Teoremas de circuito eléctricos

13.034 visualizaciones

Publicado el

teoremas y ejercicios propuestos

1 comentario
3 recomendaciones
Estadísticas
Notas
Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
13.034
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
7
Acciones
Compartido
0
Descargas
272
Comentarios
1
Recomendaciones
3
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Teoremas de circuito eléctricos

  1. 1. TEOREMAS DE CIRCUITO ELÉCTRICOS CONTENIDO: TEOREMAS DE CIRCUITOS EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS 1. Teorema de Boucherot El teorema de Boucherot, ideado por Paul Boucherot, permite la resolución del cálculo total de potencias en circuitos de corriente alterna. De acuerdo con este teorema, las potencias activa y reactiva totales en un circuito, vienen dadas por la suma de las potencias activa y reactiva, respectivamente, de cada una de sus cargas. De forma analítica: Seguidamente se demostrarán ambas igualdades para un receptor serie y para otro paralelo. 2. Receptor en serie
  2. 2. Figura 1: Receptor serie, a, y diagrama fasorial, b. Sea el circuito serie de la figura 1a. Aplicando la ley de Ohm Tomando la intensidad en el origen de fases (figura 1b), y sustituyendo Por otro lado, el valor de puede expresarse como (ver figura 1b): Comparando ambas igualdades Finalmente si multiplicamos ambas expresiones por I, se deduce
  3. 3. 3. Receptor en paralelo Figura 2: Receptor paralelo, a, y diagrama fasorial, b. Sea el circuito paralelo y su correspondiente diagrama fasorial, figuras 2a y 2b respectivamente. Las componentes activa y rectiva de la corriente total, e , vienen dadas como suma de las componentes parciales de cada una de la corrientes que circulan por cada rama: Sustituyendo por sus valores: Y si estas expresiones se multiplican por V, se obtiene Que es el mismo resultado que para un receptor serie. En ambos casos, generalizando
  4. 4. Que es lo que se deseaba demostrar. 4. Potencia aparente total Figura 3: Triángulo de potencias de una instalación con tres receptores, el 1 y el 2 inductivos y el 3 capacitivo. Los dos puntos anteriores no implican que la potencia aparente total de un sistema se obtenga como suma de las potencias aparentes parciales: Gráficamente, para efectuar el balance de potencias de una instalación, es necesario obtener el triángulo total de potencias como suma de los triángulos de potencia parciales de cada receptor. Si por ejemplo tuviéramos tres receptores, dos inductivos y uno capacitivo, su triángulo de potencias sería similar al mostrado en la figura 3, donde se deduce que
  5. 5. 5. Análisis de circuitos Un circuito eléctrico es un grupo de componentes interconectados. El análisis de circuitos es el proceso de calcular intensidades, tensiones o potencias. Existen muchas técnicas para lograrlo, Sin embargo, se asume que los componentes de los circuitos son lineales. Los métodos descritos en este artículo solo se aplican al análisis de circuitos lineales salvo en los casos expresamente establecidos. Para entender este artículo se necesitan saber las partes básicas de un circuito así como sus leyes fundamentales. 6. Circuitos equivalentes Un procedimiento muy útil en el análisis de circuitos es simplificar el circuito al reducir su número de componentes. Esto se puede hacer al reemplazar los componentes actuales con otros componentes mucho más sencillos y que produzcan el mismo efecto. Una técnica particular podría reducir directamente el número de componentes, por ejemplo al combinar las resistencias en serie. Por otro lado, se podría simplemente cambiar la forma en que esta conectado un componente para posteriormente reducir el circuito de una manera más fácil. Por ejemplo, Se podría transformar una fuente de tensión por una fuente de corriente
  6. 6. usando el teorema de Norton para que después se pueda combinar la resistencia interna de la fuente con las resistencias en paralelo de un circuito. Un circuito resistivo es un circuito compuesto de solo resistores, fuentes de corriente ideales, y fuentes de tensión ideales. Si las fuentes son constantes (CC), el resultado es un circuito de corriente continua. El análisis de circuitos es el proceso de resolver las tensiones y corrientes presentes en un circuito. Los principios para solucionar un circuito resumidos aquí también se pueden aplicar para el análisis de fasores de circuitos de corriente alterna. Se dice que dos circuitos son equivalentes respecto a una pareja de terminales cuando la tensión y la corriente que fluye a través de ellos son iguales. si implica para todos los valores reales de terminales ab y xy, entonces circuit 1 y circuit 2 son equivalentes , para las Lo anterior es la definición de circuitos de dos terminales. Para circuitos de más de dos terminales, las tensiones y corrientes de todos los terminales deben mantener la misma relación. Por ejemplo, los circuitos estrella y delta son circuitos de seis terminales y por lo tanto requieren tres ecuaciones simultáneas para especificar completamente su equivalencia. 7. Impedancias en serie y en paralelo Cualquier circuito de dos terminales puede reducirse a una simple impedancia sumando las que se encuentran en serie o en paralelo, así: Impedancias en serie: Impedancias en paralelo: 8. Transformación estrella-triángulo
  7. 7. Transformación estrella-triángulo Una red eléctrica de impedancias con más de dos terminales no puede reducirse a un circuito equivalente de una sola impedancia. Una red de n terminales puede, como máximo, reducirse a n impedancias. Para una red de tres terminales, las tres impedancias pueden expresarse como un red delta (Δ) de tres nodos o una red estrella (Y) de cuatro nodos. Estas dos redes son equivalentes y las transformaciones de cada una de ellas son expresadas más abajo. Una red general con un número arbitrario de terminales no puede reducirse al mínimo número de impedancias usando solamente combinaciones en serie o en paralelo. En general, se deben usar las transformaciones Y-Δ y Δ-Y. Puede demostrarse que esto bastará para encontrar la red más simplificada para cualquier red arbitraria con aplicaciones sucesivas en serie, paralelo, Y-Δ y Δ-Y. No se requieren transformaciones más complejas. 9. Ecuaciones para la transformación Triángulo-Estrella 10. Ecuaciones para la transformación Estrella-Triángulo 11. Forma general de la eliminación de nodos en la red Las transformaciones estrella-triángulo y triángulo-estrella son casos especiales del algoritmo general de la eliminación de nodos de una red resistiva. Cualquier nodo conectado por N resistores 1 .... N pueden reemplazarse por resistores conectados en los N nodos restantes. La resistencia entre cualquier nodo x e y está dada por:
  8. 8. Para una estrella-triángulo (N=3) se reduce a: Para una reducción en serie (N=2) se reduce a: 12. Transformación de fuentes Una fuente no ideal con una impedancia interna puede representarse como una fuente de tensión ideal o una fuente de corriente ideal más la impedancia. Estas dos formas son equivalentes y las transformaciones son dadas a continuación. Si las dos redes son equivalentes con respecto a las terminales ab, entonces V e I deben ser idénticas para ambas redes. Además, o El teorema de Norton establece que cualquier red de dos terminales puede reducirse a una fuente ideal de corriente y a una resistencia en paralelo. El teorema de Thévenin establece que cualquier red de dos terminales puede reducirse a una fuente ideal de tensión y a una resistencia en serie. 13. Redes simples Algunos circuitos sencillos pueden analizarse sin la necesidad de aplicar métodos de análisis.
