2. Índice
La Elipse.
La Elipse como lugar geométrico.
Elementos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse.
Ejemplo.
Propiedades de reflexión de la elipse.
3. Elipse
La elipse, se origina al
cortar un cono con un
plano que no pase por el
vértice del cono y cuyo
ángulo de inclinación
respecto al eje del cono
es mayor que el de la
generatriz del cono.
Eje
Elipse
Plano
Generatriz
Vértice
4. La Elipse como lugar
Geométrico
Elipse es el
lugar geométrico
de los puntos de
un plano cuya
suma de
distancias a dos
puntos fijos,
llamados focos,
es constante.
5. Elementos de la Elipse
B
P
En toda elipse convine
considerar:
F y F´: Son los puntos fijos llamados
focos.
A´
F´
F
B´
2c
2a
A
2c: Se le llama distancia focal y es la
distancia que hay entre los dos
focos.
P: Cualquier punto de la elipse.
PF y PF´: Son los radio vectores de
la elipse.
2a: Es la suma de los radio vectores.
6. Elementos de la Elipse
Eje focal: Es la recta que
pasa por los focos.
B
P
Eje secundario: Es la
mediatriz del segmento
FF´.
C: Es el centro de la Elipse.
B y B’ A y A’ : Son los
vértices de la elipse.
AA’: Es el eje mayor de la
elipse y su longitud es 2a.
BB’: Es el eje menor de la
elipse y su longitud es 2b.
2b
A´
F´
C
B´
2c
2a
F
A
7. Ecuación Analítica de la Elipse
• Para simplificar la explicación ubiquemos a
los focos sobre el eje de las x, situados en los
puntos F (c,0) y F' (– c,0).
• Tomemos un punto cualquiera P de la elipse
cuyas coordenadas son (x, y).
• En el caso de la elipse la suma de las
distancias entre PF y PF' es igual al doble del
radio sobre el eje x.
• Entonces: PF + PF' = 2a.
• Aplicando Pitágoras tenemos que:
8. • Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las
raíces y desarrollamos los cuadrados
9. •A partir del dibujo y aplicando Pitágoras
podemos obtener que:
a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2
•Piensa que cuando el punto P es (0,b) la
hipotenusa debe medir a y el otro cateto c
•Reemplazando en la ecuación tenemos que:
b2x2 + a2y2 – a2b2 = 0
•Dividiendo entre a b
2
2
b2x2 + a2y2 = a2b2
obtenemos que:
10. • Si la elipse estuviese centrada en un punto
cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
• Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0
• Si hacemos:
A = b2
B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
• Tendremos la ecuación: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0,
donde podemos comprobar que es igual que la de la
circunferencia excepto que los términos A y B no
necesitan ser iguales.
11. Ejemplo
Esbócese la elipse 9x2 + 25y2 = 225.
y2 x2
Al dividir entre 225 se obtiene:
+
=1
25 9
Como el denominador de x2 es mayor que
y2, el eje mayor esta a lo largo de el eje
x.
Además a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por
consiguiente los vértices están en
( ±5, 0), los extremos del eje menor en
( 0, ±3) y los focos en ( ±4, 0).
Haz click y
observa la gráfica
12. Propiedad de reflexión de la elipse:
Apolonio demostró que si se coloca
una fuente de luz en el foco de un
espejo elíptico, entonces la luz
reflejada en el espejo se concentra en
el otro foco.