1. Capitole speciale de geometrie pentru profesori
Camelia Frigioiu
Galati, 2009
¸

2. 2

3. Cuprins
1 Geometrie sintetic˘ plan˘
a a 1
1.1 Concurenta liniilor importante ˆntr-un triunghi . . . . . . . . . . . .
¸ ı 1
1.1.1 Concurenta medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si ˆn˘ ltimilor
¸ ¸ ı a¸
ˆntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 1
1.1.2 Cercul ˆnscris ˆn triunghi, cercul circumscris si exˆnscris unui
ı ı ¸ ı
triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Teoremele MENELAUS si CEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ 9
1.2.1 Teorema lui Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Teorema lui Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Teorema lui VAN AUBEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Patrulatere inscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Teorema lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Patrulatere circumscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Cercul lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Probleme de coliniaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit˘¸ii unor puncte . . . . . 20
at
1.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 Relatia lui Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
¸
¸˘
1.6 Probleme de concurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Metode de demonstrare a concurentei unor drepte . . . . . . 25
¸
1.6.2 Teoremele lui Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Teorema lui Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Relatii metrice ˆn triunghi si patrulater . . . . . . . . . . . . . . . . 28
¸ ı ¸
1.7.1 Teorema Pitagora generalizat˘ . . . . . . . . . . . . . . . . 28
a
1.7.2 Relatia lui Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
¸
1.7.3 Teorema medianei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.4 Relatia lui Euler pentru patrulatere . . . . . . . . . . . . . . 31
¸
2 Transform˘ ri geometrice
a 33
2.1 Simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i

4. ii CUPRINS
2.2 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ 42
2.3 Rotatia ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ ı 45
2.4 Propriet˘¸i generale ale izometriilor . . . . . . . . . . . . . . . . .
at 48
2.5 Asem˘ narea ˆn plan. Propriet˘¸i generale . . . . . . . . . . . . . . .
a ı at 51
2.6 Omotetia ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 53
2.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geo-
metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Inversiunea ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 57
3 Geometrie ˆn spatiu
ı ¸ 63
3.1 Introducere ˆn geometria tetraedrului
ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Tetraedre Crelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Tetraedre echifaciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Tetraedre ortocentrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE
¸ ˆ 83
4.1 Elemente de trigonometrie aplicate ˆn geometrie . . . . . . . . . . .
ı 83
4.1.1 Aplicatii practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ 85
4.2 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Aplicatii ale numerelor complexe ˆn geometrie . . . . . . . . . . . .
¸ ı 88
4.4 Teoreme clasice de geometrie demonstrate cu ajutorul numerelor
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5. Capitolul 1
Geometrie sintetic˘ plan˘
a a
1.1 Concurenta liniilor importante ˆntr-un triunghi
¸ ı
Linii importante ale unui triunghi sunt:
1. medianele
2. bisectorele interioare ale unghiurilot triunghiului
3. mediatoarele laturilor triunghiului
4. ˆnaltimile.
ı ¸
1.1.1 Concurenta medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si ˆn˘ ltimilor ˆntr-un triunghi
¸ ¸ ı a¸ ı
ˆ
Intr-un triunghi se poate demonstra pentru fiecare categorie de linii importante c˘
a
sunt concurente si anume:
¸
1. cele trei mediatoare ale laturilor unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care
ı
este centrul cercului circumscris triunghiului;
2. cele trei bisectoare interioare ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct
ı
care este centrul cercului ˆnscris ˆn triunghi;
ı ı
3. cele trei ˆn˘ ltimi ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care se numeste
ı a¸ ı ¸
ortocentrul triunghiului;
4. cele mediane ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care se numeste
ı ¸
centrul de greutate al triunghiului.
ˆ continuare vom demonstra concurenta acestor linii importante ale triunghiului.
In ¸
Asa cum bine se stie, mediatoarea unui segment de dreapt˘ este perpendiculara
¸ ¸ a
construit˘ pe mijlocul segmentului.
a
1

6. 2 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Toate punctele mediatoarei unui segment se afl˘ la aceeasi distanta fata de ca-
a ¸ ¸˘ ¸˘
petele acestuia si reciproc toate punctele din plan care se afl˘ la distante egale de
¸ a ¸
capetele unui segment se afl˘ pe mediatoarea acestuia.
a
ˆ
TEOREMA 1.1 Intr-un triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente.
A
N
O
B C
M
Figura 1.1: Concurenta mediatoarelor
¸
Demonstratie.
¸
Not˘ m cu M si N mijloacele laturilor [BC] si [AB] ale triunghiului ABC. Punc-
a ¸ ¸
tul de intersectie al perpendicularelor ˆn M si N pe laturile respective(mediatoarele
¸ ı ¸
acestor laturi) va fi notat cu O. Cele dou˘ mediatoare sunt concurente, altfel punctele
a
A, B, C ar fi coliniare, ceea ce este imposibil.
¸˘ ¸˘
Folosind proprietatea punctelor de pe mediatoare de a fi la egal˘ distanta fata de
a
capetele segmentului, putem scrie
OA = OB, ON fiind mediatoarea lui [AB] si ¸
OB = OC, OM fiind mediatoarea lui [BC].
Rezult˘ din tranzitivitatea relatiei de egalitate c˘ OA = OC, deci punctul O se
a ¸ a
afl˘ si pe mediatoarea laturii [AC].
a¸ q.e.d.
Vom demonstra concurenta bisectoarelor interioare unui triunghi, folosind propri-
¸
etatea punctelor de pe bisectoare de a fi la egal˘ distanta fata de laturile acestuia.
a ¸˘ ¸˘
ˆ
TEOREMA 1.2 Intr-un triunghi bisectoarele interioare sunt concurente.
Demonstratie. Not˘ m [AA1 si [BB1 bisectoarele unghiurilor BAC si ABC ale
¸ a ¸ ¸
triunghilui ABC si I punctul lor de intersectie. Aceste bisectoare sunt concurente,
¸ ¸
altfel ar fi paralele ceea ce ar ˆnsemna c˘ unghiurile BAA1 si ABB1 ar fi unghiuri
ı a ¸
interne si de aceeasi parte a secantei AB, iar suma m˘ surilor lor ar fi de 180◦ , ceea
¸ ¸ a
ce este imposibil c˘ ci suma m˘ surilor unghiurilor triunghiului ABC este 180◦ .
a a

7. ¸ ˆ
1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 3
A
P
M
B1
C1 I
B N A C
1
Figura 1.2: Concurenta bisectoarelor
¸
Folosind proprietatea c˘ numai punctele de pe bisectoare sunt egal dep˘ rtate de
a a
laturile triunghiului putem scrie:
IM = IN si IM = IP, (M ∈ (AB), N ∈ (BC), P ∈ (AC), IM ⊥
¸
AB, IN ⊥ BC, IP ⊥ AC).
Folosind proprietatea de tranzitivitatea a egalit˘¸ii numerelor reale, rezult˘
at a
IN = IP
deci punctul I se afl˘ si pe bisectoarea unghiului ACB.
a¸ q.e.d.
ˆ
TEOREMA 1.3 Intr-un triunghi ˆn˘ ltimile sunt concurente.
ı a¸
C1 A B1
B’
C’
B C
A’
A
1
Figura 1.3: Concurenta ˆn˘ ltimilor
¸ ı a¸
Demonstratie. Consider˘ m un triunghi ABC, cu ˆn˘ ltimile [AA‘, [BB , [CC
¸ a ı a¸
(AA‘ ⊥ BC, BB ⊥ AC, CC ⊥ AB.