  9. 9. Divisor de tensión Dos o más resistencias conectadas en serie forman un divisor de tensión. De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff o ley de las mallas, la tensión total es suma de las tensiones parciales en cada resistencia, por lo que seleccionando valores adecuados de las mismas, se puede dividir una tensión en los valores más pequeños que se deseen. La tensión en bornes de la resistencia , en un divisor de tensión de n resistencias cuya tensión total es V, viene dada por: En el caso particular de un divisor de dos resistencias, es posible determinar las tensiones en bornes de cada resistencia, VAB y VBC, en función de la tensión total, VAC, sin tener que calcular previamente la intensidad. Para ello se utilizan las siguientes ecuaciones de fácil deducción: Divisor de corriente Dos o más resistencias conectadas en paralelo forman un divisor de intensidad. De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff o ley de los nodos, la suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. Seleccionando valores adecuados de resistencias se puede dividir una corriente en los valores más pequeños que se deseen.
  10. 10. En el caso particular de un divisor de dos resistencias, es posible determinar las corrientes parciales que circulan por cada resistencia, I1 e I2, en función de la corriente total, I, sin tener que calcular previamente la caída de tensión en la asociación. Para ello se utilizan las siguientes ecuaciones de fácil deducción: 14. Análisis de nodos 1. Marque todos los nodos en el circuito. Seleccione arbitrariamente cualquier nodo como de referencia. 2. Defina una variable de tensión para todos los nodos restantes. Estas variables de tensión deben definirse como la tensión con respecto al nodo de referencia. 3. Escriba una ecuación aplicando LCK para cualquier nodo excepto el de referencia. 4. Resuelva el sistema de ecuaciones resultante. 15. Análisis de mallas 1. Cuente el número de mallas existentes en el circuito. Asigne una corriente de malla a cada una de ellas. 2. Escriba una ecuación LVK para cualquier malla cuya corriente sea desconocida. 3. Resuelva las ecuaciones resultantes.
  11. 11. 16. Superposición En este método, se calcula el efecto de cada fuente por separado. Al analizar una fuente, se reemplazan las fuentes restantes por un cortocircuito para las fuentes de tensión o por un circuito abierto para las fuentes de corriente. La corriente que fluye en el componente o la tensión del componente es calculada al sumar todas las tensiones y corrientes individuales. Este método funciona siempre y cuando se usen componentes lineales en el circuito. Nótese que para calcular los valores de cada fuente también se pueden usar análisis de malla y de nodos. 17. Diseño de transformadores Un pequeño transformador. En ingeniería electrónica, se entiende por diseño de transformadores al cálculo, proyección y confección de los transformadores, estás máquinas eléctricas, indispensables para el uso de la electricidad residencial como también para las subestaciones, son capaces de elevar o disminuir los niveles de tensión e intensidad de la corriente eléctrica, para que haga funcionar un determinado elemento o factor. 18. Relación de transformación Existe una relación directa entre el voltaje del bobinado primario y secundario de un transformador, este depende siempre del número de vueltas de alambre que tengan las dos o más bobinas del transformador. En donde Rt es la relación de transformación, es igual al número de vueltas del secundario sobre el número de vueltas del primario.
  12. 12. Un ejemplo: si un transformador posee un bobinado primario de 440 y un secundario de 880 vueltas la relación de transformación será: En el caso que el primario fuese de 110V, al multiplicar queda: El voltaje del secundario es 220V, este sería un transformador elevador, ya que el voltaje secundario es mayor que el primario. 19. Leyes básicas de transformación Los voltajes de las bobinas son directamente proporcionales al número de vueltas de la bobina: Los voltajes son inversamente proporcionales a las intensidades de las corrientes eléctricas: Las intensidades de las corrientes son inversamente proporcionales al número de vueltas de alambre:
  13. 13. 20. Cálculo de la tensión por medio del área del núcleo En el caso que se consiga un núcleo para construir un transformador (ya sea de uno en desuso, quemado o chapas recicladas), es posible calcular las vueltas de las bobinas del transformador, mediante el producto del ancho de las chapas del transformador por el largo del núcleo. Para el caso de tener un núcleo de 3,5 cm de largo por 3,3 cm de ancho, primero se deben multiplicar ambas medidas: El valor obtenido se tiene que dividir por la constante 42 de la siguiente forma: Entonces, cada 3,6 vueltas de alambre de cobre en la bobina se obtendrá un voltio. Si el transformador es de 220V en el primario, se deberá multiplicar: 3,6·220 = 792, este último resultado son las espiras de alambre del bobinado primario. Esto es indiferente para el secundario. 21. Cálculo de la potencia mediante el área del núcleo El alambre de cobre es indispensable para la construcción de un transformador. Para informarnos cuantos cm2 posee el núcleo de un determinado transformador, debemos hacer la siguiente ecuación: En donde An es el área del núcleo y Pbs la potencia del bobinado secundario, resultando que: el área del núcleo es igual a la raíz cuadrada de la potencia del transformador (o del bobinado secundario). Ejemplo, si tenemos un transformador
