Apostila matematica

1. (19) 3251-1012
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AFA 2011/2012 – RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA
TEORIA BÁSICA DE FUNÇÕES
APOSTILA DE REVISÃO
MATEMÁTICA – FRENTE 1
Definição: dados dois conjuntos A e B, uma relação f: A→B é
chamada função quando associa a cada elemento de A um único
elemento de B. O domínio de f é o conjunto A, o contra-domínio de f é
o conjunto B e a imagem de f é o subconjunto de B formado por todos
os elementos que estão em correspondência com os elementos de A.
CONJUNTOS
1 - Noções Básicas
Classificações
a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomínio.
b) injetora: se x1,x2 ∈A, com x1≠x2, então f(x1)≠f(x2).
c) bijetora: função injetora e sobrejetora
d) função par: f(x) = f(-x)
e) função ímpar: f(x) = -f(-x)
obs: existem funções que não são nem pares nem ímpares.
Conjunto: é uma coleção de elementos.
a) vazio: não possui elementos
b) unitário: possui um único elemento
c) universo: conjunto que possui todos os elementos
Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A ⇒ x ∈ A .
Caso contrário, x ∉ A .
Função composta: chama-se função composta, ou função de uma
função, à função obtida substituindo-se a variável independente x por
uma outra função.
Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a
um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B (A está
contido em B).
Operações com conjuntos:
a)
união: A ∪ B = { x, x ∈ A ou x ∈ B}
b)
intersecção: A ∩ B = { x, x ∈ A e x ∈ B}
c)
diferença: A − B = { x, x ∈ A e x ∉ B}
Função inversa: se f:A→B é uma função bijetora, então existe uma
função f-1:B→A tal que se f(x)=y ⇒ f-1(y)=x.
Obs: para determinar a função inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se
x por y e y por x na expressão. Isolando-se y obtemos então a
expressão da função inversa de f.
Exemplo:Sendo f(x) = 3x + 6 e g(x) = log(x) − 1 encontre as inversas.
y = 3x + 6
y = log(x) − 1
x = 3y + 6
x = log(y) − 1
3y = x − 6
log(y) = x + 1
1
y = 10 x +1
y = x−2
3
g−1(x) = 10 x +1
1
−1
f (x) = x − 2
3
Complementar: se A ⊂ B então o complementar de A com relação à
B é o conjunto C B = B − A .
A
O número de elementos da união de dois conjuntos pode ser
obtido pela seguinte relação: n( A ∪ B) = n( A ) + n(B) − n( A ∩ B)
Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de
A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A
possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos.
2 – Conjuntos Numéricos
Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...}
Função composta com a inversa: se f é uma função inversível então
f f −1(x) = x.
Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Números racionais: Q = {a/b, com a,b ∈ Z e b ≠ 0}
Obs: o conjunto dos números racionais é formado por todas as frações
e por dízimas periódicas.
Números irracionais: são todos os números que não podem ser
escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I.
Obs: todas as dízimas não-periódicas são irracionais.
Números reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}.
1

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4- Função exponencial
FUNÇÕES E EQUAÇÕES
1- Função do 1o grau
Definição: f(x) = ax, onde a é constante positiva.
Definição: f(x) = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico sempre é uma reta.
a) a > 1
f é crescente
x2>x1 ⇒ y2>y1
Imagem = IR+
b) 0<a<1
Função decrescente
f é decrescente
x2>x1 ⇒ y2<y1
Imagem = IR+
Função crescente
Zero da função do 1o grau: valores onde f(x) = 0.
−b
ax + b = 0 ⇒ x =
a
Equação exponencial: são equações que possuem termos com
expoentes. Observe que a equação ax = 0 não tem solução, isto é, a
função exponencial não possui raiz. a x > 0 ∀x ∈
o
2- Função do 2 grau
Definição: f(x) = ax 2 + bx + c , com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola.
5- Função logaritmo
Logaritmo: se a > 0, a ≠ 1 e b > 0 então loga b = x ⇔ a x = b .
Conseqüência lógica: aloga b = loga ab = b
Definição: f(x) = loga x.
a) a>1:
f é crescente
Imagem = IR
Domínio = IR+
Zeros da função do 2o grau: ax2+bx+c=0
Δ = b 2 − 4.a.c
x=
−b± Δ
2.a
b) 0<a<1:
Aqui, temos:
a) se ∆>0: duas raízes reais (o gráfico de f corta o eixo x em dois
pontos distintos).
b) se ∆=0: uma raiz real (o gráfico de f tangencia o eixo x)
c) se ∆<0: duas raízes complexas conjugadas (o gráfico de f não
passa pelo eixo x).
⎛ −b − Δ ⎞
Vértice: ⎜ ;
⎟
⎝ 2a 4a ⎠
f é decrescente
Imagem = IR
Domínio = IR+
Função biquadrada: f(x) = ax 4 + bx 2 + c ⇒ f(x) = ay 2 + by + c | y = x 2
Propriedades dos logaritmos
3- Função modular
1) loga (b.c) = loga b + loga c
Definição: f(x) = x 2 = x
2) logan bm =
m
.loga b
n
4) loga b =
logc b
logc a
5) loga b = loga c ⇔ b = c
⎛b⎞
3) loga ⎜ ⎟ = loga b − loga c
⎝c⎠
Quantidade de algarismos: tomando-se um número aleatório b com
n algarismos, temos que:
10n-1 ≤ b < 10n
log(10n-1) ≤ log(b) < log(10n)
n - 1 ≤ log(b) < n
n ≤ log(b) + 1 < n + 1
Assim, sendo c a parte inteira do log(b): n = c + 1.
