Cuaderno de Actividades: Física I7) Movimiento Armónico        SimpleLic. Percy Víctor Cañote Fajardo    180
Cuaderno de Actividades: Física I7) Movimiento ArmónicoAquel movimiento que es posible describir con función armónica.Movi...
Cuaderno de Actividades: Física IDonde,    w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.       w = w{k,m}    A, δ: Depe...
Cuaderno de Actividades: Física ISi se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma →MAS.F = FR ...
Cuaderno de Actividades: Física I7.2) Casos especiales de MAS   i)      Sistema m-k                                       ...
Cuaderno de Actividades: Física I   ii)       Sistema l–g                    O                O                           ...
Cuaderno de Actividades: Física Iiii) Péndulo FísicoEs un CR pendular,       CR             0                             ...
Cuaderno de Actividades: Física Iiv) Péndulo de Torsión A             0                       0         P                 ...
Cuaderno de Actividades: Física I7.3) Energía en el MASi) Energía Cinética, Ek                    1       m : Ek =       m...
Cuaderno de Actividades: Física IGráficos:i) Ek                        Ek               1 2                 kA            ...
Cuaderno de Actividades: Física IObservaciones:En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitaciona...
Cuaderno de Actividades: Física IComparaciones: {  + w x ≡ 0} ← MAS                       2                 x           ...
Cuaderno de Actividades: Física I     X                                       b                                  −      t ...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P5)   Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k =        180 N/m ...
Cuaderno de Actividades: Física I                       b                  −      tc) x ( t ) ≡ Ae       2m               ...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En       t = 0 ...
Cuaderno de Actividades: Física I        a = − w2 x                  0, 05         a = −102         → a = −2,5{ m → x ...
Cuaderno de Actividades: Física Ix ( t ) ≡ A sen { wt + δ }v ( t ) ≡ Aw cos { wt + δ }a) De estas ecuaciones se puede obte...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P4) En el sistema mostrado en la figura      Obtenga la expresión de la energía mecánic...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P32)Una placa P hace un movimiento armónico simplehorizontal sobre una superficie sin f...
Cuaderno de Actividades: Física IObservación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleraciónmáxima del MAS...
Cuaderno de Actividades: Física IS6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por       una cuerda que le da vue...
Cuaderno de Actividades: Física I                        3 2 2) → 1): 2kr θ − W r ≡ − mr θ            2                 ...
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Cap 7 mas 180-204

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I7) Movimiento Armónico SimpleLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I7) Movimiento ArmónicoAquel movimiento que es posible describir con función armónica.Movimiento ← Armónico: sen, cosMovimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas. Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.i) Descripción Cinemática del MAS  r , v, a :τFenomenología del MAS µ=0 PE  x≡-A 0 x≡+A xMovimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación estaconfinada para –A ≤ x ≤ A,¿Cómo debería ser x (t) ≡?→ x ( t ) ≡ A sen { wt + } δLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 181
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física IDonde, w: Frecuencia de oscilación natural del sistema. w = w{k,m} A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema. c.i.:{x (0) ∧ v (0)} dxPara la velocidad, v≡ ≡ Aω cos { ωt + δ } dt→ v ( t ) ≡ Aw cos { wt + } δ dvPara la aceleración, a = ≡ − Aw 2 sen { wt + δ } dt→ a ( t ) ≡−Aw2 sen { wt + } δEstas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimientocircular uniforme (MCU).La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportandoun comportamiento cinemático idéntico al MAS.ii) Descripción Dinámica del MASLa fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende dela posición, esto es, F ( x ) =−cx , c: depende del sistema F(x) • x -A 0 x ALic. Percy Víctor Cañote Fajardo 182