  14. 14. cuyo bobina secundaria es de 25V y 5A, su potencia será 125W, ya que el producto de la intensidad y el voltaje da como resultado la potencia. El resultado es el área que tendrá que tener el transformador, se recomienda siempre emplear un núcleo un poco más grande de lo obtenido en los cálculos. En el caso que tengamos un núcleo de transformador y que tengamos que averiguar su potencia, debemos invertir el proceso; multiplicar los lados del núcleo y elevarlo al cuadrado, así obtendremos en W la máxima potencia: 22. Cálculo de la intensidad mediante la potencia Teniendo 125W de potencia, podemos saber fácilmente mediante la ley de Ohm, se deben realizar dos fórmulas para averiguar ambas intensidades, reemplazando en la fórmula las dos tensiones: Despejamos para el primario: Para el secundario: Una vez que hayamos averiguado el amperaje de cada bobinado, lo que debemos hacer es buscar aquellas cifras obtenidas en la tabla que muestra la tolerancia de intensidad que posee cada calibre de alambre AWG. Para el bobinado primario basta con usar alambre calibre 25 (0,45 mm), para el secundario un calibre 16 (5,2 mm). 23. Teorema de Kennelly
  15. 15. El teorema de Kennelly, llamado así en homenaje a Arthur Edwin Kennelly, permite determinar la carga equivalente en estrella a una dada en triángulo y viceversa. El teorema también se le suele llamar de transformación estrellatriángulo (escrito Y-Δ) o transformación te-delta (escrito T-Δ). Ecuaciones de transformación En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones de transformación en función de las impedancias y de las admitancias. Ecuaciones de Kennelly Transformación Δ-Y En función de las impedancias En función de las admitancias Transformación Y-Δ En función de las impedancias En función de las admitancias
  16. 16. Demostración A continuación se demuestra analíticamente las ecuaciones de Kennelly. Circuito Triángulo a estrella Figura 1. Equivalencia entre cargas en estrella (izquierda) y triángulo (derecha). Supongamos conocidos los valores ZAB, ZBC y ZAC de la carga en triángulo de la figura 1 y deseamos obtener los valores ZAT, ZBT y ZCT de su equivalente en estrella. Para ello obtendremos en ambos circuitos las impedancias equivalentes respecto de los puntos A-B, B-C y A-C y las igualaremos puesto que son cargas equivalentes (observe que en la estrella quedan siempre dos impedancias en serie, mientras que en el triángulo quedan dos en serie con la tercera en paralelo):
  17. 17. Las ecuaciones de Kennelly se obtienen a partir de las anteriores del siguiente modo: 1. Sumando las ecuaciones (1) y (3) y restando el resultado de la (2) 2. Sumando las ecuaciones (1) y (2) y restando el resultado de la (3) 3. Sumando las ecuaciones (2) y (3) y restando el resultado de la (1) Estrella a triángulo Supongamos ahora el caso opuesto, esto es, conocidos los valores ZAT, ZBT y ZCT de la estrella de la figura 1, deseamos obtener los valores Z AB, ZBC y ZAC de la carga en triángulo equivalente. Para ello se tomarán las ecuaciones de transformación Δ-Y, donde por simplificación de notación tomaremos quedando las ecuaciones siguientes: ; ; Realizando las tres multiplicaciones binarias posibles entre ellas, se obtiene Y sumándolas
  18. 18. Dividamos el primer miembro por el valor de Y dividiendo el segundo miembro por : : Igualando ambos resultados obtenemos una de las ecuaciones de transformación. Las otras dos pueden obtenerse del mismo modo dividiendo por y 24. Leyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniería eléctrica. Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedió a Maxwell y gracias a Georg Ohm su trabajo fue
  19. 19. generalizado. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica e ingeniería eléctronica para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito eléctrico. Ley de corrientes de Kirchhoff La corriente que pasa por un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. i1 + i4 = i2 + i3 Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que: En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero Esta fórmula es válida también para circuitos complejos: La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en couloumbs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos.
  20. 20. Densidad de carga variante La LCK sólo es válida si la densidad de carga se mantiene constante en el punto en el que se aplica. Considere la corriente entrando en una lámina de un capacitor. Si uno se imagina una superficie cerrada alrededor de esa lámina, la corriente entra a través del dispositivo, pero no sale, violando la LCK. Además, la corriente a través de una superficie cerrada alrededor de todo el capacitor cumplirá la LCK entrante por una lámina sea balanceada por la corriente que sale de la otra lámina, que es lo que se hace en análisis de circuitos, aunque cabe resaltar que hay un problema al considerar una sola lámina. Otro ejemplo muy común es la corriente en una antena donde la corriente entra del alimentador del transmisor pero no hay corriente que salga del otro lado. Maxwell introdujo el concepto de corriente de desplazamiento para describir estas situaciones. La corriente que fluye en la lámina de un capacitor es igual al aumento de la acumulación de la carga y además es igual a la tasa de cambio del flujo eléctrico debido a la carga (el flujo eléctrico también se mide en Coulombs, como una carga eléctrica en el SIU). Esta tasa de cambio del flujo , es lo que Maxwell llamó corriente de desplazamiento : Cuando la corriente de desplazamiento se incluye, la ley de Kirchhoff se cumple de nuevo. Las corrientes de desplazamiento no son corrientes reales debido a que no constan de cargas en movimiento, deberían verse más como un factor de corrección para hacer que la LCK se cumpla. En el caso de la lámina del capacitor, la corriente entrante de la lámina es cancelada por una corriente de desplazamiento que sale de la lámina y entra por la otra lámina. Esto también puede expresarse en términos del vector campo al tomar la Ley de Ampere de la divergencia con la corrección de Maxwell y combinando la ley de Gauss, obteniendo: Esto es simplemente la ecuación de la conservación de la carga (en forma integral, dice que la corriente que fluye a través de una superficie cerrada es igual a la tasa de pérdida de carga del volumen encerrado (Teorema de Divergencia). La ley de Kirchhoff es equivalente a decir que la divergencia de la corriente es cero, para un tiempo invariante p, o siempre verdad si la corriente de desplazamiento está incluida en J.