⎧ x, x ≥ 0
f ( x) = ⎨
⎩− x , x < 0
Equação modular: uma equação modular é uma equação do tipo
f ( x ) = g( x ) , onde f(x) e g(x) são funções. Para resolver tais equações
devemos estudar o sinal de f e aplicar a definição de módulo:
⎧f(x), quando f(x) ≥ 0
f(x) = ⎨
⎩− f(x), quando f(x) < 0
Equação logarítmica: equação do tipo loga f ( x ) = g( x ) . Deve ser
resolvida a partir das propriedades de logaritmos.
Observação: resolver uma equação é o mesmo que encontrar os
zeros de uma função. Normalmente, as equações são mistas, ou seja,
são misturas de várias funções diferentes, o que torna difícil montar
um modo de resolução específico para cada equação.
⎧f(x) = g(x), quando f(x) ≥ 0
f(x) = g(x) ⇒ ⎨
⎩−f(x) = g(x), quando f(x) < 0
Inequação modular: sendo a ≥ 0 :
f(x) < a ⇔ −a < f(x) < a
f(x) > a ⇔ f(x) < −a ou f(x) > a
2

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Inequações produto e quociente: são inequações que envolvem o
produto e/ou quociente de funções. É preciso montar um quadro de
estudo de sinais das funções envolvidas.
Ex: Sejam a,b,c,x1,x 2 ,x 3 ,x 4 ∈ ; a,b > 0; c < 0; x1 < x 2 < x3 < x 4 ;
INEQUAÇÕES
Inequação do 2º grau: f(x) = ax 2 + bx + c , com a ≠ 0
f(x) < 0, ∀x ∈
f(x) > 0, ∀x ∈
f(x) ≤ 0, ∀x ∈
f(x) ≥ 0, ∀x ∈
f(x) < 0, ∀x ∈ [ −∞,x1] U [x 2 , +∞]
a<0
a>0
a<0
a>0
∆<0
∆=0
a<0
f(x) = a.(x − x1 ) , g(x) = b.(x − x 2 ).(x − x 3 ) , h(x) = c.(x − x1 ).(x − x 4 )
q(x) =
e
f(x).g(x)
h(x)
x
1
- - - - - - - -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
f(x) > 0, ∀x ∈ [x1,x2]
f(x) > 0, ∀x ∈ [ −∞,x1] U [x 2 , +∞]
f(x) < 0, ∀x ∈ [x1,x2]
∆>0
a>0
f(x)
g( x )
x2
x3
++++++++++++ ---------- +++++++++++
h( x )
x1
x4
- - - - - - - -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - -
Δ<0
f ( x ).g( x )
h( x )
q( x ) =
+
a<0
x3
x1
x4
x2
++++++++++++ ----------- ++++++ ------
_
a>0
Pelo quadro de sinais acima, sabemos que:
•
x ∈ ( −∞,x1 ) ∪ (x1,x 2 ) ⇔ q(x) > 0
•
a>0
a>0
+
+
q(x) não está definida em x1 e x4
Inequações exponenciais e logarítmicas:
a x > an ⇔ x > n
se a > 1:
loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0
_
_
x ∈ {x 2 ,x 3 } ⇔ q(x) = 0
•
Δ=0
x ∈ (x 3 ,x 4 ) ⇔ q(x) < 0
•
loga f(x) > k ⇔ f(x) > ak e loga f(x) < k ⇔ 0 < f(x) < ak
se 0 < a < 1:
Δ>0
loga f(x) > k ⇔ 0 < f(x) < ak e loga f(x) < k ⇔ f(x) > ak
a<0
+
_
a>0
+
x2 _
x1
a x > an ⇔ x < n
loga f(x) > loga g(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x)
x1
_
SEQÜÊNCIAS
+
1- Progressão aritmética
x2
Definição: seqüência na qual a diferença entre dois termos
consecutivos é sempre constante.
Termo geral: a n = a1 + (n − 1).r
Obs: generalizando para uma equação polinomial de grau n, ao
percorremos os valores possíveis de x, temos que em toda raiz de
multiplicidade ímpar há alteração do sinal da função, enquanto em
raízes de multiplicidade par não há alteração do sinal.
Inequação modular:
se a ≥ 0 :
se a<0:
Soma dos n primeiros termos: S n =
(a1 + a n ).n
2
2- Progressão geométrica
f(x) > a ∀x ∈
Definição: seqüência na qual o quociente entre dois termos
consecutivos é sempre constante.
f(x) < a ⇔ −a < f(x) < a
Termo geral: a n = a1qn−1
f(x) > a ⇔ f(x) < −a ou f(x) > a
Soma dos n primeiros termos: S n =
a1(1 − qn )
1− q
a1
, onde, |q| < 1
1− q
Dica: representar os termos de uma PA como ..., x − r,x,x + r ,... ou
Soma de uma PG infinita:
..., x −
r
r
, x + ,...
2
2
e
de
S=
uma
PG
como
x
..., ,x,xq ,...
q
ou
x. q x. q
, x. q , x. q.q ,... pode facilitar a resolução de questões
q2
q
de geometria e polinômios onde alguns dados formam seqüências.
