Prezentarea notiunilor de baza in cinematica

1. 1

2. 2
NONOŢIUNI GENERALEŢIUNI GENERALE
FIZICAFIZICA- parte a ştiinţei care studiază legile ce- parte a ştiinţei care studiază legile ce
guvernează comportamentul extern şi intern aguvernează comportamentul extern şi intern a
corpurilor din Univers şi interavţiunea acestora.corpurilor din Univers şi interavţiunea acestora.
După obiectul de studiu, fizica are următorele ramuri:După obiectul de studiu, fizica are următorele ramuri:
Mecanică, electricitate, magnetism, optică, fizica nucleului,Mecanică, electricitate, magnetism, optică, fizica nucleului,
termodinamică, hidrostatică, etc.termodinamică, hidrostatică, etc.
MecanicaMecanica – parte a fizicii care studiază fenomene legate de– parte a fizicii care studiază fenomene legate de
mişcarea mecanică.mişcarea mecanică.
Mişcarea mecanicăMişcarea mecanică – modificarea poziţiei unui corp în raport– modificarea poziţiei unui corp în raport
cu altul considerat fix.cu altul considerat fix.

3. 3
NONOŢIUNI GENERALEŢIUNI GENERALE
Mărime fizicăMărime fizică – orice proprietate măsurabilă a– orice proprietate măsurabilă a
unui corp.Mărimea fizică este descrisă prin :unui corp.Mărimea fizică este descrisă prin :
DefiniţiaDefiniţia – arată proprietatea pe care o măsoară,– arată proprietatea pe care o măsoară,
SimbolulSimbolul – litera cu care este notată, recunoscută,– litera cu care este notată, recunoscută,
FormulaFormula – relaţia matematică,– relaţia matematică,
Unitatea de măsurăUnitatea de măsură – permite descrierea cantitativă,– permite descrierea cantitativă,
MăsurareaMăsurarea – instrumentul de determinare a valorii.– instrumentul de determinare a valorii.

4. 4
CLASIFICAREACLASIFICAREA
MĂRIMILOR FIZICEMĂRIMILOR FIZICE
Mărimi fizice scalareMărimi fizice scalare – mărimile caracterizate– mărimile caracterizate
integral printr-o valoare algebrică.integral printr-o valoare algebrică.
Mărimi vectorialeMărimi vectoriale – mărimi caracterizate prin– mărimi caracterizate prin
valoare şi orientare (valoare şi orientare (origine, direcţie şi sensorigine, direcţie şi sens).).
VectorulVectorul – simbolul matematic al unei mărimi vectoriale.– simbolul matematic al unei mărimi vectoriale.
Caracteristicile unui vector:Caracteristicile unui vector:
DirecţieDirecţie – dreapta suport– dreapta suport
OrigineOrigine – punct de aplicaţie– punct de aplicaţie
ModulModul – valoare algebrică (lungimea)– valoare algebrică (lungimea)
ExtremitateExtremitate – sensul acţiunii.– sensul acţiunii.

5. 5
OPERAŢII CU VECTORIOPERAŢII CU VECTORI
b

b

−
Compunerea vectorilorCompunerea vectorilor – include însumarea şi diferenţa a doi– include însumarea şi diferenţa a doi
vectori .vectori .
Metode de compunereMetode de compunere – grafică, analitică.– grafică, analitică.
ba

+ba

−
ConcluConcluzzieie –– vectorulvectorul sumăsumă esteeste diagonala marediagonala mare, iar, iar vectorulvectorul
diferenţădiferenţă esteeste diagonala mică,diagonala mică, a paralelogramului format de ceia paralelogramului format de cei
doi vectori.doi vectori.
a


6. 6
OPERAŢII CU VECTORIOPERAŢII CU VECTORI
Regula paralelogramuluiRegula paralelogramului – costă în compunerea vectorilor– costă în compunerea vectorilor
prin poziţionarea acestora cu originea comună.prin poziţionarea acestora cu originea comună.
DiferenţaDiferenţa = suma vectorului cu opusul celui de-al doilea.= suma vectorului cu opusul celui de-al doilea.
Vector opusVector opus – vector cu aceeaşi direcţie, acelaşi modul, dar sens opus.Se– vector cu aceeaşi direcţie, acelaşi modul, dar sens opus.Se
simbolizează cu semnul minus înaintea simbolului vectorului dat.simbolizează cu semnul minus înaintea simbolului vectorului dat.
Modulul vectorului rezultantModulul vectorului rezultant::
( )baunde
babaR