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física ISi se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma →MAS.F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ≡ ma a≡√ → v≡√ →x≡√FR ≡ F = -k x ≡ m  x m  +kx ≡ 0 x k x  + x≡ 0 m k  + w2x ≡ 0, x = w2 m k → x ( t ) ≡ A sen { wt + } δ ←w= m 2π 1W: frecuencia angular → T ( periodo) = → ν ( frecuencia lineal ) = → ω = 2πν w TA,δ: c.i.X: Posición → ElongaciónA: Amplitudδ: DesfasajeLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 183
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física I7.2) Casos especiales de MAS i) Sistema m-k 1) 1) PE m k µ =0 PE 2) k d m PE’ PE 3) PE’ k o m d o’ αSiempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) conw2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os enPE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 184
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física I ii) Sistema l–g O O g t g θ l wt θ  PE w n PE θ: describe la posiciónwt ≡ w senθ→ FRes ≡ wt ≡ -mg senθ θ: pequeño→ senθ ∼θ→ F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cxFR,t ≡ mat − mg θ = m lθ gθ + θ ≡ 0 ← w2 = g l l g  k  → θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ, w ≡   . δ : desfasaje l  m  Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,→ s( t) ≡ sm sen { wt + δ } ; sm ≡ As = lθ m , w ≡ g lLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 185
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física Iiii) Péndulo FísicoEs un CR pendular, CR 0  0 r C θ PE  PE ww produce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE,τ ≡ - r w senθ, w ≡ mgθ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θ⇒ −rwθ ≡ Iθ ← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),    dmg  dmg⇒θ + θ = 0 , w = 2  I  I →θ (t) ≡ θm sen {wt + δ} dmg 2π I w≡ →T = → T = 2π I w dmgLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 186
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física Iiv) Péndulo de Torsión A 0 0 P θ P PE PEDebido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá untorque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que:τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ ↑k: constante de torsión (de la varilla) Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx}τ ≡ τ Re s ≡ −kθτ ext ,Re s = τ ≡ Iα ← O: punto fijo. τ ≡ τ Re s ≡ −kθ ≡ Iθ  k ; I ≡ Iξ = var illa , 0 : punto fijo disco→ θ + θ ≡0 I k I→θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ←w= , T = 2π I kLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 187
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I7.3) Energía en el MASi) Energía Cinética, Ek 1 m : Ek = m v2 2Si x(t) ≡ A sen {wt + δ}v(t) ≡ x (t) ≡ Aw cos{wt + δ}  1 Ek = mA2 w2 cos 2 { wt +δ} 2ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el 1 2 E p ,el ≡ kx ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE 2 1 2 E p ,el ≡ kA sen 2 { wt + δ} 2iii) Energía Mecánica, EM EM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS, 1 1 EM ≡ mA2 w2 cos 2 { wt + δ } + kA2 sen 2 { wt + δ } ←mw2 = k 2 2 1 2 Em ≡ kA ← En particular sistema m–k 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 188
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física IGráficos:i) Ek Ek 1 2 kA 2 0 T t 1 2 kA Ek 2 -A 0 +A xii) Ep Ep ¿? 0 Tt Ep ¿? x 0Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 189
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física IObservaciones:En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional,la EM deberá considerarse,EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PEEM ≡ Ek + Ep,el ← PE’7.4) Oscilaciones amortiguadasSe considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad,esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Estose corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidoscomo aire, agua, aceites, etc.f: fuerza de fricciónf ≡ a + bv + cv2 + … ≡ f (v) 0 xAhora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,FR ≡ −kx − bv ≡ mx { {  resorte medio k b→  + x x+ x ≡0  ← MAA m mLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 190
