tk+1 = t6+1 = t7 -8-
  • 9. Quinto Año de Secundaria  12   3 3 −kC) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12 =  k  (3 ) (−1)k (q)15−6k     (x)3k-24 = x0 3k – 24 = 0 k=8 (q)15-6k = q9 15 – 6k = 9 k=1 ∴ tk+1 = t8+1 = t9  3  3 −1 1 15−6·1 t1+1 =   (3 ) ( −1) (q)  12  1 D) tk+1 =  k  (2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y)4k-12   ∴ t2 = –27q9 y4k-12 = y0 4k – 12 = 0 k=3 Resolución 7 ∴ tk+1 = t3+1 = t4 ( ) 10 2x+ 3Resolución 6 10  (2p + q)11 ( ) ( ) ( ) ( 3)A) 10 10 9 2 x+ 3 = 2x +  2x  11  1 tk+1 =  k  (2p)11-k(q)k    10  ( ) ( 3) 8 2 +  2x qk = q9 k=9 2  11 ( ) 10 tk+1 = t9+1 = t10 =  9  (2p)11-9(q)9 ∴ 2 x+ 3 = 32x10 + 160 6 x9 + 2160x8 + ...   ∴ t10 = 220 p2q9 Resolución 8 10  1B) q−  (1 + 3x2)6  pq  6 (3x2 )  6 k 6 −k k 2k  10   −1  k tk+1 =  k  (1) =   (3 ) ( x ) tk+1 =   q10−k     k  k  pq  6 0 2·0  10  k −k 10− 2k t0+1 =  0  (3 ) (x ) t1 = 1 =   (−1) (p ) (q)   k  (q)10-2k = q9 10 – 2k = 9  6 6 2·6 t6+1 =  6  (3) ( x ) t7 = 729x12   1 k= 2 Luego: t1 · t7 = 1· 729x12 Como k ∈ ∴ Producto de los coeficientes = 729 ∴ No existe el términoC) (p2 – q3)7 NIVEL II  7 2 ( ) ( ) 7 −k k tk+1 =  k  p −q3   Resolución 1  7 k 14 −2k (x – 3y)5 =   ( −1) (p ) (q)3k k   5 5− 5 (q)3k = q9 3k = 9 k=3 t6 = t5+1 =  5  (x ) (−3y )5  Luego: ∴ t6 = – 243y5 Rpta.: D  7 3 14− 2·3 t3+1 =  3  (−1) (p) (q)3·3   ∴ t4 = –35p8 q9 Resolución 2 3 (2 – x)11  5 1D)  3q −   11 11− 7  q t8 = t7+1 =  7  (2) ( −x )7   k  3 ( ) 3 −k  −1 tk+1 =   3q 5 t8 = –5280x7   k   q ∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D -9-
  • 10. Resolución 3 Resolución 8 n (2a + b)5 2 x  +   x 2  5 5−1 1 t2 = t1+1 =   (2a ) (b ) = 80 a b 4 n−k K  n  2  x  n  n− 2k  1 tk+1 =      2  =  k  ( 2) ( x )2k −n k x      ∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C Para el término independiente: (x)2k-n = x0 2k – n = 0 n = 2kResolución 4 Pero: k + 1 = 4 k=3 7 Entonces: n = 2· 3 n=6  y  3x −  Luego: tk+2 = t3+2 = t5  2 La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos  6  6−8 8−6 15 2 t5 =   ( 2 ) (x ) = x ∴ No hay término central Rpta.: E  4 4 15Resolución 5 ∴ coef(t5) = Rpta.: C 4 (2x – y)6 6 6− 3 Resolución 9 t4 = t3+1 =   (2x ) ( −y )3  3 13  3 x2 1  ∴ t4 = –160x3 y3 Rpta.: D  +5   2  x Resolución 6 ( ) (x ) 13 − k k tk + 1 = ( 13 ) 2 −1 x 3 4 2 1 −  1 5 x − 2  k  x  26 13k k  13  k −13 −  4  4 −k  −1   4  k 4 −3k tk+1 =   ( 2) ( x ) 3 15 tk+1 =   ( x )  2  =   ( −1) ( x ) k   x  k  kDel dato: El término indenpendiente: 26 13k 4 − 0 26 13k x4-3k = x0 4 – 3k = 0 k= 3 (x ) 3 15 =x − =0 k = 10 3 15 Como k ∈ tk+1 = t10+1 = t11 ∴ No hay término independiente Nos piden el t10 k=9 26 13·9 Rpta.: E  13  9−13 − t10 =   ( 2) (x ) 3 15Resolución 7 9  (2x – 1)5 13 715 15  5 5 −k k  5 5 −k k 5 −k ∴ t10 = x Rpta.: Atk+1 =   (2x ) ( −1) =   (2 ) ( −1) ( x ) 16 k  k  Resolución 10  5  5− 2 2 5− 2t3 = t2+1 =   (2 ) ( −1) ( x ) = 80x 3 120 2  1  x +   x  5  5−4t5 = t4 + 1 =   (2 ) ( −1)4 (x )5−4 = 10x  120  120−k  1   120  120−2k k  4 tk+1 =   (x )  x  =  k x  k      t3 = 72 80x 3Luego: = 72 t5 10x Como es de grado 100 ∴ Rpta.: C 120 – 2k = 100 k = 10 x = ±3 ∴ tk+1 = t10+1 = t11 Rpta.: E - 10 -
  • 11. Quinto Año de SecundariaResolución 11 Resolución 12  9 (1 + x)3n 2 0,5   0,4x + x     3n  3n−k k  3n  k tk+1 =   (1) (x ) =   x 9 −k  0,5 k k k 9 (tk+1=   0,4x k  2 )  x     3n  k +1 tk+2 =  x  9  9− 2k k − 9 18− 3k  k + 1 =   (2 ) (5 ) ( x ) k   3n  2k −4 t2k-3 =  x Término independiente:  2k − 4  (x)18-3k = x0 18 – 3k = 0 k=6 Como los coeficientes son iguales se tiene:  9  9 −2·6 6 −9 18 −3·6  3n   3n Luego: t6+1 =   ( 2) ( 5) ( x )  =  (k + 1) + (2k – 4) = 3n  6  k + 1  2k − 4  3k – 3 = 3n t7 = 0,084 Rpta.: C ∴ k = n+1 Rpta.: A BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO Pág. 58Resolución 5  1   1   1    2   2 − 1  2 − 2   1 t4 =       32x =  1  ⋅ 32x (1− 2x ) 5  1· 2· 3   16       1 1  t5  1 = T4 +1 =  5  (1)5 −4 ( −2x )4 = 5  4 4    4  16x ∴ t4 = 2x   1  1  1  1  Resolución 7   5  5 − 1 5 − 2  5 − 3          · 16x 4  1 2· 3· 4 ·   −3    E=     33   −21  4 E= ( −3)( −3 − 1)( −3 − 2)( −3 − 3).....( −3 − 32) = 16x 1 2· 3· 4· 5· ..... ·33 ·  625  E= (−3 )( −4 )( −5 )(−6 ) · ..... · ( −35 ) = (−1)31 ( −34 )( −35 ) −336 4 1 2· 3· 4· 5 · ..... · 33 · 12 · ∴ t5 = x 625 ∴ E = –595Resolución 6 Resolución 8 1  −15   −15   −15   1 2 E= + +   1 + x3   3   4   5  4     −15 + 1  −15  E= +   4   5  1 3  1 −3  1   1  2   1 2  3  2  −14   −15    E= + t4 = t3+1 =    4  3   x  =   32x 3   4   5        E= (−14 )(−15)(−16 )(−17 ) 1 2· 3· 4 · - 11 -
  • 12. + ( −15)( −16 )( −17 )( −18 )( −19 ) Resolución 10 1 2· 3· 4· 5 · −2  1 −3 −9  ∴ E = – 9248 2x − x   Resolución 9 k −2 −k  9 (  −2  )  −2  k + 2 6 − 3k  −  (2 ) ( x ) 2 tk +1 =   2−1x −3 1 x 2  =  k (x 2 −3 ) 2  k Término indenpendiente:      1 1  1 3k  2  2 −2t3 = t2+1 =   x 2  ( )   −3 2 ( −3 )2 = 2 x ( 9 )   2  6− 2 =0 k=4      1  1  Entonces:   − 1 ( ) 2 2  −9 3·4t3 =   9x −3 = 3  −2  4 +2 6− 1· 2 8x t4+1 = t5 =   (2 ) (x ) 2  4 −9 ( −2)( −3 )( −4 )( −5)Si: x=3 t3 = (2)6 8· 33 t5 = 1 2· 3· 4 · ∴ t3 = (–24)-1 ∴ t5 = 320 CAPÍTULO 3 LOGARITMACIÓN (Pág. 93, 94, 95, 96) NIVEL I Resolución 5 5Resolución 1 log x 2 = 0,4 2 log a = x 5 2 2 2 log x = logx = log 10a = log10 + loga = 1 + loga 5 5 5 ∴ log10a = 1 + x Rpta.: E ∴ logx = 1 Rpta.: BResolución 2 Resolución 6 log p = x log p = q 1 p log 3 p = logp log   = log p − log r 3 r x p ∴ log 3 p = Rpta.: D ∴ log   = q − log r Rpta.: B 3 rResolución 3 Resolución 7 loga = m ; logb = n  1 logx + log   = logx + logx-2 = logx – 2logx  x2  a 1 a 1 log = log   = (loga − logb ) b 2 b 2  1 ∴ logx + log   = –logx Rpta.: C  x2  a m−n ∴ log = Rpta.: B b 2 Resolución 8 2Resolución 4 2 2 log5 3 25 = log5 5 3 = log5 5 = · 1 3 3 log 103 = 3log10 = 3· 1 2 ∴ log 103 = 3 Rpta.: D ∴ log5 3 25 = Rpta.: D 3 - 12 -
  • 13. Quinto Año de SecundariaResolución 9 7 4 log 102 + log2 2 − log 5 5 logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103 = logx–log1000 2log 10 + 7log 2 − 4log 5 2 5  x  2+7–4 ∴ logx–3 = log   Rpta.: E 5 Rpta.: B  1000 Resolución 10 Resolución 18 log2 a = x log0,01+ log 0,0081= log10-2 + log (0,3)4 0,3 0.3 x + 1 = log2 a + log2 2 = –2log10 + 4 log (0,3) ∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D (0,3) =–2+4= 2 Rpta.: CResolución 11 Resolución 19 log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2) log 0,25 + log 0,125 − log 0,0625 2 2 2 log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2) log (0,25)(0,125) = log (0,03125) Rpta.: D 2 0,0625 2 (0,0625 )Resolución 12 log (0,5) = log 2−1 = −1log 2 log(x2–x) = logx(x–1) 2 2 2 ∴ log(x2–x) = logx + log(x–1) =–1 Rpta.: E Rpta.: A Resolución 20Resolución 13  1  1  1  log   − log   + log  5  125  11 3 2 11 12 2  16  3  81 log 216 6 = log 63 = : log6 6 12 3 5 36 5 36 65 log 2−4 − log 3−4 + log 5−3 2 3 5 55 = Rpta.: C −4log 2 + 4log 3 − 3log 5 36 2 3 5 –4+4–3Resolución 14 ∴ –3 Rpta.: D log 0,064 = x log (0,4)3 = x 0,4 0,4 Resolución 21 3log 0,4 = x 0,4 log3 = 0,47 , log5 = 0,70 ∴ x=3 Rpta.: D log75 – log125 + log45 = 75 · 45 log = log27 = log33 = 3log3Resolución 15 125 −2 = 3(0,47) 2 9 log x = −2 x=  x= 2 3 4 =1,41 Rpta.: B 3 Rpta.: E Resolución 22Resolución 16 log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70 2 log (a2 − 2ab + b2 ) = log (a − b) 35 (a −b) (a −b) log35 – log14 = log 14 = 2 log (a − b) = 2 Rpta.: E (a −b) 5 = log = log5 − log2 2Resolución 17 log 35 – log14 = 0,70 – 0,30 log 100 + log 128 − log 625 2 5 ∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B - 13 -