,
cos2222
=α
α⋅⋅⋅++=

7. 7
OPERAŢII CU VECTORIOPERAŢII CU VECTORI
Regula poligonuluiRegula poligonului – regula de compunere a mai– regula de compunere a mai
mult de doi vectori şi a vectorilor coliniari (mult de doi vectori şi a vectorilor coliniari (vectori cuvectori cu
direcţii paraleledirecţii paralele).).
b

c

d
 dcbaR

+++=
R

ConcluzieConcluzie – vectorul rezultant este vectorul care– vectorul rezultant este vectorul care
închide conturul poligonal şi are originea în origineaînchide conturul poligonal şi are originea în originea
primului vector.primului vector.
a


8. 8
OPERAŢII CU VECTORIOPERAŢII CU VECTORI
( ) ( )aaa
aaa


−+−=⋅−
+=⋅
2
2
a

a

− a

−
a

2
a

2−
Înmulţirea unui vector cuÎnmulţirea unui vector cu
un scalarun scalar – costituie de fapt– costituie de fapt
o adunare repetată :o adunare repetată :
Este tot un vector avândEste tot un vector având
aceeaşi direcţie şi acelaşi sensaceeaşi direcţie şi acelaşi sens
cu vectorul dat, pentru scalarcu vectorul dat, pentru scalar
pozitiv şi sens opus pentrupozitiv şi sens opus pentru
scalar negativ, iar modululscalar negativ, iar modulul
egal cu produsul scalarului cuegal cu produsul scalarului cu
modulul vectorului datmodulul vectorului dat
a


9. 9
VERSORIVERSORI
Vectorul reprezentat prin versori uşurează calcululVectorul reprezentat prin versori uşurează calculul
componentelor unui vector.componentelor unui vector.
Prin descompunerea unui vector pe două direcţii date sePrin descompunerea unui vector pe două direcţii date se
obţin doi vectori a căror rezultantă este vectorul dat.obţin doi vectori a căror rezultantă este vectorul dat.
VersoriiVersorii – sunt vectori unitari ai căror orientare coincide cu– sunt vectori unitari ai căror orientare coincide cu
orientarea axei aleasă ca direcţie de proiectare a vectorului.orientarea axei aleasă ca direcţie de proiectare a vectorului.
Pentru axa OX – versorulPentru axa OX – versorul
Pentru axa OY – versorulPentru axa OY – versorul
Pentru axa OZ – versorulPentru axa OZ – versorul
i

j

k


10. 10
COMPONENTELE UNUICOMPONENTELE UNUI
VECTORVECTOR
a

i

j

xa

ya

Ax
Ay A
y
x
jyixa AA

⋅+⋅=
= ⋅xa

Ax i

ya

= Ay ⋅ j

⇒





Componenta vectorului seComponenta vectorului se
compune din modulul proiecţieicompune din modulul proiecţiei
înmulţit cu versorul axei.înmulţit cu versorul axei.
ReRezultanta a doi vectorizultanta a doi vectori
exprimaţi prin versori rezultăexprimaţi prin versori rezultă
prin însumarea coponentelorprin însumarea coponentelor
acestor vectori.acestor vectori.
yx aaa

+=

11. 11
MMĂRIMI FIZICEĂRIMI FIZICE
Mărimi scalareMărimi scalare
MasaMasa
DensitateaDensitatea
DinstanţaDinstanţa
EnergiaEnergia
Lucru mecanicLucru mecanic
Mărimi vectorialeMărimi vectoriale
DeplasareaDeplasarea
VitezaViteza
AcceleraţiaAcceleraţia
ForţaForţa
Momentul forţeiMomentul forţei
Momentul cineticMomentul cinetic
Vor fi studiate în cadrulVor fi studiate în cadrul
cinematicii.cinematicii.
[ ] kgm 1=
[ ] 3
1
m
kg
ρ =
[ ] md 1=
[ ] JW 1=
[ ] JL 1=

