Mcd y mcm de polinomios

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Mcd y mcm de polinomios

  1. 1. http://algebragenerosa.blogspot.com 1 Para hallar el MCD y MCM de polinomios debemos tener en cuenta el MCD y MCM de números enteros M.C.D. y M.C.M. de Polinomios Máximo Común Divisor (M.C.D.) Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) Propiedades M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. Dos o más polinomios son primos entre sí, si su M.C.D. es ± 1. Obtiene factorizando los polinomios. Obtiene factorizando los polinomios. Únicamente para dos polinomios A(x), B(x) se cumple: MCD(A;B).MCM(A;B)=A(x).B(x) Viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes afectados de sus menores exponentes. Viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes. A(x) y B(x) son polinomios no primos entre si. Entonces: 1ra posibilidad: A(x) – B(x) = MCD 2da posibilidad: A(x) – B(x) = contiene al MCD MCD Y MCM DE POLINOMIOS TEORÍA Y PRÁCTICA 5TO
  2. 2. “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria” http://algebragenerosa.blogspot.com 2 Ejercicios Resueltos 01.- Hallar el M.C.D. de los polinomios siguientes: A(x) = x3 – x2 – 4x + 4 B(x) = (x + 2)3 (x + 5) SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Dado que A(x) no esta factorizado procedemos a factorizarlo. A(x) = x3 – 5x2 + 4; por divisores binómicos entonces (x - 1) es divisor ya que x = 1 hace cero el polinomio. Obs. Recuerda que el rango de valores que se debe asignar a “x” está formado por: I.- Cuando el coeficiente principal es la unidad, por los divisores del término independiente. II.- Cuando el coeficiente principal es diferente de 1, por los divisores del término independiente más las fracciones que se obtienen de dividir estos valores entre los divisores del coeficiente. “En ambos casos se toma el doble signo (±)” Regresando al ejercicio : Aplicando Ruffini: 0401 4011x 4411 −−−− −−−−↓↓↓↓==== −−−−−−−− ∴∴∴∴ A(x) = (x2 – 4)(x - 1) = (x + 2)(x – 2)(x - 1) Luego tenemos: B(x) = (x + 2)3 (x + 5) A(x) = (x + 2) (x - 2) (x - 1) Luego el M.C.D. de los polinomios A(x) y B(x) es: M.C.D. = (x + 2) 02.- Hallar el M.C.D. de los polinomios: A = x2 y3 z4 B = x5 y2 z3 M.C.D. = x2 y2 z2 C = x3 y5 z2 03.- Hallar el M.C.M. de los polinomios: A = x5 y2 z3 B = x3 y3 z4 M.C.M. = x5 y5 z4 C = x4 y5 04.- Hallar el M.C.M. de los polinomios: A = (x + 1)2 (x + 3)5 (x + 2)3 B = (x + 1) (x + 2)4 C = (x + 1)3 (x + 3)4 (x + 2) (x + 4) SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: MCM(A; B; C) = (x + 1)3 (x + 2)4 (x + 3)5 (x + 4) 05.- Sea: P1(x) = Ax2 + 2x – B P2(x) = Ax2 – 4x + B Si (x - 1) es el MCD de P1 ∧ P2, Hallar el cociente B/A. SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: (x - 1) deberá ser divisor de P1(x) y P2(x), entonces: P1(1) = 0 ∧ P2(1) = 0. Redundando en el teorema del resto: P1(1) = A + 2 – B = 0 … (α) P2(1) = A – 4 + B = 0 … (β) Resolviendo el sistema: A – B = -2 A + B = 4 → A = 1; B = 3 Piden: 3 1 3 A B ======== 06.- El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente: MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1) MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) Si uno de los polinomios es: (x + 1)(x + 2)(x + 3) Hallar el otro polinomio. SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad: MCD(A; B) . MCM(A; B) = A(x) . B(x) Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos: x2 -4 Diferencia de Cuadrados Común a los 3 polinomios No común Mayores Exponentes
  3. 3. “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria” http://algebragenerosa.blogspot.com 3 )x(A )MCM)(MCD( )x(B ==== Reemplazando valores: )3x)(2x)(1x( )3x)(2x)(1x)(5x)(1x)(2x( )x(B ++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++ ==== B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5) 07.- Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones: a-1 . xn-1 ; b-1 . xn-2 ; c-1 . xn-3 SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: MCD = xn-3 MCM = a-1 . b-1 . c-1 . xn-1 piden: abc x x x.c.b.a MCD MCM 2 3n 1n111 ======== −−−− −−−−−−−−−−−−−−−− 08.