  21. 21. 25. Ley de tensiones de Kirchhoff Ley de tensiones de Kirchhoff, en este caso v4= v1+v2+v3. No se tiene en cuenta a v5 porque no forma parte de la malla que estamos analizando. Esta ley es llamada también Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff y es común que se use la sigla LVK para referirse a esta ley. En un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico en un lazo es igual a cero. De igual manera que con la corriente, los voltajes también pueden ser complejos, así: Esta ley se basa en la conservación de un campo potencial de energía. Dado una diferencia de potencial, una carga que ha completado un lazo cerrado no gana o pierde energía al regresar al potencial inicial. Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el circuito. La validez de esta ley puede explicarse al considerar que una carga no regresa a su punto de partida, debido a la disipación de energía. Una carga simplemente terminará en el terminal negativo, en vez de el positivo. Esto significa que toda la energía dada por la
  22. 22. diferencia de potencial ha sido completamente consumida por la resistencia, la cual la transformará en calor. Teóricamente, y, dado que las tensiones tienen un signo, esto se traduce con un signo positivo al recorrer un circuito desde un mayor potencial a otro menor, y al revés: con un signo negativo al recorrer un circuito desde un menor potencial a otro mayor. En resumen, la ley de tensión de Kirchhoff no tiene nada que ver con la ganancia o pérdida de energía de los componentes electrónicos (Resistores, capacitores, etc. ). Es una ley que está relacionada con el campo potencial generado por fuentes de tensión. En este campo potencial, sin importar que componentes electrónicos estén presentes, la ganancia o pérdida de la energía dada por el campo potencial debe ser cero cuando una carga completa un lazo. Campo eléctrico y potencial eléctrico La ley de tensión de Kirchhoff puede verse como una consecuencia del principio de la conservación de la energía. Considerando ese potencial eléctrico se define como una integral de línea, sobre un campo eléctrico, la ley de tensión de Kirchhoff puede expresarse como: Que dice que la integral de línea del campo eléctrico alrededor de un lazo cerrado es cero. Para regresar a una forma más especial, esta integral puede "partirse" para conseguir el voltaje de un componente en específico. Caso práctico Asumiendo una red eléctrica consistente en dos fuentes y tres resistencias, disponemos la siguiente resolución:
  23. 23. De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff (ley de los nodos), tenemos: La segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas), aplicada a la malla según el circuito cerrado s1, nos hace obtener: La segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas), aplicada a la malla según el circuito cerrado s2, por su parte: Debido a lo anterior, se nos plantea un sistema de ecuaciones con las incógnitas : Dadas las magnitudes: , la solución definitiva sería:
  24. 24. Se puede observar que tiene signo negativo, lo cual significa que la dirección de es inversa respecto de lo que hemos asumido en un principio (la dirección de -en rojo- definida en la imagen). 26. Teorema de Norton Una caja negra que contiene exclusivamente fuentes de tensión, fuentes de corriente y resistencias puede ser sustituida por un circuito Norton equivalente. El teorema de Norton para circuitos eléctricos es dual del teorema de Thévenin. Se conoce así en honor al ingeniero Edward Lawry Norton, de los Laboratorios Bell, que lo publicó en un informe interno en el año 1926. 1 El alemán Hans Ferdinand Mayer llegó a la misma conclusión de forma simultánea e independiente. Establece que cualquier circuito lineal se puede sustituir por una fuente equivalente de intensidad en paralelo con una impedancia equivalente. Al sustituir un generador de corriente por uno de tensión, el borne positivo del generador de tensión deberá coincidir con el borne positivo del generador de corriente y viceversa. Cálculo del circuito Norton equivalente Para calcular el circuito Norton equivalente: 1. Se calcula la corriente de salida, IAB, cuando se cortocircuita la salida, es decir, cuando se pone una carga nula entre A y B. Esta corriente es INo. 2. Se calcula la tensión de salida, VAB, cuando no se conecta ninguna carga externa, es decir, con una resistencia infinita entre A y B. RNo es igual a VAB dividido entre INo.
  25. 25. El circuito equivalente consiste en una fuente de corriente INo, en paralelo con una resistencia RNo. Circuito Thévenin equivalente a un circuito Norton Para analizar la equivalencia entre un circuito Thévenin y un circuito Norton pueden utilizarse las siguientes ecuaciones: Ejemplo de un circuito equivalente Norton Paso 1: El circuito original Paso 2: Calculando la intensidad de salida equivalente al circuito actual Paso 3: Calculando la Paso 4: El circuito resistencia equivalente al circuito equivalente actual En el ejemplo, Itotal viene dado por: Usando la regla del divisor, la intensidad de corriente eléctrica tiene que ser: Y la resistencia Norton equivalente sería:
  26. 26. Por lo tanto, el circuito equivalente consiste en una fuente de intensidad de 3.75mA en paralelo con una resistencia de 2 kΩ 27. Teorema de reciprocidad Es un teorema muy usado en análisis de circuitos. El teorema de reciprocidad cuenta con dos enunciados que en términos generales nos dice: En cualquier red bilateral real pasiva, si la fuente de tensión simple Vx en la rama x produce la respuesta en corriente Iy en la rama y, entonces la eliminación de la fuente de tensión en la rama x y su inserción en la rama y produciría la respuesta en corriente Iy Primer enunciado Indica que si la excitación en la entrada de un circuito produce una corriente i a la salida, la misma excitación aplicada en la salida producirá la misma corriente i a la entrada del mismo circuito. Es decir el resultado es el mismo si se intercambia la excitación y la respuesta en un circuito. Así: Segundo enunciado La intensidad i que circula por una rama de un circuito lineal y pasivo, cuando se intercala una fuente de tensión en otra rama, es la misma que circularía por esta última si la fuente de tensión se intercalase en la primera.
  27. 27. Ejemplo simple En el siguiente circuito se tiene una fuente de tensión en corriente directa de 10 Voltios, entre 1 y 2, que alimenta una red de resistencias. Si ahora se cambian de posición la fuente de tensión y el amperímetro, quedando la fuente de tensión entre 3 y 4, y el amperímetro entre 1 y 2, como se muestra en el siguiente diagrama: Se observa que en el amperímetro se lee una corriente de 20 mA. En conclusión se puede afirmar que: "El hecho de intercambiar la posición relativa de los puntos de inserción de la fuente y del amperímetro no modifica los valores medidos". 28. Teorema de superposición El teorema de superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de voltaje a sus extremidades).
