taller #2.1 UNIVERSIDAD EL MAGDALENA

1. 5. ∫
푑푢
√푢2 +푎2 =
Sea u= atanϴ
du = a푠푒푐2 ϴ
푢2+푎2 = 푎2 푡푎푛2ϴ+푎2
=푎2 (푡푎푛2 ϴ+1)
=푎2 푠푒푐2ϴ
√푢2 + 푎2 = √푎2 + 푠푒푐2 훳
=asecϴ
∫
푎푠푒푐2 훳푑훳
푎푠푒푐훳
= ∫ 푠푒푐훳푑훳 = In |푠푒푐훳 + 푡푎푛훳|
= In|√푢2 +푎2
푎
| + 푢
푎
=In|푎 √푢2 +푎2+ 푎푢
푎2 |
=In |√푢2 +푎2 +푢
푎
|
=In|√푢2 + 푎2 + 푢| - In|푎|+C
=In|√푢2 + 푎2 + 푢|+C

2. 4. ∫
푥2
(푥2+4)2 푑푥
∫
푥2
(푥2+4)2 = 퐴푋 +퐵
푋2 +4
+ 퐶푋 +퐷
(푋2 +4)2
푋2= (AX+B)(푋2+4)+(CX+D)
푋2= A푋3+4AX+B푋2+4B+CX+D
푋2=푋3(퐴)+푋2(퐵)+X(4A+C)+(4B+D)
A=0
B=1
4A+C=O; 4(0)+C=0, C=0
AB+D=0;4(1)+D=0, D=-4
∫
푥2
(푥2+4) 2 = 0푋 +1
푋2 +4
+
(0)푋−4
(푋2+4)2
=∫
푑푥
푥2+4
- ∫
푑푥
(푥2+4)2
푥 = 2푡푎푛휃
푑푥 = 2푠푒푐2 휃푑휃
∫
2푠푒푐2 휃푑휃
4푡푎푛2휃 + 4
− 4 ∫
2푠푒푐2휃푑휃
(4푡푎푛2휃 + 4)2
2 ∫
푠푒푐2휃푑휃
4(푡푎푛2 휃 + 1)
− 8 ∫
푠푒푐2휃푑휃
(4(푡푎푛2휃 + 1))2

3. 1
2
∫
푠푒푐2 휃푑휃
푠푒푐2 휃
−
1
2
∫
푠푒푐2휃푑휃
푠푒푐4 휃
1
2
∫ 푑휃 −
1
2
∫
푑휃
푠푒푐2 휃
1
2
∫ 푑휃 −
1
2
∫
푑휃
1
푐표푠2휃
1
2
∫ 푑휃 −
1
2
∫ 푐표푠2 휃푑휃
1
2
∫ 푑휃 −
1
2
∫
1
2
(1 + 푐표푠2휃)푑휃
1
2
∫ 푑휃 −
1
4
∫ 푑휃 −
1
4
∫ 푐표푠2휃
1
4
∫ 푑휃 −
1
4
∫ 푐표푠2휃
1
4
(휃 −
1
2
푠푒푛2휃) =
1
4
(푡푎푛−1 (
푥
2
)) −
1
8
푠푒푛2 (푡푎푛−1 푥
2
) + 퐶
5.1
4)
∫
푥2
(푥2 + 42 )2 푑푥
푥 = 2. tan 휃
푑푥 = 2. 푆푒푐2 휃 푑휃

4. ∫
(2. tan 휃)2
((2. tan 휃)2 + 4)2 2. 푠푒푐2 휃 푑휃
∫
4. 푡푎푛2 휃
(4. 푡푎푛2휃 + 4)2 2. 푆푒푐2 휃 푑휃
8 ∫
푡푎푛2 휃. 푠푒푐2 휃 푑휃
(4 (푡푎푛2 휃 + 1))2
8 ∫
푡푎푛2 휃 . 푠푒푐2 휃 . 푑휃
(4 . 푠푒푐2 휃)2
1
2
∫
푡푎푛2 휃 . 푠푒푐2 휃 푑휃
푠푒푐4 휃
1
2
∫
푡푎푛2 휃 푑휃
푠푒푐2 휃
1
2
∫
푠푒푛2 휃
푐표푠2 휃
1
푐표푠2 휃
푑휃
1
2
∫ 푠푒푛2 휃 푑휃
1
2
∫
1 − cos(2휃) 푑휃
2
1
4
∫ 푑휃 −
1
4
∫ cos(2휃) 푑휃

