Matematicas avanzadas ma13201 2013
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  • 1. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Solicita una cotización a través de nuestros correos. Maestros Online Matemáticas Avanzadas Apoyo en ejercicios Servicio de asesorías y solución de ejercicios Ciencias_help@hotmail.com
  • 2. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Parte 1: Reunión de equipos 1. Reúnanse en equipos de 3 o 4 personas. Recuerden establecer un medio de comunicación eficaz, como Skype, Google Docs, Study rooms, etc. Si aún no se han establecido los equipos, pueden trabajar la actividad de forma individual. 2. En el foro de discusión comenten sobre lo aprendido en cursos previos de matemáticas, sobre todo en cálculo diferencial e integral. 3. Anoten qué tan buenos son resolviendo derivadas e integrales y si tuvieron alguna dificultad. 4. Compartan también problemas de aplicación resueltos, sobre todo en cálculo diferencial e integral. 5. Completen la siguiente tabla siguiendo el ejemplo del primer renglón: Model o Aplicació n Suposici ón del modelo Solución del modelo ¿Qué ocurre cuando k es positiva o negativa ? Describe que indican las siguiente s condicio nes Obtén la gráfica de la función P= población t= tiempo K=constan te Que la razón a la que cambia la població n en un cierto tiempo es proporcio nal a la població n presente (total) en ese tiempo. Si k>0 existe crecimie nto Si k<0 existe decaimie nto La població n inicial es de 500 A= número de núcleos en un átomo t= tiempo K=constan te
  • 3. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com S=capital t=tiempo r=interés compuesto continuam ente Q=cantida d t= tiempo K=constan te 6. Respondan las siguientes preguntas: a. ¿Creen que un modelo similar se puede aplicar a la vida real? b. ¿Para qué les puede servir? c. ¿Pueden pensar en alguna otra aplicación que puede tener este modelo? Parte 2: Reparto de actividades 7. Revisen los siguientes 4 modelos de cambio: Una esfera de hielo se derrite a razón proporcional al área de su superficie, es decir, el volumen de la esfera cambia respecto al área de su superficie. Si pensamos en un granizo de forma esférica con radio de 1/8 de pulgada y a los 40 minutos su radio mide 1/24 de pulgada. a. Expliquen cómo la expresión: , que es el modelo correspondiente, da lugar a la solución . Encuentren las constantes k y C para los datos proporcionados. b. Busquen una solución para dicho modelo que exprese la función del radio del granizo respecto al tiempo. c. Busquen una solución para dicho modelo que exprese la función del área superficial. d. Revisen los siguientes 4 modelos de cambio: A mediados del siglo XX se inició la datación con carbono radioactivo, para determinar la antigüedad de distintos objetos fósiles. Esta teoría se basa en la idea de que el isótopo de carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. Dado que la cantidad de C-14 es constante en la atmósfera, se puede pensar que una cantidad proporcional de C-14 que hay en la atmósfera es la misma proporción que presentan todos los organismos vivos en un momento dado. Cuando muere un organismo, la absorción del C-14, durante la respiración, se detiene. Si se compara la cantidad de C-14 que presenta el objeto con el C-14 presente en la atmósfera, se puede hacer una estimación de su edad.