8. 4 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Paralelele prin vˆ rfurile triunghiului la laturile opuse se intersecteaz˘ ˆn punc-
a aı
tele A1 , B1 , C1 . Din congruenta laturilor opuse ale paralelogramelor obtinute rezult˘
¸ ¸ a
c˘ punctele A, B, C sunt mijloacele laturilor [B1 C1 ], [C1 A1 ], [A1 B1 ] ale triunghiului
a
A1 B1 C1 (AB1 = AC1 , BC1 = BA1 , CA1 = CB1 ).
Din AA ⊥ BC si C1 B1 BC rezult˘ AA ⊥ C1 B1 . Analog pentru celelalte la-
¸ a
turi se g˘ seste c˘ BB ⊥ C1 A1 si CC ⊥ A1 B1 .Constat˘ m c˘ ˆn˘ ltimile triunghiului
a ¸ a ¸ a aı a¸
ABC sunt mediatoarele triunghiului A1 B1 C1 . Dar, concurenta mediatoarelor a fost
¸
demonstrat˘ , asa c˘ si concurenta ˆn˘ ltimilor este demonstrat˘ .
a ¸ a¸ ¸ ı a¸ a q.e.d.
Reamintim c˘ linia mijlocie ˆntr-un triunghi este segmentul de dreapt˘ care uneste
a ı a ¸
mijloacele a do˘ laturi ale triunghiului, c˘ este paralel˘ cu cea de-a treia latur˘ a
a a a a
triunghiului si egala cu jum˘ tate din lungimea ei.
¸ a
ˆ
TEOREMA 1.4 Intr-un triunghi medianele sunt concurente.
A
A"
C’ B’
G C"
B C
A’
Figura 1.4: Concurenta medianelor
¸
Demonstratie. Not˘ m cu A , B , C mijloacele laturilor [BC], [AC], [AB] ale
¸ a
triunghiului ABC. Punctul de intersectie al medianelor [AA ] si [CC ] este G.
¸ ¸
Vom demonstra c˘ punctul G apartine si medianei [BB ]. Mijloacele segmentelor
a ¸ ¸
[AG], [CG] vor fi notate cu A” respectiv C”
AA” = A”G, CC” = C”G.
[A”C”] este linie mijlocie ˆn triunghiul GAC, ceea ce implic˘
ı a
1
A”C” AC, A”C” = AC. (1.1)
2
De asemenea, [A C ] este linie mijlocie ˆn triunghiul BAC si se obtine:
ı ¸ ¸
1
AC AC, A C = AC. (1.2)
2

9. ¸ ˆ
1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 5
Din (1.1) si (1.2), folosind tranzitivitatea relatiei de paralelism si a celei de egalitate,
¸ ¸ ¸
rezult˘
a
A C A”C”, A C = A”C”.
Deci patrulaterul A C A”C” este paralelogram, cu G punctul de intersectie al diago-
¸
nalelor, ceea ce implic˘
a
A G = GA”, C G = GC”.
Cum AA” = A”G si CC” = C”G, rezult˘ :
¸ a
1
AA” = A”G = GA = AA
3
si
¸
1
CC” = C”G = GC = CC .
3
Am obtinut astfel:
¸
Punctul G de intersectie al medianelor [AA ] si [CC ] se afl˘ pe fiecare dintre cele
¸ ¸ a
dou˘ mediane la dou˘ treimi de vˆ rf si o treime de mijlocul laturii opuse.
a a a ¸
Un rezulta asem˘ n˘ tor se poate demonstra si pentru medianele [AA ] si [BB ].
a a ¸ ¸
Cum pe [AA ] este un singur punct care se afl˘ la dou˘ treimi de vˆ rf si o treime
a a a ¸
de mijlocul laturii opuse, rezult˘ c˘ acesta este G, deci mediana [BB ] trece si ea
a a ¸
prin punctul G. q.e.d.
1.1.2 Cercul ˆnscris ˆn triunghi, cercul circumscris si exˆnscris unui triunghi
ı ı ¸ ı
Cercul ˆnscris ˆn triunghi
ı ı
A
P
M
r r
I
r
B N C
Figura 1.5: Cerc ˆnscris ˆn triunghi
ı ı

10. 6 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
DEFINITIA 1.1 1. Triunghiul care are laturile tangente la un cerc se numeste
¸ ¸
triunghi circumscris acelui cerc.
2. Cercul care este tangent la laturile unui triunghi se numeste cerc ˆnscris ˆn
¸ ı ı
triunghi.
Centrul cercului ˆnscris ˆn triunghi, I, este punctul de intersectie al bisectoarelor
ı ı ¸
unghiurilor triunghiului.
1. Triunghiul ABC este triunghiul circumscris cercului C(I; r);
2. C(I; r) este cercul ˆnscris ˆn triunghiul ABC;
ı ı
3. r este raza cercului ˆnscris: IM = IN = IP = r;
ı
2A
4. r = , unde A este aria triunghiului ABC, iar P = AB + AC + BC.
P
ˆ
Intr-adev˘ r aria triunghiului ABC este suma ariilor triunghiurilor AIB, BIC, CIA.
a
AB · IM BC · IN AC · IP r·P
A = AAIB + ABIC + ACIA = + + = .
2 2 2 2
Cercul circumscris unui triunghi
A
N R P
O
R R
B C
M
Figura 1.6: Cerc circumscris unui triunghi
DEFINITIA 1.2 1. Triunghiul care are vˆ rfurile situate pe un cerc, iar laturile
¸ a
sunt coarde ale cercului se numeste ˆnscris ˆn cerc.
¸ ı ı
2. Cercul ˆn care se ˆnscrie un triunghi se numeste cerc circumscris triunghiului.
ı ı ¸

11. ¸ ˆ
1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 7
Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersectie al mediatoarelor
¸
laturilor triunghiului.
1. Triunghiul ABC este triunghiul inscris in C(O; R);
2. C(O; R) este cercul circumscris triunghiului ABC;
abc
3. R este raza cercului circumscris: OA = OB = OC = R; R = ; unde a, b, c
4A
sunt lungimile laturilor, iar A este aria triunghiului ABC.
¸˘
4. Simetricele ortocentrului triunghiului fata de mijloacele laturilor triunghiului
apartin cercului circumscris triunghiului.
¸
¸˘
5. Simetricele ortocentrului triunghiului fata de laturile triunghiului apartin cercu-
¸
lui circumscris triunghiului.
Formula de calcul pentru raza cercului circumscris se obtine astfel:
¸
A
h
O
B C
D
E
Figura 1.7: Raza cercului circumscris
Prin vˆ rful A al triunghiului se construieste diametrul cercului circumscris, notat
a ¸
cu AE. Se obtine astfel triunghiul dreptunghic ABE (triunghi ˆnscris ˆn semicerc).
¸ ı ı
Prin construirea ˆn˘ ltimii din punctul A se obtine triunghiul dreptunghic ADC ase-
ı a¸ ¸
menea cu ABE conform cazului U U . Not˘ m lungimea acestei ˆnaltimi cu h.
a ı ¸
Laturile celor dou˘ triunghiuri asemenea sunt proportionale:
a ¸
AE AB AC · AB
= ⇒ 2Rh = AC · AB ⇒ R = .
AC AD 2h
h · BC
Dar, aria triunghiului ABC, notat˘ cu A, este A =
a , de unde rezult˘ :
a
2
2A
h= .
BC

12. 8 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
ˆ
Inlocuind h ˆn expresia lui R se obtine formula de calcul a razei cercului circumscris
ı ¸
triunghiului ABC,
abc
R= .
4A
O legatur˘ ˆntre raza cercului ˆnscris si raza cercului circumscris unui triunghi este
aı ı ¸
dat˘ de relatia lui Euler.
a ¸
Relatia lui Euler
¸
d2 = R(R − 2r)
unde d este distanta dintre centrul cercului circumscris si centrul cercului ˆnscris ˆn
¸ ¸ ı ı
triunghi, R raza cercului circumscris si r raza cercului ˆnscris ˆn triunghi.
¸ ı ı
Se poate vedea c˘ si egalitatea lui Euler
a¸
R > 2r
este verificat˘ .
a
Cercuri exˆnscrise unui triunghi
ı
A
A1
B C
A2
Figura 1.8: Cerc exˆnscris unui triunghi
ı
DEFINITIA 1.3 Un cerc tangent unei laturi a unui triunghi si prelungirilor celor-
¸ ¸
lalte dou˘ laturi se numeste triunghi exˆnscris triunghiului.
a ¸ ı
Centrul unui cerc exˆnscris unui triunghi se afl˘ la intersectia bisectoarelor celor dou˘
ı a ¸ a
unghiuri exterioare si a bisectoarei unghiului interior neadiacent cu ele.
¸
Exist˘ 3 cercuri exˆnscrise unui triunghi.
a ı
Proprietate
Punctele de tangenta ale cercului exˆ nscris si cercului ˆnscris ˆntr-un triunghi sunt
¸˘ a ı ı
¸˘
simetrice fata de mijlocul laturii la care sunt tangente amˆ ndou˘ .
a a

13. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA
¸ 9
TEOREMA 1.5 Fie triunghiul ABC. Dac˘ M, N, P sunt punctele de tangenta ale
a ¸˘
cercurilor exˆ nscrise cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente
a
ˆn punctul care se numeste punctul lui Nagel.
ı ¸
1.2 Teoremele MENELAUS si CEVA
¸
1.2.1 Teorema lui Menelaus
Teorema lui Menelaus este una dintre teoremele clasice ale geometriei.
De-a lungul anilor ea a fost demonstrat˘ prin diverse metode folosind rezultatele
a
din geometria sintetic˘ , dar si cu metoda analitic˘ ¸ cu metoda vectorial˘ si cu ajutorul
a ¸ a, a¸
transform˘ rilor geometrice, al omotetiei.
a
TEOREMA 1.6 (TEOREMA LUI MENELAUS)
Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB).Dac˘ punctele M, N, P
a
sunt coliniare, atunci:
M B CN AP
· · = 1. (1.3)
MC NA PB
Demonstratie. Se construieste prin C paralela cu dreapta d care contine punctele
¸ ¸ ¸
M, N, P . Aceasta intersecteaz˘ AB ˆn punctul notat cu R.
a ı
A
P
R N
d
B C M
Figura 1.9: Teorema lui Menelaus
Se aplic˘ teorema lui Thales ˆn triunghiul BM P cu CR
a ı MP :
MB PB
= , (1.4)
MC PR
iar ˆn triunghiul ARC cu P N
ı RC rezult˘ :
a
CN PR
= . (1.5)
NA PA

14. 10 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Din relatiile (1.4) si (1.5) rezult˘ :
¸ ¸ a
M B CN AP P B P R AP
· · = · · = 1.
MC NA PB PR PA PB
q.e.d.
O alt˘ demonstratie a teoremei lui Menelaus
a ¸
A
R
P
S
N
T
d
B C M
Figura 1.10: Teorema lui Menelaus
Demonstratie. Fie triunghiul ABC si transversala d care se intersecteaz˘ cu la-
¸ ¸ a
turile triunghiului ˆn punctele M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB). Construim
ı
CT ⊥ d, BS ⊥ d, AR ⊥ d, lungimile acestor segmente reprezentˆ nd distantele
a ¸
de la vˆ rfurile triunghiului la transversala d, vor fi notate cu CT = dC , BS = dB ,
a
AR = dA .
Se formeaz˘ astfel perechile de triunghiuri dreptunghice asemenea:
a
∆ARP ∼ ∆BP S, ∆BSM ∼ ∆CT M, ∆N CT ∼ ∆AP N
pentru care scriem proportionalitatea laturilor:
¸
dA AP dB MB dC NC
= ; = ; = .
dB BP dC MC dA NA
ˆ
Inmultind aceste relatii membru cu membru se va obtine relatia lui Menelaus.
¸ ¸ ¸ ¸
q.e.d.
Vom prezenta ˆn continuare reciproca teoremei lui Menelaus:
ı
TEOREMA 1.7 Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB) astfel
ˆncˆ t are loc relatia:
ı a ¸
M B CN AP
· · = 1. (1.6)
MC NA PB
Atunci punctele M, N, P sunt coliniare.

15. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA
¸ 11
Demonstratie. Dreapta M N se intersecteaz˘ cu AB ˆn punctul pe care-l not˘ m
¸ a ı a
cu P1 . Punctele M, N, P1 fiind coliniare, aplic˘ m teorema lui Menelaus si obtinem:
a ¸ ¸
M B CN AP1
· · = 1. (1.7)
M C N A BP1
Din relatiile (1.6), (1.7) rezult˘
¸ a
AP1 AP
=
BP1 PB
adic˘ P = P1 . Deci punctele M, N, P sunt coliniare.
a q.e.d.
Teorema lui Menelaus se poate demonstra si ˆn cazul M ∈ (BC, N ∈ (AC, P ∈
¸ ı
(AB.
TEOREMA 1.8 Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC, P ∈ (AB. Dac˘
a
punctele M, N, P sunt coliniare, atunci:
M B CN AP
· · = 1. (1.8)
MC NA PB
Demonstratie. Construim dreapta d care se intersecteaz˘ cu (BC ˆn punctul M ,
¸ a ı
cu (AC ˆn N si cu (AB ˆn P . Ducem prin C paralela la d care se intersecteaz˘ cu
ı ¸ ı a
AB ˆn R.
ı
A
B
C
R
P N d M
Figura 1.11:
Aplic˘ m teorema lui Thales
a
• ˆn triunghiul BM P cu CR
ı MP :
MB PB
= , (1.9)
MC PR

16. 12 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
• ˆn triunghiul ARC cu P N
ı RC:
CN PR
= . (1.10)
NA PA
Din relatiile (1.9) si (1.10) rezult˘ :
¸ ¸ a
M B CN AP P B P R AP
· · = · · = 1.
MC NA PB PR PA PB
q.e.d.
ˆ continuare vom prezenta teorema lui Menelaus pentru un patrulater:
In
TEOREMA 1.9 Fie ABCD un patrulater si punctele M ∈ (CB, N ∈ (AB), P ∈
¸
(DC), Q ∈ (AD. Dac˘ punctele M, N, P, Q sunt coliniare, atunci
a
M C BN AQ P D
· · · = 1. (1.11)
M B N A QD P C
Demonstratie. Not˘ m cu d dreapta care contine punctele M, N, P, Q. Se con-
¸ a ¸
struiesc paralele la dreapta d prin punctele B si A care se intersecteaz˘ cu (CD ˆn
¸ a ı
punctele R si S.
¸
C
D
B
R
Q
P N M d
S A
Figura 1.12: Teorema lui Menelaus ˆn patrulater
ı
Aplic˘ m teorema lui Thales
a
• ˆn triunghiul CM P cu BR
ı MP :
MC PC
= , (1.12)
MB PR
• ˆn triunghiul ADS cu P Q
ı AS:
AQ PS
= . (1.13)
QD PD

17. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA
¸ 13
Dreptele BR NP AS t˘ iate de secantele AB si CS determin˘ proportionalitatea
a ¸ a ¸
segmentelor:
BN PR
= . (1.14)
NA PS
Din relatiile (1.12), (1.13), (1.14) se obtine:
¸ ¸
M B BN AQ P D PC PR PS PD
· · · = · · · = 1.
M C N A QD P C PR PS PD PC
q.e.d.
ˆ acelasi mod se poate demonstra o relatie ca cea din teorema lui Menelaus pentru
In ¸ ¸
un poligon cu n > 4 laturi convex sau concav.
1.2.2 Teorema lui Ceva
Teorema lui Ceva este un rezultat din geometria triunghiului, cu aplicatii ˆn geome-
¸ ı
tria proiectiv˘ . A fost descoperit˘ de matematicianul italian Giovanni Ceva, care a
a a
formulat-o si a demonstrat-o ˆn 1678 ˆn lucrarea De lineis rectis se invicem secanti-
¸ ı ı
bus statica constructio.
Se pare c˘ aceast˘ teorem˘ era cunoscut˘ , cu multe secole ˆnainte (secolul al XI-
a a a a ı
lea), si de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu’taman ibn Hud).
¸
TEOREMA 1.10 (TEOREMA LUI CEVA)
Fie triunghiul ABC si D, E, F trei puncte diferite de vˆ rfurile triunghiului, aflate
¸ a
respectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB].Dac˘ dreptele AD, BE si CF sunt
a ¸
concurente atunci:
AF BD CE
· · = 1. (1.15)
F B DC EA
A
F
E
B C
D
Figura 1.13: Teorema lui Ceva