-Hallar el MCM de: x2 – 4x + 3 x2 + 4x + 3 x4 – 10x2 + 9 x3 – 9x + x2 - 9 SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción: Factorizando: I. x2 – 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) …(α) II. x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) …(β) III. x4 – 10x2 + 9 = (x2 - 9)(x2 - 1) = (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) …(θ) IV. x3 – 9x + x2 – 9 = x(x2 – 9) + (x2 – 9) = (x2 - 9) (x + 1) = (x + 3)(x - 3)(x + 1) …(γ) De (α), (β), (θ) y (γ) se tiene: MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) = (x2 - 9)(x2 - 1) Ejercicios Aplicativos 01.- Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 6)2 (x - 7)3 (x + 9)4 B(x) = (x + 10)3 (x - 7)2 (x + 6)3 a) x + 9 d) (x - 7)2 (x + 6)2 b) x + 10 e) (x - 7)3 (x + 6)3 c) (x - 7)3 (x + 6)3 Hallar el MCM de los polinomios: F(x) = (x + 5)4 (x - 6)2 (x + 9)3 (x - 1)4 S(x) = (x + 5)2 (x - 6)4 (x + 7)2 (x - 1)3 a) (x + 5)(x - 6)(x - 1) b) (x + 5)2 (x - 6)2 (x - 1)3 c) (x + 5)4 (x - 6)4 (x - 1)4 (x + 9)3 (x + 7)2 d) (x + 1)(x - 2)(x + 9) e) (x - 1)3 (x - 6)4 02.- Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 2)6 (x - 1)4 (x - 2)6 (x + 3)4 B(x) = (x + 3)6 (x - 1)2 (x + 2)2 (x + 7)2 C(x) = (x - 3)4 (x + 7)2 (x - 1)3 (x + 2)2 a) (x - 1)(x + 2) d) (x + 2)2 b) (x + 1)(x + 3) e) (x - 1)2 c) (x - 1)2 (x + 2)2 03.-Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4)3 (x - 7)2 (x + 6)8 (x + 7)3 F(x) = (x + 6)2 (x - 7)3 (x + 7)4 (x - 6)2 S(x) = (x + 2)3 (x + 6)4 (x + 4)8 (x + 7)2 a) (x + 7)4 (x + 6)8 (x + 4)8 b) (x + 7)4 (x + 6)8 c) (x + 7)4 (x + 6)8 (x + 4)8 (x - 7)3 (x - 6)2 (x + 2)3 d) (x + 7)4 (x + 6)8 (x + 4)8 (x - 7)3 (x - 6)2 e) (x + 7)4 (x + 4)8 (x - 7)3 (x - 6)2 (x + 2)3 04.- Dados los polinomios: A(x; y; z) = x4 y3 z6 B(x; y; z) = x5 y4 z10 C(x; y; z) = x6 y2 z5 Indicar: )C;B;A(MCD )C;B;A(MCM S ==== a) x2 y4 z6 b) x2 y4 z3 c) x2 y2 z5 d) xyz4 e) xyz 05.- Señale el MCD de los polinomios: A(x) = x4 – 1 B(x) = x2 – 3x + 2 a) x – 2 b) x – 1 c) x + 1 d) x2 – 1 e) x2 + 1
  4. 4. “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria” http://algebragenerosa.blogspot.com 4 06.- Hallar el MCM de: P(x; y) = x2 – y2 F(x; y) = x2 – 2xy + y2 S(x; y) = x2 + 2xy + y2 a) x – y b) (x + y)3 c) (x2 – y2 )2 d) (x2 – y2 )3 e) (x - y)3 07.- Indique el MCD de: P(x; y) = x3 + x2 y + xy2 + y3 Q(x; y) = x3 – x2 y + xy2 – y3 R(x; y) = x4 – y4 a) x2 + y2 b) x2 – y2 c) x2 + 1 d) y2 + 1 e) x + y 08.- Indique el MCD de: P(x) = 3x3 + x2 – 8x + 4 Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4 a) 3x2 + 4x – 4 b) 3x2 – 4x + 4 c) 3x2 + x - 4 d) x2 – 4x + 4 e) x + 2 09.- Hallar el MCD de los polinomios: P(x; y) = x3 – xy2 + x2 y – y3 F(x; y) = x3 – xy2 – x2 y + y3 C(x; y) = x4 – 2x2 y2 + y4 a) x + y b) x – y c) x2 – y2 d) (x + y)(x – 3y) e) x2 – y4 10.- Si el MCD de: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – m Q(x ) = x3 + 2x2 – x - n es (x - 1). Hallar: “m + n” a) -8 b) 8 c) 4 d) 6 e) 2 11.- Se tienen dos polinomios cuyo MCD es: x2 + 2x - 3 si uno de los polinomios es: P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + Ax + B entonces “A + B” es: a) 33 b) -3 c) 12 d) -6 e) 1 12.- El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su MCM por su MCD es: 2x3 (x + y)2 entonces uno de los polinomios es: a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2 d) x + y e) 2x + 2y 13.- El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto de su MCM por su MCD es: x6 – 2x4 + x2 Halle la suma de factores primos del MCM. a) 2x b) 4x – 1 c) 3x d) 2x + x2 e) 3x + 1 14.- El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el cociente de su MCM y MCD es (x - 1)2 . Calcular el MCD. a) x + 1 b) x2 + 1 c) (x + 1)2 d) (x - 1)2 e) x - 1 15.- Si el MCM de los polinomios: x2 + x – 2 x4 + 5x2 + 4 x2 – x - 2 es equivalente a: x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D Determinar: “A + B + C + D” a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 EJERCICIOS ADICIONALES 01. El producto de dos polinomios es: (x6 + 1)2 – 4x6 y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x2 + 1)2 – 4x2 Luego el MCD es: a) (x + 1)(x3 - 1) b) (x - 1)(x3 + 1) c) (x2 + x + 1)(x + 1) d) (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) e) (x2 + x + 1)(x2 - 1) 02. Si el MCM de “A” y “B” es θx a y4 y el MCD de los mismos es βx5 yb . Calcular: nm ma E b b ++++−−−−θθθθ ++++ββββ−−−− ==== Siendo: A = 12xn-1 . ym+1 B = 16xn+1 . ym-1 a) 35 43 b) 17 44 c) 36 43 d) 43 35 e) 16 15

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