Cuaderno de Actividades: Física I     2) Dinámica de una partículaLic. Percy Víctor Cañote Fajardo    42
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  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I 2) Dinámica de una partículaLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 42
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I2) Dinámica de una partículaDescribe el movimiento a partir del concepto de FUERZA (CF vectorial) Cantidad física derivada en el SI Permite representar interacciones:  Interacción gravitacional(IG) o Fuerza gravitacional ≡ W (peso)  Interacción electromagnética (IEM) o Fuerza E.M. = f (fricción) o Tensión o Comprensión o Fuerzas de contacto  IND {de cierta forma se cumplen las fuerzas}  INF {idem}Hay que recordar que este concepto fue introducido por I. Newton en ladescripción del movimiento de los cuerpos.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 43
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I2.1) Leyes de NewtonEstas leyes constituyen las leyes del movimiento de los cuerpos (v <<<c)Estas leyes son válidas para los observadores inerciales (describen la Física{mecánica}en forma equivalente).“Os” Inerciales: r r r t≡ t v ≡0 v ≡ cte Tierra (reposo) O O’PRIMERA LEYTodo cuerpo conservará su estado de reposo v MRU mientras no actúe sobreel una fuerza resultante (Fza resultante, FR) r r F1 F2 Reposo r r r r r o si FR ≡ F1 + F2 + F3 ≡ 0 r F3 MRUObservación:Esta 1ra ley pretende “conocer” a la fuerza como aquella que produce cambioen el estado de movimiento de los cuerpos.En los “Principia”, la obra cumbre de Isaac, estas Leyes aparecen en el tomo I,en muchos casos la fuerza resultante asume solo una fuerza.¿? Hacer monografía sobre la vida de Isaac Newton.¿? Leer la Leyes en los Principia.¿? Cuál es el correcto nombre de esta obra.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 44
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física ISEGUNDA LEY: rSi la fuerza resultante es diferente de 0 , entonces, el cuerpo acelerara. r r r FR ≠ 0 a // FR r a r 1 r  a ≡  FR  m La cantidad “m” se determina experimentalmente y es denominadaPROPIEDAD MASA DEL CUERPO.m ≡ ml : masa inercial se opone a los movimientosm ≡ mg: masa gravitacional favorece a los movimientos⇒ m ≡ ml ≡ mg : de esta forma Newton resuelve magistralmente la disyuntiva.La segunda ley establece un orden de hechos: r Causa: FR r Efecto: aSe desarrolla la corriente filosófica basada en el llamado Principio deCasualidad ⇒ Física clásica.TERCERA LEY:Las fuerzas en la naturaleza aparecen apareadas. r r r F2 F1 : acción ≡ A r r r F1 F2 : reacción ≡ RLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 45
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física ICaracterísticas:i) Actúan sobre cuerpos diferentes. r rii) A ≡ −RObservaciones:k) El estado de reposo o MRU suele ser llamado estado de EQUILIBRIO o INERCIAL.kk) En particular el equilibrio con MRU suele ser llamado estado natural, libre de los cuerpos.¿? Un cuerpo está en equilibrio en los puntos de Lagrange.kkk) La forma operacional de la segunda ley es: r FR = ma r r p = mv d rFI : FR ≡ p; m = cte dtLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 46
