Relaciones numéricas

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Relaciones numéricas

  1. 1. Colegio María Teresa CancinoDepartamento de Matemáticaprofesor: Gonzalo Olguín4to Medio AMarión Alejandra Pinto Reveco6 de noviembre de 2012.
  2. 2. Relaciones numéricas 2 ÍNDICEIntroducción.…………………………………………………………………………………………………………………. 3Teoremas.……………………………………………………………………………………………………………………… 4 1-. Teoremas sobre filas …………………………………………………………………………………… 4 2-. Teoremas sobre columnas. …………………………………………………………………………. 7 3-. Teoremas sobre Diagonales.………………………………………………………………………… 10 4-. Teoremas sobre ZigZag.………………………………………………………………………………… 11 5-. Teoremas sobre Figuras ………………………………………………………………………………. 12 a-. Cuadrado ………………………………………………………………………………….… 12 b-. Rombo………………………………………………………………………………………... 14 c-. Triángulo..……………………………………………………………………………………. 15Conclusión………………………………………………………………………………………………………….………… 17
  3. 3. Relaciones numéricas 3 INTRODUCCIÓN Las tablas numéricas siempre han representado una curiosidad matemática, puesto que la distinta distribución consecutiva de números en este espacio propone variadas y singulares relaciones aritméticas y geométricas, fáciles de captar con algo de ingenio y lógica. Es posible encontrar dentro de la leyenda popular la historia de un Rey indio, que habiendo estado muy agradecido del ciudadano que le enseñó el ajedrez, le ofreció un cheque en blanco como remuneración. Este siendo muy astuto le pide al rey un regalo relacionado con el juego: “Majestad, me conformo con que me des un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así sucesivamente, multiplicando cada vez por dos, hasta llegar al último casillero"> Aunque ofendido el Rey por la petición tan simple, accedió y mandó que se le fuese entregada la cantidad solicitada. Sin embargo los matemáticos de la corte estuvieron varios días calculando, solo para llegar a la conclusión de que no habría granos suficientes en el mundo para pagarle esa cantidad. Las tablas numéricas también son usadas en juegos de lógica, como es el caso de loscuadros mágicos o el Sudoku. Además, con frecuencia forman parte de trucos de magia y en la actualidad son usados como instrumento educativo en cursos básicos por su carácter didáctico. En este informe trabajaremos con una sencilla tabla de 10x10 en la que se encuentran situados en orden ascendente por las filas, los números de 1 al 100. Con el objetivo de encontrar en ella la mayor cantidad posible de relaciones, ya sean aritméticas o algebraicas, y establecer teoremas en base a ellos dando explicación a su singularidad.
  4. 4. Relaciones numéricas 4 TEOREMAS 1-. Teorema sobre Filas a-. La progresión entre la resta de los extremos de una misma fila siempre está dada por Af - Ai = 9- 2(i-1)Donde Af corresponde al extremo mayor, Ai al extremos menor (ambos de la fila 1) e i la posición en la fila correspondiente al número menor - Ejemplos: Primera Fila Sexta Fila 10-1= 9- 2(1-1) 60-51= 9- 2(1-1) 10-1= 9-0 60-51= 9-0 10-1= 9 60-51= 9 9-2= 9- 2(2-1) 59-52= 9- 2(2-1) 9-2= 9-2 59-52= 9-2 9-2= 7 59-52= 7 8-3= 9- 2(3-1) 58-53= 9- 2(3-1) 8-3= 9-4 58-53= 9-4 8-3= 5 58-53= 5 7-4= 9- 2(4-1) 57-52= 9- 2(4-1) 7-4= 9-6 57-52= 9-6 7-4= 3 57-52= 3 6-5= 9- 2(5-1) 56-51= 9- 2(5-1) 6-5= 9- 8 56-51= 9- 8 6-5= 1 56-51= 1 Como podemos ver, la diferencia siempre va disminuyendo de dos en dos a medida que nos acercamos al centro, esto es porque tenemos como constante la disminución en una unidad del número mayor y aumento de la misma cantidad en el menor. Matemáticamente esto