Este documento describe los sistemas de numeración decimal, binario y hexadecimal. Explica que el sistema decimal utiliza los símbolos 0-9 y tiene una base de 10, mientras que el sistema binario utiliza los símbolos 0-1 y tiene una base de 2. También describe cómo los números se representan en cada sistema y cómo convertir entre sistemas.
1. Sistemas de Numeración
El estudio de las computadoras y del procesamiento de
datos requiere algún conocimiento de los sistemas
numéricos, ya que estos constituyen la base de todas las
operaciones de una computadora.
Los sistemas numéricos difieren en cuanto a la disposición
y al tipo de los símbolos que utilizan.
Se analizarán los sistemas:
Decimal
Binario
Hexadecimal
1Unidad 2: Representación de la Información
2. Representación posicional de los números
Un sistema de numeración en base b utiliza para representar
los números un alfabeto compuesto por b símbolos.
Así todo número se expresa por un conjunto de cifras,
contribuyendo cada una de ellas con un valor que depende de:
La cifra en sí “valor absoluto”
La posición que ocupe dentro del número “valor posicional”
La posición del dígito del extremo derecho es la de menor
valor, y el dígito que la ocupa se denomina "dígito menos
significativo".
2Unidad 2: Representación de la Información
3. Sistema Decimal
El más importante factor en el desarrollo de la ciencia y la
matemática fue la invención del sistema decimal de
numeración.
Este sistema utiliza diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
denominados generalmente "cifras decimales".
La base de este sistema es b = 10.
La costumbre de contar por decenas se originó
probablemente en el hecho de tener el hombre diez dedos.
3Unidad 2: Representación de la Información
4. Sistema Decimal (cont.)
Ejemplo: el número decimal 3.278,52 puede obtenerse como suma de:
3.000
200
70
8
0,5
0,02
3.278,52
es decir, se verifica:
3.278,52 = 3x103
+ 2x102
+7x101
+ 8x100
+ 5x10-1
+ 2x10-2
Cada posición tiene un peso y un nombre específicos.
4
Posición 0
Peso b0
= 1 unidad
Posición
1
Peso b1
= 10 decenas
Peso b2
= 100 centenas
Posición
2
Unidad 2: Representación de la Información
5. Sistema Binario
Usa dos símbolos diferentes: 0 y 1 denominados bits.
La base de este sistema es b = 2.
El valor relativo de los dígitos binarios a la izquierda del dígito
menos significativo aumenta en una potencia de dos cada vez.
Los valores de posición de la parte entera de un número binario son
las potencias positivas de dos:
24
23
22
21
20
(de derecha a izquierda)
Y los valores de posición de la parte fraccionaria de un número
binario son las potencias negativas de dos:
2-1
2-2
2-3
2-4
(de izquierda a derecha).
5
6. Sistema Binario (cont.)
Ejemplo: el número binario 101101,11 significa:
101101,11 = 1x25
+ 0x24
+ 1x23
+ 1x22
+ 0x21
+1x20
+ 1x2-1
+ 1x2-2
=
= 1x32 + 0 + 1x8 + 1x4 + 0 +1x1 + 1x0,5 + 1x0,25 =
= 45,75 (10) (en el sistema decimal)
6Unidad 2: Representación de la Información
7. Sistema Hexadecimal
Los números binarios de gran magnitud consisten en largas
series de ceros y unos, que son difíciles de interpretar y
manejar.
Como un medio conveniente para representar esos números
binarios de gran magnitud se utiliza el sistema numérico
hexadecimal, de base b = 16.
Utiliza 16 símbolos diferentes:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Cada dígito hexadecimal representa cuatro dígitos binarios.
7Unidad 2: Representación de la Información
8. Decimal Hexadecimal Binario
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111
9. Sistema Hexadecimal (cont.)
Ejemplo: el número hexadecimal 2CA es igual a:
2CA = 2x162
+ 12x161
+ 10x160
= 2x256 + 12x16 + 10x1
= 512 + 192 + 10
= 714 (en el sistema decimal)
9Unidad 2: Representación de la Información
10. Agenda
Introducción
Sistemas de Numeración
Teorema Fundamental de la Numeración
Conversiones entre los distintos sistemas
Operaciones aritméticas
Representación de la información
Compresión de datos
Unidades de medida de la información
almacenada
10Unidad 2: Representación de la Información
11. Teorema fundamental de la Numeración
Supongamos una cantidad expresada en un sistema de base B y
representamos por Xi,
cada uno de los dígitos que contiene dicha
cantidad.
El subíndice indica la posición del dígito con respecto a la coma
decimal.