...,
Somatório e Produtório:
n
∑a
i =1
3
i
= a1 + a2 + a3 + ... + an
n
∏a
i =1
i
= a1.a2 .a3 .....an

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MATRIZES
Definição: Uma matriz m x n é uma tabela de m.n números dispostos
em m linhas e n colunas. Se m = n, a matriz é dita matriz quadrada de
ordem n. Um elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna é indicado
por aij . Assim, uma matriz Am x n é apresentada como:
⎛ a11 a12
⎜
a
a22
A = ⎜ 21
⎜
⎜
⎜a
⎝ m1 am 2
C
0 ⎞
⎛ 15 ⎞
⎛ 4
⎛
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ 37 500!⎟ , B = ⎜ −23 ⎟ , C = ⎜ 2 − 1
⎜
⎝
⎜1 − i π ⎟
⎜ e2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
têm
tamanhos
n
cij = ∑ aik ⋅ bkj = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j +
k =1
⎛2
⎜
0⎞
⎛ 7 −3 ⎞
⎟
−2 ⎟ e B = ⎜
⎟ , então:
⎝2 1 ⎠
⎜ −1 4 ⎟
⎝
⎠
Exemplo: Se A = ⎜ 3
⎧m = n
⎪
⇔ ⎨p = q
⎪a = b , ∀i, j
ij
⎩ ij
2 ⋅ ( −3) + 0 ⋅ 1 ⎞ ⎛ 14 −6 ⎞
⎛2 0⎞
⎛ 2⋅7 + 0⋅2
⎜
⎟ ⎛ 7 −3 ⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟
A ⋅ B = ⎜ 3 −2 ⎟ ⋅ ⎜
⎟ = ⎜ 3 ⋅ 7 + (−2) ⋅ 2 3 ⋅ (−3) + (−2) ⋅ 1⎟ = ⎜17 −11⎟
⎜ −1 4 ⎟ ⎝ 2 1 ⎠ ⎜ (−1) ⋅ 7 + 4 ⋅ 2 ( −1) ⋅ (−3) + 4 ⋅ 1⎟ ⎜ 1
7 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
Por outro lado, o produto B ⋅ A não está definido, uma vez que o
número de colunas de B não é igual ao número de linhas de A.
Exemplo: As matrizes P e Q abaixo, ambas quadradas de ordem 3,
são iguais para todo valor real de x.
1
⎛
⎞
−
sen 2 x + cos 2 x ⎟
⎛ 20
⎜1
2
⎜
⎜
⎟
⎟ e Q=⎜ 6
P = ⎜ 3! |1 − 2 |
1
⎜
⎜
⎟
⎜ 8
⎜ 23 − 1 − 5
⎟
| 5x |
⎝
⎜
⎟
2
⎝
⎠
−1
log 9 3
2 −1
2
Matriz Nula: A matriz nula de tamanho m x n é a matriz que tem zeros
em todas as suas entradas.
1 ⎞
⎟
tg 45° ⎟
⎟
5x ⎟
⎠
⎛0 0 0⎞
⎟.
⎝0 0 0⎠
Exemplo: A matriz nula 2 x 3 é ⎜
Matriz Identidade: A matriz identidade de ordem n é a matriz
quadrada n x n que tem o número um em sua diagonal principal e zero
em todas as outras entradas.
Adição de matrizes: Dadas duas matrizes A e B, de mesmo tamanho
m x n, definimos a soma A + B como sendo outra matriz, também de
tamanho m x n, cujos termos são a soma dos termos correspondentes
das matrizes A e B. Assim:
⎛ a11 a12
⎜
a
a22
A + B = ⎜ 21
⎜
⎜
⎜a
⎝ m1 am 2
⎛ a11 + b11 a12 + b12
⎜
a +b
a22 + b22
= ⎜ 21 21
⎜
⎜
⎜a + b
⎝ m1 m1 am 2 + bm 2
Exemplo:
Sejam
a1n ⎞ ⎛ b11 b12
⎟ ⎜
a2 n ⎟ ⎜ b21 b22
+
⎟ ⎜
⎟ ⎜
amn ⎟ ⎜ bm1 bm 2
⎠ ⎝
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
Exemplo: A matriz identidade de ordem 3 é ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
b1n ⎞
⎟
b2 n ⎟
=
⎟
⎟
bmn ⎟
⎠
Matriz Inversa: Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n,
admite inversa, ou é inversível, quando existe uma outra matriz B,
também quadrada de ordem n, tal que A ⋅ B = B ⋅ A = I n , onde In
denota a matriz identidade de ordem n. Quando tal matriz B existe, ela
é dita matriz inversa de A e denotada por B = A–1.
a1n + b1n ⎞
⎟
a2 n + b2 n ⎟
⎟
⎟
amn + bmn ⎟
⎠
⎛1
A=⎜
⎜ −2
⎝
π ⎞
⎛ 7 5−π ⎞
⎟
⎟,B=⎜
⎜ −4
⎟
5⎠
20 ⎟
⎝
⎠
+ain ⋅ bnj
Em outras palavras, o elemento da matriz produto C, na i-ésima linha
e na j-ésima coluna, é obtido multiplicando-se os elementos
correspondentes na i-ésima linha da matriz A e na j-ésima coluna da
matriz B, e depois somando esses n produtos.