5. 풖 = 2휃 ; 풅풖 = 2푑휃 ;
풅풖
ퟐ
= 푑휃
1
4
. 휃 −
1
8
∫ cos(푢). 푑푢
1
4
. 휃 −
1
8
. sin(2휃) + 퐶
1
4
. 휃 −
1
4
. [sin(휃). cos( 휃) ] + 퐶
풙 = 2. 푡푎푛 휃
푡푎푛−1 (푥
2
) = 휽
1
4
푥
2
(tan−1 (
) − (
푥
√푥2 + 4
.
2
√푥2 + 4
)) + 퐶
ퟏ
ퟒ
풙
ퟐ
(풕풂풏−ퟏ (
) − (
ퟐ풙
풙ퟐ + ퟒ
)) + 푪
2
푥

6. 5)
∫
푑푢
√푢2 + 푎2
Sol:
푆푢푠푡푖푡푢푐푖ó푛: 푢 = 푎. tan 휃
푑푢 = 푎. 푠푒푐2 휃 푑휃
∫
푎. 푠푒푐2 휃 푑휃
√(푎. 푡푎푛휃)2 + 푎2
푎 ∫
푠푒푐2휃 푑휃
√푎2 (푡푎푛2휃 + 1)
푎
푎
∫
푆푒푐2 휃 푑휃
푠푒푐휃
∫ sec 휃 푑휃
ln|tan 휃 + sec 휃| + 퐶

7. 푢 = 푎. 푡푎푛휃
푢
푎
= tan 휃
푢
푎
ln |
+
√푢2 + 푎2
푎
풂
| + 퐶
ln |푎푢 +푎√푢2 +푎2
푎
| + 퐶
푎(푢 + √푢2 + 푎2 )
ln |
푎
| + 퐶
푙푛 |푢 + √푢2 + 푎2 | + 퐶
6.1
6)
∫
(4푥 − 2)
푥3 − 푥2 − 2푥
푑푥
∫
(4푥 − 2)
푥(푥2 − 푥 − 2)
푑푥
∫
(4푥 − 2)
푥(푥 − 2)(푥 + 1)
푑푥
풖

8. 퐴
푥
4푥 − 2 = (푥)(푥 − 2)(푥 + 1) [
+
퐵
푥 − 2
+
퐶
푥 + 1
]
4푥 − 2 = 퐴(푥 − 2)(푥 + 1) + 퐵(푥)(푥 + 1) + 퐶(푥)(푥 − 2)
4푥 − 2 = 퐴(푥2 + 푥 − 2푥 − 2) + 퐵(푥2 + 푥) + 퐶( 푥2 − 2푥)
4푥 − 2 = (퐴푥2 − 퐴푋 − 2퐴) + (퐵푥2 + 퐵푋) + (퐶푥2 − 2퐶푋)
0 = 퐴 + 퐵 + 퐶
4 = −퐴 + 퐵 − 2퐶
2 = −2퐴
−2 = −2퐴
−2
−2
= 퐴 ; 1 = 퐴
ퟎ = 푨 + 푩 + 푪
ퟒ = −푨 + 푩 − ퟐ푪
ퟒ = ퟐ푩 − 푪
푪 = ퟐ푩 − ퟒ
ퟒ = −ퟏ + 푩 − ퟐ(ퟐ푩 − ퟒ)