  • 14. Resolución 23 Resolución 28 log 2 log 2 1 + 1 log 36 log 36 = log (2) + log (3) 36 36 243 3 = 35 ( ) 3 2 3 log 2 5·log 2 log 25 3 3 3 = log (2· 3) = log 6 243 = (3) = (3) = 25 36 36 log 2 1 ∴ 243 3 Rpta.: E = 32 1 2 = log (36) = log 36 36 2 36 Resolución 29 1 = Rpta.: C logx + log(x–3) = 1 2 logx (x–3) = log10Resolución 24 x(x–3) = 10 log 3 = x ∴ x=5 Rpta.: C 2 log 64 = log 26 = 6log 2 24 24 24 Resolución 30  1   1  log x log3 = 6  = 6  10 − 10 = 2x − 5 log 24   2 log (8· 3)   2 x – 3 = 2x – 5  1   1  ∴ x=2 Rpta.: B = 6  = 6  log 8 + log 3   2  3log 2 + x  2 2 NIVEL II 6 = Rpta.: B Resolución 1 3+x 3x  1 1 ( ) x −4 2 log  =x = 2 2 2 =2Resolución 25 2 2  16  16 3 log (5x − 3) − log x = 1 −4 = x 2 2 2 (5x − 3) 8 log = log 2 ∴ x=− Rpta.: A 2 x 2 3 5x − 3 Resolución 2 =2 5x – 3 = 2x x ∴ x=1 Rpta.: B (I) log 32 = 5 32 = 25 ... (V) 2Resolución 26 (II) log 1= 0 1=(2000)0 .... (V) 2000 log (2x + 21) − log x = 2  1 1 3 3 (III) log   = −4 = 2−4 ... (V) 2  16  16  2x + 21 2 2x + 21 2 log   = log3 3 =3 ∴ VVV Rpta.: D 3 x  x 2x + 21 = 9x Resolución 3 ∴ x=3 Rpta.: A log 27 = a 12Resolución 27 log2 24 4log2 2log a + logb = log(a + b) log 16 = = 6 log2 2 + log2 3 log2 2 + log2 3log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b 4 ........................... (1) b log 16 = ∴ a= Rpta.: D 6 1 + log2 3 b −1 - 14 -
  • 15. Quinto Año de Secundaria 3log2 3Pero: log 27 = a =a 52  5 12 2log2 2 + log2 3 = log = 2log   2 22 2 2 3log2 3 2a =a log2 3 =   10   2 + log2 3 3−a = 2 log  2   = 2[log 10 − 2log 2] 2  2  2  2Reemplazando en (1) 1  = 2 log 10 − 2 = 2  − 2    4  10x   x  log 16 = 6 2a 2 − 4x 1+ = 3−a Rpta.: D x 12 − 4a ∴ log 16 = Rpta.: E Resolución 8 6 3+a log yResolución 4 (log5 x ) 5 =ylog 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 1024 log y log (log x ) 2 3 4 5 1023 5  = logy   5  log3 log4 log5 log1024 log6 · · · ..... log y log (log x ) = logylog2 log3 log4 log5 log1023 5  5  log (log x ) = log5 log x = 5 log1024 log210 5 5 = = 10 Rpta.: B log2 log2 x= 55 = 3125 ∴ ∑ cifras = 11 Rpta.: CResolución 5 log2 = a ∧ log3 = b Resolución 9 log 4 + log 1 4 3 log 752 = 2 3 2 log75 = log 52 · 3 3 ( ) E= 2 2 = log2 22 + log −1 22 2 = 2 2 log52 + log3 = [2log5 + log3] log 243 + log 1 81 log 35 + log −1 34 3 3 3 3 ( ) 3  3 2  10   2−2 = E=  2log   + log3 5−4 3  2  2 ∴ E=0 Rpta.: E =  2 (log10 − log2) + log3 3  Resolución 10 2 =  2 (1− a ) + b 3  log 2 = a ∧ log 3 = 2b 5 5 2 ∴ log 3 752 = 3 [b − 2a + 2] Rpta.: D log 5 1 2 5 1 300 = log 300 = log 102·3  2 5    ( ) 1 1Resolución 6 = log 10 + log 3 = [2log 10 + log 3] 2 2 5 5  2 5 5 2 4 6 logx = + − 1 7+ 5 11 + 7 11 + 5 =  2 (log 5 + log 2 ) + log 3  2 5 5 5  0 = ( 7+ 5 )( 11 + 7 )( 11 + 5 ) = 1 2  2 (1 + a ) + 2b   logx = 0 x = 100 ∴ x=1 Rpta.: B ∴ log 300 = a + b + 1 Rpta.: E 5Resolución 7 Resolución 11 log2 = x 2 = 10x log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1  2,5  log 2,5 − log (0,4) = log  log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10 2 2 2  0,4   - 15 -
  • 16. (2 − x )(3 − x ) = log10 log x 2 log x 2 10 2· x log x 2 =2 10 log x +x =2 2 ( ) log x (2 − x )(3 − x ) = 10 log x 2 log2  x 2  = log2 29   x = 29   2 Resolviendo: x1 = 7 ∧ x2 = –2 log x · log x = 9log 2 2 2 2 (log2 x )2 = 9 ∴ CS = {7; –2} Rpta.: 23 = x ⇒ x = 8  log x = ±3  −3 1Resolución 12 2 2 = x ⇒ x =  8 log x − 8log 2=3 1 2 x2 Suma = 8 + 8 logx 8log2 65 − =3 ∴ Suma = Rpta.: D log2 2logx 8 2(logx)2 – 6· logx· log2 – 8(log2)2 =0 2logx 2 log2 Resolución 16 logx – 4log2 log a + log a2 = k (1) : 2logx + 2log2 = 0 logx = –log2 x2 x3 (2) : logx – 4log2 = 0 logx = log24 1 2 log a + log a = k log a = 6k 2 x 3 x x 7 x = 16 1 6k Luego: x = 16 = log x 7 a ∴ x =4 Rpta.: D 7 ∴ log x = Rpta.: CResolución 13 a 6k 1 log x − 21 = 1− logx Resolución 17 2  x2  1 logx 3 − log16 = log   2  2  log x − 21 = log10 − logx   logx3 – log24 = logx2 – log2 10 log x − 21 = log logx3 – logx2 = 4log2 – log2 x 10  x3  x − 21 = x(x–21) = 100 = 4· 25 log  2  = log23 x = 23 x x    ∴ x = 25 Rpta.: A ∴ x=8 Rpta.: EResolución 14 Resolución 18 x + log(1+2x) = xlog5 + log72 6 6  10   10  log10x + log(1+2x) = log5x + log72 xlog x =  6  = 0 log[x ] log x = log  6   x  x log[10x·(1+2x)] = log[5x· 72] 10x(1+2x) = 5x· 72 logx · logx = 6 log10 − log 6 x  x x   2x 5 (1+2x) =5 ·23· 32 (logx)2 = 6 – logx 2x(1+2x) = 23· 32 2x(1+2x)=23(1+23) (logx)2 + logx – 6 = 0 ∴ x=3 Rpta.: C Resolviendo:Resolución 15 x1 = 102 ∧ x2 = 10-3 log2 x log2 x 2 2 +x = 1024 Luego: x1 · x2 = 102· 10-3 log x (2 ) 2 log2 x + xlog2 x = 210 ∴ x1 · x2 = 10-1 Rpta.: B - 16 -
  • 17. Quinto Año de SecundariaResolución 19 Luego: x3 = 23 n 10 logn ∴ x3 = 8 Rpta.: E log (2x − 1) + log ( x − 1) =n log(2x–1)n + log(x–1)n = n Resolución 24 n log(2x–1) + nlog(x–1) = n antilog x = antilog · colog 3 log 3 4 2 6 3 log(2x–1) + log(x–1) = log10 antilog x = antilog · colog · log 1 33 log(2x–1)(x–1) = log10 4 2 6 32 (2x–1)(x–1) = 10 antilog x = antilog · colog 6 4 2 ∴ x=3 Rpta.: B 6Resolución 20 antilog x = antilog · − log 4 2 ( 6 ) 6 = antilog · − log 62 2 ( 6 ) x + ab − x − ab = ab antilog x = antilog ( −2)  4 2 (x) 4x = 2-2 22x = 2-2 x + ab + x − ab = logy  (x + ab)–(x – ab) = ab logy ∴ x = –1 Rpta.: D 2ab = ab logy 2 = logy log102 = logy Resolución 25 ∴ y = 100 Rpta.: E 16 + 8log2 x = log2 x − 4Resolución 21 Sea: log2x = a log2 x + logx 2 5 = 16 + 8a = a − 4 16 +8a = a2 – 8a + 16 2 − logx 2 3 a = 16 log2x = 16 logx = ± 4 1 logx = log104 log2 x + log2 x 5 = ∴ x = 104 Rpta.: B 1 3 2− log2 x Rsolución 26 2 ( Ln Ln (Ln (Lnx )) = 0 ) 3 (log x ) + 3 = 10 (log x ) − 5 2 2 2 ( Ln Ln (Ln (Lnx )) = Ln1 ) 3 (log x ) − 10· log x + 8 = 0 2 2 Ln(Ln(Lnx )) = 1 Ln[Lnx ] = e1 Resolviendo: x1 = 4 ∧ x 2 = 23 2 Lnx = ee Luego: x1· x2 = 4 ·23 2 e ∴ x= ee Rpta.: D ∴ x1· x2 = 83 2 Rpta.: B Resolución 27Resolución 22 Lnx Lnx + 42 = Lnx13 log2 = 0,3 ∧ log3 = 0,47 2x = 24 2x = 23· 3 Lnx · Lnx + 42 = 13· Lnx log2x = log(23· 3) (Lnx)2 + 42 = 13· Lnx xlog2 = 3log2 + log3 (Lnx)2 – 13 · Lnx + 42 = 0 x(0,3) = 3(0,3) + 0,47 Resolviendo la ecuación de 2do grado: ∴ x = 4,5 Rpta.: B Lnx1 = 7 ∧ Lnx2 = 6Resolución 23 Lnx1 = 7 x1 = e7 antilogx· antilogx x = 16 Lnx2 = 6 x2 = e6 x antilogxxx = 16 x x = 16 x1· x2 = e7· e6 xx 22 ∴ x1· x2 = e13 Rpta.: E x =2 x=2 - 17 -
  • 18. Resolución 28 Entonces: 1 10 (10y)2 – y2 = 11 y= ∧ x= R = 3 colog 0,04 + antilog 2 3 3 5 5 1 100 Por lo tanto: colog 0,04 = log = log = log 52 = 2 10 1 5 5 0,04 5 4 5 x+y = + 3 3 antilog 2 = 52 = 25 5 11 ∴ x+y= Rpta.: D 3 Entonces: Resolución 30 R = 3 2 + 25 1+ 2logx – log(x+2) = 0 ∴ R=3 Rpta.: C log10 + logx2 = log(x+2)Resolución 29 log10·x2 = log(x+2) 10x2 = x+2 x2 – y2 = 11 10x2 – x – 2 = 0 x 1 2 logx – logy = 1 log   = log10 Resolviendo: x1 = ∧ x 2 = − (no)  y 2 5 x  1 = 10 x = 10y ∴ C.S =   Rpta.: C y 2  CAPÍTULO 5 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO (Pág. 157, 158)Resolución 1 • Se observa que:Cambiamos el sentido de giro del ángulo negativo, enton-ces: (–θ)+ x = 180° x – θ = 180° .... (1) • Además: (–α) + 90° + β = 180° –α + β = 90° –2α + 2β = 180° .... (2) • Igualando 1 y 2 : (17x – 19)° + (13x – 11)° = 180° x – θ = –2α + 2β 30x – 30 = 180 x=7 Rpta.: C x = θ + 2β – 2α Rpta.: DResolución 2 Resolución 3Cambiando el sentido de giro de los ángulos negativostenemos: En la figura se observa que: - 18 -