  • 4. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Para esto se utiliza el dato de que la vida media del C-14 es de 5600 años, es decir, si se tiene una masa m, después de 5600 años se tendrá una masa ½m. Se sabe que el decaimiento de la materia varía en forma proporcional a la cantidad original de la misma. Encuentren: a. Una expresión que muestre el cambio de materia con respecto al tiempo b. Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la décima parte de la cantidad original de C-14. ¿Se puede determinar la edad del fósil? Si es así, ¿cuál es? c. El carbono extraído de un cráneo antiguo contiene 1/8 de C-14 que un hueso actual. ¿Se puede determinar con los datos? Si es así, ¿cuál es la edad del cráneo? Un acuario planea llevar una orca a otra ciudad. El animal irá cubierto con una manta mojada a lo largo del viaje. Se sabe que la manta perderá humedad debido a la evaporación a un ritmo proporcional a la cantidad de agua presente en la manta. Inicialmente, la manta tendrá 40 litros de agua de mar. a. Escriban una expresión que permita encontrar la cantidad de agua que tiene la manta en todo momento b. Encuentren el tiempo máximo que podrá estar la orca en forma cómoda, es decir, que la manta tendrá humedad c. Si el trayecto del viaje fuera mayor, ¿podrían proponer parámetros (y por tanto una ecuación) que permita tener la manta húmeda en todo momento? Al mezclar dos soluciones salinas de distinta concentración surge un modelo de cambio, que define la cantidad de sal contenida en la mezcla. Supongan que un tanque mezclador grande inicialmente contiene 300 galones de salmuera, es decir, agua en la que se ha disuelto la sal. Otra solución de salmuera entra al tanque a una razón de 3 galones por minuto, la concentración de sal que entra es de 2 libras/galón. Cuando la solución en el tanque está bien mezclada, sale con la misma rapidez con que entra. Si C(t) representa la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque en un tiempo t, entonces la razón neta a la que cambia C(t) estará dada como: a. Encuentren la razón neta a la que cambia C(t) con respecto a las variables. b. Distribuyan los modelos de forma tal que cada integrante del equipo plantee uno de ellos. c. En caso de que haya varios planteamientos del modelo, evalúen cuál es el mejor de manera que puedan argumentar con sus compañeros porqué lo seleccionaron. Parte 3: Sondeo
  • 5. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 8. Después de haber trabajado colaborativamente en la propuesta de solución de los modelos anteriormente descritos, seleccionen uno y elaboren un listado con los argumentos que contesten a las siguientes preguntas: a. ¿Cuántos métodos encontraron para solucionar el modelo? b. ¿Cómo seleccionaron el modelo y la solución? c. ¿Qué dificultades tuvieron para seleccionarlo? d. ¿Qué aspectos consideraron relevantes para tomar la decisión? e. ¿Sirve para predecir situaciones futuras la solución que encontraron? 9. Compartan en grupo, a través de un plenario en el foro, su trabajo, sus argumentos y experiencias en la solución del modelo. 10. Vuelvan a su equipo de trabajo y discutan si su método de planteamiento y solución es el adecuado comparado con el planteamiento de otro equipo. Apóyense en los siguientes puntos: a. ¿El método seleccionado es mejor? ¿Por qué? b. ¿El procedimiento es claro y señala algún modelo de cambio? Parte 1: Reparto de actividades 1. Reúnanse en equipos de 5 personas. Recuerden establecer un medio de comunicación como Skype, Google Docs, Studyroom, o algún otro chat. 2. Pónganse de acuerdo para que cada integrante realice uno de los siguientes puntos para cada problema: a. Determinar en cada problema: variable independiente, variable dependiente y la medida de variabilidad. b. Escribir la ecuación diferencial que describa el modelo. c. Determinar, de acuerdo a la solución, situaciones frontera o el dominio de la solución. d. A partir de las condiciones iniciales, determinar la solución particular. e. Elaborar una tabla en donde se presente el problema, el modelo, la solución y la solución particular. Problema 1 Sabemos que la derivada de cualquier función es la pendiente de la recta tangente a la función. Sea la pendiente de una curva en cualquier punto x + 2y. Determinen la ecuación de la curva si además sabemos que pasa por el par ordenado (0,0). Problema 2 Un material radioactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 100 mg de material y al cabo de una hora ha perdido el 10% de la cantidad inicial, hallar: a. El modelo que pueda describir la situación. b. Resolver la ED, es decir, encontrar la masa en cualquier momento t.