18. 14 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Demonstratie. Not˘ m cu M punctul de intersectie al dreptelor AD, BE si CF .
¸ a ¸ ¸
Aplic˘ m teorema lui Menelaus pentru:
a
-triunghiul ABD cu secanta CF
CB M D F A
· · = 1, (1.16)
CD M A F B
de unde se obtine:
¸
MD F B CD
= · ; (1.17)
MA F A CB
-ˆn triunghiul ADC cu secanta BE
ı
BC M D AE
· · = 1. (1.18)
BD M A EC
Din relatiile (1.17) si (1.18) se obtine:
¸ ¸ ¸
BC F B CD AE
· · · = 1,
BD F A CB EC
adic˘ relatia din teorem˘ .
a ¸ a q.e.d.
ˆ
Intr-un triunghi dreapta care uneste un vˆ rf al acestuia cu un punct de pe latura
¸ a
opus˘ se numeste cevian˘ .
a ¸ a
TEOREMA 1.11 (Reciproca teoremei lui Ceva)
Dac˘ AD, BE, CF sunt trei ceviene ˆn triunghiul ABC si
a ı ¸
AF BD CE
· · = 1. (1.19)
F B DC EA
atunci cevienele sunt concurente.
Demonstratie. Demonstratia se face prin reducere la absurd.
¸ ¸
Presupunem c˘ AD nu trece prin punctul M , {M } = CF ∩ BE. Fie N punctul
a
de intersectie dintre AM si BC, AM ∩ BC = {N }. Aplicˆ nd teorema lui Ceva
¸ ¸ a
pentru punctele E, F si N si comparˆ nd cu relatia din enunt obtinem c˘ M = N .
¸ ¸ a ¸ ¸ ¸ a
q.e.d.
1.2.3 Teorema lui VAN AUBEL
TEOREMA 1.12 (TEOREMA LUI VAN AUBEL)
Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB). Dac˘ AD, BE, CF
a
sunt concurente ˆn M atunci
ı
EA F A MA
+ = . (1.20)
EC F B MD

19. 1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 15
A
B D C
F M
E
Figura 1.14: Teorema lui Van Aubel
Demonstratie. Se aplic˘ teorema lui Menelaus:
¸ a
ˆn triunghiul ABD cu secanta F C
ı
F B AM DC
· · = 1, (1.21)
AF M D BC
de unde rezult˘
a
AM DC AF
· = . (1.22)
M D BC FB
si ˆn triunghiul ADC cu secanta BE
¸ ı
CE AM BD
· · =1 (1.23)
AE M D BC
de unde rezult˘ :
a
AM BD AE
· = . (1.24)
M D BC CE
Adun˘ m relatiile (1.22) si (1.24):
a ¸ ¸
AM DC BD AF AE
+ == + ⇒
MD BC BC F B CE
EA F A MA
+ = .
EC F B MD
q.e.d.
1.3 Patrulatere inscriptibile
Dac˘ ˆn cazul triunghiului ˆntotdeauna exist˘ un cerc circumscris acestuia, ˆn cazul
aı ı a ı
patrulaterelor nu se aplic˘ acest rezultat, adic˘ nu orice patrulater poate fi ˆnscris
a a ı
ˆntr-un cerc.
ı

20. 16 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
DEFINITIA 1.4 1. Patru puncte (sau mai multe) se numesc puncte concilice dac˘
¸ a
exist˘ un cerc c˘ ruia s˘ -i apartin˘ toate cele patru puncte.
a a a ¸ a
2. Un patrulater se numeste inscriptibil dac˘ cele patru vˆ rfuri ale sale sunt puncte
¸ a a
conciclice.
A
B
O
D
C
Figura 1.15: Patrulater inscriptibil
PROPOZITIA 1.1 Propriet˘ ¸i ale patrulaterului inscriptibil
¸ at
ˆ
1. Intr-un patrulater inscriptibil, unghiurile opuse sunt suplementare.
2. Unghiurile formate de diagonale cu dou˘ laturi opuse sunt congruente.
a
Demonstratia acestor afirmatii este imediat˘ folosind m˘ rimea arcelor subˆntinse
¸ ¸ a a ı
de aceste unghiuri.
Reciprocele acestor afirmatii, de asemenea, se pot demonstra usor.
¸ ¸
PROPOZITIA 1.2 Un patrulater este inscriptibil dac˘ si numai dac˘ mediatoarele
¸ a¸ a
laturilor sale sunt concurente.
Demonstratie. “⇒” Se consider˘ un un patrulater ABCD, care este inscriptibil,
¸ a
adic˘ exist˘ un cerc C(O, r) care contine punctele A, B, C, D. Atunci
a a ¸
OA = OB = OC = OD = r,
deci punctul O se afl˘ pe mediatoarele segmentelor [AB], [BC], [AC], [AD].
a
“⇐” Se consider˘ patrulaterul ABCD, cu mediatoarele laturilor sale [AB], [BC],
a
[AC], [AD], concurente ˆn punctul O.
ı
Atunci folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment de a se
¸ ¸˘ ¸˘
afla la aceeasi distanta fata de capetele lui se obtine
¸
OA = OB = OC = OD = r,
adic˘ vˆ rfurile lui se afl˘ pe cercul cu centrul ˆn punctul O si raz˘ r.
a a a ı ¸ a q.e.d.

21. 1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 17
A
B
O
D
C
Figura 1.16: Patrulater inscriptibil
Cazuri particulare de patrulatere inscriptibile
1. Dreptunghiul, p˘ tratul sunt patrulatere inscriptibile.
a
2. Un trapez este inscriptibil dac˘ si numai dac˘ este isoscel.
a¸ a
1.3.1 Teorema lui Ptolemeu
Inegalitatea lui Ptolemeu ˆ orice patrulater convex ABCD are loc relatia:
In ¸
AC · BD ≤ AB · CD + BC · AD.
TEOREMA 1.13 (TEOREMA LUI PTOLEMEU)
Patrulaterul convex ABCD este inscriptibil dac˘ si numai dac˘
a¸ a
AC · BD = AB · CD + BC · AD.(Relatia
¸ lui P tolemeu) (1.25)
A
B
K
D
C
Figura 1.17: Teorema lui Ptolemeu
Demonstratie. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Pe diagonala AC se consi-
¸
der˘ punctul K astfel ˆncˆ t ABK = CBD.
a ı a
ABK + CBK = ABC = CBD + ABD ⇒ CBK = ABD.

22. 18 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Se observ˘ c˘ triunghiurile ABK ∼ DBC, de unde rezult˘
a a a
AK AB
= , (1.26)
CD BD
iar triunghiul ABD ∼ KBC, cu
CK BC
= . (1.27)
DA BD
Putem scrie:
AK · BD = AB · CD
CK · BD = AD · BC
si adunˆ nd aceste relatii obtinem relatia lui Ptolemeu.
¸ a ¸ ¸ ¸ q.e.d.
Observatia 1.1 Se pot deplasa punctele A, B, C, D pe cerc oricum, dar ca relatia
¸ ¸
lui Ptolemeu s˘ se verifice este necesar ca AC si BD s˘ r˘ mˆ n˘ diagonale.
a ¸ a a a a
ˆ
In cazul ˆn care ABCD este dreptunghi, relatia lui Ptolemeu devine teorema lui
ı ¸
PITAGORA.
1.4 Patrulatere circumscriptibile
DEFINITIA 1.5 1. Un patrulater care are cele patru laturi tangente unui cerc se
¸
numeste patrulater circumscris cercului.
¸
2. Un patrulater spunem c˘ este circumscriptibil dac˘ poate fi circumscris unui
a a
cerc.
Nu putem spune c˘ orice patrulater este circumscriptibil.
a
PROPOZITIA 1.3 Un patrulater poate fi circumscris unui cerc dac˘ si numai dac˘
¸ a¸ a
bisectoarele unghiurilor sale sunt concurente.
Demonstratie. “⇒” Consider˘ m un patrulater ABCD circumscris unui cerc,
¸ a
adic˘ laturile sale [AB], [BC], [AC], [AD] sunt tangente la un cerc C(O, r). Atunci
a
d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r,
deci punctul O se afl˘ pe bisectoarele unghiurilor A, B, C, D.
a
“⇐” Se consider˘ patrulaterul ABCD, cu bisectoarele unghiurilor sale concu-
a
rente ˆn punctul O.
ı

