Este documento presenta dos lecciones sobre problemas de relaciones con una variable. La primera lección cubre problemas sobre relaciones parte-todo, donde se unen partes conocidas para formar cantidades totales o equilibrios. Incluye un ejemplo detallado sobre el uso de pesas en una balanza. La segunda lección trata sobre problemas de relaciones familiares, definidos como nexos de parentesco entre miembros de una familia. Cada lección incluye ejemplos prácticos para resolver.

1. UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO
Sistema Nacional de Nivelación y Admisión
Curso de Nivelación Segundo Semestre 2013
DOCENTE: ING. RENÉ ENRÍQUEZ
ÁREA:5
PARALELO:N__
UNIDAD II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE
LECCIÓN 3 PROBLEMAS DE RELACIÓN PARTE-TODO Y FAMILIARES
Reflexión.Esta lección como su nombre lo indica, presenta problemas acerca de relaciones
entre variables y características de objetos o situaciones. Dichas relaciones
pueden ser de diferentes clases. Para eso hacemos énfasis en la palabra
relación, que quiere decir nexo entre dos o más características correspondientes
a la misma variable, y es de estos nexos que surge el tipo de relación.
Como ya sabemos las variables, sus valores y sus relaciones conforman los datos
de los problemas. El objetivo de esta lección es lograr identificar los tipos
especiales de relaciones y de estrategias particulares.
Contenido.PROBLEMAS SOBRE RELACIONES
PARTE-TODO
En este tipo de problemas unimos un conjunto
de partes conocidas para formar diferentes
cantidades y para generar ciertos equilibrios,
entre las partes. Son problemas donde se
relacionan partes para formar una totalidad
deseada.
Ejercicio 1. Con una balanza de 2 platillos y sólo 3 pesas de 1, 3 y 9 kilos
respectivamente, podrás pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo
hasta 13 kilos. Se trata de identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que
podrían colocarse en uno o los dos platillos para lograr un determinado equilibrio
colocando el objeto en el platillo B. Se puede combinar las pesas como se desee.
¿Cómo se combinarían las pesas para colocarlas todas o algunas de ellas en ambos
platillos para pesar 2, 5, 7, 10 y 11 kilos?
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Curso de Nivelación Segundo Semestre 2013
DOCENTE: ING. RENÉ ENRÍQUEZ
ÁREA:5
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1) Lee todo el enunciado. ¿De qué se trata el problema?
De una balanza de dos platillos que se sirve para pesar hasta 13 kg
usando solamente una o una combinación de las tres pesas de 1, 3
y 9 Kg.
2) ¿Cuál es la pregunta?
La incógnita es determinar la pesa o grupos de pesas que deben colocarse en
el platillo A o en ambos platillos para equilibrar la balanza.
3) ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del
problema?
Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando ambos
platillos tiene el mismo peso.
Segunda, que cuento con 3 pesas con los valores de 1Kg, 3 Kg y 9 Kg.
Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B.
Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro
platillo para lograr el equilibrio con el objeto.
Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total del
platillo.
4) ¿Cómo podemos pesar?
Si colocamos en el platillo B objetos de 1Kg, 3Kg y 9Kg podemos equilibrarlo
colocando en el platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.
Si colocamos un objeto de 4Kg en el platillo A, ¿Cómo podemos equilibrarlo?
No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando
en el platillo A las pesas de 1Kg y 3Kg juntas. De esta manera podemos pesar
objetos cuyo peso sea igual a la suma de los pesos de dos pesas. De esta
manera podemos pesar objetos de 4Kg, 10 Kg y 12 Kg. Y si colocamos las tres
pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos de 13 Kg.
Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10, 12 y 13 Kg.
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¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2 Kg?