  • 19. Quinto Año de Secundaria• Entonces se cumple: Resolución 7(ax2+bx+c+120)° + (–mx2–nx–p+150)° = 270° De acuerdo al gráfico se debe cumplir que:ax2+bx+c–mx2–nx–p+270 = 270 (11x + 50°) –(–560°) = 720°(a–m)x2 + (b–n)x + (c–p) = 0 11x + 610° = 720°• Aplicando la definición de polinomios x = 10° Rpta.: B identicamente nulo se tiene: a − m = 0 → a = m Resolución 8  Sean los ángulos coterminales α, β y θ tal que : α < β < θ. b − n = 0 → b = n c − p = 0 → c = p  • Luego de acuerdo al enunciado:• Finalmente: i) 0° < a < 90° a b c α = α + + = 1+ 1+ 1  m n p α β θ β = 7α ii) = = 1 7 13 θ = 13α a b c  + + =3 Rpta.: E m n p • Además: θ – β = 360°n 13α – 7α = 360° nResolución 4 α = 60° nAnalizando la figura se tiene que: n = 0 → α = 0° ¡No! n = 1 → α = 60° ¡Si ! n = 2 → α = 120° ¡No ! ∴ θ = 13(60°) θ = 780° Rpta.: A θ+(–α)+ β = 2 vueltas Resolución 9 θ – α + β = 2(360°) Sean los ángulos coterminales α y β tal que α > β, enton- θ – α + β = 720° Rpta.: A ces: α 19 19 = → α = β ... (1) β 3 3Resolución 5 α – β = 360°n ... (2)Analizando el gráfico observamos que: • Reemplazando (1) en (2): 19 β − β = 360°n 3 16 β = 360°n → β = 67,5°n 3 θ + x = –720° • Pero “β” toma su menor valor positivo, entonces: – α + x = –360° n=1 → β = 67,5° θ –(–α) = –360° • Luego en (1) tenemos: θ = –360° – α Rpta.: C 19 α= (67,5° ) → α = 427,5° 3Resolución 6 ∴ α = 427°30 Rpta.: ADividendo cada uno de los ángulos dados entre 360° seobtiene: Resolución 10−3106° 360° 854° 360° 5186° 360° Siendo α y β ángulos coterminales, se cumple que: 134° − 9 134° 2 146° 14 α – β = 360°nObservando los residuos de estas divisiones se concluye (7x2 + 1)° – (1 – 3x2)° = 360°nque: 10x2 = 360n α y β son coterminales Rpta.: A x= 6 n - 19 -
  • 20. Para que a tome su mínimo valor, x ∈ + tambien debe 3θ + 2x = 18° (x3)  → 9θ + 6x = 54° tomar su mínimo valor, entonces: 2θ – 3x = 90° (x2) 4θ – 6x = 180°  → n=1 → x=6 Finalmente: 13θ = 234° α = (7·62 + 1)° θ = 18° • Reemplazando en 1: α = 253° Rpta.: D 3(18°) + 2x = 18°Resolución 11 x = –18° • Finalmente:Sean α y β ángulos coterminales tal que: α > β , entonces: E = 18° + (–18°) E = 0° Rpta.: B α + β = 600° ... (1) α – β = 360°n ... (2) Resolución 14• De 1 y 2 : α = 300° + 180° n Siendo α y β ángulos coterminales tal que: pero: 400° < α < 600° β – α = 360° n ... (1) n = 0 → α = 300° ¡No! α 1 = → β = 5α ... (2) n = 1 → α = 480° ¡Si! β 5 n = 2 → α = 660° ¡No! • Reemplazando 2 en 1: En 1: 480° + β = 600° 5α – α = 360°n β = 120° Rpta.: C α = 90°n pero: 100° < α < 200°Resolución 12 n = 2 → α = 180°En la figura se cumple que: • En 2 : x + α° + (–β)° = 180° β = 5(180°) x = 180° – (α° − β° ) β = 900° Rpta.: E Suplem.(x) ∴ Suplemento (x) = α° – β° Rpta.: B Resolución 15 Revisemos los residuos que se obtienen al dividir cadaResolución 13 Del enunciado: ángulo entre 360°: 3θ + 2x = 18° ... (1) 1370° 360° 2450° 360° −3310° 360°• En la figura se observa que: 290° 3 290° 6° 290° − 10 2θ − 3x = 90° ... (2) • Observamos que los residuos son iguales, luego:• Resolviendo 1 y 2 : α, β y θ son coterminales Rpta.: D CAPÍTULO 6 SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES (Pág. 174, 175, 176) NIVEL I • Nos piden: M = 3(54) –4(40) = 162 – 160Resolución 1 M=2 Rpta.: B• De 1: 10g 36° < > Ag Ag = 36° × = 40g Resolución 2 9° Realizando las conversiones al sistema sexagesimales: A = 40 9°• De 2 : 30g ⇔ 30g × = 27° 10g 9° B° <> 60g B° = 60 × g = 54° π 180° 10g rad < > = 20° 9 9 B = 54 - 20 -
  • 21. Quinto Año de Secundaria• Reemplazando en la expresión pedida: • Nos piden: 45° + 27° 72° 3 3 E= = A B= 3 × 45 = 3 27 = 3 20° 20° 5 5 E = 3,6 Rpta.: C 3 A B=3 Rpta.: C 5Resolución 3 Recordemos que: S = 180k Resolución 7 Sabemos que: S C R = = =k → C = 200k 180 200 π S C R = πk  = → 10S = 9C → 10S – 9C = 0 9 10 Reemplazando en la expresión pedida: • Reemplazando en la expresión a reducir tenemos: π2 (2 × 200k + 180k )(2 × 200k − 180k ) E = [2R + π] = 1 0 P= 400 ( πk ) 2 E=1 Rpta.: B π2 (580k )(220k ) 580 × 220 P= = 400π k 2 2 400 Resolución 8 P = 319 Rpta.: A • De la condición tenemos: S = 2n + 2 (x 3)  → 3S = 6n + 6Resolución 4 Tenemos que: C = 3n – 4 (x 2)  → 2C = 6n – 8 S C S = 9n = =n →  3S – 2C = 14 ... (I) 9 10 C = 10n • En I se tiene que:• Reemplazando en la condición dada:  180R   200R  2 (9n) − 9 (10n) + 4 3  − 2  π  = 14 =  π    3 2 540R 400R 6n – 3 = 5n + 2 → n=5 − = 14 π π• Nos piden “S” , entonces: 140R = 14 π S = 9(5) → S = 45° Rpta.: C πResolución 5 R= rad Rpta.: D 10  180R S = π  Resolución 9• Sabemos que:  C = 200R  • Teniendo en cuenta que:  π S = 180K ; C = 200K , R = πK• Reemplazando en la condición dada: • Reemplazando en la condición dada: 200R 180R 180K 200K − =3 + = 14 π π 6 5 20R 1 =3 70K = 14 → K = π 5 3π  1 R= rad Rpta.: E ∴ R = π  5   20 π R= rad Rpta.: AResolución 6 5• Se tiene que: Resolución 10 π 180° rad < > = 3,75° = 3°45 • Calculando la suma tenemos: 48 48 ° A = 3  360 (360 + 1)  α=  = 64980° ∴ A°B’ = 3°45’ →   2  B = 45 - 21 -
  • 22. • Expresamos “α” en radianes: • Se observa que el menor ángulo es A, entonces:  πrad   πrad  α = 64980° ×   = 361 πrad  180°  A = 60° – 12° = 48° <> 48°×  180°  ˆ   ∴ α = 361 πrad Rpta.: C ˆ 4π rad A= Rpta.: D 15 NIVEL II Resolución 5Resolución 1 • Expresando la medida de los ángulos del cuadrilatero• Realizando la conversión al sistema sexagesimal te- en el sistema sexagesimal tenemos: nemos: ˆ m( A ) = (13x + 10)°  9°  13g90m<> 13,9g <> 13,9g ×  g   9°  45  10  m ( B ) = 25(x + 1)g ·  g  = (x + 1)° ˆ  10  2 13g90m <> 12,51° = 12°30’36’’ ˆ m( C ) = 90° A = 12  A°B’C’’ = 12°30’36’’ → B = 30  xπ   180°  C = 36 ˆ m( D ) =   rad·  = 12x°   15   πrad • Reemplazando en lo pedido: • Aplicando la propiedad de los cuadriláteros tenemos: A + C 12 + 36 ˆ ˆ ˆ ˆ m( A )+ m( B )+ m( C ) + m( D ) = 360° = = 1,6 Rpta.: C B 30 45 (13x + 10)° + (x+1)° + 90° + 12x° = 360° 2Resolución 2 45 45• Sabemos que: S = 180K 13x + 10+ x+ +12x = 270 2 2 C = 200K R = πK 95 475 x= → x=5 Rpta.: C• Reemplazando en la expresión a reducir: 2 2 U= (40000K 2 − 32400k 2 π2 ) Resolución 6 76 π K ( 2 2 ) • Trabajando en la condición: 7600K2 π2 180R   200R  U= = 100 Rpta.: D 4  − 3  π  + 10R = 12 + π 76π2K2  π    120R + 10R = 12 + πResolución 3 π• En la condición tenemos: 120R + 10Rπ = (12+π)π C + S 19 = 10R(12+π) = (12+π)π SC 72 200K + 180K 19 π = ∴ R= rad Rpta.: E 180K·200K 72 10 380K 19 1 = → K= Observación: 36000K2 72 25 El problema también lo podemos resolver aplicando 1 π ∴ R = π = rad Rpta.: A el siguiente método:  25  25Resolución 4 Del enunciado: 4S – 3C + 10R = 12 + π ˆ ˆ ˆ A + B + C = 180° Igualamos los términos que presentan la constantes “π” α – 12° + α + α + 12° = 180° π ∴ α = 60° 10R = π → R= rad 10 - 22 -
  • 23. Quinto Año de SecundariaResolución 7 4R 9π + 12 + = 25• De la propiedad de las proporciones notamos que: π R 2C + S 5π + 9R 2C 5π 4R2 – 13Rπ + 9π2 = 0 = → = 2C − S 5π − 9R S 9R (R – π)(4R – 9π) = 0 10  5π π 2  = → R = rad Rpta.: B i) R=π → S = 180°  9  9R 4 9π 9(180)Resolución 8 ii) R= → S= = 405° 4 4• A partir de la condición hallamos el valor de “x”: • Nos piden el mayor valor, entonces S C x 2 − 1 9x − 2 = → = S = 405° Rpta.: C 9 10 9 10 10x2 – 81x + 8 = 0 NIVEL PREUNIVERSITARIO  1 x = Resolución 1 (10x – 1)(x – 8) = 0 →  10 x = 8 • Resolviendo la ecuación dada tenemos:  pero: x ∈ → x=8 18 − S = 3 4 S• Reemplazando tenemos: S + 3 4 S − 18 = 0 S = (8)2 – 1 = 63 ( 4 S +6 )( 4 ) S −3 =0  π  7π R = 63   → R= rad Rpta.: B i) 4 S = −6 ¡Absurdo!  180  20 ii) 4 S = 3 → S = 81°Resolución 9  π  9π• Analizando la figura tenemos: ∴ R = 81 = rad Rpta.: A  180  20 Resolución 2 • Reemplazando los datos en la igualdad: S C 3x 2 + x − 8 2x 2 + 5x + 5 = → = 9 10 9 10 12x2 – 35X – 125 =0  −25 x= ¡No! ∆APQ (ángulo exterior) (12X +25)(X – 5) = 0 →  12  x=5  x = 20° + y • Reemplazando el valor de “x” se obtiene:  πrad  x – y = 20° ·   S = 3(5)2 + (5) –8 = 72  180°  π  π  2π rad ∴ R = 72   = 5 rad Rpta.: C x–y= Rpta.: D 180  9Resolución 10 Resolución 3• Elevando al cuadrado la condición tenemos: • A partir de los datos tenemos: 2  R π  = [5] 2 2 +3  π  R  4R  R   π  9π + 2 2  3 + = 25 π  π  R R    - 23 -
