Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño.
Bachiller: Marco Seib.
Escuela: Ing. Eléctrica.
Extensión: Barcelona – Edo. Anzoátegui.
Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior.
Jueves, 10 de Junio de 2021

2. Sistemas de primer orden: Se denominan sistemas de primer orden a
aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada
primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O sea que se
reducen al formato siguiente:
𝜏
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝑘𝑢
Donde k se denomina como la ganancia del proceso y τ es la constante de
tiempo del sistema, se denota con la letra griega tau.
Los sistemas de segundo orden, son aquellos que responden a una
ecuación de segundo orden. Mientras que los de orden superior, son
aquellos que responden a ecuaciones de tercer grado o mayor.

3. En sistemas de control, la constante de tiempo T es el tiempo que
tardaría el sistema en alcanzar el valor final si variase al ritmo que lo
hace inicialmente. Este tiempo se cuenta desde el momento en que la
variable comienza a responder. La constante de tiempo se relaciona con
la velocidad de respuesta del proceso. Mientras más rápido sea un
proceso, más breve será la unidad de tiempo, y a la inversa. La unidad
de tiempo normalmente usada es el minuto.
En sistemas de control, la relación de amortiguamiento, viene dada por el
coeficiente de amortiguamiento (ƺ) en sistemas de segundo orden o
superior. Con este parámetro, es posible conocer el tipo de sistema con
el que se trabaja y la forma de respuesta.
Los tipos de sistema pueden ser:
Subamortiguado (0< ƺ<1).
Críticamente amortiguado (ƺ=1).
Sobreamortiguado (1< ƺ).
Oscilatorio (ƺ=0).
Inestable (ƺ<0).
El amortiguamiento, determina la naturaleza de la señal en el sistema.

4. Señales de prueba típicas: Las señales de prueba que se usan
regularmente son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales,
etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis
matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las señales
son funciones del tiempo muy simples.

5. Estabilidad en sistemas de control: Al diseñar un sistema de control,
debemos ser capaces de predecir su comportamiento dinámico a partir del
conocimiento de los componentes. La característica más importante del
comportamiento dinámico de un sistema de control es la estabilidad
absoluta, es decir, si el sistema es estable o inestable. Un sistema de
control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o
entrada, la salida permanece en el mismo estado.
Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la
salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema
está sujeto a una condición inicial. Un sistema de control lineal e invariante
con el tiempo es críticamente estable si las oscilaciones de la salida
continúan para siempre. Es inestable si la salida diverge sin límite a partir
de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición
inicial.

6. La respuesta transitoria de un sistema de control en la práctica siempre
exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable.
Esto ocurre porque los sistemas tienen componentes que almacenan
energía y no pueden responder de manera inmediata a los cambios en la
entrada. La respuesta transitoria a una entrada escalón depende de las
condiciones iniciales. Es por ello que en la práctica se acostumbra
considerar que el sistema está inicialmente en reposo de modo tal que las
condiciones iniciales (la salida y sus derivadas) son iguales a cero.
Respuesta transitoria de impulso: La respuesta a impulso y la de paso
son fenómenos transitorios de respuesta a una entrada específica (un
impulso y un paso, respectivamente).
En ingeniería eléctrica específicamente, es la respuesta temporal de un
circuito que se extingue con el tiempo.
Respuesta transitoria de rampa unitaria: La función rampa es una función
elemental real de un solo argumento, continua y diferenciable en todo su
dominio excepto en un punto (inicio de la rama) fácilmente computable a
partir de la función mínimo o la función valor absoluto.

7. Entrada función parabólica. La función parabólica representa una señal
que tiene un orden más rápido que la función rampa. Matemáticamente,
se representa como:
𝑅 𝑡 =
𝑅𝑡2
2
𝑢𝑠(𝑡)
En donde R es una constante real y el factor 1/2 se añade por
conveniencia matemática, ya que la transformada de Laplace de r(t) es
simplemente R/s3. Estas señales tienen la característica común de que
son simples de describir en forma matemática. De la función escalón a la
función parabólica las señales se vuelven progresivamente más rápidas
con respecto al tiempo.
En teoría se pueden definir señales con velocidades aún más rápidas,
como t3 , que se denomina función tirón, y así sucesivamente. En la
práctica, pocas veces se requiere, una señal más rápida que la
parabólica, esto es porque, como se verá más adelante, se necesita un
sistema de orden elevado para seguir una señal también de orden
elevado, lo cual podría ocasionar problemas de estabilidad.

8. La respuesta transitoria exponencial compleja, viene dada por la expresión
𝑒𝑍 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 = 𝑒𝑋(𝐶𝑜𝑠 𝑦 + 𝑖𝑆𝑒𝑛(𝑦) donde i representa la parte compleja y
el coseno y seno representan las oscilaciones de la señal hasta que llegan
al punto de estabilidad.

9. Respuesta del Sistema: Una vez que se ha obtenido el modelo del
sistema, resultado de aplicar las leyes que lo gobiernan, el paso a seguir
es estudiarlo para definir su comportamiento. Una manera de realizar esto,
es suponer ciertas entradas típicas, comparando la forma de su respuesta.
Generalmente la presencia e inercias y rozamientos, hacen que la
respuesta de los sistemas físicos no puedan seguir instantáneamente, los
cambios que puede experimentar la señal de entrada o excitación,
apareciendo en transitorio, antes de alcanzar su valor final o de estado
permanente. Se puede decir, que el transitorio es la parte de la respuesta,
que va desde el estado inicial al estado final.
La respuesta permanente, es la respuesta del sistema una vez acabado el
transitorio. De esta manera, la respuesta de un sistema a una señal se
puede considerar como la suma de su respuesta transitoria y su respuesta
permanente.

10. Una vez que se ha obtenido el modelo del sistema, resultado de aplicar
las leyes que lo gobiernan, el paso siguiente es estudiarlo para definir su
comportamiento. Una manera de realizar esto, es suponer ciertas
entradas típicas, el uso de señales de prueba permite comparar el
desempeño de la respuesta de todos los sistemas de control sobre la
misma base. Generalmente la presencia e inercias y rozamientos, hacen
que la respuesta de los sistemas físicos no puedan seguir
instantáneamente, los cambios que puede experimentar la señal de
entrada o excitación, apareciendo un transitorio, antes de alcanzar su
valor final o de estado permanente. Se puede decir, que el transitorio es
la parte de la respuesta, que va desde el estado inicial al estado final. La
respuesta permanente, es la respuesta del sistema una vez acabado el
transitorio. De esta manera, la respuesta de un sistema a una señal se
puede considerar como la suma de su respuesta transitoria y su
respuesta permanente. La característica más importante de un sistema
de control.
Si la salida de un sistema estable no coincide con la entrada, se dice que
el sistema tiene un error de estado estable. Este error indica la precisión
del sistema. Al analizar un sistema de control, se debe examinar el
comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado
estable.