12. 12
STUDIUL MIŞCĂRIISTUDIUL MIŞCĂRII
MECANICEMECANICE
CINEMATICACINEMATICA – studiază mişcarea mecanică fără a– studiază mişcarea mecanică fără a
analiza cauzele mişcării.analiza cauzele mişcării. Foloseşte noţiunea de sistem deFoloseşte noţiunea de sistem de
referinţă, punct material şi traiectorie.referinţă, punct material şi traiectorie.
DINAMICADINAMICA – studiază mişcarea micanică pornind– studiază mişcarea micanică pornind
de la cauzele mişcării.de la cauzele mişcării. Se studiază pe baza legilor deSe studiază pe baza legilor de
conservare a energiei.conservare a energiei.
STATICASTATICA – studiază oun caz particular al mişcarii– studiază oun caz particular al mişcarii
mecanice, repausul, mai exact starea de echilibru amecanice, repausul, mai exact starea de echilibru a
corpurilor.corpurilor. Echilibrul de rotaţie şi de translaţie.Echilibrul de rotaţie şi de translaţie.

13. 13

14. 14
CINEMATICACINEMATICA
DEFINIREDEFINIRE
DEPLASAREADEPLASAREA
VITEZAVITEZA
ACCELERAACCELERAŢŢIAIA
TIPURI DE MITIPURI DE MIŞŞCCĂĂRI ALE PUNCTULUIRI ALE PUNCTULUI
MATERIALMATERIAL

15. 15
CINEMATICACINEMATICA
Parte a fizicii care se ocupParte a fizicii care se ocupă cu studiul mişcăriiă cu studiul mişcării
corpurilor fără a considera cauzele mişcării.corpurilor fără a considera cauzele mişcării.
Important în studiul cinematic al mişcării esteImportant în studiul cinematic al mişcării este alegereaalegerea
sistemului de referinţă cel mai favorabilsistemului de referinţă cel mai favorabil. Sistemul de referinţă,. Sistemul de referinţă,
bine ales, implică o uşurare a studiului mişcării.bine ales, implică o uşurare a studiului mişcării.
Sistemul de referinţăSistemul de referinţă – ansamblul format din observator, riglă şi– ansamblul format din observator, riglă şi
ceas şi este reprezentat grafic printr-un sistem de axeceas şi este reprezentat grafic printr-un sistem de axe
rectangulare având originea în poziţia ocupată de observator.rectangulare având originea în poziţia ocupată de observator.

16. 16
CINEMATICACINEMATICA
Pentru acest tip de studiu foloseşte noţiunile de :Pentru acest tip de studiu foloseşte noţiunile de :
Punct material-Punct material- punct geometric cu masă.punct geometric cu masă.
CoordonateCoordonate – mărimile fizice care definesc poziţia mobilului în– mărimile fizice care definesc poziţia mobilului în
timp (timp (coordonate temporalecoordonate temporale) şi spaţiu () şi spaţiu (coordonate spaţialecoordonate spaţiale) .) .
TraiectorieTraiectorie – mulţimea punctelor atinse de mobil în mişcare– mulţimea punctelor atinse de mobil în mişcare
(urma lăsată de mobil în mişcare).(urma lăsată de mobil în mişcare).
Traiectoriile pot fi :Traiectoriile pot fi :
RectiliniiRectilinii
CurbiliniiCurbilinii

17. 17
COORDONATECOORDONATE
Problema generalProblema generalăă a cinematecii este aceea de aa cinematecii este aceea de a determina traiectoria,determina traiectoria,
viteza, acceleraviteza, acceleraţţiaia,, dacdacăă se cunoase cunoaşşte legea de mite legea de mişşccăăre a mobilului.re a mobilului.
Fie dat un sistem de referinFie dat un sistem de referinţăţă cartezian Oxyz, legile de micartezian Oxyz, legile de mişşcare pe cele treicare pe cele trei
direcdirecţţii se pot scrie:ii se pot scrie:
( )
1 2 3x f (t), y f (t), z f (t)
sau r f t
unde r xi yj zk
i, j,k, sunt
versorii celor trei axe .
= = =
=
= + +
r
rr rr
rr r
z
M
y
x
k
r r
r
i
r
j
r
xr
r
yr
r
zr
r

18. 18
DEPLASAREADEPLASAREA
Vectorul cu originea în punctul iniţial şi extremitatea în punctul finalVectorul cu originea în punctul iniţial şi extremitatea în punctul final
pe traiectorie. Numeric este egal cupe traiectorie. Numeric este egal cu variavariaţţia coordonateia coordonateii..