  • 24. ˆ ˆ m( A ) = m( B ) → (5x – 3)° < > (7x – 25)g Resolución 6 5x − 3 7x − 25 • Recordemos la siguiente propiedad algebraica: = → x = 15 9 10 I. b = 0 ∧ a ≠ 0 ab = 1 → • Luego: II. a = 1 ∧ b ∈ ˆ m( A ) = (5×15–3)° = 72° • Analizando para el caso I : ˆ m( B ) = 72° C–S–1=0 ˆ m( C ) = 180° – 72° – 72° = 36° C–S=1 πrad π 200R 180R ˆ ∴ m( C ) = 36° × = rad − =1 180° 5 π π Rpta.: B π  S=9 R= →  20  C = 10Resolución 4• De acuerdo al enunciado se tiene que: (α < β < θ) Pero si reemplazamos en la condición del problema se observa que: 1 α = (a – r)°  α + β + θ = 4 (180°)  2 × 9 10  0   9 − 10 − 1 = 1    β = a°  (a – r)° +a° + (a + r)° = 45° 0 0 = 1 ¡Absurdo!  θ = (a + r)°  ∴ a = 15  • Analizando para el caso II :• Además: 2S C a + r = (a –r)2 − − 1= 1 9 10 15 + r = (15 – r)2 20S – 9C = 180 r2 – 31r + 210 = 0  180R   200R  20   − 9  = 180  r = 21 ¡No!  π   π  (r – 21)(r – 10) = 0 →   r = 10 π R= S = 18 →  ∴ α = (15 – 10)° = 5° 10 C = 20  πrad  π Comprobando en la condición del problema tenemos: α = 5°×   = 36 rad Rpta.: A  180°  [1] (20 −18 −1) =1Resolución 5 11 = 1 ¿Correcto!• En la figura se cumple que: π ∴ R= rad Rpta.: C g 0 10  x   y  xm <> – yll →   < > −  3600   100    Resolución 7 − y x • De acuerdo al enunciado se cumple que: S C = → 3600 = 100 0 9 10 9 10  a  aI<>bg →   <> bg  60  −y x x 5 a = → =− ... (I) 162 5 y 162 60 = b → a = 54b 9 10• Reemplazando (I) en la expresión pedida tenemos: • Reemplazando en la expresión pedida: 75x 75  5  3 125 =3 − = − 54b − 5b 4  162  3 4y   216 E= = 49 = 7 Rpta.: D b 75x 5 ∴ 3 =− Rpta.: E Resolución 8 4y 6 • Analizando la expresión dada tenemos: - 24 -
  • 25. Quinto Año de Secundaria α = 14 – (x2 – 4x) −60° α = 18 – (x2 – 4x + 4) φ= = 30° −2 α = 18 – (x – 2)2 π máximo mínimo = 0 φ = rad Rpta.: C 6 α máx. = 18° π α máx = rad Rpta.: C Resolución 10 10 • Aplicando el método explicado en el problema 06Resolución 9 tenemos:• Del gráfico se cumple que: S5 C5 5R5 a b + + = 2S4 + 2C4 + 2R4 120° −  +  φ = 180° 36 40 π b a  Términos que presentan la a b  constante “π”  b + a  φ = −60°   Nota: 5R5 a b ∴ = 2R4 → 5R = 2π −60° + ≥2 π φ= b a  b b +  máx( + ) a b 2π   + ≤ −2 R= rad Rpta.: B b a 5 máx(-) CAPÍTULO 7 LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (Pág. 189, 190, 191) NIVEL I Resolución 3 • En el sector circular COD:Resolución 1 LCD = COD × OC• Del enunciado tenemos: π π 2π = × 4r 45° < > rad L=α·r 4 4  π r = 2m α = 20° < > rad →  9 • En el sector circular AOB: r = 9m  L AB = AOB × OA π L = ·9 π 9 L= ×2 OA = r = 2m 4 L = πm Rpta.: A π L= m Rpta.: DResolución 2 2• En la figura se cumple que: Resolución 4 L = (3x + 4)m • Analizando la figura:  α = 2rad L=αr →  r = (2x + 1)m  3x + 4 = 2(2x + 1) 3x + 4 = 4x + 2 ∴ x=2 Rpta.: B - 25 -
  • 26. α·r 2 i) L1 = m ( CAD )·AC S1 = 2 π L1 = ·12 = 4πm 2α·(2r)2 3 S2 = = 4αr 2 2 ii) L2 = m( AOB)·OA• Nos piden: π α·r 2 L2 = ·24 = 4πm 6 S1 1 = 2 = Rpta.: E Nos piden: S2 4αr 2 8 L1 + L2 = 4π + 4π = 8πm Rpta.: EResolución 5• En el gráfico se cumple que: Resolución 8 • Del gráfico se obtiene: m( AOB)·(OA ) 2 S AOB = 2 L2AB (3)2 9 2 i) S1 = = = m 2θ 2θ 2θ π ·(2x)2 2x → x2 – 3x = 0 L2CD 9 3π = ii) S2 = S COD – S1 = − 2 2θ 2θ x = 0 ¡No! x(x – 3) = 0 →  (5)2 9 16 2 x = 3 S2 = − = m 2θ 2θ 2θ ∴ x=3 Rpta.: C • Nos piden:Resolución 6 16• En la figura se cumple que: S2 2θ = 16 = 4 = S1 9 9 3 Rpta.: Ai) L AB = m( AOB)·OA 2θ π Resolución 9 L AB = ·12 = 3πm 4 • Segun la figura se cumple:ii) LCD = m( COD)·OC i) L AB = θ · OA 2 = θ · OA π LCD = ·16 = 4πm 4 ii) LCD = θ · OC• Luego: nos piden: 4 = θ ·(OA + 2)  L + LCD  S =  AB ·BD 4 = θ ·OA + 2θ  2  4 = 2 + 2θ  3 π + 4π  ∴ θ=1 Rpta.: A S= ·4 = 14π  2  Resolución 10  22  S = 14   = 44m2 Rpta.: D  7  • En el gráfico se verifica que:Resolución 7  L AB + LCD  S ABDC =  ·AC• Analizamos la figura:  2   ( x − 1) + ( x + 1)  9= ·x  2  9 = x2 → x = {–3; 3} ∴ x=3 Rpta.: D - 26 -
  • 27. Quinto Año de Secundaria NIVEL II 14 = θr + 5θResolución 1 14 = 4 + 5θ θ = 2rad• Analizando la gráfica: • Reemplazando en (1): 4 = 2· r → r = 2m • En el sector circular COD: LCD = m( COD)·OC LCD = θ·(r + 3)i) Sector COD: 3L = α · 2r ... (1) LCD =2(2 + 3) π ii) Sector AOB: 2L =  − α ·r ... (2) LCD = 10m 2  Dividendo m · a· m (1) : (2) L 10m • Nos piden: = = 5 Rpta.: B r 2m 3L α·2r 3 2α = → = 2L  π  2 π −α  − α r 2 Resolución 4 2  • Trasladando los datos al gráfico tenemos: 3π 3π − 3α = 4α → α= B 2 14Resolución 2• Analizando la figura: ABD : Isósceles (AB = BD = 2 2 m) ∴ m A = m D = 45° Asom = A ABD – ASector BAC π ( ) 2 ·2 2 2 Asomb. = 2 2·2 2 − 4 OBC: R2 = r2 + 5 2 2 R2 – r2 =5 Asomb. =(4 – π)m2 Rpta.: C• Además: S ABDC = S COD – S AOB Resolución 5 2π 2 2π 2 ·R ·r S ABCD = 5 − 5 • Analizando la gráfica: 2 2 π 2 2 π S ABCD = 5 ( R − r = (5) 5 ) S ABCD = πm2 Rpta.: A 2αResolución 3• En el sector circular AOB: L AB = m( AOB)·OA • Aplicando la propiedad de ángulos en la circunferen- cia: 4 = θ · r ........... (1) m BOC = 2m BAC → m BOC = 2α°• En el sector circular EOF: • En el sector BOC: LEF = m( EOF)·OE  πrad  L = 2α°· ·R 14 = θ · (r + 5)  180°  - 27 -
  • 28. απ Resolución 8 L= R 90 • En la figura: 90L R= Rpta.: B παResolución 6• Sea: m AOB = θrad ; entonces: L 8 10 θ= → θ= = R r r+2 ∴ 8r + 16 = 10r → r = 8m • Luego: L AB · r 8·8 Asomb. = = = 32m2 Rpta.:E 2 2• Del enunciado: Resolución 9 S AOB 1 = →S COD = 4·S AOB S COD 4 • Sea : m CoD = θ rad = θ rad; luego : θ(a +1) 2 Reemplazando: S1 = ..... (1) L22 L2 2 = 4· 1 → L22 = 4L2 2θ 2θ 1 θ (2a ) 2 L2 S2 = − S1 ..... ( 2 ) L2 = 2L1 → =2 Rpta.: C 2 L1 Dato: S1 = S2 θ (2a ) 2 S1 = − S1Resolución 7 2 2S1= θ ⋅ 2a2 ..... Reemplazando (1)• Sea: m AOB = θrad ; luego: 2 θ (a + 1) 2 = θ ⋅ 2a 2 2 a2 + 2a + 1 = 2a2 0 = a2 – 2a – 1 2 ± 4 − 4 ( −1) a= 2 2± 8 L AB = θ ·1 = θm a= 2 LCD = θ · 3 = 3θm 2±2 2 a= LEF = θ · 6 = 6θm 2 ⇒ a=1+ 2 o a = 1– 2 (absurdo)• Además: a = 1 + 1,41  θ + 3θ  S1 =  ·2 = 4θm 2 ∴ a = 2,41 Rpta. E  2   3θ + 6θ  27 2 Resolución 10 S2 =  ·3 = 2 θm  2  • De acuerdo al gráfico:• Nos piden: αx 2 S1 4θ 8 2 i) S1 = 3 = =3 = 2 S2 3 27 θ 27 3 Rpta.:A 2 ii) S2 = S DOE – S BOC - 28 -
  • 29. Quinto Año de Secundaria αy 2 αx 2 • Además: S2 = − 2 2 Asomb. = A AOB – A OBC• De la condición: π ( ) π ( ) 2 2 S1 = S2 2 3 2 3 Asomb. = 2 −3 αx 2 αy 2 αx 2 2 2 = − 2 2 2 2 = y2 – x2 → Asomb. = 3π – 2π = πm2 Rpta.:D x 2x2 = y2 x2 1 x 2 Resolución 3 = → = y2 2 y 2 • En la figura se cumple que: x S ABDC = 5 ∴ = 0,71 Rpta.: C y  2 + LCD   ·2 = 5  2  NIVEL PRE-UNIVERSITARIO LCD = 3mResolución 1• Analizamos la gráfica: • Además: S ABDC = S COD – S AOB 2 2 L L 5= CD − AB 2θ 2θ 10θ = 32 – 22 → 10θ = 5 θ = 0,5 Rpta.: Ei) El ∆AOC es equilátero: Resolución 4 OA = OC = AC = 12m • Analizamos el siguiente caso general: m AOC = m OAC = m ACO = 60° απ Además: Asomb. = 180 (R 2 − r2 ) AC = AD → AD = 12m 2ii) En el sector circular AOC: απ 2 π Asomb. = ·a L AC = ·12 = 4πm 360 3iii) En el sector circular CAD: • Aplicando la fórmula anterior tenemos: π LCD = ·12 = πm 12 1 π 2 2·π 2 · π 8π Asomb. = ·1 + ·2 = + 360 360 360 360• Sea 2p el perímetro de la región sombreada, enton- ces: π 2 Asomb. = m Rpta.: D 2p = AD + LAC + LCD = 12 + 4π + π 40 2p = 5π + 12 Rpta.: D Resolución 5Resolución 2 • Del gráfico se obtiene que:• Revisando la figura tenemos: LBC = 2L1 i) L2 1 ii) S1 = 2θ ∆BOC: equilátero iii) S2 = S DOE – S BOC m OBC = 60° (2L1 ) 2 L2 S2 = 2 2θ − 2 2θ 2 ( ) ( ) - 29 -