0 ⎞
⎛4
⎟
37 1 − i ⎞
500!⎟ ⇔ AT = ⎜
⎜ 0 500! π ⎟
⎟
⎝
⎠
π ⎟
⎠
Igualdade entre matrizes: Duas matrizes são iguais quando têm o
mesmo número de linhas, o mesmo número de colunas, e seus termos
correspondentes são iguais. Assim:
Am x n = Bp x q
π ⎞
Produto de duas matrizes: Dadas duas matrizes A e B, sendo A de
tamanho m x n, e B de tamanho n x p (ou seja, o número de colunas
de A deve ser igual ao número de linhas de B), definimos o produto
A.B como sendo uma matriz de tamanho m x p (ou seja, com o
número de linhas de A e o número de colunas de B), onde cada
elemento do produto C = A.B é dado por:
⎞
−17 2 + 6i ⎟
⎟
⎠
Matriz Transposta: Dada uma matriz A, de tamanho m x n, definimos
a matriz transposta de A, representada por AT, como a matriz de
tamanho n x m, obtida de A transformando suas m linhas em colunas,
ou de modo equivalente, suas n colunas em linhas.
⎛ 4
⎜
Exemplo: A = ⎜ 37
⎜1 − i
⎝
⎟
⎟
λ ⋅ amn ⎟
⎠
⎛ 4 4π ⎞
e a matriz
⎟ , então 4 ⋅ A = ⎜
⎟
⎜ −8 4 5 ⎟
⎟
5⎠
⎝
⎠
⎛ −1 −π ⎞
oposta a A é a matriz A = ⎜
.
⎜ 2 − 5⎟
⎟
⎝
⎠
⎛1
⎜ −2
⎝
Exemplo: Se A = ⎜
abaixo
3
2
λ ⋅ a1n ⎞
⎟
λ ⋅ a2 n ⎟
Em particular, a matriz (–1).A é dita matriz oposta a A e representada
por – A.
a1n ⎞
⎟
a2 n ⎟
⎟
⎟
amn ⎟
⎠
Exemplo: As matrizes A, B e
respectivamente, 3 x 2, 3 x 1 e 1 x 4.
a1n ⎞
⎛ λ ⋅ a11 λ ⋅ a12
⎟
⎜
λ ⋅ a21 λ ⋅ a22
a2 n ⎟
⇒λ⋅A=⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜λ ⋅ a
λ ⋅ am 2
amn ⎟
m1
⎠
⎝
⎛ a11 a12
⎜
a
a22
A = ⎜ 21
⎜
⎜
⎜a
⎝ m1 am 2
⎛
⎜
⎜
⎜
Exemplo: As matrizes A = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
.Então,
5 ⎞
⎛8
A+ B =⎜
⎜ −6 3 5 ⎟
⎟
⎝
⎠
1
2
3
2
0
−
3
2
1
2
0
⎛ 1
⎞
0⎟
⎜
⎜ 2
⎟
⎜
⎟
3
0⎟ e B = ⎜ −
⎜ 2
⎟
⎜
3⎟
⎜ 0
⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
são inversas uma da outra, pois A ⋅ B = B ⋅ A = ⎜ 0 1 0 ⎟ = I 3 .
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
Multiplicação de uma matriz por um número: Dados um número λ e
uma matriz A, de tamanho m x n, definimos o produto λ.A como sendo
outra matriz, também de tamanho m x n, onde cada termo é o produto
do número λ pelo elemento correspondente da matriz A. Assim:
4
3
2
1
2
0
⎞
0⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
1⎟
⎟
3⎟
⎠

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DETERMINANTES
SISTEMAS LINEARES
Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a
um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o
determinante Dij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M
quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij.
Sistemas lineares: são sistemas de equações onde o maior expoente
é 1:
⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
⎪a x + a x + ... + a x = b
⎪ 21 1
22 2
2n n
2
⎨
⎪
⎪am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
⎩
Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada
elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j
.Dij.
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem
n≥2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna)
pelos respectivos cofatores.
A solução de um sistema linear é uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz
as m equações acima.
Forma matricial
Cálculo do determinante para ordens 1 e 2
A = (a ) ⇒ det A = a = a
⎛ a11
⎜
⎜ a21
⎜
⎜
⎜a
⎝ m1
a b
⎛a b⎞
A=⎜
⎜ c d ⎟ ⇒ det A = c d = ad − bc
⎟
⎝
⎠
Cálculo do determinante para ordem 3 (Regra de Sarrus)
I - Repetem-se as duas primeiras colunas (ou linhas);
II - Multiplicam-se os elementos com direções iguais à da diagonal
principal, atribuindo a estes produtos sinais positivos;
III - Multiplicam-se os elementos com direções iguais à da diagonal
secundária, atribuindo a estes produtos sinais negativos;
IV - A soma algébrica de todos os produtos obtidos corresponde ao
determinante procurado.
A=
−
+
+
...
...
am 2
...
a1n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a2 n ⎟⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
amn ⎟⎜ xn ⎟ ⎜ bn ⎟
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Sistema Homogêneo: o sistema é chamado homogêneo quando
b1=b2=...=bn=0.
Classificação de sistemas lineares
a) possível e determinado: só possui 1 solução;
b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções;
c) impossível: não possui soluções.
Obs: se m≠n, o sistema jamais será possível e determinado.
⎡a b c ⎤
a b c a b
⎢
⎥
⎢d e f ⎥ ; d e f d e ⇒
⎢g h i ⎥
g h i g h
⎣
⎦
− −
a12
a22
Sistema de Cramer (ou Normal)
É todo aquele em que a matriz incompleta dos coeficientes A’ é
quadrada (m = n) e também det A’ ≠ 0 (D ≠ 0)
+
Regra de Cramer:
Todo sistema normal é possível admitindo uma e só uma solução,
⇒ det A = aei + bfg + cdh - bdi - afh - ceg
Di
, onde Di é o determinante da matriz obtida pela
D
substituição da i-ésima coluna pela coluna dos termos constantes.
dada por: α i =
Propriedades
1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.