−=∆
=
−=∆
12
12
12
yyy
-xxΔx
saurrr
rrr
OO
A(tA(t11))
B(tB(t22))
xx
yy
2y
1r
r
2r
r
r
r
∆
x
r
∆1x 2x
1y Distanţa parcursă dd
Modulul deplasăriiModulul deplasării ≤≤ distanţa parcursădistanţa parcursă
y
r
∆

19. 19
VITEZAVITEZA MEDIEMEDIE
( )1
1
rΔ
Δt
v
t
r
v mm
rr
r
r
⋅=⇔
∆
∆
=
Mărimea vectorială care caracterizează mişcarea şi este numeric egală cuMărimea vectorială care caracterizează mişcarea şi este numeric egală cu
raportul dintre deplasareraportul dintre deplasare şşi durati durata efectuării acesteia,a efectuării acesteia, iar vectorul vitezăiar vectorul viteză
are aceeaşi orientare cu vectorul deplasare.are aceeaşi orientare cu vectorul deplasare.
Mărimea introdusă pentru studiul mişcării corpurilor, raportândMărimea introdusă pentru studiul mişcării corpurilor, raportând
deplasarea efectuată la durată, caz în care se obţine o valoare medie .deplasarea efectuată la durată, caz în care se obţine o valoare medie .
[ ]
s
m
v SI 1=
Din relaţia (1) rezultă că viteza medie
are acelaţi sens cu vectorul deplasare
(înmulţirea unui vector cu un scalar) OO
A(tA(t11))
B(tB(t22))
xx
yy
2y
1r
r
2r
r
r
r
∆
1x 2x
1y mv
r

20. 20
VITEZA MOMENTANĂVITEZA MOMENTANĂ
⇒



≡∆
≡∆
⇒→∆⇒→∆
rdr
dtt
rt rr
r
00
Pentru determinarea vitePentru determinarea vitezzei mobiluluiei mobilului îîn fiecare punctn fiecare punct, se consideră timpi, se consideră timpi
infinitezimali de mişcare (infinitezimali de mişcare (ΔΔt→0), pentru care corespund deplasări la fel det→0), pentru care corespund deplasări la fel de
mici :mici :
dt
rd
v
r
r
=
Dat fiind faptul ca deplasarea tinde la zero,
vectorul deplasare are direcţia tangentei,prin
urmare şi viteza momentană:
OO
A(tA(t11))
B(tB(t22))
xx
yy
2y
1r
r
2r
r
r
r
∆
1x 2x
1y v
r
Vectorul viteză momentană este tangent înVectorul viteză momentană este tangent în
fiecare punct la traiectorie şi are sensulfiecare punct la traiectorie şi are sensul
vectorului deplasare.vectorului deplasare.

21. 21
CAZUL MIŞCĂRIICAZUL MIŞCĂRII
RECTILINII UNIFORMERECTILINII UNIFORME
Mişcare mobilului pe oMişcare mobilului pe o traiectorie rectilinietraiectorie rectilinie cucu viteza constantăviteza constantă..
x0 0x x
( )0tA
dx =∆
( )tB
0r
r
r
r
r
r
∆v
r
Pentru viteză constantă, viteza medie devine identică cu viteza momentană.Pentru viteză constantă, viteza medie devine identică cu viteza momentană.
⇔
−
−
=⇒



−=∆
−=∆
∆
∆
=
∆
∆
=
0
0
0
0
tt
xx
v
ttt
xxx
dar
t
x
vsau
t
r
v
r
r
( )00 ttvxx −⋅+= Pentru tPentru t00=0, x-x=0, x-x00=d, rezultă relaţia uzuală :=d, rezultă relaţia uzuală : tvd ⋅=