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física IComparaciones: {  + w x ≡ 0} ← MAS 2 x km – k : w= m δl – g : w= l mgdPF : w = I kPT : w = I1) Caso de interés: wb < wr b − t x ( t ) ≡ Ae 2m cos { wt + φ} Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA) A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial 2 k  b  w≡ −   : Frecuencia de oscilación m  2m La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de laoscilación dada por el factor exponencial. k bwr ≡ → w del resorte, wb ≡ → “w” del medio m 2mLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 191
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I X b − t A e 2m 0 t2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado, x t3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado, x tLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 192
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física IS6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg, a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil? b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil. c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud de 0,5 m.SOLUCION:λ = 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kgOscilador armónico amortiguadoWb < w0 ≡ wkOscilador críticamente amortiguadoWb ≡ w0Oscilador sobreamortiguadoWb > w0 2 − b t k  b → x ( t ) = Ae 2m cos ( ω t + φ ) en donde ω = −  m  2m  ba) → wb = 2m b≡λ 0,11 → wb = wλ ≡ = 2m 2 × 0,31 b≡λ 0,11 k 180 → wb = wλ ≡ = ∼ 0,18 ; → wk = w0 = = = 24,1 2m 2 × 0,31 m 0,31 → wb < w0 ≡ wk :MAA b kb) → wb = w0 → ≡ ;b ≡ ? 2m m → b ≡ λ ≡ 2 km ≡ 2 180 × 0,31 ∼ 2 55,8 ∼15Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 193
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física I b − tc) x ( t ) ≡ Ae 2m cos { wt + φ} x(0) = 0,5 0,11 { } − t x ( t ) ≡ 0,5 e 2×0,31 cos 581 − 0, 03 t X b − t A e 2m 0 tLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 194
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física IS6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle: a) El desplazamiento en función del tiempo. b) La velocidad cuando x = +A/2. c) La aceleración cuando x = + A/2. d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s?SOLUCIÓN:k = 200  k 200 w = = = 10m=2  m 2  x ( 0 ) = +0, 05 m c.i.   v ( 0) = 0  a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05 v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0 De la última Ec φ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05 → x(t) = 0,05 sen (10t + π/2) → v(t) = 0,5 cos (10t + π/2) Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π/2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v. ¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π/2? b) Recordando la relación v-x 2 2 x  v    +  =1  A   Aw  2 2  0,5 A   v    +  =1  A   Aw  2  v  3 3 3  = 4 →v =± 4 →v=− 4 {m→ x } − →  0,5  c) Recordando la relación a-xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 195
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física I a = − w2 x  0, 05  a = −102   → a = −2,5{ m → x −}  2  d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=? π 2π 2π π t= ←T = = = → F (+)! veamos 15 w w 5 FR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).SOLUCIÓN: t =0 X g k Nos v(0) m v(0) x(0)=0 v(0) proporcionan directamente la w ≡ 2, las condiciones iniciales son,t ≡ 0 : x(0) ≡ 0 ∧ v (0) ≡ −1,5Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 196