2) det(A) = det(At).
Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjuntosolução.
3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a
zero, é nulo.
Propriedades:
1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro
sistema equivalente;
2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número
real K≠0 obtemos um sistema equivalente ao anterior.
4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante,
ele muda de sinal.
5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais
é nulo.
Escalonamento: método para resolver sistemas lineares de qualquer
ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte
procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da
1º incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos
todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema
se torne escalonado.
6) det(A-1) = 1/det A.
7) det(A.B) = det A.det B
8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então
det(k.A) = kn. det A
Existência da matriz inversa: Uma matriz A possui inversa se e
somente se tem determinante não-nulo.
Exemplo de sistema escalonado possível e determinado:
⎧a11x1 + a12 x 2 +...+ a1n x n = b1
⎪
a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b 2
⎪
⎨
................................
⎪
⎪
a mn x n = b n
⎩
em que aii ≠ 0 , ∀i , 1 ≤ i ≤ n
Observa-se que a matriz incompleta A’ é tal que:
⎡
⎢
⎢
det A’ = det
⎢
⎢
⎣
a11 a12 ... a1n ⎤
0 a 22 ... a 2n ⎥
⎥ = a . a ..... a ≠ 0
11 22
nn
.........................⎥
⎥
0 0 ... a mn ⎦
Logo o sistema é normal e pela regra de Cramer, (S) é possível e
determinado.
5

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AFA 2011/2012 – RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA
Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são
diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se
uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção.
X
=K
Y
APOSTILA DE REVISÃO
MATEMÁTICA – FRENTE 2
Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são
inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra
diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra
aumenta na mesma proporção.
X.Y = K
MATEMÁTICA BÁSICA
1- Potenciação
Definição: seja n um número inteiro diferente de zero. Assim, dado
um número real a, temos a n = a × a × ... × a .
Regra de três simples direta: uma regra de três simples direta é uma
forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.
X
W
X W
Y.W
=K =
⇒
=
⇒X=
Y
Z
Y
Z
Z
n vezes
Propriedades
1) se a ≠ 0 ⇒ a 0 = 1
1
2) a −n =
an
5) a n .a m = a n + m
3) (a.b)n = a n .b n
7) (a n )m = a n.m
6)
an
Regra de três simples inversa: uma regra de três simples inversa é uma
forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais.
= an − m
am
A.B = K = C.D A.B = C.D ⇒
n
an
⎛a⎞
4) ⎜ ⎟ =
⎝b⎠
bn
A C
=
D B
Regra de três composta: regra de três composta é um processo que
relaciona
grandezas
diretamente
proporcionais,
inversamente
proporcionais ou uma mistura dessas situações
2- Radiciação
Situação
Definição: radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, se
1
2
n é um inteiro tal que n > 1, temos: b n = a ⇒ b = n a
Grandeza
1
A1
A2
Grandeza
2
B1
B2
...........
...........
...........
Grandeza
n
X1
X2
Propriedades
Aqui, temos dois casos:
1) se todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza n,
basta resolvermos a proporção:
X1 A1.B1.C1.D1.....
=
X2 A 2.B2.C2.D2.....
2) se algumas das grandezas são inversamente proporcionais à grandeza
1
1) a n = n a
n.p
2)
n
a m.p = a m
3)
n
a.b = n a .n b
4)
mn
a = m⋅n a
n, basta invertermos a posição dessa grandeza. Suponha, por exemplo,
que a grandeza 2 é inversamente proporcional à grandeza n:
Racionalização de denominadores: a racionalização de
denominadores consiste em transformar um denominador irracional,
indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua
fração.
1)
1
n p
=
a
2)
3)
n n−p
1
n p
.
a- b
1
=
1
a+ b
=
a
a
1
a
n n−p
a- b
=
⋅
1
a+ b
X1 A1.B2.C1.D1.....
=
X2 A 2.B1.C2.D2.....
6- Matemática financeira
Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t é o tempo, C é o
capital aplicado e M é o montante final (capital + juros).
n n−p
a
a
a+ b
a+ b
⋅
=
a+ b
( a) - ( b)
a- b
a- b
2
=
2
=
a- b
( a) - ( b)
2
Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros.
j = C.i.t
M = C + c.i.t = C + j
a+ b
a−b
2
=
a- b
a−b
Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao
capital, proporcionando juros sobre juros.
M = C.(1 + i) t
j = M−C
3- Produtos Notáveis
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
BINÔMIO DE NEWTON
(a + b) 2 = a 2 + 2.a.b + b 2
Fatorial: Define-se o fatorial de um número natural n de maneira
recursiva:
(a − b) 2 = a 2 − 2.a.b + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3.a 2 .b + 3.a.b 2 + b 3
3
3
2
2
(a − b) = a − 3.a .b + 3.a.b − b
⎧0! = 1
⎨
⎩n ! = n ⋅ (n − 1)!, n ≥ 1
3
Assim, n! = n ⋅ (n − 1) ⋅
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
3
3
2
2
⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 .
a + b = (a + b)(a − ab + b )
Exemplo: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 .