22. 22
LEGEA MIŞCĂRIILEGEA MIŞCĂRII
În relaţia dedusă anteriorÎn relaţia dedusă anterior
observăm că timpulobservăm că timpul tt esteeste
variabila independentă,variabila independentă,
care se află la puterea întâicare se află la puterea întâi
şişi xx este variabilaeste variabila
dependentă de timp prindependentă de timp prin
relaţia ce includerelaţia ce include
constantele precizândconstantele precizând
poziţia şi momentulpoziţia şi momentul
iniţial, fapt care esteiniţial, fapt care este
echivalent cu o funcţie deechivalent cu o funcţie de
gradul I- funcţie liniară.gradul I- funcţie liniară.
Pentru tPentru t00=0, rezultă :=0, rezultă :
Relaţie care poate fi scrisăRelaţie care poate fi scrisă
sub forma :sub forma :
Relaţie ce corespundeRelaţie ce corespunde
unei legi de mişcare,unei legi de mişcare,
deoarece aratădeoarece arată
modificarea coordonateimodificarea coordonatei
spaţiale în timp.spaţiale în timp.
tvxx ⋅+= 0
( )tfx =

23. 23
LEGEA MIŞCĂRIILEGEA MIŞCĂRII
RECTILINII UNIFORMERECTILINII UNIFORME
( )
( )
⇒





=⇒=
−=⇒=
⇒⋅+=
0
0:
00:
0
xxtox
f
G
v
x
txot
f
G
tvxx




 







− 0;0
v
x
A
( )0
;0 xB
DeterminămDeterminăm
punctele depunctele de
intersecţieintersecţie
cu graficul:cu graficul:
Viteza esteViteza este
pozitivă cândpozitivă când
are sensulare sensul
axei, arbitraraxei, arbitrar
aleasă şialeasă şi
negativă înnegativă în
sens contrar.sens contrar.
x
0x
( )0,0 0
0
><− xv
v
x
( )0,0 0
0
>>− xv
v
x
( )0,0 0
0
<>− xv
v
x
( )0,0 0
0
<<− xv
v
x
0x
y
0

24. 24
ACCELERAACCELERAŢŢIAIA
• Mărimea vectorială introdusă pentru studiul variaţiei vitezei înMărimea vectorială introdusă pentru studiul variaţiei vitezei în
timpul mişcării , a comparării mişcărilor.timpul mişcării , a comparării mişcărilor.
• Acceleraţia este numeric egală cuAcceleraţia este numeric egală cu raportul dintre variaraportul dintre variaţţia vitezeiia vitezei şşii
duratadurata îîn care se produce aceastn care se produce aceastăă variavariaţţie.ie.
• Această valoare este o valoare medie .Această valoare este o valoare medie .
tt
vv
Δt
vΔ
am
0
0
−
−
==
rrr
r
[ ] 2
1
s
m
a SI =
OO
A(tA(t11))
B(tB(t22))
yy
1r
r
2r
r
1v
r
2v
r
v
r
∆
ma
r OrientareaOrientarea acceleraţieiacceleraţiei
medii este aceeaşi cumedii este aceeaşi cu
cea a vectorului variaţie acea a vectorului variaţie a
vitezeivitezei v
r
∆
ma
r

25. 25
MIŞCAREA RECTILINIEMIŞCAREA RECTILINIE
UNIFORM VARIATĂUNIFORM VARIATĂ
Mişcare mobilului pe o traiectorie rectilinie cu acceleraţiaMişcare mobilului pe o traiectorie rectilinie cu acceleraţia
constantă.constantă.
LegeaLegea mişcării rezultă din legea mişcării rectilinii uniforme la care semişcării rezultă din legea mişcării rectilinii uniforme la care se
înlocuieşte viteza cu valoarea medie a acesteia.înlocuieşte viteza cu valoarea medie a acesteia.
Pentru calculul valorii medii a vitezei trebuie determinată funcţia dePentru calculul valorii medii a vitezei trebuie determinată funcţia de
variaţie în timp a vitezei, deoarece :variaţie în timp a vitezei, deoarece :
Pentru o funcPentru o funcţie de gradul Iţie de gradul I – valoarea medie= media aritmetică– valoarea medie= media aritmetică
Pentro o funcţie de gradul IIPentro o funcţie de gradul II – valoarea medie=media geometrică– valoarea medie=media geometrică
( )m0 0x x v t t= + × −