  28. 28. El teorema de superposición ayuda a encontrar: Valores de voltaje, en una posición de un circuito, que tiene más de una fuente de voltaje. Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de voltaje. Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una resistencia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto. Por ejemplo, si el voltaje total de un circuito dependiese de dos fuentes de tensión: Interés del teorema En principio, el teorema de superposición puede utilizarse para calcular circuitos haciendo cálculos parciales, como hemos hecho en el ejemplo precedente. Pero eso no presenta ningún interés práctico porque la aplicación del teorema alarga los cálculos en lugar de simplificarlos. Hay que hacer un cálculo separado por cada fuente de voltaje y de corriente y el hecho de eliminar los otros generadores no simplifica mucho o nada el circuito total. Otros métodos de cálculo son mucho más útiles. El verdadero interés del teorema de superposición es teórico. El teorema justifica métodos de trabajo con circuitos que simplifican verdaderamente los cálculos. Por ejemplo, justifica que se hagan separadamente los cálculos de corriente continua y los cálculos de señales (corriente alterna) en circuitos con Componentes activos (transistores, amplificadores operacionales, etc.). Otro método justificado por el teorema de superposición es el de la descomposición de una señal no sinusoidal en suma de señales sinusoidales (ver descomposición en serie de Fourier). Se reemplaza un generador de voltaje o de corriente por un conjunto (tal vez infinito) de fuentes de voltaje en serie o de fuentes de corriente en paralelo. Cada una de las fuentes corresponde a una de las frecuencias de la descomposición. Por supuesto no se hará un cálculo separado para cada una de las frecuencias, sino un cálculo único con la frecuencia en forma literal. El resultado final será la suma de los resultados obtenidos remplazando, en el cálculo único, la frecuencia por cada una de las frecuencias de la serie de Fourier. El enorme interés de esto es el de poder utilizar
  29. 29. el cálculo con el formalismo de impedancias cuando las señales no son sinusoidales. Ejemplo En medio: circuito con sólo la fuente de voltaje. En el circuito de arriba de la figura de la izquierda, calculemos el voltaje en el punto A utilizando el teorema de superposición. Como hay dos generadores, hay que hacer dos cálculos intermedios. En el primer cálculo, conservamos la fuente de voltaje de la izquierda y remplazamos la fuente de corriente por un circuito abierto. El voltaje parcial obtenido es:: En el segundo cálculo, guardamos la fuente de corriente de derecha y remplazamos la fuente de voltaje por un cortocircuito. El voltaje obtenido es:: El voltaje que buscamos es la suma de los dos voltajes parciales::
  30. 30. 29. Teorema de sustitución El Teorema de Sustitución establece lo siguiente: Figura 1. De manera más simple el teorema establece que para la equivalencia de rama, la Tensión y la Corriente en las terminales a y b deben ser los mismos. Considerando el circuito de la figura 1 en donde la Tensión y la Corriente a través de la rama a-b están determinados. En la figura 2 se muestran varias ramas equivalentes a-a' obtenidas gracias al uso del Teorema de Sustitución. Figura 2 Ramas Equivalentes. Observe que para cada rama equivalente, la tensión en las terminales y la corriente son los mismos, también considere que la respuesta del resto del circuito de la figura 1 no cambia, al sustituir cualquiera de las ramas equivalentes. Como se mostro para las ramas equivalentes de una sola fuente de la figura 2 una diferencia de potencial y una corriente conocidas en una red pueden ser reemplazadas por una fuente de tensión y una fuente de corriente respectivamente. Debe comprenderse que este teorema no debe ser utilizado para resolver redes con dos o más fuentes que no estén en serie o en paralelo. Para aplicarlo, un valor
  31. 31. de diferencia de potencial o de corriente debe ser conocido o encontrado usando alguna técnica de análisis de circuitos eléctricos. Una aplicación del teorema de sustitución se muestra en la figura 3 ; Observe que en la figura, la diferencia de potencial conocida V fue reemplazada por una fuente de tensión, permitiendo aislar la porción de red que incluye , y . Figura 3 Demostración del efecto de conocer una tensión en algún punto en una red compleja. La equivalencia de la fuente de corriente de la red anterior se muestra en la figura 4, donde una corriente conocida es reemplazada por una fuente ideal de corriente permitiendo aislar y . Figura 4 Demostración del efecto de conocer una corriente en algún punto en una red compleja. Las aplicaciones de este teorema son muchas y es muy utilizado en en análisis de redes complejas o circuitos electrónicos muy grandes, donde en la mayoría de los casos es posible expresar todo en circuitos equivalentes conociendo corrientes o tensiones y resistencias, una aplicación más se da en el análisis de redes puente donde V = 0 e I = 0 se reemplazan por un corto circuito y un circuito abierto respectivamente.