4- Aritmética
Número binomial: Dados dois números naturais n e k, definimos o
Teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro pode ser
decomposto como produto de seus fatores primos.
número binomial ⎜ ⎟ = ⎨ k !(n − k )!
⎛n⎞
⎝k⎠
Máximo divisor comum: maior número inteiro que divide
simultaneamente uma série de números dados.
Mínimo múltiplo comum: menor número que é múltiplo
simultaneamente de uma série de números dados.
⎛ 3⎞
⎝ 5⎠
⎧
⎪
⎪0,
⎩
⎛ 4⎞
⎝ 2⎠
Exemplo: ⎜ ⎟ = 0 e ⎜ ⎟ =
Propriedade: a.b = mdc(a; b).mmc (a; b)
⎛n⎞
⎝k⎠
⎛n ⎞
⎝ p⎠
n!
, se n ≥ k
se n < k
4!
=6
2!(4 − 2)!
Propriedade: ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ≠ 0 ⇒ k = p
5- Regra de Três
6
ou k + p = n

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Triângulo de Pascal: Colocando-se os números binomiais não-nulos
de maneira organizada, segundo a qual os binomiais de mesmo termo
superior estão na mesma linha, e os binomiais de mesmo termo
inferior estão na mesma coluna, formamos o triângulo de Pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Combinações: Faz distinção apenas em relação à natureza dos
elementos, mas não leva em conta a ordem em que os mesmos são
dispostos no problema.
⎛n⎞
n!
Cn , k = ⎜ ⎟ =
k ⎠ k !(n − k )!
⎝
Exemplo: O número de maneiras de escolher 2 alunos dentre os 40
⎛ 40 ⎞
presentes em uma sala de aula é dado por ⎜ ⎟ = 780
⎝2 ⎠
PROBABILIDADE
Relação de Stifel: Se somarmos dois termos consecutivos numa
mesma linha do triângulo de Pascal, o resultado dessa adição é o
número binomial imediatamente abaixo da segunda parcela, ou seja,
Definição: A probabilidade de um evento E ocorrer é a razão entre o
número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.
N
p( E ) = F
NP
⎛n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n +1 ⎞
⎜ ⎟+⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ p ⎠ ⎝ p + 1⎠ ⎝ p + 1 ⎠
Como 0 ≤ N F ≤ N P , temos que 0 ≤ p( E ) ≤ 1 .
Esta relação nos dá um método extremamente rápido e eficiente para
construir o triângulo de Pascal até a linha desejada.
Exemplo: Ao lançarmos um dado com seis faces, vamos denotar os
seguintes eventos:
A – sair o número 2;
B – sair um número ímpar;
C – sair o número 7;
D – sair um número menor que 10.
1
1
Então: p ( A) = , p ( B ) = , p(C ) = 0 e p ( D ) = 1
6
2
Propriedade: A soma dos elementos da n-ésima linha do triângulo é
igual a 2n, ou seja, vale a identidade:
n
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
⎛ n⎞
∑ ⎜ k ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜1 ⎟ + + ⎜ n ⎟ = 2n
k =0 ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
Binômios de Newton: são todas as potências da forma ( a + b) n , com
n natural.
Evento União: A probabilidade do evento união de dois eventos, A e
B, é dada por p( A ∪ B) = p ( A) + p ( B) − p ( A ∩ B) .
⎛n⎞
(a + b) = ∑ ⎜ ⎟ a n − k b k
k =0 ⎝ k ⎠
n
n
⎛3⎞
⎝0⎠
⎛3⎞
⎝0⎠
⎛3⎞
⎝ 0⎠
A
⎛3⎞
⎝ 0⎠
Exemplo: ( a + b)3 = ⎜ ⎟ a 3b 0 + ⎜ ⎟ a 2b1 + ⎜ ⎟ a1b 2 + ⎜ ⎟ a 0b3 =
B
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
⎛n⎞
⎝k ⎠
Termo geral do binômio: Tk +1 = ⎜ ⎟ a n − k b k
S
Quando p( A ∩ B) = 0 , temos que p( A ∪ B) = p ( A) + p ( B) , e nesse
caso dizemos que os eventos A e B são disjuntos ou mutuamente
exclusivos.
Exemplo: Se queremos o terceiro termo do desenvolvimento de
(a + b) 4 , fazemos k = 2 nessa fórmula para obter
⎛ 4⎞
T3 = ⎜ ⎟ a 4 − 2b 2 = 6a 2b 2
⎝ 2⎠
Exemplo: No lançamento de um dado de seis faces, seja A o evento
“número primo” e B o evento “número par”. Temos que A = {2,3,5} e
ANÁLISE COMBINATÓRIA
B = {2, 4,6} , de modo que A ∩ B = {2} . Assim, a probabilidade do
1 1 1 5
evento união é p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) = + − = .
2 2 6 6
Permutações:
Pn = n!
Probabilidade do Evento Complementar: Se um evento E tem
probabilidade p ( E ) de ocorrer, então seu evento complementar,
Exemplo: O número de anagramas da palavra UNICAMP é 7! = 5040.
Permutações circulares:
denotado por E C , ocorre com probabilidade p ( E C ) = 1 − p ( E ) .
Pn = (n − 1)!
Exemplo: Refazendo o exemplo anterior de outro modo, considere o
evento E em que o número que sai no dado não é nem primo nem par.
