Cap 3 w y e 68-84

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Cap 3 w y e 68-84

  1. 1. Cuaderno de Trabajo: Física I 3)Trabajo y Energía 68Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  2. 2. Cuaderno de Trabajo: Física I3) Trabajo y Energía r3,1) Trabajo de una fuerza, w FA r F τ B rm ∆rAB r dr rr r r rB W ≡ ∫r F ⋅ dr F A→ B { rA 1 24 4 3 τ τEl trabajo de una fuerza wF es una integral de línea a través de la τ. r rEl w F dependerá del conocimiento de F ≡ F(r) en cada punto de la τ, el rvector dr es un desplazamiento elemental. Como toda integral de línea sedeberá parametrizar τ.El w F se puede “entender” como la evaluación total del efecto de la fuerza Fen el desplazamiento del cuerpo. r uurCASO PARTICULAR: F ≡ cte r r r W F A→B ≡ F .∆rAB τ F⊥ F θ F// 69Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo A B ∆rAB
  3. 3. Cuaderno de Trabajo: Física I rW → + ,Si F // ∆ rAB rW → 0 ,Si F ⊥ ∆ rAB rW → - ,Si F//  ∆ rABµ[W] ≡ Nm ≡ Joule ≡ J3,2) Energía, EEs la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo.Tipos de Energía:i) Energía Cinética, EkEnergía vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos. r v 1 2 Ek = mv m 2 0ii) Energía Potencial, EpEnergía asociada a la configuración del sistema para la cual se define.Es una energía que corresponde al sistema. Depende de cómo estándistribuidos los elementos del sistema. 70Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  4. 4. Cuaderno de Trabajo: Física Ii) Ep Gravitacional: Epg m2 r m1 − G m1 m2 E pg = rCaso Particular de Epg: m→ E pg = mgh h NIVEL∆Ep: √; El nivel es irrelevante!ii) Ep Elástica, Epe→ Sistema Elásticos→ Sistema m – k ideal PE: Posición de equilibrio k m F 0 x m x xConfiguración del sistema: x{x deformación del resorte) 1 E pe ≡ kx 2 2 71Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  5. 5. Cuaderno de Trabajo: Física I∆Epe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energía, con lo cual la referencia no es importante.Es posible lograr una ecuación similar de Epe para todo sistema elástico.iii) Energía Mecánica, EMEs la energía constituida por la energía cinética y la energía potencial de unapartícula. Observar que no es una energía que describa alguna propiedad de lapartícula. Resulta una definición conveniente, como veremos. EM ≡ E K + E P ≡ EKT + EKR + E pg + E pe3.3) Relaciones entre W y E, R ≡ R (W,E)El trabajo y la energía están íntimamente conectados, reflejándose dichaconexión en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton porun lado, y a Leyes de Conservación, por otro. ( ) ri) R ≡ R W , EK FREsta relación es una forma elegante de la Segunda ley de Newton. r2 r r r W1→2 ≡ ∫ FR .dr FR r1 r r  dv  r dv r r ≡ ∫ m  .dr ≡ m ∫ .dr FRW12  dt  dt 124 4 3 *r ˆv = v x i + v y ˆ + vz k ˆ j r ˆ ˆ ˆdr = dxi + dyj + dzk 72Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  6. 6. Cuaderno de Trabajo: Física I  dvx ˆ dv y ˆ dvz ˆ(*) = ∫  dt i + dt j + dt  { ˆ ˆ ˆ k  . dxi + dyj + dzk  }    dx = vx dt  dvx dv y dvz   = ∫ dx + dy + dz  ←  dy = v y dt 1 dt 3 dt 2 dt   dz = v dt  α   z  dv  d 1 2  1 2 α → ∫  x vx  dt = ∫  vx  dt = vx  dt  dt  2  2 Y por simetría operacional, 1 2 1 ≡ 2 { 2 2 2 } vx + v y + v z ≡ v 2 2W12 r FR r  dv  r 1 2  ≡ ∫ m  .dr ≡ m  v   dt  2  1 2 = Ek 1 = ∆Ek r →W FR = ∆Ek r r rW FK = ∆Ek ↔ FR = maii) R = R (WFNC, ∆EM)Esta relación muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrandoclaramente su carácter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara lascondiciones para que dicha energía se conserve.Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM. 73Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  7. 