23. 1.4. PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE 19
A
B O
D
C
Figura 1.18: Patrulater circumscris
Atunci folosind proprietatea punctelor de pe bisectoare de a se afla la aceeasi
¸
¸˘ ¸˘
distanta fata de laturile unghiului se obtine
¸
d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r,
adic˘ cercul cu centrul ˆn punctul O si raz˘ r este tangent fiec˘ rei laturi a patrulate-
a ı ¸ a a
rului.
q.e.d.
PROPOZITIA 1.4 Un patrulater este circumscriptibil dac˘ si numai dac˘ suma
¸ a ¸ a
lungimilor laturilor opuse este aceeasi,
¸
AB + CD = AD + BC.
Aceasta proprietate poate fi usor demonstrat˘ , deoarece stim c˘ tangentele duse dintr-
¸ a ¸ a
un punct la un cerc au aceeasi lungime.
¸
PROPOZITIA 1.5 1. Dac˘ un patrulater circumscris unui cerc este trapez atunci
¸ a
punctele de contact cu cercul ale bazelor si centrul cercului sunt colineare.
¸
2. Dac˘ trapezul este isoscel atunci lungimea diametrului cercului ˆnscris ˆn trapez
a ı ı
este media geometric˘ a lungimii bazelor.
a
Demonstratie.
¸
1.Triunghiurile ∆DEO ≡ ∆DIO sunt congruente, pentru c˘ sunt dreptunghice
a
si au laturile respectiv egale.
¸

24. 20 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
A E D
I
O
B F C
Figura 1.19: Trapez circumscris
Congruente sunt si triunghiurile ∆OIC ≡ δOF C (se poate demonstra tot folo-
¸
¸˘
sind cazul 3 de congruenta a triunghiurilor). Obtinem astfel congruenta unghiurilor
¸ ¸
EOD ≡ DOI si IOC ≡ COF .Dar triunghiul DOC este dreptunghic cu unghiul
¸
drept DOC. Atunci se observ˘ c˘ unghiul EOF este alungit, adic˘ m˘ sura lui este
a a a a
◦
180 , ceea ce ne arat˘ coliniaritatea celor trei puncte.
a
2.ˆ triunghiul dreptunghic DOC segmentul OI este ˆn˘ ltime pe ipotenuz˘ si cum
In ı a¸ a¸
DI = DE, CI = CF obtinem ¸
DE · CF = OI 2 = r2 ; AE · BF = r2 .
Dac˘ trapezul este isoscel se obtine proprietatea anuntat˘ .
a ¸ ¸ a q.e.d.
1.4.1 Cercul lui Euler
Cercul lui Euler sau cercul celor 9 puncte este cercul ce trece prin mijloacele laturilor
unui triunghi ; picioarele ˆnˆ ltimilor ; mijloacele segmentelor cuprinse ˆntre vˆ rfuri
ı a¸ ı a
si ortocentru.
¸
Centrul lui se g˘ seste la mijlocul segmentului HO ( H este ortocentrul; O este-
a ¸
centrul cercului circumscris) si are raza egal˘ cu jum˘ tatea razei cercului circumscris.
¸ a a
Vom demonstra conciclitatea celor 9 puncte ˆn capitolul urm˘ tor, folosind trans-
ı a
form˘ rile geometrice.
a
1.5 Probleme de coliniaritate
1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit˘ tii unor puncte
a¸
Coliniaritatea a trei puncte se poate demonstra prin mai multe metode:

25. 1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 21
1. folosind identitatea AB = AC + CB, unde AB, AC, BC sunt segmente de
dreapt˘ ;
a
2. utilizˆ nd reciproca teoremei unghiurilor opuse la vˆ rf;
a a
3. cu ajutorul unghiului alungit;
4. identificarea apartenentei punctelor la o dreapt˘ remarcabil˘ (linie mijlocie, me-
¸ a a
diatoare, bisectoare, etc.) ˆn configuratia respectiv˘ .
ı ¸ a
5. folosind postulatul lui Euclid: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce
o paralel˘ si numai una la acea dreapt˘ .
a¸ a
6. cu ajutorul propriet˘¸ilor paralelogramului;
at
7. folosind unicitatea perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt˘ ;
a
8. utilizˆ nd reciproca teoremei lui Menelaus;
a
9. prin utilizarea axiomei 6 de incidenta (sau de situare): Dac˘ dou˘ plane distincte
a a
au un punct comun atunci intersectia lor este o dreapt˘ ;
¸ a
10. prin metoda analitic˘ ;
a
11. prin metoda vectorial˘ ;
a
12. folosind transform˘ ri geometrice;
a
13. folosind numerele complexe: punctele M1 (z1 ), M2 (z2 ), M3 (z3 ) sunt colineare
z3 − z1
dac˘ si numai dac˘
a¸ a ∈ R.
z2 − z1
1.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson
Dreapta lui Euler
ˆ
TEOREMA 1.14 In orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate G si centrul
¸
cercului circumscris triunghiului sunt coliniare.
Dreapta determinat˘ de cele trei puncte se numeste dreapta lui Euler.
a ¸
Demonstratie. a)Dac˘ triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele
¸ a
trei puncte se afl˘ pe o median˘ .
a a
b)ˆ cazul triunghiului oarecare ABC, not˘ m cu A1 , B1 picioarele ˆn˘ ltimilor din
In a ı a¸
vˆ rfurile A si B, iar picioarele medianelor din aceste vˆ rfuri sunt A si B . Triunghiu-
a ¸ a ¸
rile HAB si OA B pentru c˘ au laturile paralele. Folosind teorema fundamental˘ a
¸ a a

26. 22 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
asem˘ n˘ rii se obtine:
a a ¸
HA HB AB HA
= = =2⇒ = 2.
OA OB AB OA
AG
Dar punctul G ˆmparte mediana ˆn raportul
ı ı GA = 2. Atunci triunghiurile OGA si
¸
A
B1
B’
H
O
G
B C
A1 A’
Figura 1.20:
HGA sunt asemenea conform cazului al doilea de asem˘ nare si rezult˘
a ¸ a
OGA = AGH,
ceea ce implic˘ coliniaritatea punctelor O, G, H.
a q.e.d.
Dreapta lui Simpson
TEOREMA 1.15 Proiectiile ortogonale ale unui punct de pe cercul circumscris tri-
¸
unghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.
Dreapta care contine punctele coliniare din teorema anterioar˘ se numeste dreapta
¸ a ¸
lui Simpson.
Demonstratie. Consider˘ m un punct M pe cercul circumscris triunghiului ABC
¸ a
si not˘ m proiectiile ortogonale ale acestuia pe laturile BC, AC, AB cu D, E, respec-
¸ a ¸
tiv F .
Patrulaterele AEM F, F BDM sunt inscriptibile pentru c˘ au unghiurile opuse
a
suplementare, dar si M EDC este inscriptibil.
¸
Atunci
DEC = DM C = 90◦ − DCM = 90◦ − F AM = F M A = F EA.

27. 1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 23
F
A M
E
B C
D
Figura 1.21:
Obtinem DEC = F EA, care sunt unghiuri opuse la vˆ rf, ceea ce implic˘ coliniari-
¸ a a
tatea punctelor D, E, F .
q.e.d.
1.5.3 Relatia lui Carnot
¸
TEOREMA 1.16 (TEOREMA LUI CARNOT)
Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB).Perpendicularele ˆn D
ı
pe (BC), ˆn E pe (AC) si ˆn F pe (AB) sunt concurente dac˘ si numai dac˘
ı ¸ ı a¸ a
DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + F A2 − F B 2 = 0. (1.28)
Relatia (1.28) se numeste relatia lui Carnot.
¸ ¸ ¸
Demonstratie. “⇒” Presupunem c˘ perpendicularele ˆn D pe (BC), ˆn E pe (AC)
¸ a ı ı
si ˆn F pe (AB) sunt concurente. Se formeaz˘ triunghiurile dreptunghice DM B,
¸ ı a
DM C, EM C, EM A, AM F , F M B pentru care vom scrie teorema lui Pitagora
obtinˆ nd relatiile:
¸ a ¸
BM 2 = M D2 + DB 2 ; (1.29)
CM 2 = M D2 + DC 2 ; (1.30)
CM 2 = M E 2 + EC 2 ; (1.31)
AM 2 = M E 2 + EA2 ; (1.32)

28. 24 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
A
F
E
M
B D C
Figura 1.22:
AM 2 = F A2 + F M 2 ; (1.33)
BM 2 = F M 2 + F B 2 . (1.34)
Scazˆ nd relatiile dou˘ cˆ te dou˘ obtinem:
a ¸ a a a ¸
BM 2 − CM 2 = DB 2 − DC 2 ;
CM 2 − AM 2 = EC 2 − EA2 ;
AM 2 − BM 2 = F A2 − F B 2 .
Vom aduna aceste trei relatii si se va obtine relatia lui Carnot.
¸ ¸ ¸ ¸
“ ⇐ Presupunem c˘ relatia lui Carnot este adev˘ rat˘ , dar perpendicularele pe
a ¸ a a
A
F
N E
M
B D C
Figura 1.23:
laturile triunghiului construite ˆn punctele D, E, F nu sunt concurente.
ı