  • 30. L2 L2 Resolución 8 S2 = 2 − 1 4θ θ • Analizando la figura:• De la condición se tiene: L2 L22 L2 S1 = S2 → 1 = − 1 2θ 4θ θ 3L2 L22 1 = → 6L2 = L22 2 4 1 L1 6 6 L1 = L2 → L = 6 Rpta.: D 2 i) R + r = 4 ; R·r = 2Resolución 6 (R + r)2 = (4)2• En la figura se observa que: R2 + 2Rr + r2 = 16 π  R2 + 2(2) + r2 = 16 m( AOB) =  − θ  rad 2  R2 + r2 = 12 De la condición se tiene que: 4 2·4 2 ii) S ABC = = 16 2 π  ( ) 2  2 − θ · 2 2  θ·(1)2  R2 πr 2 S1 = 2S2 →   = 2  iii) S1 = ; S3 = 2 4 2  2    πR2 r2 S2 = ; S4 = π  4 2 4  − θ  = θ → 2π – 4θ = θ 2  • De gráfico se observa que: Asomb. = S ABC –(S1 + S2 + S3 + S4) 2π ∴ θ= Rpta.:D 5  R2 πR2 πr 2 r2  Asomb. = 16 –  2 + 4 + 4 + 2   Resolución 7  R2  π  r2  π  Asomb. = 16 –  2  1+ 2  + 2  2 + 1 • Según el enunciado tenemos:       π   R2 + r 2  Asomb. =16 –  1+ 2      2  2p = 8 a + b + 2x = 8  π  12  Asomb. = 16 –  1+    2  2  a + b = 8 – 2x Asomb. = 10 – 3π Rpta.: A• Además: Resolución 9 a + b   8 − 2x  A= x → A= x  2    2  • De acuerdo a los datos: A = 4x – x2 → A = 4 – (x – 2)2 2p = 2 Máx Mín = 0 L + 2r = 2 ∴ Amáx = 4m2 Rpta.:D 2 −L r= 2 - 30 -
  • 31. Quinto Año de Secundaria• Además: • Además:  2 −L  L×  2   b L×r S= → S=   L AB = α · a → α = 2 2 a 2 1  2 a 2 L−L 2 − L −  L CD = α (a + b ) → α = S= → S= 2  2   a+b 4 4 Por condición: S → máximo b a = → ab + b2 = a2 2 a a+b  2 Entonces:  L −   → mínimo  2   a2 – ab – b2 = 0 2 2 − ( −b ) ± ( −b) − 4 (1) (−b2 ) 2 ∴ L− =0 → L= Rpta.: E 2 2 a= 2 (1)Resolución 10  1± 5  b± 5b• Analizando la figura tenemos: a= → a =  2 b   2   ab i) S1 = 2 1 + 5 a (a + b ) ab a2  ii) S2 = − = a 1± 5 a  2 2 2 2 = → = b 2 b 1 − 5 S2 ¡No! >0 • Nos piden:  2  S1 a2 S2 a = 2 = S2 5 +1 S1 ab b ∴ = Rpta.:B S1 2 2 NÚMERO DE VUELTAS EN UN SISTEMA DE RUEDAS (Pág. 202, 203, 204) Nivel I • Debemos calcular el número de vueltas que da la mo- neda móvil al recorrer completamente a la otra moneda.Resolución 1 α = 2π rad α (R + r )  n= ; donde: R = 4r• Del enunciado se tiene: 2 πr r = r Longitud del tramo AB = 18π m = 1 800π cm Luego:  Radio de la rueda = 20 cm 2π rad (4r + r ) Número de vueltas = n n= n = 5 Rpta. D• Por teoría se sabe que: 2π rad r longitud del tramo AB Resolución 3 n= 2π ⋅ radio Del enunciado se tiene: 1800 π cm n= n = 45 Rpta. C 2π ⋅ 20 cmResolución 2• Del enunciado obtenemos r el siguiente gráfico con sus Ambas ruedas recorren la misma distancia (L), luego: respectivos valores. L * Número de vueltas de B = 2π ⋅ radio - 31 -
  • 32. L Calculamos el número de vueltas en el tramo BC 8= L = 48π r 2π ( 3r ) π L α (R + r ) (7 cm + 1 cm )* Número de vueltas de A = 2π ⋅ radio nBC = = 2 nBC = 2 2π r 2π (1 cm ) 48π r Además; el número de vueltas durante el tramo AC es igual = = 12 2π (2r ) a la suma de los números de vueltas de los tramos AB y BC.Luego: ∴ Número de vueltas en el tramo AC = 6  ángulo que barre  Rpta. A   = 12(360°) = 4 320° Rpta. A  la rueda menor  Resolución 7Resolución 4 En la figura se observa que en cada vértice del triánguloDel gráfico se obtiene: equilátero se forma, debido al giro de la rueda, un tercio de circunferencia. Entonces la longitud total recorrida por la• n1 · r1 = n3 · r3 rueda será: n1 · 10 cm = 3 · 40 cm n1 = 12  2π (1 cm )   = (44 + 2π ) cm• n1 = n2 , además L T = 44 cm + 3   3  L   n2 = 2π r2 Ahora calculamos el número de vueltas L 12 = L = 2 640 cm LT (44 + 2π ) cm 2π (35 cm ) n= n= n=8 Rpta. E 2π r 2π cm• La longitud que asciende el bloque es L Resolución 8 ∴ El bloque ascenderá 26,40 m Rpta. C De la figura se obtiene lo siguiente:Resolución 5 • Las ruedas de radio r y 2r tienen la siguiente relación: n2r · 2r = nr · r n2r · 2r = 50 · r n2r = 25 • El número de vueltas de las ruedas de radio 2r y 3r son iguales, entonces: n2r = n3r = 25 • Además la rueda de radio 3r es la mayorAdemás: ∴ El ángulo que barre la rueda mayor es 25 · 2π = 50π L1 L Rpta. E• n1 = • n2 = 2 2π R 2π r L1 Resolución 9 L2 1= 3= 2 π (9 cm ) 2 π ( 4 cm ) • Sea n el número de vueltas que da la rueda de 7 cm, entonces: L1 = 18π cm L2 = 24π cm L hA n= =Luego: x = 18π cm + 12 cm + 24π cm 2π (7 cm ) 14π cm x = 144 cm Rpta. E • La rueda de radio 7 cm y la rueda de 2 cm dan el mismo número de vueltas (n)Resolución 6 • Las ruedas de 2 y 8 centímetros tienen la siguiente relación:Calculamos el número de vueltas en el tramo AB n·2=N·8 , donde N es el número de vueltas de la rueda de 8 cm de radio α (R − r ) π (9 cm − 1 cm ) nAB = = 2π r 9 π (1 cm ) hA hA nAB = 4 ⋅ 2 = N⋅ 8 N= . . . (1) 14π 56π - 32 -
  • 33. Quinto Año de Secundaria• El número de vueltas de las ruedas de 8 y 3 centímetros Ahora calculamos el número de vueltas son iguales, entonces: α (R + r ) hB h n= N= N = B . . . (2) 2π R 2π (3 cm ) 6π 37π• Igualando (1) y (2) se obtiene: (5r ) 37 n = 90 n= Rpta. B hA h hA 28 2 π (4r ) 144 = B = Rpta. A 56π 6π hB 3 Resolución 13Resolución 10 Graficando tenemos:Datos de la 1a rueda: bπ b radio = a  n= =  2π a 2 a n° de vueltas de = n   a 1 long. de recorrido = bπ  = b 2nDatos de la 2a rueda: n° de vueltas = N  3  aπ a • 540° equivalente a una vuelta y media, n = radio = 2 b  N= =  2π b 2 b long. de recorrido = aπ  • Calculamos la longitud recorrida L = 2π r n L = 3π a 1 1 1  1Pero es equivalente a N= = 2  2n  4n • Del gráfico se obtiene: b 2n   1 d = 9π2 + 4 cm Rpta. E ∴ La segunda rueda debe dar vueltas 4n Rpta. D Resolución 14 Sea r el radio del cilindro, entonces 5r será el radio del Nivel II tubo. Ahora calculamos el número de vueltas que da el cilindro.Resolución 11 α (R − r )Calculamos la longitud del borde de la moneda de 2r de n= 2π rradio (L2r) L2r = 2π(2r) L2r = 4πr 2π ( 5r − r ) n= n=4 Rpta. BCalculamos el número de vueltas que da la moneda de radio r. 2π r L n= , pero L = L2r = 4πr Resolución 15 2π ⋅ r 4π r Se sabe que: n= 2π r = 2 nb = L 2π radio ∴ La moneda de radio r da 2 vueltas Rpta. B L 1= L = 2π b 2π ⋅ bResolución 12 Además en la pista circular se tiene:Graficando tenemos: L1 72° < > 2p 5 2π a a donde: L1 = ⋅a 5 - 33 -
  • 34. 2π Resolución 18Pero: L = L1 2πb = a 5 Graficando tenemos: a =5 Rpta. E bResolución 16 MTenemos: 1a rueda: 2a rueda: 3a rueda:radio = a radio = b radio = xn° de vueltas = n n° de vueltas = N n° de vueltas = n – Nlongitud = longitud = longitud = • Calculamos la distancia recorrida distancia = θ · 1 = θ n= N= n−N = 2π a 2π b 2π x • En el PMO se tiene:Luego: PM = sen(θ – 90°) PM = –cosθ MO = cos(θ – 90°) MO = senθ − = • Sea (x; y) las coordenadas del punto P, entonces 2π a 2π b 2π x x = θ – cos(θ – 90°) x = θ – secθ 1 1 1 ab y = 1 + cos(θ – 90°) y = 1 – secθ − = x= Rpta. C a b x b−a ∴ Las coordenadas de P son (θ – senθ; 1 – cosθ) Rpta. C Resolución 19 Del enunciado se tiene:Resolución 17• Sea L el espacio recorrido por la bicicleta• Calculamos el número de vueltas de la rueda menor L L n= n= 2 π (50 cm ) 100π cm• Calculamos el número de vueltas de la rueda mayor N= L N= L Donde r = ( ) 2 −1 R 2π (70 cm ) 140π cm Además:• Del enunciado se tiene: R+r=R+ ( ) 2 −1 R = 2R L L Luego, el número de vueltas que da la rueda menor es: − = 20 100π cm 140 π cm  3π   α (R + r )   2 ⋅ 2R  L(40π cm) = 20 · 100π cm · 140π cm n = 2  = 2   2π r    (  2π 2 − 1 R    ) L = 7 000π cm 3 2  22  n= n se aproxima a 5 Rpta. D L= 70  7  m L = 220 m Rpta. D 2 2 −2   - 34 -