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física Ikv) DCL (Diagrama Cuerpo Libre): Consiste en aislar al cuerpo (o parte del sistema), graficando todas las fuerzas actuantes. Recordar que las fuerzas son representaciones de interacciones, por lo tanto, en el DCL deberán de existir tantas fuerzas como interacciones experimente el cuerpo.Ejemplo 1) Determine la fuerza constante F que se necesita para acelerar un automóvil (m = 1000 kg) por una carretera llana desde el reposo hasta 20 m/s en 10s.SOLUCION: 10sDCL (m): V0 = 0 V1 = 20 m/s Asumiendo que la fuerza de fricción es despreciable, y W x F N r r r rDe la 2da Ley: FR ≡ ma → FR ≡ Fi + Nj − wj ≡ Fi + ( N − w) ˆ ≡ ma ≡ mai ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆIgualando componentes:x: F ≡ ma ∧ y: N −w≡0→ N ≡ wAhora, usando la cinemática hallamos la a constante, v(10) − v(0) 20a= = =2 10 − 0 10Por lo tanto,F ≡ (1000)(2) ≡ 2kNLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 47
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física IEjemplo 2) Un bloque de hielo cuya masa es de 15 kg se desliza 20 m sobre una superficie horizontal antes de pararse. Si su velocidad inicial era de 15 m/s, determine: a) La fuerza de rozamiento entre bloque y superficie. b) El coeficiente de rozamiento cinético µk. 20 m x mg 15g v0 = 15 m/s vf = 0 f N SOLUCION: De la dinámica, ΣFy = 0 → N – mg = 0 ⇒ N = mg a ΣFx = ma → f = ma ⇒ − f = − µ N = ma → µ ≡ − g De la cinemática, 1 1 x = x0 + v0t + at 2 → x = v0t + at 2 2 2 v f − v0 −15 −15  −15  1  −15  2 a= = →a= → 20 = 15   + a  t t t  a  2  a  1 152 20 = − ⋅ 2 a 152 a=− → a = −5, 6 40 a) f = ma= (15) (-5,6)= -84 → f ≡ −84 a −5, 6 b) µ k ≡ − ≡ → µk = 0, 6 g 10Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 48
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física IEjemplo 3: Analice los pares A-R de m1. m1 µ≠0 m2SOLUCION:DCL (m1): W1 v T f N1 -N1 -fEjemplo 4: Una caja de masa 100 kg descansa sobre el suelo de un montacargas. Determine la fuerza que la caja ejerce sobre dicho suelo si el montacargas. a) Arranca hacia arriba con una aceleración de 3 m/s2. b) Arranca hacia abajo con una aceleración de 2 m/s2. Asuma g=9,8m/s2.SOLUCION: Haciendo el DCL (m), la fuerza A es la fuerza que ejerce la caja al piso del montacargas,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 49
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I a a W m a y R=N x Aa) ΣFy = ma N – mg = ma N = m (a+g) = 100 (3 + 9,8) = 1280 Nb) ΣFy = ma mg – N = ma ν N – mg = m (-a) N = m (g – a) N = 100 (9,8-2) = 780 NEjemplo 5) Sobre una superficie plana y horizontal se apoya un bloque que pesa 1000 N, según se indica en la figura. Determinar a) El módulo de la fuerza F que produciría una aceleración de 1,5 m/s2, si la superficie fuese lisa. b) La aceleración que originaria una fuerza F de 500 N si el coeficiente de rozamiento cinético, µk, entre bloque y suelo fuese 0,25. F y 37°SOLUCION: Haciendo DCL de la caja y descomponiendo las fuerzas en x-y,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 50
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física I Fx v F Fy w y 37° f Na) ΣFx = ma Fcos37 = m a ma 100 × 1,5 F= = ≡ 187,5 cos37 cos37 ΣFy = 0 N – w – Fsen37 = 0b) F = 500 N µk = 0,25 ΣFx = m.a Fcos37 – f = ma Fcos37 – µN = ma N=?: ΣFy = 0 N – w – Fsen37 = 0 N = mg +Fsen37 Fcos37 – µ (mg +Fsen37)= ma 500 (4/5) – (0,25) (1000 + 500 (3/5)) = 100 a a=0,75Ejemplo 6) En la figura los cuerpos A y B pesan 250 N y 225 N respectivamente. El coeficiente de rozamiento cinético µk para el cuerpo B vale 0,20 y al sistema se libera partiendo del reposo. Durante el movimiento de los cuerpos determine,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 51