26. 26
LEGEA VITEZEILEGEA VITEZEI
Acceleraţia fiind constantă, valoarea medie devineAcceleraţia fiind constantă, valoarea medie devine
identică cu valoarea momentană :identică cu valoarea momentană :
Adică , realţie care indică o dependenţăAdică , realţie care indică o dependenţă
liniară de timp a vitezei .liniară de timp a vitezei .
Prin urmare, valoarea medie a vitezei va fi :Prin urmare, valoarea medie a vitezei va fi :
În aceste condiţii viteza medie este :În aceste condiţii viteza medie este :
0
0
tt
vv
a
t
v
a
−
−
=⇔
∆
∆
=
( )00 ttavv −+=
2
0vv
vm
+
=
( )tfv =
( ) ⇔
+−+
=
2
000 vttav
vm ( )00
2
tt
a
vvm −⋅+=

27. 27
LEGEA MIŞCĂRII RECTILINIILEGEA MIŞCĂRII RECTILINII
UNIFORM VARIATEUNIFORM VARIATE
Înlocuind valoare medie a vitezei în relaţia legii mişcăriiÎnlocuind valoare medie a vitezei în relaţia legii mişcării
pentru o deplasare rectilinie, rezultă legea mişcării rectiliniipentru o deplasare rectilinie, rezultă legea mişcării rectilinii
uniform variate:uniform variate:
Din legea mişcării rezultă o dependenţă pătratică aDin legea mişcării rezultă o dependenţă pătratică a
coordonatei de timp , ceea ce se trenscrie graficcoordonatei de timp , ceea ce se trenscrie grafic
printr-o parabolă.printr-o parabolă.
( ) ( )
( ) ( )
0 0
2
0 0 0 0
0 0x x t t
a
a
x x v t t t t
2
v t t
2
= +
 = + × − ⇒ ÷
 
× − + × −
+ × −
( )2
x f t=

28. 28
x, v
O
t
x, v
t
a>0 a<0
0x
mx
mt
0v
mx
0x
0v
mt
REPREZENTARE GRAFICĂREPREZENTARE GRAFICĂ
A LEGII M.R.U.V.A LEGII M.R.U.V.
Dat fiind faptul că mişcarea poate avea loc cu creşterea vitezei sau cu scăderea
vitezei în timpul mişcării, vom distinge două tipuri de mişcări :
Mişcare rectilinie uniform accelerată
Mişcare rectilinie uniform încetinită ( )v 0 a 0∆ < ⇒ <
( )v 0 a 0∆ > ⇒ >
O

29. 29
ECUAECUAŢIA LUI GALILEIŢIA LUI GALILEI
Pentru soluţionarea problemelor de cinematică în care nu se cunoaşte şi nu sePentru soluţionarea problemelor de cinematică în care nu se cunoaşte şi nu se
cere durata mişcării, fizicianul Galileo Galilei, a dedus relaţia care-i poartăcere durata mişcării, fizicianul Galileo Galilei, a dedus relaţia care-i poartă
numele şi rezultă din legea mişcării şi legea vitezei prin eliminarea durateinumele şi rezultă din legea mişcării şi legea vitezei prin eliminarea duratei
mişcării (t-tmişcării (t-t00):):
( )
)
0
0 0 0
2
0
0 0
v v
v v a t t t t
a
v v a
x x v
a
−
= + − ⇒ − = ⇒
−
= + × +
( )
2
0
2
2
v v
a
−
×
0
0
2 v v
x x
⇔
× ×
− =
2 2
0 02 2v v v v− × + − × ×
( )2 2
0
2
0
2
0 0
2
0
2
2
2
v
a
v v
x v a x
a
v xx =
+
⇒
×
−
− = ⇔
×
+ × × −