7. Cuaderno de Trabajo: Física I r FNC = Trabajo de la Fnc W ∆Q; ∆EM 50 J de Ek a 50J de Q (forma de energía no mecánica)Conoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas.Fc = Son fuerzas que conservan la EM.Están definidas por Fc = - ∇U∇: Operador NablaU: Función potencial escalarU = Ep (Energía Potencial)Toda Fc tendrá asociada una energía potencial: Fc ↔ EprFc EpFg ≡ W EpgFelásticas EpeEsto debe ser así debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cualsignifica que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada,siempre es cero, r r r∇ × F = ∇ × (−∇U ) ≡ −∇ × (∇U ) = 0 → ∇ × (∇U ) = 0El operador nabla se define así,  d ˆ d ˆ d ˆ∇≡ i + j + k  dx dy dz  r rAhora, si una fuerza es conservativa, F = Fc , entonces, deberá satisfacer dela condición de rotor nulo, 74Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  8. 8. Cuaderno de Trabajo: Física I∂Fx ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fz ≡ ∧ ≡ ∧ ≡∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y r r r rEsto es, la fuerza j ˆ F = Fxi + Fy ˆ + Fz k ˆ deberá de cumplir simultáneamentelas tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas. rOtra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas ( ) Fc esmediante la independencia de su W según cualquier trayectoria τ.1 Fc r r r r τ1 r2 F ≡ cte τ2 2 ∫r r1 Fc .dr ≡ W1→ 2 τ3 ∀τFinalmente, podríamos decir según la definición de estas fuerzas, que el rW FC ≡ −∆E p , ecuación que será muy útil para efecto de determinarrelaciones importantes.Regresando a la FNC:→ No están definidas por la ecuación Fnc = - ∇U→ ∃ U = E p asociada→ W FNC depende de la τ r→W FNC no es evaluable por la ecuación W FNC ≡ −∆E pDe todo lo anterior, 75Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  9. 9. Cuaderno de Trabajo: Física I W FNC ≡ ∆ M E¿? Probar esta relación partiendo de la primera relación donde lar r rFR = Fc + Fnc .Conservación de la EM: Para que la energía mecánica se conserve,∆EM ≡ 0 → W FNC ≡ 0 r r FNC → ∃ FNC ∨ ∆r→ EMi ≡ EMfEn general,Como W FNC ≡ ∆EM ≡ EMf − EMi , entonces, EMf ≡ EMi +W FNC3,4) Potencia, PEs la cantidad física escalar que informa la rapidez de realizar trabajo oenergía.i) Potencia media, PM: 76Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  10. 10. Cuaderno de Trabajo: Física I W Pm = ∆tii) Potencial Instantánea, P: W  dW P ( t ) ≡ lim   = ∆t →0  ∆t  dt r v ( t) r F ( t) rr P ( t ) ≡ F .v Ju [ P] = = watt ≡ W sS3P18) Una pequeña piedra de 0,10 kg se deja en libertad desde su posición de reposo en el punto A, en el borde de un tazón hemisférico A R de radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra es pequeña en comparación con R, así que V puede tratarse como una partícula. El trabajo efectuado por la fricción sobre la piedra al bajar de A y B en el fondo del tazón es –0,22 J,¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar a B?, B 77Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  11. 11. Cuaderno de Trabajo: Física ISOLUCION: A R R w = 0,1 R = 0,6 VB =? nivel m r B vB r N f r w: fuerza conservativa f, N : fuerzas no conservativas. r wWFnc = ∆EM, FNC ≡ f rW f A→ B = EMB − EMAEM = Ek + Epg r 1 2W f A→ B = EkB − E pgA = mvB − mgR 2 2 ( ) rvB = WA→B + mgR ≡ ¿? f m r¿? Se podrá resolver usando W FR ≡ ∆Ek 2 FRrvB = WA→B m r r r rW FR =W + W w N +W f ↓ 78Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  12. 12. Cuaderno de Trabajo: Física I r r rww ≡ w.