9. ퟒ = −ퟏ + 푩 − ퟒ푩 + ퟖ
ퟒ = ퟕ − ퟑ푩
−ퟑ
−ퟑ
= 푩 ; ퟏ = 푩
푯풂풍풍풂풏풅풐 푪:
푪 = ퟐ(ퟏ) − ퟒ; 푪 = ퟐ − ퟒ; 푪 = −ퟐ
∫
풅풙
풙
+ ∫
풅풙
(풙 − ퟐ)
− ퟐ ∫
풅풙
(풙 − ퟏ)
ln[x] + ln[x − 2] − 2 ln[x + 1] + C
ln[(x). (x − 2)] − ln[(x + 1)2 ] + C
푥(푥 − 2)
(푥 + 1)2 ] + 퐶
ln [
ퟔ. ퟏ
ퟏퟖ) ∫
ퟒ풙 + ퟏ
ퟐ풙 + ퟏ
풅풙
푢 = 2푥 푑푢 = 2푥 푙표푔(2)푑푥
=
1
푙표푔 (2)
∫
푢2 + 1
푢(푢 + 1)
푑푢
=
1
푙표푔 (2)
∫ (−
2
푢 + 1
+
1
푢
+ 1) 푑푢

10. = −
1
푙표푔 (2)
∫ 1푑푢 +
1
푙표푔 (2)
∫ −
1
푢
푑푢 +
1
푙표푔 (2)
∫
1
푢 + 1
푑푢
푠 = 푢 + 1 푑푠 = 푑푢
= −
2 푙표푔(푠)
푙표푔 (2)
+
1
푙표푔 (2)
∫ 1푑푢 +
1
푙표푔 (2)
∫
1
푢
푑푢
= −
2 푙표푔 (푠)
푙표푔 (2)
+
푙표푔 (푢)
푙표푔 (2)
+
1
푙표푔 (2)
∫ 1푑푢
= −
2 푙표푔 (푠)
푙표푔 (2)
+
푢
푙표푔 (2)
+
푙표푔 (푢)
푙표푔 (2)
+ 퐶
=
푢 + 푙표푔(2푥 ) − 2 푙표푔 (2푥 + 1)
푙표푔 (2)
+ 퐶
=
ퟐ풙 + 풙 풍풐품(ퟐ) − ퟐ 풍풐품 (ퟐ풙 + ퟏ)
풍풐품 (ퟐ)
+ 푪
ퟔ. ퟐ
ퟔ) ∫ (
풅풙
ퟗ풙ퟒ + 풙ퟐ )

11. = ∫ (
1
푥2 ) − (
9
9푥4 + 1
)
1
푥2 ) 푑푥 − ∫ (
= ∫ (
1
9푥2 + 1
) 푑푥
푢 = 3푥 푑푢 = 3푑푥
= ∫
1
푥2 푑푥 − 3 ∫
1
푢2 + 1
푑푢
= ∫
1
푥2 푑푥 − 3 tan−1 푢
= ∫
1
푥2 푑푥 − 3 tan−1 푢
−
1
푥
− 3 tan−1 푢 + 퐶
−
ퟏ
풙
− ퟑ 퐭퐚퐧−ퟏ (ퟑ풙) + 푪

12. ퟏퟖ)
∫
ퟐ퐱ퟐ + ퟑ퐱 + ퟒ
퐱ퟑ + ퟒ퐱ퟐ + ퟔ퐱 + ퟒ
퐝퐱
= ∫ (
2
x + 2
−
1
x2 + 2x + 2
)
= 2 ∫
1
x + 2
dx − ∫
1
x2 + 2x + 2
dx
= 2 ∫
1
x + 2
dx − ∫
1
(x + 1)2 + 1
dx
u = x + 1 du = dx
= 2 ∫
1
x + 2
dx − ∫
1
u2 + 1
du
=
1
x + 2
= s = x + 2 ds = dx
= 2 ∫
1
s
ds − tan−1 u
= 2 log(s) − tan−1 (x + 1) + C
= ퟐ 풍풐품 (풙 + ퟐ) − 풕풂풏−ퟏ (풙 + ퟏ) + 푪