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física I a) La aceleración del cuerpo A. b) La tensión del cable que une los cuerpos. c) La distancia recorrida por el cuerpo B durante los primeros 5 segundos de movimiento. 2xA + xB = mBgsenθ cte( la T mBgcosθ longitud T T B y de la cuerda y N SR es cte) v mB g f x 4 A 3θ x mAg2v A + vB = 02a A + aB = 02aA + aB = 02aA =- aB2| aA| = |aB|…….(1)Para A:ΣFy =mAg-2T=mA aA…….(2)Para B:ΣFx =mBaB=T- mBgsenθ-f……(3)ΣFy = 0: N – mB gcosθ = 0……..(4)Resolviendo (1), (2) (3) y (4) aA =? aB =? T =?2,2) Algunas fuerzas especiales ri) Fuerza de fricción, f Es una fuerza que aparece durante el desplazamiento (o intento de desplazamiento) relativo de superficies. Se opone siempre a dicho desplazamiento.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 52
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física I r→ f por deslizamiento Es una fuerza de procedencia electromagnética y se estudia de dos formas:→ Experimental: Descripción fenomenológica F v fHace ∼ 500 años: Coulomb, Amontons.→ Analítica: Nanotribología Modelos de f a nivel, atómico – molecular, propuestos hace 15 años.Descripción Experimental r ri) v ≡0 F = fs → Fmax = fs, max = µs N F > Fmax → v ≠ 0 Fmax : caracteriza el estado de movimiento inminenteii) v ≠ 0 fk ≡ µk N fk ≤ fs ⇒ µk ≤ µs f µsN=fs,max µkN r F maxr r F v ≡0Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo ≠ 0 v 53
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física IObservación: f generalmente modelada por el experimento.f ≡ a + bv + cv2 + … ↑ ↑ ↑Propuesta Experimental: “La velocidad limite”, vLMediante un montaje experimental sencillo es posible corroborar uno de losresultados más notables de la fuerza de fricción, esto es , cuando se le puedemodelar en función a la velocidad, pudiendo comprobar rápidamente lapredicción teórica.¿? Importancia de la velocidad limite. Aplicacionesii) Fuerza GravitacionalLey de la gravitación universal→ I. NewtonTeoría general de la relatividad→ A. Einstein m2 Gm1m2 Nm 2 -F F= G ≡ 6, 67 ×10−11 r2 kg 2m1 F r“Leyes” de Kepler→J. KeplerI. OrbitasLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 54
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física III. Velocidad ArealdA = ctedtIII. Periodos OrbitalesT 2 ≡ c R 3 ← c ≡ c( M , centro gravitacional )iii) Fuerza centrípeta, FcpFuerza resultante de todas las fuerzas radiales dirigidas hacia el centro decurvatura. F2r F1 = 0 • F1r F2 Fcp ≡ FR ,radial ≡ F1r − F2 riv) Fuerza elástica: Ley de Hooke P∈ K m x 0Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 55
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física IFres = - kxDescribe adecuadamente movimientos periódicos oscilantes.2,3) Dinámica del movimiento CircularAplicando la segunda Ley y escribiéndola en los ejes radial y tangencialobtendríamos las ecuaciones suficientes par describir el MC adecuadamente.r r r rFR ≡ ma ≡ m(at + ar )r r rFR ≡ FRt + FRr dvt d 2st : FRt ≡ mat ← FRt ≡ m ≡ m 2 dt dt v 2t s2 &n ≡ r ≡ cp : FRr ≡ Fcp ≡ mar ≡ m acp ≡ m ← Fcp ≡ m R REstas ecuaciones también se podrían escribir en la variable angular. Si seconocen las fuerzas se obtendrían 2 ecuaciones en variables cinemáticas,resultando ser una descripción ya conocida.Aplicaciones:S2P7)Un cuerpo de masa m ≡ 10 kg se mueve sobre unplano rugoso (µk ≡ 0,2) como se indica en la figura.La longitud de la cuerda es 1 m y su masa m0 ≡ 0,2 m0kg. Considerar la cuerda indeformable. Si la mano maplica a la cuerda una fuerza de 122 N, determine:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 56