∆r = wR 2 FRrvB = WA→B ≡ ¿? mS3P1) Sobre una partícula actúa la fuerza r ( ) F ( x, y , z ) ≡ 3 x y 2 z i +  3 x 2 yz + zy  ˆ N: ˆ   j  r a) ¿Es F una fuerza conservativa? b) Si a) es afirmativo, halle la función potencial escalar, U (x,y,z). c) Halle la energía potencial si para un problema particular U (1,0,1) ≡ 1. d) ¿El movimiento es en el plano? Discuta.SOLUCION:r r 124 { ˆ 4 3 14243 } {F ( r ) = F ( x, y , z ) = 3xy 2 z i + 3x 2 yz + zy ˆ j } Fx Fy r ra) F → Fc ? r r∇× F = 0 derivadas parciales cruzadas∂Fx ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fz = ∧ = ∧ =∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y6xyz = 6xyz ∧ 3xy2 ≠ 0…La ultima ecuación no es correcta…la fuerza es no conservativa!¿? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar el problema.S3P2) Dado el siguiente campo de fuerzas, r F ( x, y, z ) ≡ ( x + x ) iˆ + ( 2 y + 1) ˆ + ( z + z ) k , 2 j 3 ˆ a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo. b) Halle la energía potencial asociada para U (1,1,1) ≡ 0. c) De una curva de energía potencial que represente un caso físico concreto. 79Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  13. 13. Cuaderno de Trabajo: Física ISOLUCION: ( 4 3 124 124 ˆ ) 4 3 j 124 4 3 (F ( x, y , z ) ≡ x 2 + x i + ( 2 y + 1) ˆ + z 3 + z k ˆ ) ∂Fx ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fza) ≡ → 0 ≡ 0, ≡ → 0 ≡ 0, ≡ →0≡0 ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y r F → Fc ∴∃U { ≡ E p } / F ≡ −∇Ub) U ≡ U(x,y,z) F ≡ Fc ≡ - ∇U r rF .dr ≡ −∇U .dr 123 ∂U ˆ ∂U ˆ ∂U ˆ r∇U ≡ i+ j+ k ∧ ˆ ˆ ˆ dr = dxi + dyj + dzk ∂x ∂y ∂z r ∂U ∂U ∂U∇U .dr ≡ dx + dy + dz ≡ dU ∂x ∂y ∂z r rF .dr ≡ −dU r r∫ : U ≡ − ∫ F .dr rPara determinar U se puede integrar F tal como lo indica la Ec anterior,U ≡ − ∫ { Fx dx + Fy dy + Fz dz}Analizando la ∫ por cada componente e introduciendo una “cte” funcional encada caso:x : U ≡ − ∫ Fxdx 80Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  14. 14. Cuaderno de Trabajo: Física I  x3 x 2  U ≡ −∫ { } x + x dx ≡ −  +  + cx ( y, z ) 2 3 2y : U ≡ − ∫ Fy dy { } U ≡ − ∫ { 2 y + 1} dy ≡ − y 2 + y + c y ( x, z )z : U ≡ − ∫ Fz dz  z4 z2  U ≡ −∫ { } z + z dz ≡ −  +  + cz ( x, y ) 3 4 2Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene,  x3 x 2   z4 z2  { }U ( x, y , z ) ≡ −  +  − y + y −  +  + c ≡ E p ( x, y , z ) 2 3 2 4 2 r→ Fc ≡ −∇U ≡ Fx i + Fy ˆ + Fz k ˆ j ˆDonde la constante c se determina por la condición que caracteriza al problemafísico, Ep (1,1,1) ≡ 0 1 1  1 1 c ≡  +  + { 1 + 1} +  +  3 2  4 2Ep ≡ (x,y,z) / c ≡ 43/12c) c1) Ep de un núcleo atómico Ep 0 R r 81Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  15. 15. Cuaderno de Trabajo: Física I c2) Ep de sistema m - k Ep-A A x c3) Ep de sistema planetario o sistema atómico Ep r ¿? Podría proponer dos curvas más de Ep.S3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se suelta A desde el reposo sobe una superficie circular lisa AB para después moverse sobre la superficie horizontal BC, cuyo k 8m C D 12 m B 82Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
  16. 16. Cuaderno de Trabajo: Física I coeficiente de rozamiento es µ = 0,2. En el punto C está colocado un resorte de constante k = 103 N/m: a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B. b) ¿Cuánto se comprime el resorte?SOLUCION:m=4 AB = liso k = 103VA = 0 BC = rugoso µ = 0,2a) NB=? 0 A k 0 BDCL (m) al pasar por B, 0 2 mvB Fcp ≡ N B − w = Fcp R w 2 B vB N B = w + m , w = mg NB R vB = ?Analizando de A → B: WFnc ≡ 0, Fnc = N→EmA ≡ EmB 1 2EMA ≡ Epg A ≡ mgR ≡ EMB ≡ mvB → vB ≡ 2 gR 2 2 2 gRN B ≡ mg + mx = 3mg R b) Sea la compresión dada por DE, DE=∆x? 83Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo C E D
  17. 17. Cuaderno de Trabajo: Física I r r rD − E : ∃ FNC ≡ f ;W FNC = f ≡ ∆EM→ -f (12 + ∆X) ≡ EME - EMB 1 1 ≡ k { ∆x} − m ( 2 gR ) 2 2 2→ a (∆x) 2 + b∆x + c ≡ 0 / f ≡ µ k mg→ ∆x ≡ ? 84Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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