puede ser representado como: Af-1-Ai+1= (Af-1)-(Ai+1) → Af-1-Ai+1= (Af-1) - Ai -1 → Af-1-Ai+1= (Af- Ai)-2 Además, esta misma relación se repite en el resto de las filas, puesto que en todos los casos el aumento en las decenas que se produce en ambos términos (inicial y final) es igual y por tanto se anula, conservándose así la misma relación establecida en la primera fila. Fila 2: (Af +10)–(Ai+10) = (Af+10-1)-(Ai+10+1) → (Af +10)–(Ai+10) = Af -1- Ai -1 → (Af +10)–(Ai+10) = (Af- Ai)-2 Fila 6: (Af +50)–(Ai+50) = (Af+50-1)-(Ai+50+1) → (Af +50)–(Ai+50) = Af-1-Ai -1 → (Af+50)–(Ai+50) = (Af- Ai)-2
  5. 5. Relaciones numéricas 5b-. La suma de los extremos dentro de una misma fila siempre es igual y descendemos sobre estas en base a la progresión: Af + Ai =11+20(Nfila -1) Donde Af corresponde al extremo mayor, Ai al extremos menor (ambos de la fila) y Nfila corresponde al número de la Fila en que nos encontramos. -Ejemplos: Igual suma dentro de fila Progresión en filas 10+1= 11+10(1-1) 40+31= 11+20(4-1) 10+1= 11+0 40+31= 11+60 10+1= 11 40+31= 61 (fila 4) 9+2= 11+10(1-1) 49+42= 11+20(5-1) 9+2= 11+0 49+42= 11+80 9+2= 11 49+42= 91 (fila 5) 8+3= 11+10(1-1) 58+53= 11+20(6-1) 8+3= 11+0 58+53= 11+100 8+3= 11 58+53= 111 (fila 6) 7+2= 11+10(1-1) 67+62= 11+20(7-1) 7+2= 11+0 67+62= 11+120 7+2= 11 67+62= 131 (fila 7) 6+1= 11+10(1-1) 76+71= 11+20(8-1) 6+1= 11+0 76+71= 11+140 6+1= 11 76+71= 151 (fila 8) Dentro de una fila, la suma de los extremos será siempre la misma, puesto que como constante tenemos el aumento de una unidad en el número menor y disminución de la misma cantidad en el mayor, esto es: Af-1+Ai+1= (Af-1)+(Ai+1) → Af-1+Ai+1= Af -1 + Ai +1 → Af-1+Ai+1= (Af+Ai) * (Af-1+Ai+1)Corresponde a la suma de los extremos siguientes a (Af+Ai) Ahora bien, cuando descendemos por las filas, la suma constante (+11) que se produce en cada una de estas, varía aumentando de 20 en 20. Esto es porque en ambos sumandos [2] se aumenta la decena correspondiente a la fila en que nos encontramos [10(Nfila -1)], por tanto: Af + Ai =11+210(Nfila -1) → Af + Ai =11+20(Nfila -1) Fila 4: Af + Ai =11+210(Nfila -1) → Af + Ai =11+210(4-1) → Af + Ai =11+20(3) → Af + Ai =71 31+40=71; 32+39=71; 33+38=71; 34+37=71; 35+36=71 Fila 5: Af + Ai =11+210(Nfila -1) → Af + Ai =11+210(5-1) → Af + Ai =11+20(4) → Af + Ai =91 41+50=91; 42+49=91; 43+48=91; 44+47=91; 45+46=91 Fila 6: Af + Ai =11+210(Nfila -1) → Af + Ai =11+210(6-1) → Af + Ai =11+20(5) → Af + Ai =111 51+60=111; 52+59=111; 53+58=111; 54+57=111; 55+56=111
  6. 6. Relaciones numéricas 6 c-. La progresión formada por el total de la suma de todos los números que conforman una fila está dada por: An= 55+100(n-1) Donde n es el número de la fila y An la suma total de números en la fila n. + 55 En este caso la constante 55 corresponde a la suma total de los números de la primera fila. En base a esto 155 se puede establecer una secuencia sumando siempre 100 al número anterior, esto es porque a cada uno de 255 los números dentro de la fila se le agrega 10 unidades 355de forma descendente. Si consideramos que dentro deuna fila tenemos 10 números y el aumento es de 10 por 455cada uno, entonces se cumple que (1010=100) sería el 555 aumento total de cada fila en relación a la anterior. 655 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 755- 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 155 855 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100 955