Ahora recordamos la estrategia que nos dice que tenemos total libertad para
colocar las pesas. Si el objeto pesa 2Kg, puedo equilibrar la balanza colocando
el objeto y la pesa de 1Kg en el platillo B y la pesa de 3 Kg en el platillo A
porque la suma de los pesos en ambos platillos será igual. Colocando el objeto
y la pesa de 1 Kg en el platillo B podemos pesar 2 Kg y 8 Kg colocando en el
platillo A las pesas de 3 Kg y 9Kg; y si colocamos el objeto y la pesa de 3Kg en
el platillo B y la pesa de 9Kg en el platillo A, podemos pesar 6Kg.
Nos falta averiguar, ¿Cómo podemos pesar objetos de 5Kg, 78 Kg y 11 Kg?
En el último caso acompañamos el objeto con una pesa, y podíamos pesar
objetos cuyo peso estaba por debajo del peso que teníamos en el platillo A.
Eso lo podemos ampliar con otros pesos en el platillo A si colocamos en él dos
pesas. Así, colocando en A las pesas de 9Kg y 3Kg, y en B el objeto y la pesa
de 1Kg, podemos pesar un objeto de 11Kg; y colocando en A las pesas de 9Kg
y 1Kg; y en B, el objeto y la pesa de 3Kg, podemos pesar un objeto de 7Kg.
Ahora nos falta solamente como pesar 5Kg. Dándonos cuenta que 9Kg es igual
a 5Kg + 4Kg, entonces podemos pesar un objeto de 5Kg poniéndolo en el
platillo B con las pesas de 3Kg y 1 Kg, que pesan combinadas los 4Kg, y el
platillo A la pesa de 9Kg.
De esta manera podemos resumir todas las alternativas de pesado en una
tabla indicando que muestre los Kilogramos que desean pesar, el
contenido del platillo A y el contenido del platillo B.
Cantidad de
Kg a pesar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Platillo B
Platillo A
Objeto
Objeto + Pesa 1 Kg
Objeto
Objeto
Objeto + Pesas 3Kg y 1Kg
Objeto + Pesa 3Kg
Objeto + Pesa 3Kg
Objeto + Pesa 1Kg
Objeto
Objeto
Pesa 1Kg
Pesa 3Kg
Pesa 3Kg
Pesas 3Kg y 1 Kg
Pesa 9Kg
Pesa 9Kg
Pesa 9Kg y 1Kg
Pesa 9Kg
Pesa 9Kg
Pesas 9Kg y 1Kg
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Objeto + Pesa 1Kg
Pesas 9Kg y 3Kg
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Objeto
Pesas 9Kg y 3Kg
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Objeto
Pesas 9Kg, 3 Kg y 1 Kg
5) Para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las
pesas para pesar 2, 5, 7, 10 y 11Kg, solamente tenemos que identificar en
la tabla anterior la distribución de pesas en cada uno de los platillos. Por
ejemplo, para pesar un objeto de 2Kg. Lo colocamos en el platillo B junto
con la pesa de 1Kg, y en el platillo A colocamos la pesa de 3Kg. De la
misma manera procedemos para las demás cantidades.
6) Por último verificamos cada paso y los resultados de las operaciones.
De esta manera terminamos la solución formal del ejercicio 1 que planteamos
al inicio de esta clase. Seguimos paso a paso el procedimiento que aprendimos
en la lección 2. En este caso las relaciones que planteamos utilizaban el
principio que el equilibrio de la balanza se alcanza cuando el peso total del
platillo A es igual al peso total del platillo B, y que esos pesos totales resultan
de la suma de todos los pesos que hay en cada platillo.
2.- Contenido
Tema 1:
PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN PERTE-TODO
Definición
En este tipo de problemas unimos un conjunto de partes conocidas para formar
diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son
problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada.
Ejercicios
Práctica 1: La medida de las tres secciones de un lagarto – cabeza, tronco y
cola – son las siguientes: la cabeza mide 9 cm, la cola mide tanto como la
cabeza más la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la
cabeza y de la cola. ¿Cuántos centímetros mide en total el lagarto?
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1)¿Cómo se describe el lagarto?