  • 6. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com c. Encontrar la masa del material después de 3 horas. Problema 3 Se desea obtener una sustancia C como compuesto de las sustancias A y B. Sabemos que la cantidad x de C es proporcional al producto de las cantidades no transformadas de A y B. a. Elaborar el modelo que muestre la cantidad de compuesto C en todo momento. b. Si en t = 0 hay m unidades de A, n unidades de B y ninguna unidad de C, encontrar la solución para x. c. Sien t = 50 min las cantidades presentes son A = 4kg, B = 5 kg, x = 1 kg, encontrar el valor de xcuando t = 1 hora, 40 minutos. Parte 2: Continuemos practicando 3. Continuando con la dinámica de la parte 1, trabajen ahora con los siguientes problemas: Problema 4 Un hombre tiene una fortuna que aumenta a una tasa proporcional al cuadrado de su capital actual. Si tenía 1 millón de dólares hace 2 años y hoy tiene 4 millones, encontrar: a. El modelo que represente el problema y su solución general b. ¿Cuánto dinero tendrá en 6 meses? c. ¿En cuánto tiempo tendrá 10 millones? Problema 5 A un pueblo con apenas 100 habitantes llega una persona con una enfermedad infecciosa, para la que los habitantes no tienen defensas. La velocidad con la que se propaga la epidemia es conjuntamente proporcional al número de personas enfermas y al número de personas que no se han contagiado. Si al cabo 3 días hay 5 personas enfermas, determina: a. El número de enfermos para un número t de días b. ¿Cuántas personas estarán enfermas en 5 días? c. Tiempo en que estará enfermo el 25% de la población Parte 3: Sondeo 4. Revisen con compañeros de otros equipos los modelos propuestos y los resultados. Utilicen el foro de la actividad para publicar sus resultados. 5. Hagan comentarios sobre posibles discrepancias. Instrucción para el alumno:
  • 7. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 1. En los siguientes ejercicios, identifica el método de solución de cada ecuación diferencial y encuentra su solución. a. Resolver b. Resolver c. Resolver se sugiere utilizar sustitución: se sugiere utilizar sustitución: 2. Construye el modelo matemático, es decir, la ecuación que represente la situación dada. Si es posible, resuelve la ecuación diferencial. Recuerda que para cada problema deberás identificar la variable independiente, dependiente, las condiciones iniciales y la medida de variabilidad. Problema 1. Queremos saber cuánto tiempo esperar a que una taza de café que se prepara con agua a punto de ebullición (100ºC) esté a 60ºC, que es la máxima temperatura en la que se puede tomar sin dañar la mucosa gástrica. Problema 2. Un tanque tiene forma de cilindro vertical y contiene agua con una profundidad de 3m. Se retira el tapón y después de 1 hora la profundidad del agua ha descendido 1.5m. ¿En cuánto tiempo se vaciará el tanque? Problema 3. La tasa de cambio con respecto al tiempo de una población de ardillas P es proporcional a la raíz cuadrada de la población P. Al tiempo t = 0, la población de ardillas es de 100 y aumentan a razón de 20 ardillas cada mes. ¿Cuántas ardillas habrá dentro de un año? 3. Aplica correctamente las condiciones iniciales, con el fin de encontrar la solución particular en el caso planteado. El modelo de crecimiento logístico supone que la razón de crecimiento es proporcional conjuntamente, tanto a la población misma como a la cantidad faltante, para llegar a la máxima población sustentable, es decir:
  • 8. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com En este caso r es la razón de crecimiento intrínseco y K es la capacidad sustentable, que es el máximo valor que puede tener P. El valor de r dependerá de la especie y K dependerá de la especie y del ambiente. Al resolver, se obtiene que: a. Sea K = 100, Po = 5 (miles de millones de habitantes del planeta en 1986), r = 0.02. Encuentra la población para el 2010. b. ¿En cuánto tiempo tendrá el planeta una población de 3.2 x 1010 habitantes? Parte 1: Reunión de equipos. 1. Reúnanse en equipos de 3 o 4 personas. Recuerden utilizar un medio de comunicación eficaz, como Skype, Google Docs, o algún otro chat. 2. Lean la siguiente Situación: 3. Discutan acerca de los dos modelos (sin fricción y con fricción), y determinen: variable independiente, variable dependiente, medida de variabilidad y condiciones iniciales. 4. Escriban la ecuación diferencial que corresponde al modelo sin fricción. Recuerden la 2ª ley de Newton para poder construir el modelo. 5. Escriban la ecuación diferencial que corresponde al modelo con fricción. Recuerden que en este caso, además del peso, existe una fuerza de restitución que se opone al movimiento y es proporcional a la velocidad. 6. Algunos modelos sugieren que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. Escriban la ecuación diferencial correspondiente. 7. Discutan acerca de las condiciones iniciales para cada una de las variables y las condiciones a la frontera (condiciones límite en donde es válido el valor de alguna variable). 8. Sugieran cómo resolver cada uno de los modelos y una probable solución. 9. Realicen un organizador gráfico en donde se plantee cada condición y se proponga una forma de resolver el problema. Parte 2: Reparto de actividades. 10. Continúen trabajando con su equipo, para los siguientes problemas repártanselos de manera equitativa y al final compartan sus resultados. 11. Comprueben para los siguientes ejercicios: a. es solución de la ED: b. es solución de la ED: c. es solución de la ED: d. es solución de la ED:
  • 9. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com e. es solución de la ED: 12. Comprueben posibles soluciones para el término no homogéneo de la ED. Infieran alguna regla. a. es solución particular de la ED b. es solución particular de la ED c. es una solución particular de la ED d. es una solución particular de la ED e. es una solución particular de la ED 13. Elaboren una tabla de similitudes y diferencias entre la solución y la ecuación diferencial de 2º orden que está resolviendo. Parte 3: Sondeo y discusión. 14. Revisen, con compañeros de otros equipos, los modelos propuestos y los resultados. 15. Discutan y argumenten cuál es el mejor modelo y la mejor solución. 16. Pongan a prueba la solución para distintas situaciones (situaciones frontera), en donde podría ser no válido el modelo. 17. Seleccionen un problema para presentar. 18. Hagan un producto (presentación, video, cartulinas, etc.) en donde se ejemplifique con 1 caso del problema junto con su solución y resultado del análisis de la parte 2. Nota para el alumno: Considera que tu actividad debe estar documentada (proceso) y fundamentada. Entregable(s): Presentación libre (ppt, animación, video, etc.). Uno de los deportes extremos más populares es el paracaidismo, en donde la persona se tira desde un avión en movimiento y en un inicio cae en caída libre. Después se hacen algunos movimientos, y a cierta altura abren su paracaídas y caen lentamente. Al abrir el paracaídas, aparece una fuerza de reacción que bruscamente mueve hacia arriba al paracaidista, posteriormente cae, pero a una velocidad mucho menor que la que traía originalmente, es decir, la resistencia del aire es mayor. Se puede hablar de dos momentos: caída libre, en donde la resistencia del aire es cero; y caída no libre o con fricción, en donde la resistencia del aire es muy importante y va en dirección contraria a la caída. En un modelo sin fricción, la aceleración es constante y la fuerza debida al peso es simplemente mg. En un modelo con fricción, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y en sentido opuesto al movimiento, y sigue existiendo la fuerza debida al peso. Parte 1: Reparto de actividades 1. Reúnanse en equipos de tres o cuatro personas.