  7. 7. Relaciones numéricas 7 2-. Teorema sobre Columnas:a-. La progresión entre los extremos de cualquier columna siempre está dada por: Bf - Bi = 90-20(i-1) Donde Bf corresponde al extremo mayor de la columna, Bi al menor e “i” a la posición de Bi en la columna. 90 Primera Columna Tercera Columna 70 91-1= 90- 20(1-1) 93-3= 90- 20(1-1) 91-1= 90-0 93-3= 90-0 50 91-1= 90 93-3= 90 30 81-11= 90- 20(2-1) 83-13= 90- 20(2-1) 81-11= 90- 20 83-13= 90- 20 10 81-11= 70 83-13= 70 71-21= 90- 20(3-1) 73-23= 90- 20(3-1) 71-21= 90- 40 73-23= 90- 40 71-21= 50 73-23= 50 61-31= 90- 20(4-1) 63-33= 90- 20(4-1) 61-31= 90-60 63-33= 90-60 61-31= 30 63-33= 30 51-41= 90- 20(5-1) 53-43= 90- 20(5-1) 51-41= 90- 80 53-43= 90- 80 51-41= 10 53-43= 10 La secuencia se establece en base a la primera diferencia de extremos (90), a partir de este punto la resta comienza a disminuir de 20 en 20 a medida que nos acercamos al centro. Esto sucede porque el número mayor siempre disminuye en 10 unidades con respecto al término de la resta anterior y el menor aumenta en otros 10 de igual modo. Esto es [Bf-1 – Bi+1] = (Bf – 10) - (Bi+10) [Bf-1 – Bi+1] = Bf – 10 - Bi -10 [Bf-1 – Bi+1] = (Bf - Bi) - 20 Este fenómeno se repite en todas las columnas, puesto que en ambos extremos el aumento en las unidades es el mismo y por tanto se anulan: Columna 3: (Bf-1 +3)–(Bi+1+3) = (Bf+3-1)-(Bi+3+1) → (Bf-1 +3)–(Bi+1+3) = Bf -1- Bi -1 → (Bf-1 +3) – (Bi+1+3) = (Bf- Bi)-20 Columna 7: (Bf-1 +7)–(Bi+1+7) = (Bf+7-1)-(Bi+7+1) → (Bf-1 7)–(Bi+1+7) = Bf-1-Bi -1 → (Bf-1+7) – (Bi+1+7) = (Bf- Bi)-20
  8. 8. Relaciones numéricas 8 b-. La suma de los extremos dentro de una misma columna es siempre la misma cantidad y aumenta en relación al resto de las columnas en base a la progresión: Bf+Bi=92+2(n-1)Donde Bf corresponde al extremo mayor de la columna, Bi al menor y n al número de la columna en que nos encontramos. 92 110 94 110 96 110 98 110 100 110 La suma de los extremos dentro de una misma columna es siempre lo mismo, porque a medida que nosacercamos al centro el sumando mayor disminuye en la misma cantidad que aumenta su pareja de sumando correspondiente. Esto es: Bf-1+Bi+1= (Bf-10)+(Bi+10) → Bf-1+Bi+1= Bf -10 + Bi +10 → Bf-1Bi+1= (Bf+Bi) * (Bf-1+Bi+1)Corresponde a la suma de los extremos siguientes a (Bf+Bi)En cambio, a medida que nos movemos por las columnas hacia la izquierda, la suma correspondiente a cadauna de estas aumenta de dos en dos. Esto sucede porque cada uno de lo sumandos aumenta en una unidad (1∙2) en relación a los de la columna anterior (Ncolumna -1). Bf + Bi =92+21(Ncolumna -1) → Bf + Bi =92+2(Nfila -1) Columna 1: Bf + Bi =92+2(Ncolumna -1) → Bf + Bi =92+2(1-1) → Bf + Bi =92+2(0) → Bf + Bi =92 91+1=92; 81+11=92; 71+21=92; 61+31=92; 51+41=92 Columna 2: Bf + Bi =92+2(Ncolumna -1) → Bf + Bi =92+2(2-1) → Bf + Bi =92+2(1) → Af + Ai =94 92+2=94; 82+12=94; 72+22=94; 62+32=94; 52+42=94 Columna 3: Bf + Bi =92+2(Ncolumna -1) → Bf + Bi =92+2(3-1) → Bf + Bi =92+2(2) → Bf + Bi =96 93+3=96; 83+13=96; 73+23=96; 63+33=96; 53+43=96
  9. 9. Relaciones numéricas 9c-. La suma de todos los números que constituyen una columna, forman la progresión: Bn= 460+10(n-1) Donde n es el número de la columna y Bn la suma total de números en la columna n. Al igual que en las filas, es posible establecer una secuencia con la suma total de los números que conforman una columna partiendo desde el resultado de la primera (460). Como se aprecia en el cuadro, cada columna es 10 unidades mayor que la anterior, esto ocurre porque cada digito dentro de la columna es 1 número mayor que su correspondiente de la columna anterior, por tanto, si consideramos que existen 10 números dentro de la columna, entonces en total será 10 unidades mayor. 2 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 = 470 - 1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91 = 460+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 460 470 480 490 500 510 520 530 540 560