Tres secciones : cabeza – tronco – cola
2)¿Qué datos da el enunciado del problema?
La medida de la cabeza del lagarto es 9 cm ,la cola mide tanto como la cabeza
más la mitad del tronco , y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y
de la cola.
3) ¿ Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del
cuerpo?
Que mide 9 cm, más la mitad del tronco.
Escriba esto en palabras y símbolos
Medida de la cola =medida de la cabeza + la mitad del cuerpo
Medida de la cola = 9cm + ½ tronco.
4)Qué se dice del cuerpo?
Que mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola.
Vamos a escribir o representar estos datos en palabras y símbolos:
Medida del tronco = Medida cabeza + medida cola
Medida del tronco = 9cm + medida de la cola
Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:
Medida del tronco = 9cm + 9cm + mitad de la medida del cuerpo
Medida del tronco = 18cm + mitad de la medida del cuerpo
Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:
Medidas del tronco
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Medida del medio tronco
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18cm
5)¿Qué observamos en el esquema?
En el esquema observamos que el tronco mide un total de 36cm.
6)Entonces, ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto complete
el esquema que sigue.
Cola
Tronco
Cabeza
En total mide 72cm
Ejemplo:
Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que
él; el niño al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que él,
y el perrito lleva accesorios que pesan la mitad que él. Si el hombre
con su carga pesa 120 kilos, ¿Cuánto pesa el hombre sin carga
alguna?
1) ¿Qué debemos hacer para resolver el problema?
Leer cuidadosamente todo el problema.
2) ¿Qué se pregunta?
¿Cuánto pesa el hombre sin carga alguna?
3) ¿Qué observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?
Que nos dan un total y debemos calcular cada parte. El todo es la
carga total de 120 kilos y las partes son: el hombre, niño, perro y los accesorios
del perro.
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4) ¿Cómo podemos representar estos datos?
Accesorios
1
Perro
2
Niño
Hombre
Carga Total
4
8
5
9
10
3
6
11
12
7
13
14
15
120kilos
4) ¿Cómo lo expresamos en palabras?
Que en el problema se dice que cada parte pesa la mitad, por lo tanto pesa el
doble de arriba hacia abajo (de accesorios al hombre), es por esto que en cada
piso se aumentan 2 cuadros
5) ¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?
Que el peso del hombre es menor que la carga total.
6) ¿Cómo calculamos el peso del hombre?
Primero dividimos los 120 kilos con las 15 partes de la pirámide, obteniendo 8,
que equivale al peso de los accesorios, y lo vamos multiplicando por 2, es
decir:
120 ÷ 15= 8, accesorios
8 x 2= 16, perro
16 x 2= 32, niño
32 x 2= 64, hombre.
7) ¿Cuánto pesa el hombre?
Pesa 64 kilos.
8) ¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?
Verificar el proceso y el producto.
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Ejemplo:
Un tipo va al gym y levanta unas pesas igual al peso que él, la varilla
pesa la ¼ parte que el. Si el tipo con la carga pesa 90 kg ¿Cuanto peso
la varilla?
¿Qué hacemos en primer lugar?
Extraer Datos
¿Qué datos se dan?
Datos
Total: 90 kg
Varilla: ¼ del tipo
¿De qué variable estamos hablando?
Variables cuantitativas
Representación grafica del problema
Hombre
Pesa
90 kg
Varilla
Respuesta del problema
La varilla pesa 10 kg
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Tema 2:
PROBLEMAS SOBRE RELACIONES FAMILIARES
Definición
Relación referido a nexos de parentesco entre los diferentes componentes de la
familia.
Ejercicio 1. María muestra el retrato de un señor dice:
“La madre de ese señor es la suegra de mi esposo.”
¿Qué parentesco existe entre María y el señor del retrato?
¿Qué se plantea en el problema?
Relación entre María y el señor del retrato.
¿Qué personajes figuran en el problema?
María, madre, señor, esposo y suegra.
¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes?