El Teorema Fundamental de la Numeración relaciona una
cantidad expresada en cualquier sistema de numeración, con la misma
cantidad expresada en el sistema decimal:
...+ X4
* B4
+ X3
* B3
+ X2
* B2
+ X1
* B1
+ X0
* B0
+ X-1
* B-1
+ X-2
* B-2
+ X-3
* B-3
+ X-4
* B-4
+ .......
Ejemplo: 201,1 es una cantidad expresada en un sistema de numeración
en base 3. ¿Cuál será la representación de la misma cantidad en el
sistema decimal?
201.1 = 2*32
+ 0*31
+ 1*30
+ 1*3-1
11Unidad 2: Representación de la Información
12. Conversiones entre los distintos sistemas
BINARIO a DECIMAL: Se suman los productos de
todos los valores posicionales por el número que
ocupa la posición.
Ej. Número Binario:
1 1 0 1, 0 1
= 1x23
+1x22
+0x21
+1x20
+0x2-1
+1x2-2
= 8 + 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25
= 13,25 (decimal)
12Unidad 2: Representación de la Información
13. Conversiones entre los distintos sistemas
HEXADECIMAL a DECIMAL: Se multiplica el
número representado por el valor posicional que le
corresponde, y se suman los resultados .
Ej. Número Hexadecimal:
A E 1 B
= 10x163
+ 14x162
+ 1
x161
+ 11x160
= 40960 + 3584 + 16 + 11
= 44571 (decimal)
13Unidad 2: Representación de la Información
14. Teorema fundamental de la Numeración
Una determinada cantidad, que denominaremos
número decimal (N en este caso), se puede expresar
de la siguiente manera:
Donde:
Base = 10
i = posición respecto de la coma
d = nro. de dígitos a la derecha de la coma
n = nro. de dígitos a la izquierda de la coma, menos 1
dígito = cada uno de los que componen el número
Introducción a la Informática – Tema 2 14
15. Conversiones entre los distintos sistemas
DECIMAL a BINARIO: Se divide el número que se quiere convertir
por la base del sistema al que se quiere cambiar.
Los resultados que se obtengan en el cociente deben seguir
dividiéndose hasta que este resultado sea menor que la base.
Los resultados que resulten de todas las divisiones se escribirán
de derecha a izquierda.
Ej. Número Decimal: 26
Con lo que: 26(10) = 11010(2)
15
26 2
06 13 2
0 1 6 2
0 3 2
1 1
Unidad 2: Representación de la Información
16. Conversiones entre los distintos sistemas
DECIMAL a BINARIO (cont.):
La parte fraccionaria del número binario se obtiene
multiplicando por 2 sucesivamente la parte fraccionaria del
número decimal de partida y las partes fraccionarias que se van
obteniendo en los productos sucesivos.
El número binario se forma con las partes enteras (ceros y unos)
de los productos obtenidos.
Ej.: Número Decimal: 0,423
0,423 x 2 = 0,846
0,846 x 2 = 1,692
0,692 x 2 = 1,384
0,384 x 2 = 0,768
Con lo que: 0,423(10) = 0110(2)
16Unidad 2: Representación de la Información
17. Conversiones entre los distintos sistemas
DECIMAL a HEXADECIMAL: Se divide el número que se quiere
convertir por la base del sistema al que se quiere cambiar. En este
caso 16.
Los resultados que se obtengan en el cociente deben seguir
dividiéndose hasta que este resultado sea menor que la base.
Para convertir una fracción decimal a su equivalente hexadecimal,
aplicamos el algoritmo parte entera, con base 16.
Ej. Número Decimal: 1520
Con lo que: 1520(10) = 5F0(2)
17
1520 16
080 95 16
0 15 5
Unidad 2: Representación de la Información
18. Conversiones entre los distintos sistemas
BINARIO a HEXADECIMAL: se divide el número binario en grupos
de cuatro dígitos binarios, comenzando desde la derecha y se
reemplaza cada grupo por el correspondiente símbolo hexadecimal.
Si el grupo de la extrema izquierda no tiene cuatro dígitos, se deben
agregar ceros hasta completar 4 dígitos.
Ej. Número Binario: 111110011011010011
= 0011 / 1110 / 0110 / 1101 / 0011
= 3 E 6 D 3
= 3E6D3 (hexadecimal)
18Unidad 2: Representación de la Información
19. Conversiones entre los distintos sistemas
HEXADECIMAL a BINARIO: se reemplaza cada símbolo
hexadecimal por el correspondiente grupo de cuatro dígitos binarios
y se descartan los ceros innecesarios.
Ej. Número Hexadecimal: 6 C 4 F 2 E
= 0110 / 1100 / 0100 / 1111 / 0010 / 1110
= 11011000100111100101110 (binario)
19Unidad 2: Representación de la Información