  • 10. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 2. Hagan un análisis de cada problema planteado y de acuerdo al análisis, llenen la tabla adjunta. 3. Encuentren (si existen) valores límites que podrían tener las variables. 4. Apliquen condiciones iniciales propuestas por ustedes, con el fin de comprobar la veracidad de su modelo. Parte 2: Continuemos practicando 5. Sigan trabajando con su equipo. 6. Hagan un análisis de cada problema planteado y, de acuerdo al análisis, encuentren: a. Variables involucradas (dependiente, independiente, de cambio). b. Construyan la ED correspondiente. c. Apliquen condiciones iniciales y encuentren una solución particular a cada problema. Problema 1 Una partícula se mueve verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 50m/s desde el punto y(0) = 0. a. Encuentren la ecuación diferencial que represente el modelo. b. Encontrar la ecuación de la velocidad. c. Encontrar la ecuación de movimiento. d. ¿Cuál será la posición y la velocidad de la partícula cuando han pasado 3 segundos? Problema 2 Una partícula se mueve en sentido horizontal con una resistencia al aire proporcional a la velocidad y en sentido opuesto, y proporcional al desplazamiento en sentido opuesto también. Resuelvan si la constante de proporcionalidad con respecto a la velocidad es 9, la constante de proporcionalidad con respecto al desplazamiento es 20 y al tiempo t = 0, la partícula está desplazada 2m a la derecha al origen, con una velocidad hacia la izquierda v = 12m/s. a. ¿Cuánto tiempo tarda en pasar por el origen? b. ¿Cuál es el desplazamiento máximo negativo? c. ¿Cuál es la velocidad máxima positiva? Problema 3 Una partícula de masa m es proyectada verticalmente hacia arriba con una fuerza de resistencia proporcional al producto del cuadrado de su velocidad por su masa. a. Encuentren la ecuación diferencial que represente el modelo. b. Encuentren ecuación de velocidad. c. Encuentren ecuación de movimiento.
  • 11. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com d. Si la masa es de 10 kg, la constante de proporcionalidad es de 98 m-1, cuál será la posición y la velocidad de la partícula si su velocidad inicial es 50m/s y su posición es x(0) = 0. Parte 3: Sondeo y discusión 1. Revisen con compañeros de otros equipos los modelos propuestos y los resultados. 2. Discutan y argumenten cuál es el mejor modelo y la mejor solución. 3. Pongan a prueba la solución para distintas situaciones (situaciones frontera) en donde podría ser no válido el modelo. 4. Seleccionen un problema para presentar. 5. Hagan un producto (presentación, video, etc.) en donde se ejemplifique 1 caso del problema junto con su solución y resultado del análisis de la parte 2. Sea una masa m sujeta al extremo de un resorte flexible que está suspendido por un soporte rígido. Sabemos que en este sistema el resorte es un objeto que tenderá a regresar a su lugar. Las fuerzas que actúan sobre este sistema son: una fuerza de restitución que es opuesta a la dirección del alargamiento del resorte y proporcional a su magnitud (ley de Hooke) y el peso del cuerpo. a. Diseña el modelo correspondiente haciendo uso de una ecuación diferencial. Toma en cuenta dirección de desplazamiento y velocidad. b. Resuelve la ecuación diferencial encontrada. Una masa de 2kg en un sistema con resorte en longa, el resorte 1m por razón de su peso. Si la masa se mueve desde el reposo (v0 = 0) y desde la posición de equilibrio (x0 = 0), determina: a. El valor de la constante de restitución del resorte. b. La ecuación de movimiento. c. Posición, velocidad y aceleración de la masa 2 segundos después. d. Diagrama del movimiento. En este problema se supondrá que además del resorte y la masa hay una fuerza de amortiguamiento del resorte, que es proporcional a la velocidad y en sentido opuesto al movimiento. a. Diseña el modelo correspondiente haciendo uso de una ecuación diferencial. Toma en cuenta dirección de desplazamiento y velocidad. b. Resuelve la ecuación diferencial encontrada. c. Determina, de acuerdo al valor del discriminante, cuáles son las condiciones de sobre amortiguamiento, de amortiguamiento crítico y de subamortiguamiento.
