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  • Maestros Online www.maestronline.com Pide una cotización a nuestros correos Maestros Online ESAD Matemáticas financieras Grupo de problemas Servicio de asesorías y solución de ejercicios Envía tus actividades a ciencias_help@hotmail.com
  • Maestros Online www.maestronline.comUnidad 2. Interés simple y compuestoPresentación de la unidadDesde la antigüedad, el ser humano se ha valido del intercambio de bienes parasatisfacer necesidades. Con el paso del tiempo, las sociedades implementaron el uso deldinero para realizar estos intercambios. La utilización del dinero implica el uso del interés,que es una cantidad que se tiene que pagar por el uso del mismo. El interés puedeexpresarse en cantidad o en porcentaje, y este puede ser simple o compuesto, y a travésde este último es posible determinar equivalencias del dinero a través del tiempo.PropósitosAl finalizar la unidad serás capaz de:• Entender y explicar el valor presente y futuro.• Entender y explicar los conceptos de monto, interés y plazo.• Diferenciar el interés simple del interés compuesto.• Aplicar el interés compuesto y las ecuaciones de valor cronológico del dinero derivadas.Competencia específicaAplicar los diferentes factores de interés (interés simple e interés compuesto) para realizarequivalencias del dinero a través del tiempo. Matemáticas financierasPrograma desarrollado 5
  • Maestros Online www.maestronline.com2.1. Conceptos básicosPara garantizar la comprensión al 100% del material de esta unidad, es necesario querealices una revisión de conceptos financieros que te proporcionarán bases fuertes para lautilización de las matemáticas financieras. Tales conceptos son los siguientes: Valorpresente y futuro, monto, interés simple, interés compuesto, entre otros. El papel quedesempeña el tiempo en el valor del dinero es la idea general que integrará todos losconceptos.2.1.1. Valor presente y futuroEl valor del dinero a través del tiempo es clave en las matemáticas financieras, en elsentido de que, si tenemos cierta cantidad de efectivo, podemos tener la certeza del valordel dinero hoy, mientras que en el futuro, el valor del efectivo es incierto. Una forma deanalizar el dinero a través del tiempo es trasladar las diferentes equivalencias de unacantidad al valor presente.2.1.2. MontoCapital o principal ( ) se le denomina al valor del dinero actual o presente. Paraejemplificar lo anterior, supón que el Sr. Ramos pide un préstamo al banco, la cantidadprestada es el capital, al utilizar el crédito en este institución bancaria, éste generaintereses que es la cantidad de dinero extra a pagar por el uso del crédito y el monto es lacantidad total a pagar (monto = capital o capital + interés) y su expresión matemática es: = +2.1.3. Interés simpleEn esta asignatura, llamaremos tasa de interés al costo que genera hacer uso derecursos que no son propios, Se conocen dos tipos de interés: el interés simple y elinterés compuesto. En el interés simple, solamente se ganan intereses a partir del capitalo principal. Y se calculan multiplicando el capital por la tasa de interés.Matemáticas financieras Programa desarrollado 6
  • Maestros Online www.maestronline.comEjemploSi un banco presta $100 pesos ahora al 10% por periodo, al final del periodo 1 la deudaascenderá a 100+(100 × 0.10) = $110.(100 ×0.10) Representan los intereses a una tasa de interés simple cuyo valor seráuniforme desde 1 hasta el é periodo. EjemploUn microempresario tomó prestado $120, por 5 meses y se cargó el 9% de interés.1. ¿Cuánto interés pago? = (interés) se desconoce. = (principal o capital) es el importe tomado prestado = $120. = (tasa) es el 9% anual. Cambiar a 0.09 antes de sustituir. = (tiempo) es 5 meses. == 120 0.09 512 = 120 0.09 0.4167 =5412=4.492=$4.50El cargo por intereses es $4.50. Determinación del valor al vencimiento2. ¿Cuánto tendrá que liquidar al finalizar los 5 meses? = + = 120 + 4.50 =$124.50 Comprobación: El monto del interés para un periodo corto debe ser pequeño conrelación al capital. Por lógica, el importe liquidado tiene que ser mayor que el capital.Matemáticas financieras Programa desarrollado 7