29. ¸˘
1.6. PROBLEME DE CONCURENTA 25
Perpendicularele construite ˆn dou˘ dintre aceste puncte sunt concurente, de exem-
ı a
plu cea construit˘ ˆn punctul D si cea din E. Punctul lor de concurenta va fi M .
aı ¸ ¸˘
Not˘ m proiectia punctului M pe latura AB cu N . Conform implicatiei directe
a ¸ ¸
care a fost demonstrat˘ , putem scrie relatia lui Carnot pentru punctele N, E, D:
a ¸
DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + N A2 − N B 2 = 0. (1.35)
Conform ipotezei:
DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + F A2 − F B 2 = 0. (1.36)
Sc˘ zˆ nd (1.28) si (1.36), rezult˘ :
a a ¸ a
N A2 − N B 2 = F A 2 − F B 2 .
Not˘ m BN = m, N F = x, AF = n si relatia anterioar˘ va fi
a ¸ ¸ a
(n + x)2 − m2 = n2 − (m + x)2
ceea ce implic˘ x = 0, adic˘ punctele N, F coincid.
a a q.e.d.
1.6 ¸˘
Probleme de concurenta
1.6.1 Metode de demonstrare a concurentei unor drepte
¸
Pentru a demonstra concurenta a dou˘ sau mai multe drepte putem folosi una dintre
¸ a
urm˘ toarele metode:
a
1. folosind de definitia dreptelor concurente, adic˘ s˘ ar˘ tam c˘ exist˘ un punct
¸ a a a a a
comun dreptelor;
2. concurenta a trei drepte const˘ ˆn a ar˘ ta c˘ punctul de intersectie a dou˘ drepte
¸ aı a a ¸ a
apartine si celei de a treia drepte;
¸ ¸
3. pentru a demonstra concurenta a trei drepte putem s˘ folosim teoremele referi-
¸ a
toare la concurenta liniilor importante ˆn triunghi;
¸ ı
4. folosind reciproca teoremei lui Ceva;
5. prin metoda analitic˘ , folosind ecuatiile analitice ale dreptelor;
a ¸
6. pentru concurenta a trei drepte, demonstr˘ m c˘ se intersecteaz˘ dou˘ cˆ te dou˘
¸ a a a a a a
si aria poligonului obtinut este 0.
¸ ¸

30. 26 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
1.6.2 Teoremele lui Gergonne
TEOREMA 1.17 (TEOREMA LUI GERGONNE)
Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB). Dac˘ AD, BE si CF
a ¸
sunt concurente ˆn punctul M atunci:
ı
DM EM F M
+ + = 1. (1.37)
AD BE CF
Demonstratie. Not˘ m cu ha distanta de la punctul A la BC; cu da distanta de
¸ a ¸ ¸
la punctul M la BC; ABM C aria triunghiului BM C si cu AABC aria triunghiului
¸
ABC.
A
E
F M
B C
D
Figura 1.24: Teorema lui Gergonne
ABM C da
Se observ˘ c˘
a a = (au aceeasi baz˘ .
¸ a
AABC ha
Se construiesc ˆn˘ ltimile AG pentru triunghiul ABC si M I pentru triunghiul
ı a¸ ¸
BM C. Se formeaz˘ astfel triunghiurile asemenea AGD si M ID, pentru care putem
a ¸
scrie:
da MD
= . (1.38)
ha AD
Se obtine:
¸
ABM C MD
= (1.39)
AABC AD
Prin procedee analoage se pot obtine:
¸
AAM B MF
= ; (1.40)
AABC CF
AAM C ME
= (1.41)
AABC BE

31. ¸˘
1.6. PROBLEME DE CONCURENTA 27
adunˆ nd relatiile (1.39),(1.40), (1.41) vom obtine:
a ¸ ¸
ABM C AAM C AAM B DM EM F M
1= + + = + + .
AABC AABC AABC AD BE CF
q.e.d.
TEOREMA 1.18 (PUNCTUL LUI GERGONNE)
Fie cercul ˆnscris ˆn triunghiul ABC. Dac˘ M, N, P sunt punctele de tangenta
ı ı a ¸˘
ale cercului cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente ˆn punctul
ı
lui Gergonne.
Pentru demonstratie se foloseste reciproca teoremei lui Ceva.
¸ ¸
1.6.3 Teorema lui Steiner
TEOREMA 1.19 (TEOREMA LUI STEINER)
Dac˘ AM, AN sunt ceviene ˆn triunghiul ABC, egal ˆnclinate fata de bisectoarea
a ı ı ¸˘
unghiului A, atunci are loc relatia:
¸
AB 2 BM · BN
= (1.42)
AC 2 CM · CN
A
B C
M N
Figura 1.25: Teorema lui Steiner
Demonstratie. Not˘ m m˘ surile unghiurilor: BAM = CAN = x, M AN =
¸ a a
y, AM N = z, AN M = t. Calcul˘ m ariile triunghiurilor:
a
AABD = 0, 5AD · BD sin(180◦ − z) = 0, 5AB · AD sin x; (1.43)
AADC = 0, 5AD · DC sin(z) = 0, 5AC · AD sin(x + y). (1.44)

32. 28 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
ˆ artim aceste relatii si se obtine:
Imp˘ ¸ ¸ ¸ ¸
BD AB sin x
= . (1.45)
DC AC sin(x + y)
Preced˘ m analog pentru:
a
AABE = 0, 5AE · BE sin t = 0, 5AE · AB sin(x + y); (1.46)
AAEC = 0, 5AE · EC sin(180◦ − t) = 0, 5AE · AC sin x. (1.47)
ˆ artim relatiile (1.46) si (1.47) :
Imp˘ ¸ ¸ ¸
BE AB sin(x + y)
= . (1.48)
EC AC sin x
ˆ
Inmultind relatiile (1.45) si (1.48) obtinem concluzia teoremei.
¸ ¸ ¸ ¸ q.e.d.
Cevienele AM, AN din teorema lui Steiner sunt si egal ˆnclinate fata de laturile
¸ ı ¸˘
triunghiului care pleac˘ din acelasi vˆ rf cu ele. Se numesc ceviene izogonale.
a ¸ a
Un exemplu de ceviene izogonale sunt ˆnaltimea dintr-un vˆ rf si diametrul cercu-
ı ¸ a ¸
lui circumscris triunghiului, dus din vˆ rful respectiv.
a
A
h
O
B C
D
E
Figura 1.26: Ceviene izogonale
1.7 Relatii metrice ˆn triunghi si patrulater
¸ ı ¸
1.7.1 Teorema Pitagora generalizat˘
a
Este bine cunoscut˘ teorema lui Pitagora, care se aplic˘ ˆn triunghiuri dreptunghice.
a aı
Acum prezent˘ m generalizarea ei, numit˘ si teorema cosinusului, care se poate aplica
a a¸
ˆn orice triunghi.
ı

33. ¸ ˆ
1.7. RELATII METRICE IN TRIUNGHI SI PATRULATER
¸ 29
aı ˆ
TEOREMA 1.20 Dac˘ ˆn triunghiul ABC, C este un unghi ascutit si D = prBC A,
¸ ¸
atunci:
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC.
Demonstratie. Vom discuta 3 cazuri:
¸
ˆ
a) unghiul B este ascutit, not˘ m cu D = prBC A, atunci D ∈ (BC) Triunghiurile
¸ a
A
B C
D
Figura 1.27: teorema lui Pitagora generalizat˘
a
ABD si ADC fiind dreptunghice vom aplica teorema Pitagora:
¸
AB 2 = AD2 + BD2 (1.49)
AD2 = AC 2 − DC 2 (1.50)
BD = BC − DC. (1.51)
Se ˆnlocuieste ˆn (1.49) AD si BD date de egalit˘¸ile (1.50) si (1.51) atunci
ı ¸ ı ¸ at ¸
AB 2 = AC 2 − DC 2 + (BC − DC)2
,
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC.
ˆ
a) unghiul B este obtuz, atunci B ∈ (DC). Egalit˘¸ile (1.49) si (1.50) r˘ mˆ n
at ¸ a a
adev˘ rate si
a ¸
BD = DC − BC. (1.52)
ˆ
Inlocuind ˆn (1.49) AD si BD date de (1.50) si (1.52) se obtine:
ı ¸ ¸ ¸
AB 2 = AC 2 − DC 2 + (DC − BC)2
,
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC.
c) pentru B unghi drept se aplic˘ Pitagora.
a q.e.d.