  • 12. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com d. Encuentra la ecuación de movimiento y de velocidad. e. Realiza un diagrama del movimiento para cada situación e interprétalo. f. Utiliza la solución a la ecuación diferencial que encontraste, y aplícala a las condiciones iniciales que se te indican para cada caso: g. Un sistema masa-resorte-amortiguador con una masa de 2 kg, una constante de restauración de 2N/m, constante de amortiguamiento de 5N-s/m con condiciones iniciales: x(0) = 1m, v(0) = 0m/s. h. Un sistema masa-resorte-amortiguador con una masa de 2kg, constante de restauración de 2N/m, constante de amortiguamiento de 4N-s/m y condiciones iniciales: x(0) = 1m, v(0)=0m/s. i. Un sistema masa-resorte-amortiguador con una masa de 2 kg, constante de restauración de 5N/m, constante de amortiguamiento de 2N-s/m y condiciones iniciales: x(0) = 1m, v(0) = 0m/s Un sistema masa-resorte-amortiguador está expuesto a una fuerza externa periódica del tipo F0 cos wt, que actúa en todo momento sobre el sistema. Esto da lugar a un movimiento llamadomovimiento forzado que implicará en la ecuación diferencial el término no homogéneo. a. Diseña el modelo correspondiente como una ecuación diferencial. b. Resuelve la ecuación diferencial encontrada. c. Analiza el caso cuando el término de amortiguamiento (el proporcional a la velocidad) es cero, es decir, es un movimiento forzado no amortiguado. ¿Qué tipo de solución se tiene? Determina el factor de resonancia. d. Si el término de amortiguamiento es distinto de cero, o sea, es un movimiento forzado amortiguado, encuentra la solución general y determina la resonancia práctica. e. Encuentra la ecuación de movimiento y realiza el diagrama correspondiente. Interpreta. f. Aplica a los siguientes casos tus resultados e interpreta: i. Sea un sistema masa-resorte que tiene una masa de 1 kg, constante de restitución de 1N/m y una fuerza externa FE = 2cos(2t) con condiciones iniciales: xo = 10cm, vo = 0m/s. ii. Determina la posición, la velocidad y aceleración en el tiempo t. Determina el tiempo y la amplitud cuando hay resonancia (ambas señales se suman). iii. Un sistema masa-resorte-amortiguador tiene una masa de 1kg, una constante de restitución de 1N/m y una constante de amortiguamiento de 2N – s/m, es sometido a una fuerza externa de FE = 17 cos t. Si x0 = 0, v0 = 0, determina la posición y velocidad de la masa en todo momento Un circuito RLC es una configuración de circuito formado por una resistencia R, una inductancia L, y un capacitor C. En un circuito sabemos que el capacitor es un elemento que almacena carga con fórmula: donde Q es la carga (coulombs), C es la capacitancia (farad), y V es la diferencia de potencial (volts). La corriente, que corresponde al flujo de carga en el tiempo es: y se mide en amperes, mientras que la inductancia toma en cuenta el campo
  • 13. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com magnético generado por la corriente que circula por el circuito, es decir: donde V es la diferencia de potencial y se mide en volts, L es la inductancia y se mide en henry y es el flujo de corriente por unidad de tiempo, en cuanto a R sabemos que sigue la Ley de Ohm: . a. Diseña el modelo para este tipo de circuito, y escribe la ecuación diferencial correspondiente. b. Resuelve la ecuación diferencial encontrada. c. Observa la semejanza con el modelo de vibraciones forzadas: i. Inductancia L ßà masa m. ii. Resistencia R ßà constante de amortiguamiento. iii. Recíproco de la capacitancia 1/C ß à, constante de restitución del resorte. iv. Derivada de la FEM ßà fuerza externa FE = F0 cos wt. v. Corriente I(t) ßà desplazamiento y. d. Aplica los resultados a los siguientes circuitos e interpreta: i. Una resistencia R = 4Ω, un capacitor de 4mF, un inductor de 25mH y una fuerza electromotriz V = 110 cos t V. Determina la carga y la corriente en todo momento si el capacitor está inicialmente descargado (Q0 = 0) y no fluye corriente por el circuito (I0 = 0). ii. Se conectan en serie una resistencia R = 4Ω, un capacitor C=1F, una inductancia L = 4H, a una fuente de poder V(t)=100cos t. Determina la carga y la corriente en todo momento si al inicio la carga del capacitor es cero y la corriente es de 6A Parte 1: Reunión de equipos 1. Reúnanse en equipos de 3 o 4 personas. Recuerden establecer un medio de comunicación eficaz, como Skype, Google Docs, Study rooms. 2. ¿Saben lo que es un péndulo simple? Tomen algunas notas sobre información que lo describa y la forma en que funciona. De ser posible, observa un reloj de péndulo e identifica la longitud del péndulo, la frecuencia, la amplitud y su periodo. Un péndulo simple consiste de una partícula de masa m soportada por un hilo inelástico de largo y masa despreciable. La cuerda no se deforma y el sistema vibra en un plano vertical. a. Características de los péndulos: i. Los péndulos casi alcanzan la altura inicial desde la que se dejaron caer. ii. Todos los péndulos eventualmente se detienen. iii. El periodo del péndulo es independiente de la masa que oscila. iv. El período del péndulo es independiente de la amplitud. v. El cuadrado del periodo es proporcional a la longitud del péndulo. vi. La longitud de arco está dada por s = l q, donde s es la longitud del arco, l es el largo de la cuerda y q la abertura del ángulo. vii. Para ángulos pequeños, se puede suponer que .