  • Maestros Online www.maestronline.comDeterminación de la tasa EjemploUna deuda de $260 se liquidó al finalizar 3 meses con $5.20 pesos adicionales porconcepto de intereses. ¿Cuál fue la tasa de interés?I es el importe del interés $5.20.P es el importe tomado prestado = $260. r se desconoce. = 3 meses, o 312, o 0.25 de un año. = 5.20 = 260 14Multiplica 260 por ¼ para simplificar el coeficiente de r 5.20 = 65 Divide ambos lados dela ecuación entre el coeficiente de r5.2065 =65 65 = 0.08 = 8%La tasa es 8% anual. Como el tiempo se utilizó como parte de 1 año, la tasa también sebasa en un año. Determinación del tiempo El tiempo es una “magnitud física quepermite ordenar la secuencia de los sucesos, estableciendo un pasado, un presente y unfuturo. Su unidad en el Sistema Internacional es el segundo.” (RAE, 2011)Para fines prácticos, en esta asignatura, el tiempo será un periodo, que como tal, puededurar un día, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un año, etcétera.Matemáticas financieras Programa desarrollado 8
  • Maestros Online www.maestronline.comEjemploUna deuda de $480 se liquidó con un cheque por el importe de $498. Si la tasa de interésfue del 712%, ¿cuánto tiempo se tuvo prestado el dinero? = $480 = 712% = 0.075 t esla incógnita = $498 Para determinar el interés, resta el valor al vencimiento del principal= $498 − $480 = $18 = 18 = (480)(0.075) 18 = 36 1836=36 36 0.5 = 12 =El tiempo es 12 año, o 0.5 años. Como la tasa es una tasa anual, el tiempo también esparte de un año. Comprobación: el tiempo es inferior a un año. Esto es cierto en la mayorparte de los problemas de interés simple. Determinación del principal o capitalEjemplo¿Cuánto se tomó prestado si el interés es $27, la tasa es 9% y el tiempo 2 meses? = $27 Matemáticas financieras ProgramaP se desconocedesarrollado 9
  • Maestros Online www.maestronline.com = 9% = 0.09 = 2 meses, o 212 de un año. Se utilizará el quebrado 2/12 en lugar del decimal repetitivoequivalente, es decir,0.16666666, ya que el quebrado es exacto. = $27 = 0.09 212Multiplica 0.09 por 2 y divide el resultado entre 12 27 = (0.015)Divide ambos lados entre el coeficiente de 270.015= 0.015 0.015 $1,800 =El capital (principal) es $1,800Comprobación: = = (1,800) (0.09)212 = 27 Matemáticas financierasPrograma desarrollado 10
  • Maestros Online www.maestronline.com2.1.4. PlazoEl plazo el intervalo regular establecido (que puede ser anual, semestral, trimestral) por elcual se calcula el interés y después de añade al principal o capital ( ). Ejemplo¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 49% de interés anual simple? De laformula: = (1+ )Suponiendo que =2 y =1 2=1 1+ 0.49 1+0.49 =2 0.49 =2−1=1 =1/0.49 =2.04 ñ 0.04 ñ =365(0.040) í =14.84 í =2 ñ 15 í ,Nota que para calcular esto sólo se necesitó suponer un monto del doble de cualquiercapital. Utilizando =30 =15. 30=15(1+0.49 ) 3015=1+0.492=1+0.49 Que es la misma expresión anterior. Ejemplo¿En cuánto tiempo se acumularían $5,000 si se depositaran hoy $3,000 en un fondo quepaga 4% simple anual? = 5,000 = 3,000 = 0.04 5,000=3,000(1+0.04 )5,0003,000=1+0.04 1.666667=1+0.04 0.04 =0.666667 =0.666667/0.04Matemáticas financieras Programa desarrollado 11
  • Maestros Online www.maestronline.com =16.67Como la tasa estaba dada en meses, el resultado que se obtiene en también está enmeses, y 0.67 meses=0.67(30) días=20.1 días; entonces, se acumulan $5,000, si sedepositan hoy $3,000 a 4% mensual simple en 16 meses y 20 días, aproximadamente.Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas,en lugar de mencionar un número de meses o años. Ejemplo¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de $10,000 depositado el 15 demayo del mismo año en una cuenta de ahorros que paga 49% anual simple? =10,000 =0.49 =?a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que transcurrenentre las dos fechas (obsérvese que el 15 de mayo no se incluye, ya que si se deposita yretira una cantidad el mismo día, no se pagan intereses).16 días de mayo 30 días de junio 31 días de julio 31 días de agosto 30 días de septiembre31 días de octubre 30 días de noviembre 24 días de diciembre 223 , =223/365 =10,000 1+ 019 (223365) =10,000(1.116082) =11,160.82Matemáticas financieras Programa desarrollado 12