Temos que E = {1} , e A ∪ B = E C , logo:
Exemplo: O número de maneiras distintas de dispor sete pessoas
numa mesa circular é (7 – 1)! = 720
Permutações com elementos repetidos:
Pn a ,b , =
p( A ∪ B) = p( E C ) = 1 − p( E ) = 1 −
n!
a !b!
Probabilidade Condicional: É a probabilidade de ocorrer um certo
evento A, sabendo já ter ocorrido um outro evento B, ou seja, é a
probabilidade de ocorrer o evento A, dado que ocorreu B.
Exemplo: O número de anagramas da palavra MACACA é:
P63,2 =
6!
= 60
3!2!
Arranjos: Faz distinção tanto em relação à ordem quanto em relação
à natureza dos elementos do conjunto.
An , k =
n!
(n − k )!
Exemplo: A quantidade de números de três algarismos que podemos
formar com os elementos do conjunto {1, 3, 5, 7, 9} é
1 5
=
6 6
5!
= 60
(5 − 3)!
7

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Essa probabilidade é denotada por p( A | B ) , e vale:
p( A | B) =
GEOMETRIA ANALÍTICA
p( A ∩ B)
p( B)
Distância de dois pontos
y
Exemplo: Ao lançarmos um dado de seis faces, a probabilidade de
obtermos o número 2 (evento A), sabendo que saiu um número par
(evento B) é:
B
yB
d
1
p( A ∩ B) 6 1
p( A | B) =
= = .
1 3
p( B)
2
yB − y A
A
yA
x) + ( y )
2
xB
B
yB
yM
yA
M
⎛ x + xA y B + y A ⎞
M = ( xM , y M ) = ⎜ B
,
⎟
2 ⎠
⎝ 2
A
x
xA
xB
xM
Equações da reta
y
ax + by + c = 0 (eq. geral)
B
yB
y − y A = m. ( x − x A )
y = m.x + q (eq. reduzida)
A
yA
q
x
θ
Ensaios de Bernoulli: Se um evento E tem probabilidade p de
acontecer num determinado experimento, então ao realizarmos n
experimentos idênticos, todos nas mesmas condições, a probabilidade
de que o evento E ocorra exatamente k vezes é dada por:
⎧ x = x A + αt (eq. paramétrica)
⎪
⎨
⎪ y = y A + βt
⎩
xB
xA
p ( A ∩ B ) = p ( A) ⋅ p ( B) .
m: coeficiente angular
P ( x0 , y0 )
Exemplo: Ao lançar um dado de seis faces três vezes seguidas, a
probabilidade de que o número 6 saia exatamente uma vez é dada por
r ( ax + by + c = 0 )
d P ,r =
Exemplo: Ao lançarmos um dado de seis faces três vezes seguidas, a
probabilidade de que o número 6 saia pelo menos uma vez pode ser
calculada de duas maneiras. A primeira é pensar que o número 6 sai
pelo menos uma vez quando ele sai exatamente em uma das três
vezes, ou quando ele sai exatamente em duas das três vezes, ou
quando ele sai nos três lançamentos. Assim teríamos:
1
3
yB − y A β
=
xB − x A α
q: coeficiente linear
.
2
25
⎛5⎞
⋅⎜ ⎟ =
72
⎝6⎠
2
m = tg ( θ ) =
Distância de Ponto a Reta
⎛n⎞ k
n−k
⎜ ⎟ ⋅ p ⋅ (1 − p )
⎝k ⎠
2
2
y
Independência de Eventos: Quando o evento A independe da
ocorrência do evento B, dizemos que A e B são eventos
independentes. Nesse caso, temos p ( A | B) = p ( A) , e portanto
ax0 + by0 + c
a 2 + b2
Posição relativa entre retas:
- Retas paralelas:
r
s
0
⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
91
⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =
1 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
216
⎝
(r ) ∩ (s ) = ∅
r // s ⇔ mr = ms
⎧mr = ms
⎪
r =s⇔⎨
⎪q r = q s
⎩
A segunda maneira é pensar no evento complementar. O evento
complementar de “sair o número 6 pelo menos uma vez” é o evento
“não sair o número 6 nenhuma vez”. A probabilidade deste último é
0
(
2
Ponto médio
3 1
⋅
3
p( A ∩ B)
4 2
p( A | B) =
=
=
3 1 1
p( B)
⋅ + ⋅1 5
4 2 4
1
+ ( yB − y A )
2
x
Exemplo: Tenho três moedas honestas e uma moeda com duas
caras. Sorteio, ao acaso, uma dessas quatro moedas e verifico que o
resultado é cara. Qual a probabilidade de eu ter sorteado uma das
moedas honestas?
Chamemos de A o evento sortear uma moeda honesta, e B o evento
obter cara no lançamento de uma das moedas. Então:
1
d=
ou
xB − x A
xA
Olhando esse resultado sob outro aspecto, isso quer dizer que se já
sabemos que saiu um número par, nosso espaço amostral não mais é
o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mas sim o conjunto B = {2, 4, 6}, ou seja, o
espaço amostral foi reduzido, e a probabilidade condicional nos indica
a chance de obter a face com o número 2 não mais no espaço todo,
mas no novo espaço amostral B.
⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟⋅⎜ ⎟
⎝1 ⎠ ⎝ 6 ⎠
( xB − x A )
d=
(r ) ∩ (s ) = r = s
- Retas concorrentes (não perpendiculares)
3
⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 125
. Logo, a probabilidade do evento
216
⎝ ⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠
125
91
complementar vale 1 −
=
216 216
s
dada por ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
0
θ
r
( r ) ∩ ( s ) = {P}
tg (θ ) =
mr − ms
1 + mr .ms
- Retas (concorrentes) perpendiculares
s
r
.