Suegra-yerno
Madre-Hija
Completa las relaciones en la representación. La de Suegra-Yerno ya está
indicada.
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¿Qué se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato?
¿Qué tienen en común?
Comparten la misma madre por lo tanto son „‟hermanos‟‟.
¿Qué relación existe entre ambas personas?
La relación de „‟hermanos. ‟‟
Respuesta del problema:
El señor del retrato es hermano de María.
¿Qué hicimos en este ejercicio?
Establecimos relaciones familiares entre un parentesco desconocido.
¿Qué tipo de estrategia utilizamos?
Relación familiar
Ejercicios
Práctica 1: Un joven llego de visita a la casa de una dama, un vecino
de la dama le preguntó quién era el visitante y ella le contestó:
¨La madre de ese joven es la hija única de mi madre¨
¿Qué relación existe entre la dama y el joven?
1)¿Qué se plantea en el problema?
La búsqueda del parentesco entre la dama y el joven.
2)¿A qué personajes se refiere en el problema?
Dama – joven – hija – madre de la dama.
3)¿Qué afirma la dama?
Que la madre de ese joven es la hija única de mi madre.
4)¿Qué significa ser hija única?
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No tener hermanos.
5)Representación
Madre
Dama
Joven
6)Respuesta
Son madre e hijo
Ejemplo:
*Luis dice: “Hoy visite a la suegra dela mujer de mi hermano” ¿A quien
visito Luis?
¿Qué se plantea en el problema?
A quien visita Luis
Pregunta
¿A quien visita Luis?
Respuesta: es madre de Luis
Antonio dice:
“El padre del sobrino de mi tío es mi padre”
¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?
1).¿Qué se plantea en el problema?
El parentesco del padre del sobrino y el tío de Antonio.
2). Pregunta: ¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de
Antonio?
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3). Representación:
Relación Desconocida
Sobrino:
Antonio
Padre
Mi Tío
Mi Padre
4). Respuesta:
El padre del sobrino y el tío de Antonio son hermanos.
Juan Dice:
“El padre del sobrino de mi tío es mi padre”
1) ¿Que se plantea en el Problema?
El parentesco del padre del sobrino y el tío de Antonio
2) Pregunta
¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Juan?
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3) Representación Grafica
Relación Desconocida
Sobrino
Juan
Mi tío
Padre
4) Respuesta
El padre del sobrino el tío de Juan son hermanos
3.- Conclusión
Estos problemas nos llevan a identificar que existen dos alternativas parte – todo y
familiares ya que plantea operaciones de relación estratégica de solución para
resolver estos problemas seguimos los seis pasos que garantiza un procedimiento
seguro y preciso, esta estrategia es muy útil ya que de esta manera la solución es
clara y precisa.
La relación establece el parentesco entre miembros de una familia, que debemos
descifrar a cual corresponde
Una buena estrategia considero es la grafica mental del problema, y también
escrita, la cual nos permite encontrar la solución correcta.
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LECCIÓN 4
PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN
Representación en una dimensión.La estrategia utilizada se denomina “REPRESENTACIÓN EN UNA DIMENSIÓN” y
como se observa permite representar datos correspondientes a una sola variable o
aspecto.
Estrategia de postergación.Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parecen incompletos, hasta
tanto se presente otro dato que complemente la información y nos permita
procesarlo.
Casos especiales de la representación en una dimensión.Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede
hacer parecer confuso a un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos
o a la redacción del mismo. En este caso es necesario prestar atención a la
variable, los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el
enunciado.
Ejercicio 1. En el trayecto que recorren, Martha, Juan, Paola y Luis al trabajo, Martha
camina más que Juan. Paola camina más que Luis, pero menos que Juan. ¿Quién vive
más lejos y quien más cerca?
Variable: Distancia
Pregunta: ¿Quién vive más lejos y quien más cerca?
Representación:
Martha
Juan
Paola
Luis
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EJEMPLO
Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está menos
triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos triste?
VARIABLE: estado de ánimo.