  • Maestros Online www.maestronline.comb) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses enterosde 30 días y años de 360 días:Del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses, más 9 días del 16 de diciembre al 24 dediciembre: 7 30 +9=219 í =219360 =$10,000.00 1+0.1 219360 = =10,000(1.115583) =11,155.83 Aunque ocasiona diferencias en los valores que seobtienen, se utiliza el cálculo aproximado del tiempo debido a que es más sencillo.2.1.5. DescuentoEl descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en bancos,y consiste en que éstos adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valor nominaldescuentan una cantidad equivalente a los intereses que adquiriría el documento entre lafecha en que se recibe y la fecha límite o fecha de vencimiento. Con esto se anticipa elvalor actual del documento. Existen básicamente dos formas de calcular el descuento:Descuento comercial En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valornominal del documento. Descuento real o justo A diferencia del descuento comercial, eldescuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa, y no sobre el valor nominal.Matemáticas financieras Programa desarrollado 13
  • Maestros Online www.maestronline.comEjemplo descuento comercialUna empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió $166,666.67. Si el tipo dedescuento es de 30% y el vencimiento del pagaré era 4 meses después de su descuento.¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de su vencimiento? Solución: =166,666.67 =0.30 =4/12=1/3Tomar en cuenta que el descuento ( )= = + = + = + − = 1− = = 1− =166,666.67 0.30 1/3 1− 0.30 (1/3)=166,666.67 0.101−0.10=16,666.670.90= =$18,518.52 Y el valor del pagaré en su fecha de vencimientoes: 166,666.67+18,518.52=$185,185.19 Ejemplo descuento real o justo: De los mismosdatos del ejemplo anterior: =166,666.67 =0.30 =4/12=1/3 Solución: =166,666.671+0.3 13 =166,666.67(1.10) Matemáticas financieras Programadesarrollado 14
  • Maestros Online www.maestronline.com =$183,333.34Si la operación se hubiera llevado a cabo bajo descuento real, el valor nominal del pagaréhabría sido de $183,333.34.Actividad 1: Ensayo En esta actividad, integrarás todos los conceptos expuestosen el contenido de la unidad, mediante la explicación del valor del dinero en el tiempo.1. Investiga en fuentes primarias y secundarias (libros de texto, revistas, materialvirtual, entre otros) el valor del dinero a través del tiempo.2. Analiza la información y elabora un ensayo en un documento, en el cual expliques,con tus propias palabras el valor del dinero a través del tiempo.*Recuerda que tu argumento debe de ser apropiado y bien organizado.3. Guarda tu archivo con la nomenclatura MF_U2_A1_XXYZ, y envíalo a tuFacilitador(a) a través de la sección de Tareas y espera retroalimentación. EjerciciosLee con atención el enunciado y resuelve lo que se te pide. Identifica el tipo de ejercicioque estás solucionando. Recuerda que debes escribir todo el desarrollo del problema. 1. El señor Pérez solicita un préstamo bancario por pesos para completar el enganche de una motocicleta. Acuerda pagar un total de pesos por concepto de intereses. ¿Qué monto deberá pagar al término del plazo establecido? 2. Mariana depositó en una cuenta bancaria pesos hace un año. Al final de este tiempo se le entregaron pesos. Identifica el capital, el monto y calcula el interés ganado. 3. Encuentra el valor presente de pesos utilizando una tasa de interés de mensual, nueve meses antes de la fecha de vencimiento. 4. ¿Qué cantidad es necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga para acumular al final del quinto año pesos?
  • Maestros Online www.maestronline.com 5. Determina la tasa de interés efectiva que se recibe de un préstamo si la tasa nominal es de capitalizables semanalmente. 6. Se invirtieron pesos al mensual de interés compuesto mensualmente durante meses ¿Cuál es el valor futuro al finalizar este tiempo? 7. ¿Qué cantidad debe de ser depositada en una cuenta de ahorros que paga el anual de modo que puedan retirar pesos al final del año , al final del año y pesos al final del año , y la cuenta quede agotada? 8. Encuentra el valor presente de una serie de ingresos en la cual el flujo de caja en el año es de pesos y crece por año hasta el año a un interés de .