  10. 10. Relaciones numéricas 103-. Teoremas sobre diagonales:a-. Las diagonales descendentes hacia la derecha están en la progresión: An=Ai+11(n-1)b-. Las diagonales descendentes hacia la izquierda están en la progresión: An=Ai+9(n-1)*Donde Ai corresponde al término inicial, y n a la posición del número que buscamos. Este fenómeno ocurre porque, en el caso A, la siguiente casilla de la diagonal está posicionada 11 espacios más adelante y en el caso b, 9 casillas después. Por tanto, en el primero iremos aumentando de 11 en 11 y en el segundo de 9 en 9. Sin embargo, mediante este método no es posible encontrar el primer término, puesto que este es elegido de forma arbitraria.a-. 1+11=12 An=Ai+11(n-1) La sucesión de 12+11=23 A2=1+11(2-1) 23+11=34 estas A2=1+11 34+11=45 A2=12 diagonales está 45+11=56 dada por 56+11=67 A5=1+11(5-1) 67+11=78 A5=1+11(4) An=Ai+11(n-1), 78+11=89 A5=1+44 lo cual significa 89+11=100 A5=45 que el número A2=31+11(2-1) que buscamos 31+11=42 A2=31+11 dentro de esta 42+11=53 A2=42 es igual al 53+11=64 64+11=75 A5=31+11(5-1) número anterior 75+11=86 A5=31+11(4) más 11. 86+11=97 A5=31+44 A5=75 61+11=72 A2=61+11(2-1) 72+11=83 A2=61+11 83+11=94 A2=72b-. 10+9=19 An=Ai+9(n-1) 19+9=28 La sucesión de A2=10+9(2-1) 28+9=37 A2=10+9 estas 37+9=46 A2=19 diagonales está 46+9=55 55+9=64 A5=10+9(5-1) dada por 64+9=73 A5=10+9(4) A5=10+36 An=Ai+9(n-1), lo 73+9=82 82+9=91 A5=46 cual significa que el número A2=40+9(2-1) 40+9=49 A2=40+9 que buscamos 49+9=58 A2=49 dentro de esta 58+9=67 67+9=76 A5=40+9(5-1) es igual al 76+9=85 A5=40+9(4) número 85+9=94 A5=40+36 anterior más 9. A5=76 70+9=79 A2=70+9(2-1) 79+9=88 A2=70+9 88+9=97 A2=79
  11. 11. Relaciones numéricas 114-. Teoremas sobre Zigzag: La suma de los números que conforman una columna o fila en zigzag es igualal resultado de la suma en zigzag (en dirección contraria) de la columna/fila adyacente a esta. Ejemplos: -Columnas: 1+12+21+32+41+52+61+72+81+92= 465 2+11+22+31+42+51+62+71+82+91= 465 5+16+25+36+45+56+65+76+85+96= 505 6+15+26+35+45+55+66+75+86+95= 505 -Filas: 1+12+3+14+5+16+7+18+9+20= 105 11+2+13+4+15+6+17+8+19+10= 105 51+62+53+64+55+66+57+68+59+70= 605 61+52+63+54+65+56+67+58+69+60= 605 Esto ocurre, porque dentro de cada pareja de casillas adyacentes que corresponden al mismo nivel dentro de su propio zigzag (ej. 1-2), siempre se cumple que uno sea mayor que el otro en una cantidad constante x (en columnas es 1 u en filas 10), esta diferencia se distribuye de forma intercalada, de tal modo que si en una pareja el aumento es para el primer zigzag, en la siguiente pareja será para el segundo zigzag y así sucesivamente. Al final sucederá que lo que se aumento en un zigzag será lo mismo que se aumento en el siguiente y por tanto la suma acabará siendo la misma. Esto sería: 1 + 12 + 21 + 32 + 41 + 52 + 61 + 72 + 81 + 92 = 465 Zigzag 1 1 + (11+1) + 21 + (31 +1) + 41 + (51 +1) + 61 + (71 +1) + 81 + (91+1) = 465 (1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91) +5 = 465 2 + 11 + 22 + 31 + 42 + 51 + 62 + 71 + 82 + 91 = 465 Zigzag 2 (1+1) + 11 + (21+1) + 31 + (41 +1) + 51 + (61+1) + 71 + (81+1) + 91 = 465 (1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91) +5 = 465