  • 35. Quinto Año de SecundariaResolución 20 Además para que el material llegue al piso 12, el material debe recorrer 11y, luegoSean: 840π cm = 11y x = número de pisos del edificio. 240 cm = y y = distancia entre cada piso. Luego: x · y = 48 mLuego: x · y = 48 m x · 2,4 m = 48 mCalculamos la distancia que sube el material x = 20 L n= ∴ El edificio tiene 20 pisos Rpta. C 2π radio L 21 = 2π (20 cm ) L = 840π cm CAPÍTULO 8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I. (Pág. 225, 226, 227) NIVEL IResolución 1 • Nos piden:• Aplicando el teorema de Pitágoras: 12 5 7 (a + 1)2 = (a – 1)2 + (4)2 M= − → M= Rpta.: C 13 13 13 a2 + 2a + 1 = a2 – 2a + 1 + 16 4a = 16 → a = 4 Resolución 3• En la figura: • En la figura se cumple que: 3 5 i) AB2 = 132 – 52 E= + 4 4 AB = 12 E=2 Rpta.: A ii) AM = MB = 6Resolución 2 • Nos piden:• Del dato se tiene: 5 E= 6 5 → C. A 5 → E = 2 Rpta.: A Cotg A = 12 → C . O 12 - 35 -
  • 36. Resolución 4 • Nos piden: x 40° x• En la figura se tiene: = → =4 Rpta.: D y 10° yi) AC2 = 152 + 82 AC = 17 Resolución 9ii) NC2 = 62 + 82 • A partir del gráfico se tiene: NC = 10 AB i) ABC: ctgα = → AB = a· ctgα• Nos piden: a 17 8 191 x x − ii) AHB: cos α = → cos α = csc β − tgβ 8 .15 191 AB a·ctgαP= = 8 15 = = ctgβ − sec α 15 10 5 75 ∴ x = acosα ctgα Rpta.: D − 8 8 8 Resolución 10 P = 2,5 Rpta.: D • Del gráfico se obtiene:Resolución 5 AB i) ABC: ctgθ = → AB = a·ctgθ a• Del gráfico se obtiene: BDi) CD2 = 252 – 152 ii) DBC: tgθ = → BD = a·tgθ a CD = 20 iii) x = AB – BD = actgθ – atgθii) BC2 = 252 – 242 BC = 7 ∴ x = a(ctgθ − tgθ) Rpta.: E• Nos piden: 7 20 NIVEL II + Q= 3 25 25 = 3 27 = 3 5 125 5 Resolución 1 Q = 0,6 Rpta.: E • Del dato tenemos: 4Resolución 6 senA · SenB = 9• De acuerdo a las R.T. de ángulos complementarios a b 4 se cumple que: · = c c 9 (4x + 12°) + (3x + 8°) = 90° 4 2 a·b = c 7x = 70° → x = 10° Rpta.: C 9 • Nos piden: b a b2 + a 2Resolución 7 E= + → E= a b ab• De acuerdo a las R.T. recíprocas se cumple que: 2x + 17° = x + 34° c2 E= 9 3 4 2 → E= = x = 17° Rpta.: D c 4 2 9Resolución 8 ∴ E = 1,5 Rpta.: D• De 1 : x + y + 40° = 90° x + y = 50° ... 3 Resolución 2• De 2 : x – y = 30° .... 4 • En la figura:• Resolviendo 3 y 4 : x + y = 50°  x = 40°   x – y = 30°  y = 10°  - 36 -
  • 37. Quinto Año de Secundaria 2 Resolución 6 (2a)2 + 22 = 13 • En el numerador aplicamos las propiedades de las 4a2 = 9 R.T. de ángulos complementarios: 3 a= cos65° + ctg55° + csc66° 2 K= cos65° + ctg55° + csc66° 2 4 x=1 Rpta.: D• Nos piden: tgα = → tgα = Rpta.: D 3 3 2 Resolución 7Resolución 3 • De acuerdo a los datos:• Revisando la figura: 12a → cos θ = 13a → AB2 = (13a)2 – (12a)2 AB = 5a • Además: 2p = 90 CM: mediana 5a + 12a + 13a = 90 → a = 3 AM = BM = CM • Nos piden: AC = 13a = 13(3) AC = 39 Rpta.: C ∴ ∆BMC : Isósceles Resolución 8 1• En el ACB : ctgθ = Rpta.: C • Del dato se cumple que: 2 cos(2x – θ)·csc(x + 3θ) = 1Resolución 4 sen[90° – (2x – θ)] · csc(x + 3θ) = 1• De acuerdo a los datos tenemos: → 90° – 2x + θ = x + 3θ 3x + 2θ = 90° AC2 = (3a)2 – (a)2 ∴ sen 3x = cos 2θ sen 3x – cos 2θ = 0 AC = 2 2 a • Reemplazando en lo pedido: sen3x − cos 2θ 0 P= =• Además “θ” es el mayor ángulo agudo, entonces: tg(x + θ) tg(x + θ) P=0 Rpta.: A 2 2a tgθ = → tgθ = 2 2 a Resolución 9 Rpta.: B • Analizando la figura:Resolución 5• Aplicando las propiedades respectivas tenemos: W = sen20° · tg40° · tg50° · sec70° W= sen20° · tg40° · ctg40° · csc20° 1 BC i) ABC: ctgα = → BC = a· ctgα 1 a W= 1 Rpta.: B BM ii) ABM: tgθ = → BM = a · tgθ a - 37 -
  • 38. • Además: BC = BM + MC 3 sec θ 3 a · ctgα = a · tgθ + a 22 = 22 → sec θ = 2 2 ctgα = tgθ + 1 ctgα – tgθ = 1 4 Secθ = 3 M=1 Rpta.: C • Nos piden:Resolución 10 2  7  4 • Revisando la figura: E = 9  − 7  =7−4   3    7 E=3 Rpta.: C Resolución 3 • De acuerdo a los datos tenemos: ABi) BAF: ctgθ = → AB = ctgθ 1ii) AB = CD → CD = ctgθ 5 CD 5 3 i) cos θ = → =iii) CDF: tg2θ = → tg2θ · ctgθ = 3 13 52 13 ctgθ ∴ CD = 20 ∴ W=3 Rpta.: D ii) AC2 = 522 – 202 AC = 48 NIVEL PREUNIVERSITARIO • En el BCD:Resolución 1 θ 48 tg = → tg θ = 2 ... 1• De los datos se tiene: 2 52 + 20 2 3 θ 20 c tg = ... 2 3− 2 48 − x a a = → b b • Igualamos 1 y 2 : c 2 20 = → 48 – x = 30 a c  3a − c  3 48 − x = · b b a    x = 18 Rpta.: E a2 = 3ac – c2 a2 + c2 = 3ac Resolución 4• Nos piden: • De acuerdo a los datos: a c a 2 + c2 i) c2 = a2 + b2 ... 1 U= + → U= c a ac c2 13 3ac ii) = U= → U=3 Rpta.: B ab 6 ac 13 c2 = ab ... 2Resolución 2 6• De la condición tenemos: • Igualamos 1 y 2 : 2 2 1 13 sec θ a2 + b 2 = 1 sec θ = →2 2 ⋅ 2 sec θ = 2 2 ab 22 2sec θ 6 - 38 -
  • 39. Quinto Año de Secundaria 6a2 – 13ab + 6b2 = 0 OD (2a – 3b)(3a – 2b) = 0 ODC: cos θ = → OD = cos3θ cos2 θ a 3 • Nos piden:  2a – 3b = 0 → =  b 2 S = 1 + cosθ + cos2 θ + cos3θ + ...   a 2 S = 1 + cosθ [1 + cosθ + cos2θ + ... ]  3a – 2b = 0 → b = 3 S• Sea A el menor ángulo, entonces S = 1 + cosθ · S → S[1 – cosθ] = 1 a 1 a<b → <1 S= Rpta.: B b 1− cos θ a Además: tgA = Resolución 7 b • En el gráfico se tiene: 2 ∴ tgA = Rpta.: C BD 3 CBD : tgθ = → BD = tgθ 1Resolución 5 1 1 ABC: tgθ = → tgθ =• Del gráfico tenemos: 4 + BD 4 + tgθ tg2θ + 4tgθ = 1 tg2θ + 4tgθ + 4 = 1 + 4 (tgθ + 2)2 = 5 E= 5 Rpta.: C Resolución 8 3 3a BH = 3a tgθ = = →  7 7a • Analizando la figura: CH = 7a• En el BHC: ( ) 2 (3a)2 + (7a)2 = 10 58 58a2 = 100 · 58 a = 10• En el AHB: AH = 86 – 7(10) = 16 BH = 3(10) = 30 3 2 AB = 162 + 302 = 34 En el EPF : ctgα = 7 2• Nos piden: 16 34 50 3 M= + = ctgα = Rpta.: E 30 30 30 7 5 Resolución 9 M= Rpta.: E 3 • Analizamos la figura:Resolución 6 De la figura se tiene: OB OBA: cos θ = → OB = cosθ 1 OC OCB: cos θ = → OC = cos2θ cos θ - 39 -
  • 40. i) OB = OC → R = r 2 + r → R – r = r 2 Luego trazamos BH OC, entonces se cumple que: BN r 2 BHii) O1NB: ctgθ = = i) OHB: senα = → BH = 12senα O1N r 12 OH cos α = → OH = 12 cosα ctgθ = 2 Rpta.: A 12 HC HCResolución 10 ii) BHC: ctgβ = → ctgβ = BH 12senα• Trabajando la figura: HC = 12senα · ctgβ Además: OH + HC = OC, reemplazando: 12cosα + 12senα ctgβ = 13 Dividendo entre “senα” 12cos α 12senα·ctgβ 13 + = senα senα senα 12ctgα + 12ctgβ = 13cscα 13csc α − 12ctgβ 12 = ctgα En el OAC : OC2 = 122 + 52 ∴ P = 12 Rpta.: C OC = 13 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II (Pág. 242; 243; 244) NIVEL I ( M= 2− 3 + ) ( 3) M=2 Rpta.: BResolución 1• Reemplazando los valores notables: Resolución 4  1 • Analizando la figura tenemos: A = 4   + (1) = 3 2 2 B = 2 2·2 = 2 ∴ A+B=5 Rpta.: CResolución 2 De la condición: 1 . [tgα ]ctgα = [2]2 → tgα = 2 3k 3 MBC : ctgα = → ctgα = Rpta.: C 2k 2  5 5 E = 2    1  2     Resolución 5 E=5 Rpta.: E • A partir del gráfico tenemos: CD 2Resolución 3 CDA: sen 45° = → CD = b ... 1 b 2• Del dato se cumple que: CD 3 (5x + 8°) + (2x – 2°) = 90° CDB: sen 37° = → CD = a ... 2 a 5 7x = 84° → x = 12° • Igualamos 1 y 2 :• Reemplazando en lo pedido: 2 3 b 3 2 M = tg15° + tg60° b= a → = · 2 5 a 5 2 - 40 -
  • 41. Quinto Año de Secundaria b 3 2 Resolución 10 = Rpta.: C a 5 • Del gráfico se tiene: AC  5Resolución 6 i) ABC: sec37° = → AC = 12   = 15 12 4• Sean BP = BQ = x ; luego: AD 38 + x 24 38 + x ii) ACD: sec45° = ABC: tg74° = → = AC 4+x 7 4+x 96 + 24x = 266 + 7x → x = 10 → AD = 15 ( 2 ) = 15 2 AE PQ iii) ADE : sec30° = PBQ: sec 45° = → PQ = 10 2 AD x 2 3 Rpta.: E → AE = 15 2  3     Resolución 7• Recordemos que: tg75° = 2 + 3 AE = 10 6 Rpta.: A ctg75° = 2– 3 P=2+ 3 + 2– 3 → P=4 NIVEL II Rpta.: B Resolución 1Resolución 8 • Analizamos el gráfico:• Analizamos la figura: BH  1 AHB: cos60° = → BH = 8   = 4 8 2 PH 3 PHC: sen37° = → PH = 10   = 6 HC 4 10  5 AHC: cos37° = → HC = 10   = 8 10  5 PA PHA: csc30° = → PA = 6(2) = 12 ∆ ABC: BC = BH + HC → BC = 4 + 8 6 ∴ PA = 12 Rpta.: A BC = 12 Rpta.: AResolución 9 Resolución 2• Analizando la figura: • De los datos tenemos: B i) tg3α · ctg(90° – 2β) = 1 3α = 90° – 2β 3α + 2β = 90° ... 1 ii) cos2α · sec(3β – 5°) = 1 2α = 3β – 5° 2α – 3β = –5 ... 2 • Resolviendo 1 y 2 :i) ∆ABC: equilátero 3α + 2β = 90°  9α + 6β = 270° (× 3) →ii) Trazamos PH AC 2α – 3β = –5  4α – 6β = –10° (× 2) →• PHC: Notable (30° y 60°) 13α = 260° PC = 2 ; PH = 3 ; HC = 1 α = 20° En 1 : 3(20°) + 2β = 90° 3• AHP: tgθ = Rpta.: D β = 15° 5 - 41 -