REPRESENTACIÓN:
Tomás
Alfredo
Alberto
Roberto
Menos
Más
Triste.
Triste.
RESPUESTA: Tomás.
Ejercicios
Práctica 1: Juana, Rafaela, Carlota y María fueron de compras al
mercado. Carlota gasto menos que Rafaela, pero más que María. Juana
gastó más que Carlota pero menos que Rafaela. ¿Quién gastó más y
quién gasto menos?
Variable
Cantidad de dinero.
Pregunta.
¿Quién gasto más y quién gastó menos?
Representación
Gasto +
Gasto Rafaela
Juana
Carlota
María
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Respuesta
Quién gastó más = Rafaela
Quién gastó menos = María
Tema 2:
ESTRATEGIA DE POSTERGACIÓN
Definición
Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta
tanto se presente otro dato que complete la información y nos permita procesarlos.
Ejercicios
Práctica 1: Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más
difícil que el alemán. Piensa además que el italiano es más fácil que el francés y
que el alemán es más difícil que el francés. ¿Cuál es el idioma que es menos
difícil para Mercedes y cuál considera el más difícil?
Variable
Idioma
Representación
+ Difícil
- Difícil
Ruso
Alemán
Francés
Italiano
Respuesta
El idioma menos difícil es =Italiano
El idioma más difícil es =Ruso
Tema 3:
CASOS ESPECIALES DE LA REPRESENTACIÓN EN UNA DIMENCIÓN
Definición
Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede
hacer parecer confuso un problema debido al uso de ciertos vocablos. EN este
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caso se presta atención a la variable, a los signos de puntuación y al uso de
ciertas palabras presentes en el enunciado.
Ejercicios
Práctica 1: Juan nació 2 años después de Pedro. Raúl es 3 años mayor
que Juan. Francisco es 6 años menor que Raúl. Alberto nació 5 meses
después que Francisco. ¿Quién es el más joven y quién es el más viejo?
Variable
Edad
Pregunta
¿Quién es el más joven y quién es el más viejo?
Representación
+ Joven
Alberto
-5 meses
+ Viejo
Francisco
-6 años
Juan
-2 años
Pedro
Raúl
o
+3años
Respuesta
El más joven es = Alberto
El más viejo es = Raúl
EJEMPLO:
1. Pedro y Ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para
golear. La destreza como goleador de García puede deducirse del
número acumulativo de goles que lleva durante el año, el cuál es
inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que duplica
dicho número. García supera a su compañero de equipo como Pedro
que duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo
Ramiro. ¿Quién tiene el peor desempeño como goleador? ¿Quién le
sigue en tan pobre actuación?
¿A qué variable se refiere el problema?
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Habilidad para golear.
Categoría como mejor goleador.
¿Qué se dice acerca de la variable?
Que pueden deducirse del número total de goles acumulados durante el año.
¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado?
Primero establece la variable como la “habilidad goleadora”; luego da como
variable “número de goles” y nos lleva a inferir que a mayor número de goles
se tiene una mayor habilidad goleadora; también, afirma que García supera a
su compañero de equipo Ramiro, también forzándonos a inferir que es en la
habilidad goleadora; por último, nos lleva a inferir que una pobre actuación está
asociada a una mala habilidad goleadora. Todas estas son complicaciones que
nos obligan a tener especial atención a la variable, a los signos de puntuación
y al uso de las palabras en el enunciado.
¿Qué debemos hacer ahora que tenemos todo esto claro?
Representación:
Suárez
Ramiro
García Pedro
Respuesta:
Suárez tiene el peor desempeño como goleador y le sigue Ramiro en tan pobre
actuación.
3.- Conclusión
Este tipo de problemas podemos identificar que es necesario presentar atención
especial a los enunciados que presenta, ya que en estos puede estar implícita la
respuesta a su solución.
Pude comprender que al representarlos en una dimensión nos facilita la solución y
análisis que se requiere para asimilarlos.
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