  12. 12. Relaciones numéricas 125-. Teorema sobre figuras:a-. Cuadrados:a.1-. Dentro de cualquier cuadrado la suma de los vértices opuestos es la misma. Esto ocurre porque los números dentro 1+12=13 de los vértices derechos son en la misma 2+11=13 medida más grande que los izquierdos, por tanto se puede establecer lo siguiente: A B 72+94=166 Sí A+x=B y C+x=D, entonces 74+92=166 B-A=D-C B+C=D+A -Ejemplo: 36+80=116 36+4=40 → 40-36=4 C D 76+40=116 76+4=80 → 80-76=4 40-36=80-76 40+76=80+36 = 116a.2-. A partir de lo anterior se puede establecer que: La suma de dos vértices opuestos, menos unoadyacente es igual al faltante. (45+1)-41=5 (5+41)-1=45 (1+45)-5=41B+C=D+A, por tanto: (5+41)-45=1 B+C=D+A /-C B=(D+A)-C (20+9)-19=10 (10+19)-9=20 O bien: (9+20)-10=19 B+C=D+A /-A (10+19)-20=9 (B+C)-A=D (83+61)-81=63 (63+81)-61=83 B+C=D+A /-B (61+83)-63=81 C=(D+A)-B (10+19)-20=9 (100+67)-97=70 B+C=D+A /-D (70+97)-67=100 (B+C)-D=A /-C (67+100)-70=97 (70+97)-100=67
  13. 13. Relaciones numéricas 13a.2-. El promedio entre los vértices opuestos o los 4 vértices de cualquier cuadrado formado por un númeroimpar de casillas, corresponde al término central de este mismo. Por definición, el promedio es el número que mejor representa a un cierto conjunto de números. Siposicionamos todos los números sobre una recta enumerada, el promedio correspondería al término medioentre estos. En el caso de nuestra tabla este término central de la recta siempre corresponde al número de la casilla ubicada en el centro del cuadrado que se forma entre las cuatro esquinas que promediamos, puesto que es justo quien esta en la distancia media entre estos. Ahora bien, como la suma de los vértices opuesto de los cuadrados es la misma, el promedio entre estos también será la misma y corresponderá de igual modo al término central: Sí: ̅ y Entonces: (B+C)(B+C)= 𝑥̅ 2(B+C)= 𝑥̅ 2(B+C)= 𝑥̅ (B+C)= 𝑥̅ 4 4 22 2 Ejemplos: A B (2+4+22+24):4=x (56+60+96+100):4=x 52:4=x 312:4=x 13=x 78=x (2+24):2=x (56+100):2=x 26:2=x 156:2=x 13=x 78=x (22+4):2=x (60+96):2=x 26:2=x 156:2=x 13=x 78=x C D Sin embargo, esta lógica solo es aplicable en cuadrados con un número impar de casillas, ya que en uno par existirían cuatro casillas centrales y el promedio del conjunto estaría entre estas, siendo entonces un número decimal. (23+78+73+28):4=x 101:4=x 25,25=x
  14. 14. Relaciones numéricas 14b-. Rombos: Dentro de cualquier rombo, el promedio entre todos los números que forman el perímetro, los 4vértices o los dos opuestos, es siempre el término dentro de la casilla central de este. Considerando que el rombo es el resultado de la rotación de un cuadrado y por tanto tiene las mismas propiedades, es posible utilizar el razonamiento anterior. Aunque en este caso sin aplicar restricciones, puesto que el rombo siempre estará formado por un número impar de casillas debido a su disposición en la tabla. Ejemplos: (3+25+21+43):4=x (37+70+97+64):4=x (82+84+93+73):4=x 92:4=x 268:4=x 332:4=x 23=x 67=x 83=x (3+43):2=x (37+97):2=x (73+93):2=x 46:2=x 134:2=x 166:2=x 23=x 67=x 83=x (25+21):2=x (70+64):2=x (82+84):2=x 46:2=x 134:2=x 166:2=x 23=x 67=x 83=x