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física Ix ( t ) ≡ A sen { wt + δ }v ( t ) ≡ Aw cos { wt + δ }a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,  v ( 0)  2 { x ( 0) } 2A≡ +   w  2  −1,5  { 0} 2Reemplazando datos, A ≡ +  ≡ 0,75  2 A ≡ 0,75b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),x ( t ) ≡ 0,75 sen { 2t + δ }v ( t ) ≡ 1,5 cos { 2t + δ }Para t=0 y vecindades,x ( 0 ) ≡ 0,75 sen { 2 ( 0 ) + δ } ≡ 0,75 sen { δ }v ( t ) ≡ 1,5 cos { 2 ( 0 ) + δ } ≡ 1,5 cos { δ }Para satisfacer x(0)=0, δ ≡ 0 , π , el valor correcto es δ ≡ π , con lo cual lasecuaciones quedan,x ( t ) ≡ 0,75 sen { 2t + π } ≡ −0,75 sen { 2t}v ( t ) ≡ 1,5 cos { 2t + π } ≡ −1,5 cos { 2t}Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 197
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física IS6P4) En el sistema mostrado en la figura Obtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t. g k Si: X = A cos (w0 t + φ) g: aceleración de la gravedad + X=0 m -SOLUCION: En PE ′ : mg ≡ kdPE 0 Desde 0: x ≡ d + x dPE’ FR ≡ mg − kx ≡ mg − k { d + x } 0’ x x’ ≡ mg − kd − kx ≡ 0 − kx ≡ −kx ≡ mx ≡ mx   X, X’ k → + x x ≡ 0 mEsta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia kw≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es FR ≡ −kx , cuando se mescriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,como la FR ≡ −kx , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociadauna energía potencial elástica, por lo tanto,EM ≡ EK + E peLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 198
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física IS6P32)Una placa P hace un movimiento armónico simplehorizontal sobre una superficie sin fricción con unafrecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre laplaca, como se muestra en la figura adjunta y elcoeficiente de fricción estático entre el bloque y la placaes µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilaciónque puede tener el sistema sin que resbale el bloquesobre la placa? µs BSOLUCIÓN: k P a m Fres M 0 FRES , MAX( M + m ) : aMAX4244A ≡ , MAS ≡ ω 2 → FRES , MAX ≡ ( M + m ) ω 2 A 14 3 ( M + m) FR FRES,MAX − f S F FRES,MAX − µ S mgM : aM ≡ ≡ → aM , MAX ≡ R ≡ M M M M a DCL (M): fS,M ≡ µs mg FRES FR ≡ FRES -µs mgDe las ecuaciones anteriores, FRES − µS mg kAMAX − µ S mg ← k =ω( M + m ) 2→ ω 2 AMAX ≡ ≡ M M→ ω 2 AMAX M ≡ ω 2 ( M + m ) AMAX − µ s mg µs g 0,6 x10 6→ µs m g ≡ ω 2 m AMAX → AMAX ≡ ≡ 2 → AMAX ≡ ω 2 ( 2π x1,5 ) 9π 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 199
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física IObservación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleraciónmáxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m.Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de Mrespecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)S6P6)En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0del MAS resultante, para pequeños desplazamientosx del centro de masa, si el disco homogéneo rueda ksin deslizar, considere, M≡ masa del disco, RR ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte. MSOLUCIÓN: t M kx pequeño → MAS , w0 = ? 0 FRx = s = Rθ P 0 o’P // CM : τ = I α ’ 3 MR 2 2 644 744 8 1   3τ = − ( kx ) R =  MR 2 + MR 2 θ = MR 2θ = −k [ Rθ ] R  2  2  2k 2k→θ + θ ≡ 0 ⇒ w0 = 3M 3MLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 200
  22. 22. Cuaderno de Actividades: Física IS6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo θ y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema. kSOLUCION: r α) De la dinamica rotacional, θ P τ O : kxr − Tr ≡ − I Oα x P Por la “rodadura”: x ≡ rθ 0 O mr 2  T kx kr 2θ − Tr ≡ − θ ...1 ← W ≡ mg 2 x O’ De la dinámica traslacional, X θ w P’ P FR ≡ −T − kx + W ≡ m ( ) x Usando nuevamente la rodadura, −T − krθ + W ≡ mrθ xr : −Tr − kr 2θ + Wr ≡ mr 2θ ...2 3 De 1 y 2, −2krθ + W ≡ mrθ ...3 2 Haciendo, µ ≡ −2krθ + W → µ ≡ −2krθ  3  µ   4k 4kg→µ ≡ mr ×−  → µ + 3m µ ≡ 0 → w ≡ 3W  2  2k r β ) 0′ { 0′ // 0} 3  τ 0 : ( kx ) ( 2r ) − W ( r ) ≡ −  mr 2 θ 1) 2 De la rodadura: x ≡ rθ 2)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 201
  23. 23. Cuaderno de Actividades: Física I 3 2 2) → 1): 2kr θ − W r ≡ − mr θ 2 3) 2  3 µ  4kSea µ ≡ 2krθ − W → µ ≡ 2krθ → µ ≡ − m r ×  →µ+  µ ≡0 2 2k r 3m 4kg w≡ 3WLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 202

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