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física Ia) Realice los DCL de m y m0 .b) ¿Qué fuerza le aplica la cuerda a m?c) ¿Como modificamos el problema para que el sistema (m + m0) este en equilibrio?SOLUCION:a) W RB/C RM/C Ac/B T F T fk b) Calculamos W0 N la aceleración del sistema (m +m0) , a y W W0 x F fk RM/C Nx : FR ≡ ma FR ≡ F − f k ≡ ( m + m0 )a ← f k ≡ µ Ny : N + RM / C ≡ w + w0 ← RM / C :Re accion de la mano contra la cuerda w0Del DCL(m0) de la parte a) RM / C ≡ AC / M ≡ RB / C ≡ AC / B ≡ 2 w0 wy :N ≡ w+ → f k ≡ µ ( w + 0 ) ≡ (0, 2) × (101) ≡ 20, 2 2 2Con lo cual la aceleración,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 57
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física I  w  F −µw+ 0   2  122 − 20, 2a≡ ≡ ≡ 10, 0 (m + m0 ) 10, 2Analizando el sistema bloque-cuerda de longitud x W a x T(x) f NDe la 2da Ley,  m T ( x ) − fk ≡  m + 0 xa  l0    w  F − µw + 0   m0   m0     2  wT ( x) ≡  m + x  a + fk ≡  m + x  + µ (w + 0 )  l0   l0   ( m + m0 )  2    T ( x ≡ 0 ) ≡ (20,2) + ( 10 ) (10) ≡ 120, 2c) Una opción seria que F=20,2S2P14) El sistema mostrado está en reposo 0,6 m cuando se aplica una fuerza de 150 N C 8 kg al collarín B. B a)Si la fuerza actúa durante todo el 15 movimiento, determínese la velocidad 0N del collarín B al golpear al soporte C. b)¿Después de qué distancia d se deberá eliminar la fuerza de 150 N si el collarín debe llegar al soporte C con 3 kg velocidad cero? ALic. Percy Víctor Cañote Fajardo 58
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física ISOLUCION:a) v ( 0) ≡ 0 T a 2a B WA F T TDe la 2da Ley:F − 2T ≡ mB aB ≡ mB aT − wA ≡ mA a A ≡ m A { 2a} F − 2T ≡ mB a 1) T − mA g ≡ 2mA a 2) 2T − 2mA g ≡ 4mA a 2’) F − 2m A g(1) + (2) : F − 2m A g ≡ { mB + 4mA } a → a ≡ { mB + 4mA } 150 − 2 × 3 × 10 9 0∴a ≡ ≡ ≡ 4,5 → a ≡ 4,5 8 + 4×3 20Ahora, de la cinemática: a t C ∆x D t≡0 V(t) ≡ ? 0,6 V(0) ≡ 0Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 59
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física Iv 2 ( t ) ≡ v 2 ( 0 ) + 2a∆x → v ( t ) ≡ { 2 × 4,5 × 0,6} 1/ 2 → vc ≡ v ( t ) ≡ 2,3 ã a C E d D b) • • • 0 − 2m A g −2 × 3 × 10 −60a≡% ≡ ≡ ≡ −3 → a ≡ −3 % { mB − 4mA } 8 + 4×3 20Tramo DE: vE ≡ 2 × 4,5 × d 2Tramo EC: vc2 ≡ 0 ≡ vE + 2 × ( −3) × ( 0,6 − d ) 2De estas 2 últimas Ecs:vE ≡ 9d ≡ vE ≡ 6 ( 0,6 − d ) 2 215d ≡ 3,6 → d ≡ 0, 24S3P2)El automóvil de masa m de la figura baja por el planoinclinado con rapidez V0. El coeficiente de fricción cinéticaentre las ruedas y el piso es µk y el ángulo que forma alplano inclinado con la horizontal es θ. Si en cierto instante elchofer aplica los frenos para evitar que las ruedas giren,halle: θa) El desplazamiento luego de aplicar los frenos hasta que se detiene. (USE METODOS DINAMICOS y CINEMATICOS)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 60
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física Ib) La masa del automóvil, si se conoce wc = trabajo de las fuerzas conservativas.SOLUCION:V(0) ≡ V0 m v(t)≡0 A N W B θa) De la 2da Ley, FR ≡ − f k + wsenθ ≡ ma − µ mg cos θ + mgsenθ ≡ ma − µ g cos θ + gsenθ ≡ a De la cinemática, v 2 ( t ) ≡ v 2 ( 0 ) + 2a∆x → 0 ≡ v0 2 + 2a∆x v0 2 a≡− ≡ − µ g cosθ + gsenθ 2∆x v0 2 ∆x ≡ 2( µ g cosθ − gsenθ )…Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 61
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física IS2P26) Sobre el sistema que se muestra en lafigura actúa una fuerza F(t) ≡ (2 t + 2) N. Las m2masas m1 ≡ 20 kg y m2 ≡ 5 kg tienen coeficientes Festático µs ≡ 0,4 y , cinético µk ≡ 0,2. El m1sistema parte del origen con rapidez cero,determinar: 0 xa) Los DCL de m1 y m2 para todo tb) Las aceleraciones de m1 y m2 en todo t.SOLUCION:El T de 2 “quiebre” lo marcara t/ f(t) ≡ fs, max entre los bloquesa)…Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 62

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