  • 42. • Reemplazamos en lo pedido: iii) 4a + 3a = 28 → a = 4 1 ∴ CD = 5(4) → CD = 20 Rpta.: A N = sen230° + tg245° = +1 4 N = 1,25 Rpta.: E Resolución 6 • Analizamos la gráficaResolución 3• Reemplazando los valores notables tenemos:  1 x  +1  2 5 x+2 5 = =  1 4 → x  −1 x−2 4 2 4x + 8 = 5x – 10 → x = 18 Rpta.: DResolución 4 PH i) BHP: senθ = → PH = x·senθ• Analizando la figura: x BH cos θ = → BH = x·cosθ x ii) PHA: AH = PH → AH = x·senθ iii) Luego: AH + BH = AB xsenθ + xcosθ = a a x= Rpta.. B senθ + cos θ i) Trazamos: OT AC Resolución 7 ii) El OTA es notable (45° y 45°) • Analizamos la figura: Entonces OT = 1 → OA = 2 iii) AB = OA + OB AB = 2 +1 iv) BC = AB BC = 2 +1 Rpta.: B 3KResolución 5 4K• Analizamos la figura: • PBQ notable (37° y 53°): PB = 3K ; BQ = 4K; PQ = 5K • En el DAQ: a 3 a tg37° = → = a + 4K 4 a + 4K 3a + 12K= 4a → a = 12K Sea: CD = 5a, entonces: • En el ABP: i) CED notable(37°; 53°) 3K 3K 1 CD = 5a ; DE = 3a ; CE = 4a tgα = = = a 12K 4 ii) DEB Notable (45°; 45°) tgα = 0,25 Rpta.: E DE = 3a; EB = 3a - 42 -
  • 43. Quinto Año de SecundariaResolución 8 • En el AQP:• En la figura se observa el ABC notable (37° y 53°), 3 +1 3+ 3 entonces asignamos valores convenientes a sus la- ctgθ = → ctgθ = dos: 3 3 Rpta.: D NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución 1 • Analizando la figura:• Trazamos MP AC , entonces: HP = PC = 8 6• En el APM: ctgθ = Rpta.: A 17Resolución 9• En la figura elegimos convenientemente AM = MC = 5 2 i) En la semicircunferencia trazamos HT , entonces HT BT (propiedad) ii) Trazamos TP AH , entonces: TPH es notable (37°; 53°) sea: PH = 3 ; PT = 4; TH = 5 • Además se cumple: 4 2 BRM: senα = BH  5  25 BM BTH: sec37° = → BH = 5   = 5 4 4 BM 25  3  75 BQM: csc β = HC 5 BHC: tg37° = → HC =   = 25 4  4  16• Reemplazando en lo pedido: 4 4 2 BM 75 P = 5· · 3+ 123 BM 5 TPC: ctgα = 16 → ctgα = Rpta.: A 4 64 P=4 2 Rpta.: D Resolución 2Resolución 10 • En la figura el DAE es notable (37°; 53°), enton-• En la figura se observa que el PQC es notable (30° y ces elegimos sus lados convenientemente: AD = 16 60°) , entonces tenemos: ; AE = 12; DE = 20 - 43 -
  • 44. • En el DCF: Resolución 5 • Se observa que: sen62° = cos28° 32 tgθ = → tgθ = 32 Rpta.: D 1 2 Además: cos45° = , luego: 2Resolución 3 tg (3x − 20° )·cos28° =1 2• Analizando la figura: 2 · cos28° · · ctg (5x + 30°) 2 tg (3x − 20° ) Simplificando: ctg (5x + 30° ) = 1 tg(3x – 20°) = ctg(5x + 30°) (3x – 20°) + (5x + 30°) = 90° 8x + 10° = 90° → x = 10° • Reemplazando en lo pedido: AB  4  12 E = sen40° – cos50°i) ABC: sen53° = → AB = 3a   = a 3a  5 5 E = cos50° – cos50° HD 3 E=0 Rpta.: Dii) AHD: sen37° = → HD = a a 5 Resolución 6 AH 4 cos37° = → AH = a a 5 • En la figura se tiene: 12 4 8iii) HB = AB – AH → HB = a− a= a 5 5 5 3 HD aiv) BHD: tgα = → tgα = 5 HB 8 a 5 a 3 i) ACB: ctgα = tgα = Rpta.: C b 8 BQ a ii) PQB: ctgα = → BQ = · xResolución 4 x b• Analizamos la figura: a iii) BQ + QC = BC → x+x=a b a+b ab x =a → x=  b  a+b 2ab ∴ PC = Rpta.: B a+b Resolución 7i) BQP Notable (37°; 53°) • Analizando la figura: BQ = 4a ; PQ = 3a ; BP = 5aii) PQC Notable(45°; 45°) PQ = QC = 3a AB = 15 + 20iii) BQ + QC = BC → 4a + 3a = 7 AB = 35 a=1 Rpta.: A ∴ BP = 5a = 5(1) → BP = 5 Rpta.: B - 44 -
  • 45. Quinto Año de SecundariaResolución 8 • En el MHP:• Analizando la figura: PH = a 3 – a = a ( 3 −1 ) MH = a ∴ ctgθ = PH a = ( 3 −1 ) MH a ctgθ = 3 − 1 Rpta.: A i) En el ACD notable (37°; 53°) elegimos conve- Resolución 10 nientemente los lados: • En la figura se observa: AC = 4 2 ; CD = 3 2 ; AD = 5 2 ii) En el ABC (45°; 45°): AC = 4 2 → AB = BC = 4 iii) En el CED(45°; 45°) CD = 3 2 → CE = ED = 3 iv) En el BED: 4+3 7 ctgθ = → ctgθ = i) ABC : AM = MC = BM = 2a 3 3 ii) ∆ ABM: Equilátero Rpta.: C iii) MPC: Notable(30° y 60°)Resolución 9 MC = 2a → MP = a ; PC = a 3• En el gráfico se tiene: • En el NPC: • OP = OA = OB ( ) 2 i) NC2 = (2a ) + a 3 2 → NC = 7a OP = 2a • NP2 = (2a)2 – (a2) NP 2a ii) cos α = → cos α = NC 7a NP = a 3 ∴ 7 cos α = 2 Rpta.: B ÁNGULOS VECTICALES (250, 251, 252) Nivel IResolución 1 Se nota que: AE = CE = H ( 45° y 4°)De los datos mencionados: por paralelas BD = AE = H Ahora: BCD: ( Resolución) CD = Htgθ finalmente: x = H – Htgθ ∴ x = H(1–tgθ) Rpta. D H - 45 -
  • 46. Resolución 2 ABC AB = 6Hcotgα . . . (1) ABD AB = 7Htgα . . . (2) Igualamos: (1) y (2) 7Htgα = 6Hcotα  1  6 7tgα = 6   tgα =  tgα  7 7 ∴ cotgα = Rpta. D 6de la figura: AE = H – 3 3 Resolución 5 PEA(30° y 60°): PE = (H – 3) 3 En 12h < > 180° 1h < > 15° H− 3 (30° y 60°)REA: tg30° = de 4 a 6 pm ( 8+ H− 3 ) 3 3 θ = 30° 3 H− 3 = H=5 3 m Rpta. B 3 ( 8+ H− 3 ) 3 3Resolución 3Graficando: HOJ (Notable de 30° y 60°) ADC: DC = Hcotg37° Lsombra = 3 ( 3) ∴ Lsombra = 3 m Rpta. C BDA: BD = Hcotg45° Resolución 6 Piden cotgα = ?luego: DC = BD + 80 BCD: (Not de 45° y 45°)Reemplazando: CD = 10 Hcotg37° = Hcotg45° + 80 4 H  = H(1) + 80 3 4 H 5 0 2 + 10 H – H = 80 = 80 ACD: cotgα = 3 3 10 ∴ H = 240 m Rpta. D ∴ cotgα = 5 2 +1 Rpta. EResolución 4 D Resolución 7 90°-a a a C 7H 6H a A 6Hcotga B - 46 -
  • 47. Quinto Año de Secundariade la figura aplicando resolución de triángulos rectángulos: x ABC: tgθ = x = Htgθ ...(1) Ahora en AHC: H H ABD = tgθ = tgθ(x + H) = H ...(2) x +H Reemplazando (1) en (2) tgθ(Htgθ + H) = H tgθ2 + tgθ – 1 = 0 Resolviendo mediante la fórmula general tenemos:Triángulos rectángulos notables de 30° y 60° −1 + 1 + 4  1 17 tgθ =x= 17 cos60°   ∴ x= m Rpta. C 2 2 4 5 −1 ∴ tgθ = Rpta. E 2Resolución 8Del enunciado: Nivel II Resolución 1 ABD: AB = H H 3 ECD (Not. de 30° y 60°): H – 9 = 3 H 3– 9 3= H ∴ H= 9 2 ( 3 +1 ) Rpta. E BFD: BF = 1,5cotg27° BFC: CF = 1,5cotg27°tg53° 3 4Resolución 9 CF = (1,95)   CF = 3,9 m 2 3 Longitud del poste = CF + FD BDC: DC = dcotgθ ∴ Longitud del poste = 5,4 m Rpta. C BDE: ED = dtgθ piden: EC = ED + DC Resolución 2 12 Dato: cotgθ = 5 entonces: ∴ EC = d(tgθ + cotgθ) Rpta. CResolución 10 B q 90 - q q de 45° y 45° H 50 + 260cosθ + 3K = 4K + 260senθ  12   5  50 + 260   + 3K = 4K + 260  13  q  13    x H 50 + 240 + 3K = 4K + 100 K = 190 . . . (1) A C D - 47 -
  • 48. piden: H = 4K + 260senθ hReemplazando: De (1) R= csc θ − 1  5  reemplazando en (2) H = 4(190) + 260   ∴ H = 860 m Rpta. B  13  hsec θ x= Rpta. CResolución 3 csc θ − 1 H-h Resolución 6 a b De las condiciones tenemos: h (H-h)cotgb h B )c otga (H-h Ade la figura se nota que: α = βAhora del dato: tgα + tgβ = n tgα n tgα = 2 * AHB (Not. de 45° ): AH = 24 πpiden longitud de AB = (H – h)cotα * BHC: HC = 32 (Not. de 37° y 53° ) 2 x = AH + HC π 2 H−h ∴ (H – h) = π  Rpta. A ∴ x = 56 m Rpta. A 2 n  n Resolución 4 Resolución 7Del enunciado: a ( 2 - 1)tgq a a atgq a 2tgq cotα = 3 cotβ = 4 q q a 45° a 2 tEn el triángulo pintado tenemos: Hallamos AD a ( ) 2 − 1 tgθ AD = AB – DB; aplicando resolucióntgα = a ∴ tgα = ( ) 2 − 1 tgθ Rpta. C AD = 24cotβ – 24cotα reemplazandoResolución 5 AD = 24 (4) – 24(3)Del enunciado del problema graficamos: AD = 24 mSe nota pero e AD = V · t R+h 24 = V x 0,8 V = 30 m/s OPQ: cscθ = R 30 m 1Km 3 60 0 s h = R(cscθ – 1) . . . (1) piden en Km/h: V= x x s 1000 m 1h x OPT: secθ = Km R ∴ V = 108 Rpta. A h x = Rsecθ . . . (2) - 48 -