34. 30 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
A
B C
D
Figura 1.28: teorema lui Pitagora generalizat˘
a
1.7.2 Relatia lui Stewart
¸
Teorema lui Stewart furnizeaz˘ o relatie ˆntre lungimile laturilor unui triunghi si
a ¸ ı ¸
lungimea segmentului dintr-un vˆ rf la un punct de pe latura opus˘ .
a a
TEOREMA 1.21 (TEOREMA LUI STEWART) Fie un triunghi ABC cu lungimile
A
c p b
x y
B C
P
a
Figura 1.29: teorema Stewart
laturilor BC = a, AC = b, AB = c. Fie P un punct pe latura [BC] care divide
latura ˆn dou˘ segmente cu lungimile BP = x, P C = y. Lungimea segmentului AP
ı a
o vom nota cu p. Atunci:
a(p2 + xy) = b2 x + c2 y. (1.53)
Demonstratie. Aplic˘ m teorema Pitagora generalizat˘ ˆn triunghiurile ABP si
¸ a aı ¸
AP C corespunz˘ toare unghiurilor suplementare AP B, respectiv AP C si adun˘ m
a ¸ a
relatiile obtinute, dar nu ˆnainte de a le ˆnmulti cu y respectiv x.
¸ ¸ ı ı ¸
q.e.d.

35. ¸ ˆ
1.7. RELATII METRICE IN TRIUNGHI SI PATRULATER
¸ 31
1.7.3 Teorema medianei
ˆ geometria plan˘ , teorema medianei stabileste o relatie ˆntre lungimea unei me-
In a ¸ ¸ ı
diane dintr-un triunghi si lungimile laturilor triunghiului. Teorema medianei este un
¸
caz particular al teoremei lui Stewart.
TEOREMA 1.22 Fie triunghiul ABC cu M mijlocul laturii (BC). Atunci:
2(b2 + c2 ) − a2
m2 =
a (1.54)
4
unde ma = AM, a = BC, b = AC, c = AB.
ˆ
COROLARUL 1.1 Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunz˘ toare
a
unghiului drept este egal˘ cu jum˘ tate din lungimea ipotenuzei.
a a
1.7.4 Relatia lui Euler pentru patrulatere
¸
TEOREMA 1.23 Fie patrulaterul ABCD, E mijlocul diagonalei AC si F mijlocul
¸
lui BD. Atunci:
AB 2 + BC 2 + CD2 + AD2 = AC 2 + BD2 + 4EF 2 . (1.55)
Relatia (1.55) se numeste relatia lui Euler pentru patrulatere.
¸ ¸ ¸
Demonstratie. Se construiesc AF, F C, BE, DE. Vom folosi teorema medianei
¸
ˆn:
ı
• triunghiul ABD:
4AF 2 = 2(AB 2 + AD2 ) − BD2 ; (1.56)
• triunghiul BCD:
4CF 2 = 2(BC 2 + CD2 ) − BD2 ; (1.57)
• triunghiul ABC:
4BE 2 = 2(AB 2 + BC 2 ) − AC 2 ; (1.58)
• triunghiul ADC:
4DE 2 = 2(AD2 + CD2 ) − AC 2 ; (1.59)
• triunghiul AF C:
4EF 2 = 2(AF 2 + F C 2 ) − AC 2 ; (1.60)
• triunghiul BED:
4EF 2 = 2(BE 2 + ED2 ) − BD2 . (1.61)
Se adun˘ relatiile (1.56),(1.57), (1.58), (1.59) cu relatiile (1.60), (1.61) ˆnmultite
a ¸ ¸ ı ¸
cu 2 si se obtine (1.55).
¸ ¸
q.e.d.

36. 32 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA

37. Capitolul 2
Transform˘ ri geometrice
a
Istoria matematicii consemneaz˘ c˘ transform˘ rile geometrice au fost folosite pentru
a a a
obtinerea primelor demonstratii ale unor teoreme de geometrie.
¸ ¸
Astfel se afirm˘ c˘ Thales din Milet a demonstrat prin suprapunerea figurilor,
a a
folosind ideea de miscare, tradus˘ ast˘ zi ˆn aceea de transformare geometric˘ , teore-
¸ a a ı a
mele: unghiurile opuse la vˆ rf sunt congruente; unghiurile de la baza unui triunghi
a
isoscel sunt congruente; diametrul ˆmparte cercul ˆn dou˘ p˘¸i congruente s.a.
ı ı a at ¸
Mai tˆ rziu, Aristotel a eliminat miscarea din geometrie si deci si transform˘ rile
a ¸ ¸ ¸ a
geometrice, considerˆ nd obiectele matematicii ca entit˘¸i abstracte. Aceast˘ conceptie
a at a ¸
a fost concretizat˘ de Euclid prin celebra sa carte ”Elementele”, ˆn care geometria
a ı
este construit˘ f˘ r˘ utilizarea ideii de miscare pentru c˘ aceasta nu poate exista, con-
a aa ¸ a
form conceptiei lui Platon, Aristotel, Euclid, ˆn lumea formelor ideale.
¸ ı
Pe aceeasi linie s-a situat D. Hilbert ˆn constructia sistemului cunoscut de axiome
¸ ı ¸
ale geometriei. El a ˆnlocuit ideea de miscare cu ceea de figuri congruente.
ı ¸
Predarea geometriei ˆn spiritul axiomaticii lui Hilbert sau a lui Birkhoff este im-
ı
plicat˘ , indiscutabil, ˆn diminuarea ponderii transform˘ rilor geometrice ˆn unele pro-
a ı a ı
grame analitice si manuale.
¸
Intuitia asigur˘ ˆntelegerea de c˘ tre elevi a notiunilor de miscare, suprapunere,
¸ aı ¸ a ¸ ¸
transformare a figurilor, ceea ce favorizeaz˘ ˆntelegerea ulterioar˘ a unor concepte
aı ¸ a
fundamentale din geometrie sau ofer˘ o cale de a p˘ trunde ˆn corpul teoremelor geo-
a a ı
metrice f˘ r˘ supozitii complicate, greu de explicitat si de motivat. Acest fapt indic˘
aa ¸ ¸ a
posibilitatea de a introduce ˆn geometrie transform˘ rile geometrice.
ı a
Transform˘ rile geometrice sunt ˆn esenta functii. Studiul lor este calea principal˘
a ı ¸˘ ¸ a
pe care notiunea de functie p˘ trunde ˆn geometrie.
¸ ¸ a ı
Desi transform˘ rile geometrice erau folosite de mult timp ˆn rezolvarea unor pro-
¸ a ı
bleme de geometrie, ele nu au fost gˆ ndite ca functii decˆ t relativ recent, cˆ nd figurile
a ¸ a a
geometrice au fost concepute ca multimi de puncte.
¸
Ca orice alte functii, transform˘ rile geometrice se pot compune. Exist˘ multe
¸ a a
situatii ˆn care multimea transform˘ rilor geometrice de un anumit tip este ˆnchis˘
¸ ı ¸ a ı a
33

