Cuaderno de Actividades: Física I  5) Mecánica del Cuerpo          RígidoLic. Percy Víctor Cañote Fajardo    133
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Cap 5 dinamica de cr 133-144-2009 i

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I 5) Mecánica del Cuerpo RígidoLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 133
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I5) Mecánica del Cuerpo Rígido5,1) Definición de CREs un sistema de partículas especial que no se deforma bajo el rango defuerzas que actúa sobre el. Se adopta para poder describir la componenteROTACIONAL del movimiento de los cuerpos.SP i dijn↔∞ jdij ≡ cteCR → cuerpos indeformables5,2) Movimiento del Cuerpo Rígido El Movimiento del CR, en el caso planar, se puede describir de la siguiente manera, Traslación rotación Mov. CR ≡ de un punto + en torno de del CR dicho punto → CM → CM cm w cm  vEsta descomposición de movimientos ya ha sido vista en otros casos,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 134
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I“Mov. Parabólico” MP ≡ MRUx “+” MRUVyi) Traslación0’ = CM  r ≡ r0/ 0 + r   v ≡ v0/ 0 + v   a ≡ a0/ 0 + a    FR ≡ FR , ext ≡ MaCMii) Rotación d  τ R ,ext ≡ L dt ↑  ↑  F p      τF ≡r xF L≡rx pO: → pto fijo → CM → mov // al CMCuando las rotaciones se efectúan bajo un eje especial, llamado eje principal de inercia, EPI, al L se puede escribir así: L = Iw ← EPII: momento de inercia respecto al EPI d τ R ,ext ≡ dt {  L ≡ Iw }→ ↑ xyz    ≡ Iw = IαLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 135
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física I τ R ,ext ≡ Iα El I tendría su equivalente en m, representando por lo tanto inerciarotacional,→ I≡MMomento de Inercia, I La expresión general de I se extrae de la forma general del L , esto es,  L≡ ∫ r × v dm CR   y, escribiendo v ≡ ω × r , con lo cual,     L≡ ∫ r × v dm ≡ ∫ r × (ω × r ) dm , reemplazando el triple producto vectorial, CR CR      r × (ω × r ) ≡ r 2ω − ( r .ω )r , entonces, ∫ r × v dm ≡ ∫ r × (ω × r ) dm ≡ ∫ { r ω − (r .ω )r } dm , desarrollando la integral y         L≡ 2 CR CR CRordenando términos obtendríamos la expresión tensorial, tL ≡ Iω tdonde I es el tensor de inercia descrito por, I I xy I xz t  xx I ≡  I yx I yy I yz   I zx I zy I zz   en la cual las formas I ij son los productos de inercia y I ii los momentosprincipales.Los momentos principales siempre pueden escribirse de esta forma, ξ ∫r ξ I CR ≡ 2 dm CR  r dmLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 136
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física Iiii) Energía 1 2 1   EkR ≡ Iw ≡ L ⋅ w 2 2  EPI: L ≡ I ⋅ wEM ≡ E k + E pSi  → ∃ Fnc ∨ w Fnc ≡ 0 → E M ≡ cte→ EM ≡ EKT + EkR + E pS5P13) Halle los Is respecto a lo ejes x e y del cono circular recto de masa m y dimensiones representadas en la figura. Y e 0 h xz Y disco x, y I CR ≡ ??? rxZ x h XLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 137
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física Ia) ξ ≡ xDiscos: ξ Asumiendo anillos de masa dm ξ I disco ≡ ∫ dI {M R anillosAnillos: Asumiendo pequeños arcos de masa dm, ξ dm I anillo ≡ ∫ R 2 dm Ma R Iξ ≡ R 2M anillo ≡ Ma R 2 ∫ ξRegresando al disco: Idisco ≡ r 2 dm discoanillo: dm ↔ M(masa del disco) da dm  M  0 r dr r dm ≡ σda ≡  2  {2πrdr}  πR Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 138
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física I 2M≡ rdr R2 { ∫ r dr } 4 2 R 2M 2M R MR→ Iξ = 3 ≡ x = 0 R 2 R 2 4 2 dm 2Iξ≡ x ≡ ∫ dIdisco ≡ ∫ cono ξ r ( x) 2 ρ } m  2   { πr ( x ) dx} r ( x ) ; r ( x ) = x , ρ = 2 e dm ≡∫  V h dV 2 ≡ ... ?b) ξ ≡ yIξ≡ y ≡ ? cono z Teorema cuerpos planos: Iz = Ix + Iy x y M Teorema de Steiner: I ≡ Icm + Md2 cm d Y Y’ disco Y’ disco rxZ Z Z’ X x h XLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 139