  • 49. Quinto Año de SecundariaResolución 8 (Not. 45° y 45°) AOC: OA = 10 (Not. 30° y 60°) COB: OB = 10 3 Finalmente: AOB: Teorema de Pitágoras ( ) 2 x2 = 102 + 10 3 ∴ x = 20 m Rpta. B ABC(Not de 45°): AB = BC = 28 Resolución 10pero RC = AB (por paralelas) De la figura: AB = ACAhora PRC: PR = 21 mluego: x = PR + RA x = 21 + 28 ∴ x = 49 m Rpta. BResolución 9 C N 10 10 3 ( ∆ ABC: isósceles) 10 O W 30° B E Además: ∆ ACD: isósceles 45° AC = CD = d x Finalmente: PCD: PC = dtgθ Rpta. C A S ÁNGULOS HORIZONTALES (Pág. 258)Resolución 1 Resolución 2Del enunciado: Del enunciado: PQR: Teorema de PitágorasDel gráfico: ∆ PQR: equilátero d2 = 962 + 282 PQ = PR = QR = 150 km ∴ Distancia de Q a R = 150 km Rpta. A ∴ d = 100 m Rpta. B - 49 -
  • 50. Resolución 3 De la figura: ∆NHP: isósceles NH = HP = d Luego: NP = 2dcos20° = 74cos20° d = 37 km PMJ: Ahora:Teorema de Pitágoras: 1 60 min 185 km d = 37 km = V · t = ·t t= h= x2 = 1002 + 2402 h 5 5 ∴ x = 260 m Rpta. C ∴ t = 12 min Rpta. CResolución 4 Resolución 6 tgα = 3 7 8 3 7 a 1 De la figura ADB: (Not. de 30° y 60°) AHB: Teorema de Pitágoras: BD = H 3 2 2 ADE: (Not. de 45° y 45°)  d   3d 7  602 =  d+  +  d = 40 DE = H   8  8  Finalmente: Teorema de Pitágoras en BDE Luego la altura de la torre es: H = 40 3 m Rpta. B (H 3 ) 2 + (H) + = 24 2 2 4H2 = 242 H = 12 m Rpta. D Resolución 7 Juana N NResolución 5 (punto de ) llegada 30 km 10 km S 40 km E P O M 40 km 50 d km 37° 40 km S ° 58° Q 38 10 km 12° ° O 20 d R Punto de E Partida (Roberto) ° 58 20° S S N 12° RSM: Teorema de Pitágoras: d2 = 402 + 402 ∴ d = 40 2 km Rpta. B - 50 -
  • 51. Quinto Año de SecundariaResolución 8 ∆RBB’: Isósceles BB’ = RB = 200 m RFB: (Notable de 30° y 60°) d = 100 m Rpta. A CAPÍTULO 9 ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL (Pág. 275; 276; 277; 278) NIVEL I Resolución 3 • En la figura se observa:Resolución 1 i) Para“α”• En la figura se tiene: x = –4 y=3 x = –2 y=1 r= ( −4)2 + (3)2 = 5 ii) Para “β” r= ( −2)2 + (1)2 = 5 x = –7 y = –24• Nos piden: 1 −2 M=5 · → M = –2 r= ( −7 )2 + ( −24 )2 = 25 5 5 Rpta.: D • Nos piden:Resolución 2  3  25   −4  25  E = 8    + 7   −   5  −24   5  7 • Del gráfico se obtiene: x = –3 E = –5 + 20 → E = 15 Rpta.: D y = –1 Resolución 4 2 2 r= ( −3) + ( −1) = 10 • Del gráfico se tiene: (-5)2 + (y)2 = (13)2 ; y > 0• Nos piden: y = 12 10 csc θ = → csc θ = − 10 −1 y −12 tgα = Rpta.: A ∴ tgα = → 5 Rpta.: B x - 51 -
  • 52. Resolución 5 Resolución 8• Según los datos tenemos: • Analizando los términos de la expresión dada tene- mos: 160° ∈ Q2 → sen160° : (+) 230° ∈ Q3 → cos230° : (–) 350° ∈ Q4 → tg350° : (–)  x = −2 80° ∈ Q1 → ctg80° : (+)   r = 13 200° ∈ Q3 → sec200° : (–)  ( ) 2 y = − 13 2 − (−2) = −3 300° ∈ Q4 → csc300° : (–)  • Nos piden: • Reemplazando tenemos: 2 B= ( + )(− )(− ) = (+ )  −3   13  → B = (+) N = 4  + 9  −3   = 6 + 13 ( + )(− )(− ) (+ )  −2    Rpta.: A N = 19 Rpta.: C Resolución 9Resolución 6 • De acuerdo al dato:• Del dato tenemos: Cosθ = (–) θ ∈ Q3 → 9 3 tgθ = (+) cos α = ± → cos α = ; α ∈ Q4 25 5 • Reemplazando en lo pedido: E = (–) – (+) = (–) Rpta.: C Resolución 10 x = 3 • Recordemos que:   r = 5  2 2  y = − 5 − 3 = −4 • Nos piden: 3 5 2 A= − = → A = 0,5 Rpta.: E −4 −4 4 ∴ Tienen signos diferentes en el: Q2 y Q4 Rpta.: EResolución 7 NIVEL II• De acuerdo a los datos: Resolución 1 senα : (+) α ∈ Q2 →  cos α : (−) • Del dato tenemos:  tgβ : (+) β ∈ Q3 →  ctgβ : (+)• Reemplazando en lo pedido: E= (+ ) + (+ ) = (+ ) (− )·(+ ) (− ) → E = (–) Rpta.: B - 52 -
  • 53. Quinto Año de Secundaria Resolución 4  x = 60 • De la condición:   y = −11  2  1+ tgθ + 1  = [2]2 → r = (60 )2 + ( −11)2 = 61     1+ tgθ + 1 = 4  2• Nos piden:  tgθ + 1 = [3]2 → tgθ + 1 = 9   −11 61 5 K= + → K= Rpta.: E tgθ = 8 ; θ ∈ Q3 60 60 6 • Finalmente:Resolución 2• Del dato tenemos: − 2 tgθ = 2 = ; θ ∈ Q3 −1  x = −1   y = −8  r = ( −1)2 + ( −8 )2 = 65   x = −1   65 sec θ = − 65 y = − 2 sec θ = → Rpta.: D −1    ( r = ( −1)2 + − 2 2 = 3 ) Resolución 5• Nos piden: • Factorizando la expresión dada: M = 2secθ · cscθ + 3 3 senθ (5senα + 4)(5senα – 3) = 0  3  3  − 2  4 M = 2  +3 3   5senα + 4 = 0 → senα = − 5  −1   − 2        3   5senα − 3 = 0 → senα = 3 M= 3 2 −3 2 →   5 M=0 Rpta.: C 3 Pero: α ∈ Q2 → senα =Resolución 3 5• A partir del gráfico se tiene: i) Para “α”: x=7 y = 24 r = 72 + 242 = 25 ii) Para “β”: x = –12 y = –5 • Nos piden: 2 2 r= ( −12) + ( −5) = 13 3  4  3 M= −−  + − • Nos piden: 5  5  4  25  13 R = 2  + → R=1  24  −12 13 M= → M = 0,65 Rpta.: B Rpta.: A 20 - 53 -
  • 54. Resolución 6• A partir del dato tenemos: − 2 6 senα = =− 3 3 1 tgθ = 2 [tgθ] ctgθ = [2] 2 →   1 6 ctgθ = 2 senβ = −  3 6 senθ = − 3 • Nos piden: 6  6  6 G= − + 2 −  + 3 −  → G = −2 6 3  3     3    Rpta.: B Resolución 10• Nos piden: • Analizando la figura:  −2  −1  P = 10    → P=4 Rpta.: B  5  5 Resolución 7• De los datos tenemos: senα < 0 → senα : (–) → α ∈ Q3 ; Q4 secα > 0 → secα : (+) → α ∈ Q1 ; Q4 • Nos piden: ∴ α∈Q4 2  −1 −3  4 E= −  →α E =• Nos piden:  10 10  10 E= (+ ) − (− ) = (+ ) E = 0,4 Rpta.: D ( − )·( − ) ( + ) → E = (+) Rpta.: AResolución 8 NIVEL PREUNIVERSITARIO• De acuerdo al dato: Resolución 1 secθ = (–) • De los datos tenemos: θ ∈Q3 tgθ = (+) tgθ < 0 → tgθ : (–) • Reemplazando en lo pedido  θ∈Q4 secθ = 4 → secθ : (+)  (–) – (+) = (–) Rpta.: CResolución 9• Del dato tenemos: R.T.(α) = R.T.(β) = R.T(θ)• Además: • Nos piden: tgα = 2 → α∈Q1 , Q3  − 15   1  A = 16  sec β = − 3 → β∈Q2 , Q3  4  4      ∴ α ; β y θ ∈ Q3 A = − 15 Rpta.: D - 54 -
  • 55. Quinto Año de SecundariaResolución 2 5 2 5 2 • Nos piden: csc α = = a + 4 −3 + 4• De la condición: ctgα+1 ctgα+1 3 csc α = 5 2 Rpta.: E  1 = [2 ] → [2 ] 3 2 = [2 ] 2 2    Resolución 5 ctgα + 1 =3 → ctgα = 5 ; α∈Q3 2 • Analizando la expresión tenemos: 1 − cos α ≥ 0 → senφ < 0 ∴ φ ∈ Q3 y Q4 Rpta.: B Resolución 6 • De acuerdo a los datos: x=a+1• Nos piden: 26 y=a–1 csc α = −1 csc α = − 26 Rpta.: B r= (a + 1)2 + (a − 1)2 = 2a2 + 2 • Por condición r es minímo:Resolución 3• Del dato tenemos: r= ( ) 2 a2 + 1 → rmin = 2 mín secθ : (–)  x = 1  θ∈Q3 ∴ a = 0 →  y = −1 tgθ : (+)  • Además: • Nos piden: –1 < cosθ < 0 –1 < senθ < 0  2  2  E= 1 < 2+cosθ < 2 0 < –senθ < 1  1  −1  →   E = –2 Rpta.: C    + 2< 2–senθ < 3 Resolución 7 +• Luego: • Analizamos la figura para calcular las coordenadas R= ( + )·( − ) = ( − ) → R = (–) Rpta.: B de los puntos M y N: (+ ) (+ )Resolución 4• En la figura se cumple: ( ) 2 (2a –1)2+ (a + 4)2 = 5 2 5a2 + 4a + 17 = 50 5a2 + 4a – 33 = 0 (5a – 11)(a + 3) = 0  11 5a − 11 = 0 → a = →  5 a + 3 = 0 → a = −3  3   −5   • Nos piden: k =  ·  1  −3   −1  Pero: 2a – 1< 0 → a < 2 ∴ a = –3 k = –5 Rpta.: B - 55 -
  • 56. Resolución 8 5 1• Tg4θ – 7tg2θ + 1 = 0 tgθ = – 1 2 ( 9± 5 ) -2 cos β = 5 7 ± 49 − 4 b tg2θ = 2 tgθ = – 1 2 3± 5( ) 1 14 ± 2 45 tg2θ = • Nos piden: cosθ · cosβ 4 1 1 1 − 10 14 ± 2 9 ⋅ 5 cos θ ⋅ cos β = − ⋅ =− = Rpta.: C tgθ = 8 5 40 20 4• Nos piden: Resolución 10 E= 1 2 ( 3± 5 − 2 3± 5 ) Q(-14;4)• Solución 1 2 53 4 3+ 5 2 5+3 5 E1 = − = 2 3+ 5 3+ 5 -14 (6;0)  5 + 3 5  3 − 5  • P y Q puntos simétricos: E1 =   3 + 5  3 − 5  =   5 • Nos piden:    φ 1 1 53 − 7• Solución 2 ctg = = = 2 tg φ 2 2 3− 5 2 5−3 5 2 53 − 7 E2 = − =− 2 3− 5 3− 5 φ 4 2 tg = = Rpta.: C  5 − 3 5  3 + 5  2 2 53 − 14 53 − 7 E2 = −   3 − 5  3 + 5    =− − 5 ( )    E2 = 5 Rpta.: C Resolución 11 y’Resolución 9 P(-8;15) B(6;7) 7• Sen2θ + Senθ = 0 4 4 a= 17 Senθ + Senθ = 0 I) senθ > 0 ⇒ senθ + senθ = θ 15 A(2;3) 60° 3 C senθ = 0 (NO) 4 II) senθ < 0 ⇒ senθ + senθ = 0 q θ toma cualquier valor 120° 4• Hacemos tgθ = 7 -8 o 2 6 x’ θ∈ IIIC 1 8 • ∆ABC equilátero: a = 4 cos θ = − 7 8 P(–2a;4a – 1) = (–8;15)• Luego: 1 • Nos piden: 7 − tgθ + tgθ − 7 = tgβ + 2 E = senθ · cosθ 7− 7 + 7 − 7 = tgβ + 2 15 −8 −120 tgβ = –2 E= ⋅ = Rpta.: C 17 17 289 - 56 -