  15. 15. Relaciones numéricas 15c-. Triángulos:c.1-. La suma de los números que conforman un triángulo de 4 casillas con base horizontal, esta dada por:c.1.1-. Cúspide sobre la base: S=4n-10c.1.2-. Cúspide bajo la base: S=4n+10Donde S es la suma de los casilleros que conforman el triángulo y n el término central de la base. Para cada uno de estos triángulos, la base será formada por tres casillas consecutivas dentro de la misma columna, por tanto cada número será una unidad mayor que el anterior, según esto, si escribimos esta secuencia en función del término central nos quedaría: (n-1);(n);(n+1). La suma de estos tres quedaría expresada como: S=(n-1)+(n)+(n+1) S= n+n+n-1+1 S= n+n+n S=3n A esta suma, ahora debemos agregar el cuarto término que forma la cúspide de triángulo, el cual corresponde al número ubicado ya sea sobre o bajo el término central, esta posición nos permite establecer una relación con n, pues en caso de encontrarse el número sobre éste, será 10 unidades menor y en el caso contrario, 10 unidades mayor. A partir de esto se establecen las dos funciones: Cúspide sobre la base: Cúspide bajo la base: El valor de esta casilla es 10 unidades menor El valor de esta casilla es 10 unidades mayor que que el término central de la base. el término central de la base. S=3n+(n-10) S=3n+(n+10) S=4n-10 S=4n+10 Ejemplos: Ejemplos: 42= 3+12+13+14 254=56+65+66+67 118=26+27+28+37 286=68+69+70+79 S= 4(13)-10 S=4(66)-10 S=4(27)+10 S=4(69)+10 S=52-10 S=264-10 S=108+10 S=276+10 S=42 S=254 S=118 S=286
  16. 16. Relaciones numéricas 16 c.2-. La suma de los números que conforman un triángulo de 4 casillas con base vertical, estada dada por:c.2.1-. Cúspide hacia la derecha: S=4n+1c.2.2-. Cúspide hacia la izquierda: S=4n-1Donde S es la suma de los casilleros que conforman el triángulo y n el término central de la base. Igual que en el caso anterior, si posicionamos los triángulos en la tabla, ahora de modo que la base esté de forma vertical, es posible establecer una relación en función al término central de la base. Ahora bien, como la base del triángulo se encuentra dentro de las filas, el aumento en la secuencia ya no es de 1 unidad, sino de 10, por tanto estaría descrita como: (n-10);(n);(n+10), Así es que, la suma de los tres quedaría expresada como: S=(n-10)+(n)+(n+10) S= n+n+n-10+10 S= n+n+n S=3n El cuarto término esta vez, será una unidad mayor en el caso de estar a la derecha del centro de la base, o bien, en el caso contrario, una unidad menor. Con esto se establece lo siguiente: Cúspide a la izquierda de la base: Cúspide a la derecha de la base: El valor de esta casilla es 1 unidad menor que el El valor de esta casilla es 1 unidad mayor que el término central de la base. término central de la base. S=3n+(n-1) S=3n+(n+1) S=4n-1 S=4n+1 Ejemplos: Ejemplos: 131= 23+33+43+32 311=68+78+88+77 113=18+28+38+29 293=63+73+83+74 S= 4(33)-1 S=4(78)-1 S=4(28)+1 S=4(73)+1 S=132-1 S=312-1 S=112+1 S=292+1 S=131 S=311 S=113 S=293
  17. 17. Relaciones numéricas 17 CONCLUSIÓN Dentro de la tabla existen distintas situaciones y comportamiento entre los números, que se repitenconstantemente a medida que nos trasladamos dentro de esta. Lo que dentro de este informe nos permitió establecer distintas relaciones y con ello fundar una serie de teoremas en base a fórmulas y propiedades. El carácter didáctico de la actividad permitió utilizar la creatividad y la observación como herramienta fundamental en la búsqueda de estás relaciones, mientras que la aplicación de conocimientos previos sumado a la lógica facilitaron el establecimiento de teoremas. Las progresiones, sumas y restas fueron esenciales y sin duda las más comunes dentro de este tipo de tablas, aun cuando podemos encontrar también multiplicaciones y divisiones implicadas de diversos modos, pero en menor medida. Finamente, el uso de la tabla de 100 nos mostró de forma didáctica lo curioso de la matemática, permitiendo adentrarnos con ingenio en la búsqueda de relaciones.

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