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física I→ Idisco ≡ I y ′ + I z′ ≡ 2Idisco x y′y ′ // y dI y ≡ dI cm + dm x 2 ≡ dI y + dm x 2 I y ≡ ∫ dI y I y ≡ ...?S5P3) Una polea de doble peso tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de0,25 m. De los cables que se enrollan en la periferia de la polea cuelgan 2pesas iguales de w = 200 N. Suponiendo que la fricción en el eje de apoyo y lamasa de los cables se desprecian, determine la aceleración del cuerpo quebaja. Use r2 = 2r1 ≡ 0,4 m.SOLUCION: α r1 r2 P 0 Q T1 T2 a1 w 1 2 w ↓ a2 ≡ atp ≡ r2 αRadio de giro: Es el radio que tendría una partícula de masa M de tal manera ξ ξque su I ≡ MR ≡ I CR . El radio de giro asociado a un cuerpo debe interpretarse 2como el radio de una partícula de igual masa con idéntico I respecto delmismo eje. ξ ξ MLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 140
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I ξ ξ≡ R M Icr ≡ I part ≡ MR 2En el caso de nuestro problema, es el radio que tendría una partícula con lamisma masa del cuerpo de tal manera que su I sea igual al de la polearespecto de su eje axial.Por lo tanto, usando la información del radio de giro de la polea, determinamossu momento de inercia respecto a su eje axial,Radio de giro: I ≡ MR2 ← R=0,25 y M=100Iξ ≡ 100 (0,25)2 ≡ 6,25; ξ : eje axialAnalizando el disco: atP aτ R ,ext ≡ Iα ≡ I ξ ≡ Iξ 2 r2 r2 a2 T2 r2 − T1r1 = I ξ ...(1) r2Analizando cuerpo 2: ww − T2 ≡ a2 ...(2) gAnalizando cuerpo 1: w ar T1 − w = a1 ; a1 ≡ atQ ≡ α r1 ≡ 2 1 g r2 w a2 r1 w r1T1 − w ≡ ≡ a2 ...(3) g r2 g r2Tenemos un sistema consistente donde podemos calcular a2, T1 y T2, …calcule!?S5P4) Una cuerda pasa por una polea sin rozamiento, según indica la figura,llevando una masa M1 en un extremo y estando enrollada por el otro a uncilindro de masa M2 que rueda sobre un plano horizontal, ¿Cuál es laaceleración de lamasa M1? m2 µ p m1 ↓ a1Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 141
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física ISOLUCION: DCL (m1): DCL (m2): Q T T W2 ↓ a1 f W1 N2da Ley traslasional para m1:w1 − T ≡ m1a1...(1)2da Ley rotacional para m2: ξpτ R ,ext = I discoα : P se mueve paralelo al CM 1  a aT ( 2r ) = I discoα ≡  M 2 r 2 + r 2 M 2  α , α ≡ tQ ≡ 1 ξp 2  2r 2r 3T ≡ m2 a1...( 2) 8Una vez mas, tenemos un sistema consistente de ecuaciones, donde podemoscalcular a1 y T,…calcule!?¿? Es posible calcular la fuerza de fricción.¿? Que tipo de fricción es.¿? Y como se mueve el CM.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 142
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física IS5P5) La rueda O pesa 650 N y rueda a lo largo de un plano horizontal (figura.El radio de giro de la masa de la rueda con respecto a su eje geométrico es ( 2 ) m. El coeficiente de fricción entre la rueda y el plano es 0,25. Determine la 3aceleración del centro de la rueda y la aceleración angular de la rueda.SOLUCION: 30N 50N µ p fEl efecto de giro de F1 = 30N respecto de P, es mayor que el de F2 ≡ 50 N.Ahora, fíjense, el efecto traslasional de F2 es mayor que F1. Ambos enfoquesson consistentes con la fuerza de fricción f. Por lo tanto, el cuerpo se moveráhacia la izquierda.a) De lo anterior, aplicando la 2da Ley, w 30 + (0, 25 × 650) − 50 FR ≡ ma CM → 30 + f − 50 =   acm → acm ≡ ≡ 2, 2 g 65b) α ≡ ?Por la condición de rodadura, desde el punto P se observa la acm,acm ≡ αr, donde r: radio de la rueda. a cmαcm ≡ rPara calcular dicho radio, hacemos uso del radio de giro de la rueda, 2 ξ Mr ξI ≡ cr ≡ I part ≡ MR ,ξ : eje axial del disco 2 21 2 Mr ≡ MR 2 , R ≡ Rgiro2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 143
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física Ir = 2R 2 2r= 2 = 3 3 acm 2,2αcm ≡ ≡ ≡ 3,3 r (2 / 3)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 144

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