  32. 32. Figura 5 Efecto de la utilización del Teorema de Sustitución en redes puente. 30. Teorema de Tellegen El teorema de Tellegen es uno de los más poderosos teoremas del análisis de redes. Muchos de los teoremas de distribución de energía y de los principios del análisis de redes pueden derivarse de él. Fue publicado en 1952 por Bernard Tellegen. Básicamente, el teorema le da una relación simple a las magnitudes que satisfacen las leyes de Kirchhoff en los circuitos eléctricos. El teorema de Tellegen se puede aplicar a una gran multitud de sistemas de redes. Las suposiciones básicas de los sistemas son la conservación del flujo de muchas cantidades (Ley de corriente de Kirchhoff, LCK) y el conjunto de potenciales en los nodos de una red (Ley de tensiones de Kirchhoff, LVK). El teorema de Tellegen nos brinda una herramienta útil en el análisis de sistemas complejos de redes como los circuitos eléctricos, redes metabolicas y biológicas, redes de ductos y redes de procesos químicos. El teorema Tiene una gran cantidad de aplicaciones, que van desde circuitos con elementos activos y pasivos, lineales y no lineales, y fuentes que varíen con el tiempo. La gran generalidad del teorema se deriva del hecho de que la única condición para aplicarse es que se cumpla con las dos leyes de kirchoff. Si se considera la convención de signo pasivo (la corriente se dirige del terminal positivo al negativo), siendo e , las tensiones y corrientes instantáneas respectivamente, el teorema de Tellegen establece que:
  33. 33. Dado que el producto de la tensión por la corriente instantánea representa la potencia instantánea, el teorema de Tellegen representa la conservación de la potencia en un circuito, es decir que la suma de las potencias suministradas por las fuentes equivale a las potencias absorbidas por las resistencias. 31. Teorema de Thévenin En la teoría de circuitos eléctricos, el teorema de Thévenin establece que si una parte de un circuito eléctrico lineal está comprendida entre dos terminales A y B, esta parte en cuestión puede sustituirse por un circuito equivalente que esté constituido únicamente por un generador de tensión en serie con una impedancia, de forma que al conectar un elemento entre los dos terminales A y B, la tensión que cae en él y la intensidad que lo atraviesa son las mismas tanto en el circuito real como en el equivalente. El teorema de Thévenin fue enunciado por primera vez por el científico alemán Hermann von Helmholtz en el año 1853,1 pero fue redescubierto en 1883 por el ingeniero de telégrafos francés Léon Charles Thévenin (1857–1926), de quien toma su nombre.2 3 El teorema de Thévenin es el dual del teorema de Norton. Tensión de Thévenin La tensión de thévenin Vth se define como la tensión que aparece entre los terminales de la carga cuando se desconecta la resistencia de la carga. Debido a esto, la tensión de thévenin se denomina, a veces, tensión en circuito abierto (Vca)
  34. 34. Resistencia (impedancia) de Thévenin La impedancia de Thévenin simula la caída de potencial que se observa entre las terminales A y B cuando fluye corriente a través de ellos. La impedancia de Thevenin es tal que: Siendo el voltaje que aparece entre los terminales A y B cuando fluye por ellos una corriente y el voltaje entre los mismos terminales cuando fluye una corriente Una forma de obtener la impedancia Thevenin es calcular la impedancia que se "ve" desde los terminales A y B de la carga cuando esta está desconectada del circuito y todas las fuentes de tensión e intensidad han sido anuladas. Para anular una fuente de tensión, la sustituimos por un circuito cerrado. Si la fuente es de intensidad, se sustituye por un circuito abierto. Para calcular la impedancia Thevenin, debemos observar el circuito, diferenciando dos casos: circuito con únicamente fuentes independientes (no dependen de los componentes del circuito), o circuito con fuentes dependientes. Para el primer caso, anulamos las fuentes del sistema, haciendo las sustituciones antes mencionadas. La impedancia de Thévenin será la equivalente a todas aquellas impedancias que, de colocarse una fuente de tensión en el lugar de donde se sustrajo la impedancia de carga, soportan una intensidad. Para el segundo caso, anulamos todas las fuentes independientes, pero no las dependientes. Introducimos una fuente de tensión (o de corriente) de prueba ( ) entre los terminales A y B. Resolvemos el circuito, y calculamos la intensidad de corriente que circula por la fuente de prueba. Tendremos que la impedancia Thevenin vendrá dada por Si queremos calcular la impedancia de Thevenin sin tener que desconectar ninguna fuente un método sencillo consiste en reemplazar la impedancia de carga por un cortocircuito y calcular la corriente que fluye a través de este corto. La impedancia Thévenin estará dada entonces por:
  35. 35. De esta manera se puede obtener la impedancia de Thévenin con mediciones directas sobre el circuito real a simular. Ejemplo En primer lugar, calculamos la tensión de Thévenin entre los terminales A y B de la carga; para ello, la desconectamos del circuito. Una vez hecho esto, podemos observar que la resistencia de 10 Ω está en circuito abierto y no circula corriente a través de ella, con lo que no produce ninguna caída de tensión. En estos momentos, el circuito que necesitamos estudiar para calcular la tensión de Thévenin está formado únicamente por la fuente de tensión de 100 V en serie con dos resistencias de 20 Ω y 5 Ω. Como la carga RL está en paralelo con la resistencia de 5 Ω (recordar que no circula intensidad a través de la resistencia de 10 Ω), la diferencia de potencial entre los terminales A y B es igual que la tensión que cae en la resistencia de 5 Ω (ver también Divisor de tensión), con lo que la tensión de Thévenin resulta: Para calcular la resistencia de Thévenin, desconectamos la carga del circuito y anulamos la fuente de tensión sustituyéndola por un cortocircuito. Si colocásemos una fuente de tensión (de cualquier valor) entre los terminales A y B, veríamos que las tres resistencias soportarían una intensidad. Por lo tanto, hallamos la equivalente a las tres: las resistencias de 20 Ω y 5 Ω están conectadas en paralelo y estas están conectadas en serie con la resistencia de 10 Ω, entonces:
  36. 36. TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN EJEMPLO DE CALCULO Calcular el voltaje en el punto A del circuito mostrado en la figura 1. Como el circuito es estimulado por dos fuentes de energía, será necesario realizar un primer cálculo, estimulando el circuito solamente con la fuente de voltaje, por lo cual se sustituirá a la fuente de corriente por un cortocircuito. Se obtendrá entonces el circuito de la figura 2. Figura 2. Circuito estimulado solo por la fuente de voltaje. Figura 2. Circuito estimulado solo por la fuente de voltaje. El voltaje parcial obtenido será: VA1= I Z2 = I Z2= VA1= V0 (Z2 / Z1+Z2). Ahora será necesario desactivar la fuente de voltaje, sustituyéndola por un circuito abierto y activar la fuente de corriente. Se obtendrá entonces el circuito de la figura 3. Figura 3. Circuito estimulado solo por la fuente de corriente. Ahora el voltaje parcial será: VA2= I0 Z= I0 (Z1 * Z2 / Z1 + Z2). El resultado final se obtiene sumando los dos resultados parciales obtenidos, o sea: V2= VA1 + VA2= V0 (Z2 / Z1+Z2) + I0 (Z1 * Z2 / Z1 + Z2)= (V0Z2 + I0 Z1 Z2) / (Z1 + Z2) Figura 2 (Click para ampliar) Analizaremos los dos circuitos de la Fig. 3, en los cuales siempre se considera la fuente dependiente y, únicamente, un generador independiente. Figura 3 Para la Fig. 3a se tiene: 12 - 2i1 = (3+1)i1 → i1 = 2A Para la Fig. 2b se tiene: -2i2 = 1·i2 + 3(i2 + 6) → i2 = -3A
  37. 37. La corriente que circula por la resistencia de 3Ω será: i(3Ω) = i1 + (i2 + 6) = 2 + (-3 + 6) = 5A → P = 3·i2 = 75 w PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Este principio, que se aplica a redes lineales, tiene por objeto calcular la respuesta en un elemento de un circuito, cuando existen varias fuentes, y dice lo siguiente: La respuesta de un circuito lineal, a varias fuentes independientes de excitación actuando simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas que se obtendrían cuando actuase cada una de ellas por separado. La prueba de este Teorema puede establecerse directamente por un análisis de mallas, como vamos a ver analizando el circuito de la Fig. 1. Figura 1 Ecuacion 1 De donde se deduce que, por ejemplo, la corriente i1 bale: Ecuación 2 Donde Δ11 y Δ21 indican los menores adjuntos de la matriz de impedancias y Δz el determinante de la misma. Todas ellas son funciones de las impedancias de la red. En general, para una red de n mallas, la corriente en una malla genérica j valdrá: Ecuación 3
  38. 38. En consecuencia, ij puede considerarse como la suma lineal de n componentes de corriente Ecuacion 4 Debidas a cada generador de malla vgk, actuando independientemente de las otras fuentes. Debe hacerse notar que, para que deje de actuar un generador de tensión, debe anularse su tensión (vg = 0), es decir, se ha de cortocircuitar; mientras que para anular un generador de corriente (i = 0) se debe dejar abierto. Debe tenerse en cuenta también que, al aplicar superposición, la potencia disipada en una resistencia no puede calcularse sumando las potencias debidas a las componentes individuales de corriente, sino que debe calcularse previamente la corriente total y, después, proceder al cálculo de potencia (P = I 2·R). Esto es así porque, como sabemos, la relación entre la potencia y la intensidad no es lineal sino cuadrática. En general, la resolución de un circuito eléctrico por el principio de superposición es un procedimiento pesimista, ya que es bastante lento, comparado con el análisis de mallas o nudos. Sin embargo, cuando se tiene una red excitada con generadores de diferentes frecuencias, constituye el único procedimiento válido para determinar la respuesta del circuito. Cuando se tienen fuentes dependientes en la red, éstas deben mantenerse intactas, debiendo figurar en cada uno de los circuitos en los que se desdobla la red. La razón de ello es que las fuentes dependientes, por su propia naturaleza, dependen de la tensión o corriente de alguna parte del circuito. Veamos el ejemplo de la Fig. 2, donde nos piden obtener la potencia disipada por la resistencia de 3Ω.
  39. 39. Figura 2 Analizaremos los dos circuitos de la Fig. 3, en los cuales siempre se considera la fuente dependiente y, únicamente, un generador independiente. Figura 3 Para la Fig. 3a se tiene: 12 - 2i1 = (3+1)i1 → i1 = 2A Para la Fig. 2b se tiene: -2i2 = 1·i2 + 3(i2 + 6) → i2 = -3A La corriente que circula por la resistencia de 3Ω será: i(3Ω) = i1 + (i2 + 6) = 2 + (-3 + 6) = 5A → P = 3·i2 = 75 w 32. EJERCICIOS PROPUESTOS CON SU SOLUCIÓN 1.
  40. 40. R1 R2 R3 R4 50 50 50 50 Corriente(mA) 1000 50 16,67 4,995 Potencia(W) 2,5 0,8335 0,24975 Voltaje(V) 50 2. Rellene el siguiente cuadro con el voltaje, la corriente y la potencia eléctrica disipada por cada resistor. 3. Sobre un resistor de 10 se mantiene una corriente de 5 A durante 4 minutos. ¿Cuántos coulomb y cuantos electrones pasan a través de la sección transversal del resistor durante ese tiempo. Sol. 1,2 x 103 Coul; 7,5 x 1021 electrones. 4. En un alambre de cobre de 0,10 pulgadas de diámetro existe una pequeña corriente de 1 x 10-16 A. Calcular la velocidad de arrastre de los electrones. Sol. 1,5 x 10-15 m/s 5. El área de la sección transversal del riel de acero de un tranvía es de 7,1 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es la resistencia de 10 millas de riel?. La resistividad el acero es de 6 x 10-7 .m. Sol. 2,1 R1 Voltaje(V) R2 R3 16 16 48 2.667 4.000 Corriente(A) 1.333 Potencia(W) 0,021328 0,042672 0,192 6. Rellene el siguiente cuadro con el voltaje, la corriente y la potencia eléctrica disipada por cada resistor:
  41. 41. R1 R2 R3 R4 2.80 7.00 4.20 4.20 Corriente(mA) 1400 1400 700 700 Potencia(W) 9,8 2,94 2,94 Voltaje(V) 3,92 7. Calcule la diferencia de potencial entre a y b, así como la corriente, el voltaje y la potencia consumida por cada resistor: Sol. 0,001 V R1 Voltaje(V) R2 R3 0.0074 0.0065 0.1383 R4 R5 R6 R8 0.1383 0.1383 0.1383 14.99