  • 14. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com b. Escriban el modelo que describa el movimiento como una ecuación diferencial de 2º orden. c. Escriban la ecuación diferencial que represente el modelo del péndulo simple. d. Encuentren la ecuación de movimiento y periodo de vibración. e. Si el periodo del péndulo es de 2 segundos, determinen la longitud del péndulo. f. Si la longitud del péndulo es de 30cm, encuentren el periodo. Parte 2: Reparto de actividades 3. Dividan los ejercicios y resuélvanlos. Posteriormente, reúnanse a discutir sus respuestas. a. Determinen si la ED tiene algún punto singular u ordinario. i. ii. b. Encuentren la solución a la ED alrededor del punto x = 0 i. ii. c. Usen el método de series de potencia para resolver el problema de un valor inicial dado. i. ii. Parte 3: Sondeo 4. Revisen con compañeros de otros equipos los modelos propuestos y los resultados. 5. Discutan, argumentando cuál es el mejor modelo y la mejor solución. 6. Pongan a prueba la solución para distintas situaciones frontera en donde podría ser no válido el modelo. Un reloj antiguo que funciona con un péndulo tiene un retraso de 10 minutos por día cuando la longitud de su péndulo es de 30 pulgadas. ¿Con qué longitud del péndulo dará la hora exacta? Un circuito RLC es una configuración de circuito formado por una resistencia R, una inductancia L, y un capacitor C. En un circuito sabemos que el capacitor es un elemento que almacena carga con fórmula: donde Q es la carga (coulombs), C es la capacitancia (farad) y V es la diferencia de potencial (volts). La corriente, que corresponde al flujo de carga en el tiempo es: , y se mide en amperes, mientras que la inductancia toma en cuenta el campo magnético generado por la corriente que circula por el circuito, es decir: , donde V es la diferencia de potencial y se mide en volts, L es la inductancia y se mide en Henry, y es el flujo de corriente por unidad de tiempo, en cuanto a R sabemos que sigue la Ley de Ohm: .
  • 15. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com a. Diseñen el modelo para este tipo de circuito y escriban la ecuación diferencial correspondiente. b. Resuelvan la ecuación diferencial encontrada. c. Observen la semejanza con el modelo de vibraciones forzadas: i. Inductancia L masa m. ii. Resistencia R constante de amortiguamiento c. iii. Recíproco de la capacitancia 1/C constante de restitución del resorte k. iv. Derivada de la FEM fuerza externa FE = F0 cost. v. Corriente I(t) desplazamiento. d. Apliquen los resultados a los siguientes circuitos e interpreten. Un circuito RLC consta de los siguientes elementos: una resistencia R = 4Ω, un capacitor de 4mF, un inductor de 25mH y una fuerza electromotriz V = 110 cos t V. Determinen la carga y la corriente en todo momento, si el capacitor está inicialmente descargado (Q0 = 0) y no fluye corriente por el circuito (I0 = 0). Se conectan en serie una resistencia R = 4Ω, un capacitor C=1F, una inductancia L = 4H, a una fuente de poder V(t)=100cos t. Determinen la carga y la corriente en todo momento si al inicio la carga del capacitor es cero y la corriente es de 6A. Parte 1: Reunión de equipos 1. Reúnanse en grupos de 3 o 4 personas. Recuerden utilizar un medio de comunicación eficaz, como Skype, Google Docs, o algún otro chat. 2. Contesten las siguientes preguntas, no olviden fundamentar sus respuestas: a. ¿Qué es el fenómeno de resonancia y en qué situaciones aparece? b. ¿Qué es la frecuencia de resonancia? c. ¿Con qué forma matemática se representa el fenómeno