38. 34 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
la compunere, formˆ nd un grup. Amintim grupul translatiilor, grupul rotatiilor de
a ¸ ¸
acelasi centru, grupul asem˘ n˘ rilor. Asadar transform˘ rile geometrice furnizeaz˘
¸ a a ¸ a a
exemple netriviale de grupuri, fapt ce faciliteaz˘ ˆntelegerea notiunii abstracte de
aı ¸ ¸
grup la algebr˘ si care indic˘ rolul integrator al transform˘ rilor geometrice cu algebra
a¸ a a
abstract˘ .
a
Primele obiective operationale care se urm˘ resc ˆn predarea temei respective sunt:
¸ a ı
- construirea imaginii unui punct printr-o anume transformare geometric˘ ; a
- determinarea punctelor ce corespund printr-o transformare care duce o figur˘ a
ˆntr-o alt˘ figur˘ ;
ı a a
- remarcarea elementelor care determin˘ o transformare geometric˘ : centrul si-
a a
metriei, centrul si unghiul rotatiei, etc.;
¸ ¸
- construirea imaginii unei figuri printr-o transformare geometric˘ . a
Prin atingerea acestor obiective elevii cap˘ t˘ deprinderea de a folosi transform˘ rile
aa a
geometrice ˆn rezolvarea problemelor.
ı
ˆ functie de timpul disponibil, se poate aborda structura grupal˘ a transform˘ rilor
In ¸ a a
geometrice si teoreme de exprimare a unor transform˘ ri geometrice ca o compunere
¸ a
de transform˘ ri mai simple. De exemplu, orice izometrie este compunerea a cel mult
a
trei simetrii axiale.
O structur˘ geometric˘ suficient de simpl˘ si ˆn acelasi timp cu multe propriet˘¸i
a a a¸ ı ¸ at
este structura metric˘ a planului (spatiului) dat˘ de distanta dintre dou˘ puncte.
a ¸ a ¸ a
Aceast˘ structur˘ are si un accentuat caracter intuitiv, ceea ce permite utilizarea ei ˆn
a a ¸ ı
clasele a VI-a si a VII-a.Transform˘ rile geometrice compatibile cu structura metric˘
¸ a a
sunt interesante si bogate ˆn propriet˘¸i. Dou˘ asemenea clase de transform˘ ri sunt
¸ ı at a a
studiate cu prec˘ dere: izometriile si asem˘ n˘ rile.
a ¸ a a
Gˆ ndim spatiul fizic obisnuit ca o multime de elemente numite puncte, notat cu
a ¸ ¸ ¸
S.
Distanta este o aplicatie , cu urm˘ toarele propriet˘¸i:
¸ ¸ a at
1. d(A, B) ≥ 0 si d(A, B) = 0 dac˘ si numai dac˘ A ≡ B;
¸ a¸ a
2. d(A, B) = d(B, A)
3. d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B), oricare ar fi punctele A, B, C ∈ S.
Aplicatia T : S → S se numeste izometrie dac˘
¸ ¸ a
d(T A, T B) = d(A, B),
adic˘ p˘ streaz˘ distanta ˆntre puncte si
a a a ¸ ı ¸
se numeste asem˘ nare dac˘
¸ a a
d(T A, T B) = k · d(A, B),
adic˘ multiplic˘ distanta cu un factor real strict pozitiv k.
a a ¸

39. 2.1. SIMETRII 35
Orice izometrie este o asem˘ nare particular˘ (k = 1).
a a
Totusi ˆn mod obisnuit, se face ˆntˆ i studiul detaliat al izometriilor apoi cel al
¸ ı ¸ ı a
asem˘ n˘ rilor. Aceast˘ ordonare pe lˆ ng˘ avantajul didactic evident de a se trece de
a a a a a
la simplu la mai complicat este dictat˘ si de faptul c˘ orice asem˘ nare este compu-
a¸ a a
nerea unei izometrii cu o omotetie (o asem˘ nare particular˘ ). Teoreme asem˘ n˘ toare
a a a a
pentru izometrii, de exemplu, orice izometrie a planului care p˘ streaz˘ orientarea
a a
este sau o translatie, sau rotatie, sau simetrie central˘ , respectiv, orice izometrie este
¸ ¸ a
compunerea a cel mult trei simetrii axiale ne arat˘ c˘ e recomandabil˘ mai ˆntˆ i stu-
a a a ı a
dierea izometriei particulare (simetria, translatia, rotatia), apoi trecerea la stabilirea
¸ ¸
propriet˘¸ilor generale ale izometriilor.
at
ˆ urma analizei modalit˘¸ilor de a concepe predarea transform˘ rilor geometrice
In at a
ˆn diferite programe si manuale se pot distinge dou˘ puncte de vedere: sintetic si
ı ¸ a ¸
vectorial- analitic.
Conform primului, transform˘ rile geometrice se definesc ˆn mod direct, cu ele-
a ı
mente geometrice simple: puncte, drepte, plane, unghiuri si propriet˘¸ile lor se de-
¸ at
monstreaz˘ geometric pe baza axiomelor si teoremelor simple de geometrie.
a ¸
Al doilea punct de vedere se refer˘ la introducerea transform˘ rilor geometrice pe
a a
baza notiunii de vector sau prin expresiile lor analitice, propriet˘¸ile obtinˆ ndu-se
¸ at ¸ a
prin combinarea elementelor de algebr˘ vectorial˘ cu elemente de geometrie anali-
a a
tic˘ .
a
ˆ cele ce urmeaz˘ vom explora succesiv ambele puncte de vedere pentru fiecare
In a
din izometriile remarcabile si apoi pentru asem˘ n˘ ri.
¸ a a
2.1 Simetrii
ˆ mod natural trebuie s˘ ˆncepem cu studiul simetriilor ˆn plan, apoi s˘ trecem la
In aı ı a
spatiu.
¸
Simetria fa˘ de un punct ˆn plan
a ı
• Putem ˆncepe prin a cere elevilor (clasa a VI-a) s˘ deseneze mai multe seg-
ı a
mente care au acelasi mijloc O. Ei deseneaz˘ m˘ surˆ nd cu rigla sau eventual cu
¸ a a a
compasul (dac˘ sunt familiarizati cu acest instrument) o figur˘ asem˘ n˘ toare cu
a ¸ a a a
a¸ ¸˘
figura 2.1, care poate fi apoi prezentat˘ si pe o plansa preg˘ tit˘ anterior.
a a
• Cu notatiile introduse ˆn figura 2.1, vom spune c˘ A este simetricul punctului A
¸ ı a
¸˘ ¸˘
fata de O, c˘ B este simetricul punctului B fata de O, la fel C este simetricul
a
¸˘
lui C fata de O s.a.m.d.
¸
• Subliniem c˘ O este mijlocul pentru segmentele AA , BB , CC etc, si repet˘ m
a ¸ a
modul de constructie al punctelor A , B , etc.
¸

40. 36 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
C’
D A’
B O B’
A C D’
¸˘
Figura 2.1: Simetria fata de un punct
• Fix˘ m apoi definitia formal˘ :
a ¸ a
¸˘
simetricul unui punct M fata de un punct O este un punct M , astfel c˘ O este
a
mijlocul segmentului M M ; simetricul lui O este O.
• Alternativ, pentru a preg˘ ti ideea de functie putem spune c˘ oric˘ rui punct M
a ¸ a a
a a ¸˘
din plan putem s˘ -i asociem un punct M , simetricul s˘ u fata de O; lui O i se
asociaz˘ O ˆnsusi.
a ı ¸
Aici sau la o reluare ˆntr-o clas˘ superioar˘ aceast˘ asociere o vom numi simetrie
ı a a a
de centru O si o vom nota prin SO , pentru a indica centrul de simetrie, scriind
¸
A = SO (A), B = SO (B), etc.
• Revenind la figura 2.1, din paralelogramul ABA B (diagonalele se ˆnjum˘ t˘¸esc)
ı a at
constat˘ m c˘ segmentul A B este congruent cu segmentul AB, adic˘ simetria
a a a
¸˘
fata de O (numit˘ si simetrie de centru O, sau simetrie central˘ ) este o izometrie.
a¸ a
a ¸˘
• Spunem apoi c˘ dreapta A B este simetrica dreptei AB fata de punctul O si ¸
subliniem c˘ ea este paralel˘ cu dreapta AB. La fel dreapta A C este simetrica
a a
¸˘ ¸˘
dreptei AC fata de O. Deci simetrica unei drepte fata de un punct O se obtine
¸
construind simetricele a dou˘ puncte distincte ale ei si apoi unindu-le.
a ¸
a a a ¸˘
• Observ˘ m c˘ dac˘ M este simetricul fata de O al punctului M , atunci simetricul
¸˘
fata de O al punctului M este chiar M .
2
Mai tˆ rziu vom scrie SO = I, unde I este transformarea identic˘ a planului si
a a ¸
vom spune c˘ SO este transformare involutiv˘ .
a a
a a ¸˘
• Fie acum d o dreapt˘ oarecare din plan. Dac˘ ea trece prin O, simetrica ei fata
de punctul O coincide cu ea ca multime (nu punct cu punct). Cu alte cuvinte,
¸
simetricul oric˘ rui punct de pe d se afl˘ pe d. Vom spune c˘ O situat pe d este
a a a
centru de simetrie pentru figura format˘ din dreapta d.
a