  42. 42. Corriente( 2.306 mA) Potencia( W) 2.306 3.458 3.458 2.306 3.458 14.99 0,01706 0,0149 0,47824 0,47824 0,31891 0,47824 0,22470 44 89 14 14 98 14 01 8. Rellene el siguiente cuadro con el voltaje, la corriente y la potencia eléctrica disipada por cada resistor: 9. Un alambre de cobre y uno de hierro, de la misma longitud, están sometidos a la misma diferencia de potencial. ¿Cuál debe ser la relación entre sus radios para que la corriente a través de ellos sea la misma?.¿Puede ocurrir que la densidad de corriente sea la misma en los dos alambres, escogiendo adecuadamente sus radios?. Sol. 2,4 siendo mayor el del hierra; No 10. Un alambre de nicromo (es una aleación de níquel y cromo que se usa comúnmente en los elementos calefactores) tiene una longitud de 1 m; el área de su sección transversal es 1 mm2 y transporta una corriente de 4 A cuando se aplica una diferencia de potencial de 2 V entre sus extremos. ¿Cuál es la conductividad del nicromo?. Sol. 2 x 106 Siemens R1 Voltaje(V) R2 R3 0.250 2.250 9.750 750 812.5 Corriente (mA) 62.50 Potencia(W) 0,015625 1,6875 7,921875 11. Determine la corriente, el voltaje y la potencia que consume cada resistor en la red mostrada: 12. Se fabrican dos conductores de la misma longitud con el mismo material. El conductor A es un alambre sólido de 1 mm de diámetro. El conductor B es
  43. 43. un tubo de 2 mm de diámetro. ¿Cuál es la relación RA/RB entre las resistencias medidas entre sus extremos?. Sol. 3,00 13. El embobinado de cobre de un motor tiene una resistencia de 50 a 20ºC cuando el motor esta inactivo. Después de funcionar por varias horas, la resistencia aumenta a 58 . ¿Cuál es la temperatura del embobinado?. Sol. 61 ºC 14. Un tubo de rayos X opera con una diferencia de potencial de 80 kV y consume una corriente de 7 mA, ¿Cuál es la potencia que disipa, expresada en vatios?. Sol. 560 W 15. Un calefactor de inmersión de 500 W se coloca en un recipiente que contiene 2 litros de agua a 20 ºC. ¿Cuánto tiempo tardará en elevarse la temperatura del agua hasta su temperatura de ebullición, suponiendo que el agua absorbe el 80 % de la energía disponible?:¿Cuánto tiempo más tardará en evaporarse la mitad del agua?. Sol. 28 min; 1,6 horas. Resistencia 7 ( ) 3 4 2 8 20 1 1.5 Voltaje(V) 3,328 0,14763 2,0988 0,5726 3,7536 4,616 0,1892 0,630 5 Corriente (mA) 475,5 49,21 524,7 286,3 469,2 230,8 189,2 420 Potencia(W 1,582 0,0073 1,1012 0,1639 1,7612 1,0654 0,0358 0,2646 ) 7
  44. 44. 16. Determine la corriente, el voltaje y la potencia consumida por cada resistor en la red presentada a continuación: 17. Un calefactor por radiación, de 1250 W, se fabrica de tal forma que opera a 115 V. ¿Cuál será la corriente en el calefactor?.¿cuál será la resistencia de la bobina calefactora?. ¿Cuántas kilocalorías irradia el calefactor en una hora? Sol. 11 A; 11 ; 1100 Kcal 18. Calcule el circuito equivalente Norton del resistor de 4 A (de arriba hacia abajo) . Sol. 6,7 ; 10,75 19. Calcule el circuito equivalente Thevenin del resistor de 2 . Sol. 5,65 ; 13,043 V 20. Un acelerador lineal de electrones produce un haz pulsado de electrones. La corriente de pulso es de 0,50 A y la duración del pulso es de 0,10 s. ¿Cuántos electrones se aceleran en cada pulso?. ¿Cuál es la corriente promedio de una maquina que opera a una frecuencia de 500 pulsos/s?.
  45. 45. ¿Si los electrones se aceleran hasta 50 MeV de energía, ¿Cuál es la potencia de salida, promedio y de pico, del acelerador?. Sol. 3,1 x 1011; 25 A; 1200 W (en promedio); 2,5 x 107 W (valor pico) 21. Aplicando el teorema de Superposición calcúlese la corriente que pasa por el resistor de 10 . Sol. 523,7 mA 22. Una batería de 6 V establece una corriente de 5 A en un circuito externo durante 6 minutos. ¿En cuanto se reduce la energía química de la batería?. Sol. 1,1 x 104 J 23. En un circuito en serie simple circula una corriente de 5 A. Cuando se añade una resistencia de 2 W en serie, la corriente decae a 4 A. ¿Cuál es la resistencia original del circuito?. Sol. 8 24. Una resistencia de 0,10 W debe generar energía térmica con un ritmo de 10 W al conectarse a una batería cuya fem es de 1,5 V. ¿Cuál es la resistencia interna de la batería?. ¿Cuál es la diferencia de potencial que existe a través de la resistencia?. Sol. 0,050 ; 1,0 V 25. Utilizando solamente dos embobinados con resistencia (conectados en serie, en paralelo o por separado), un estudiante puede obtener resistencias de 3, 4, 12 y 16 . ¿Cuáles son las resistencias individuales de las bobinas?. Sol. 4 y 12 .
  46. 46. 26. Dos baterías cuyas fem y resistencias internas son 1, r1 y 2, r2 respectivamente, se conectan en paralelo. Demostrar que la fem efectiva de esta combinación es: ; en donde r queda definida mediante: 27. Doce resistencias, cada una de resistencia R, se interconectan formando un cubo. Determinar la resistencia equivalente RAB de una arista. Calcular la resistencia equivalente RBC de la diagonal de una de las caras. Determinar la resistencia equivalente RAC de una diagonal del cubo. Sol. 7/12 R; ¾ R; 5/6 R 28. Se establece una corriente en un tubo de descarga de gas al aplicar una diferencia de potencial suficientemente elevada entre los dos electrodos del tubo. El gas se ioniza; los electrones se mueven hacia la terminal positiva y los iones positivos hacia la terminal negativa, ¿Cuál es la magnitud y sentido de la corriente en un tubo de descarga de hidrógeno en el cual pasan por una sección transversal del tubo 3,1 x 1018 electrones y 1,1 x 1018 protones cada segundo?. Sol. 0,67 A; sentido contrario a la carga negativa. 29. Una banda de un generador electroestático tiene 50 cm de ancho y se mueve a razón de 30 m/s, la banda lleva la carga a la esfera con una rapidez correspondiente a 104 A. Calcule la densidad de carga en la banda. Sol. 0,066 x 10-4 Col/m2 30. Una barra cuadrada de aluminio tiene 1 m de largo y 5 mm de lado. ¿Cuál es la resistencia entre sus extremos?. ¿Cuál debe ser el diámetro de una barra de cobre circular de 1 m para que tenga la misma resistencia? Sol. 1,13 x 10-3 ; 4,4 x 10-3 m 31. ¿A que temperatura duplicará su resistencia un conductor de cobre con respecto a su resistencia a 0 ºC?. ¿Es valida esa misma temperatura para todos los conductores de cobre, cualquiera que sea su forma o tamaño?. Sol. 256 ºC; Sí

×