de resonancia? d. Escriban la ED que representa el caso simple de masa-resorte estudiado previamente. e. Ahora agreguen a esa ED una frecuencia de excitación de tipo oscilatorio (sent / cost) f. Resuelvan ambas ecuaciones (punto d y e). g. Para la ED que tiene una fuerza externa (e), determinen la amplitud de la onda. h. Encuentren la situación en donde el valor de la amplitud es máximo. i. Ahora agregaremos a la ED encontrada en el inciso (e) la fuerza de fricción que es proporcional a la velocidad y en sentido contrario al movimiento. j. Resuelvan esa ED para encontrar la amplitud de un caso más realista. Parte 2: Reparto de actividades Como se habrán dado cuenta, en la actividad anterior el fenómeno de resonancia requiere: a. Un sistema de tipo elástico que presente frecuencias naturales de vibración. b. Una fuerza externa de tipo periódico que actúe sobre el sistema elástico. c. Una coincidencia entre ambos tipos de frecuencia.
  • 16. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 4. Continúen trabajando en equipo y repártanse los siguientes casos de la vida cotidiana en forma equitativa para poder explicarlos: a. Resonancia en sonidos ambientales. b. Resonancia en edificios y su efecto al haber un sismo. c. Mareas. d. Vibración violenta de los vidrios de una ventana. e. Resonancia en distintas partes del cuerpo. f. Resonancia que hace romper una copa de cristal. g. Resonancia como parte de cortejo en insectos. h. Resonancia de un puente cuando pasan soldados marchando. 5. Mencionen la frecuencia de resonancia para cada uno de los casos anteriores. Parte 3: Sondeo 5. Revisen con compañeros de otros equipos los modelos propuestos y los resultados. Utilicen el foro de la actividad para compartir la información. 6. Discutan y argumenten cuál es el mejor modelo y la mejor solución. 7. Pongan a prueba la solución para la siguiente situación: La base metálica en donde está instalada una lámina de acero tiene una masa de 1000 kg. Hay una fuerza actuando sobre la base de F(t) = 2000 sen(10t) en donde t es el tiempo en segundos. La base es detenida por un soporte elástico equivalente a la constante del resorte k= 2 x 105 N/m. Determinen para una depresión de 0.1m lo siguiente: a. La ED que determina el movimiento. b. Determinar si es una vibración resonante. c. Encontrar la ecuación de posición y velocidad. d. Determina el tiempo de ruptura si se elonga 0.3m. 8. Instrucción para el alumno: 9. Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios 10. 1. Determina si la ED tiene puntos singulares y en qué punto(s). a. b. 11. 2. Resuelve la siguiente ED por serie de potencias: a. b. 12. 3. Encuentra la Transformada de Laplace de: a. f(t) = cos2t b. f(t)= t2e-2t 13. 4. Encuentra la Transformada inversa de Laplace: a. 14. b.
  • 17. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 15. 5. Resuelve las ED utilizando TL: a. ; y(0) = 0, y’(0) = -6 b. ; y(0) = 0, y’(0) = 12 6. Utiliza el método más conveniente (entre seres de potencia y transformada de Laplace), para resolver el siguiente problema: 16. Un cuerpo pequeño de masa m = 2 está sujeto en el extremo inferior de un resorte elástico, cuyo extremo superior está fijo. El módulo del resorte es k = 10. Sea y(t) el desplazamiento del cuerpo a partir de la posición de equilibrio estático. Determina las vibraciones libres del cuerpo (ecuación de movimiento), si parte de la posición inicial y(0)=2 con velocidad inicial y(0) = -4, y además suponiendo que hay un amortiguamiento proporcional a la velocidad cuya constante es c = 4.