8
( r ) ∩ ( s ) = {P}
r ⊥ s ⇔ mr .ms = −1

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Área do triângulo
Equações reduzidas – centro em (x0, y0)
y
A
yA
S ABC
yC
C
yB
B
xA xB
xA y A 1
1
= xB y B 1
2
xC yC 1
- A1A2 // Ox:
- A1A2 // Oy:
2
+
a2
( y − y0 )
a
2
+
2
( y − y0 )
( x − x0 )
b
- A1A2 // Ox:
- A1A2 // Oy:
( x − x0 )
B2 ( −b,0 )
−
( y − y0 )
a
2
2
−
( y − y0 )
2
=1
b2
( x − x0 )
b
2
2
=1
PARÁBOLA: Dados um ponto F e uma reta d (F∉d). Uma parábola é
o conjunto dos pontos P(x,y) eqüidistantes de F e d.
A6
T6
2
a2
T5
A5
d
y
V ' V = VF = p
SP = ST 1 + ST 2 + ST 3 + ST 4 + ST 5 + ST 6
V'
Equação Da Circunferência
(−p
y
r
( x − xC ) + ( y − yC )
2
2
= r2
2,0 )
F ( p 2,0 )
V
x
e
F: foco V: vértice V’F: p – parâmetro e: eixo de simetria
Equações reduzidas – centro em (x0, y0)
x
- e // Ox: ( y − y 0 ) = 2p ( x − x 0 )
2
xC
- e // Oy: ( x − x 0 ) = 2p ( y − y 0 )
2
Obs: uma equação na forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
representa uma circunferência de centro
E ⎞
⎛ D
⎜ − 2A , − 2A ⎟
⎝
⎠
RECONHECIMENTO DE UMA CÔNICA
Dada uma equação do 2o grau redutível à forma
e raio
(x - x 0 )2 + (y - y 0 )2
D2 + E2 − 4AF
r=
, desde que A = C ≠ 0, B = 0 e D2 + E2 − 4AF > 0
2A
k1
O
Elipse de eixo maior horizontal
Elipse de eixo maior vertical
k1>0 e k2<0
Hipérbole de eixo real horizontal
k1<0 e k2>0
Hipérbole de eixo real vertical
Rotação de eixos
As coordenadas de um ponto P(x,y) após a rotação de eixos de
um ângulo θ são dadas por (x`,y`) tais que
x = x`.cosθ - y`.senθ
y = x`.senθ + y`.cosθ
x
F1 ( −c,0 )
Circunferência
k1>0, k2>0 e k1<k2
c
e = <1
a
a
=1
k1>0, k2>0 e k1>k2
ELIPSE: Dados dois pontos F1 e F2 distantes 2c. Uma elipse de focos
em F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y) cuja soma das distâncias a
F1 e F2 é constante e igual a 2a, com 2a > 2c.
y
a2 = b2 + c 2
B1 ( b,0 )
a
k2
k1 = k 2
CÔNICAS
A1 ( −a,0 )
2
e⊥d
A4
yC
F2 ( c,0 )
Equações reduzidas – centro em (x0, y0)
T4
A3
x
O: centro
F1, F2: focos
A1, A2: vértices
e: excentricidade
A1A2: eixo real (2a)
B1B2: eixo imaginário ou conjugado (2b)
F1F2: distância focal (2c)
A7
T3
c 2 = a2 + b2
c
e = >1
a
A 2 ( a,0 )
O
c
SP = ST 1 + ST 2 + ST 3 + ... + STn
A2
A1 ( −a,0 )
F1 ( −c,0 )
Exemplo:
T1
=1
B1 ( b,0 )
yA 1
yB 1 = 0
yC 1
Área de polígonos (triangularização de polígonos)
Dado um polígono P qualquer, uma triangularização de P é uma
divisão de P em n triângulos T1, T2, ..., Tn , desde que:
- a união de todos os triângulos é igual ao polígono; e
- a intersecção deles, dois a dois, seja vazia, uma reta ou um ponto.
T2
2
2
y
xA
A, B e C estão alinhados se, e somente se xB
xC
A1
=1
b2
Condição de alinhamento de três pontos
A8
2
HIPÉRBOLE: Dados dois pontos F1 e F2 distantes 2c. Uma hipérbole
de focos em F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y) cujo módulo da
diferença das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a, com
2a<2c.
x
xC
( x − x0 )
F2 ( c,0 ) A 2 ( a,0 )
Interpretação de uma equação do 2o grau
Dada a eq. geral do 2o grau:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
é sempre possível eliminar o seu termo retângulo (2Bxy) através
de um rotação de eixos de um ângulo θ tal que
A=C
θ=π/4
A≠C
tg 2θ = 2B/(A – C)
B2 ( −b,0 )
O: centro F1, F2: focos A1, A2, B1, B2: vértices A1A2: eixo maior (2a)
B1B2: eixo menor (2b) F1F2: distância focal (2c) e: excentricidade
9

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AFA 2011/2012 – RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEXOS
z6 = −1 = 1.[cos( π) + i.sen( π)]
⎡
⎤
⎛ π + 2kπ ⎞
⎟ + i.sen⎛ π + 2kπ ⎞⎥
⎟
⎜
z = 6 1. ⎢cos ⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜ 6 ⎠
⎜
⎢
⎝
⎝ 6 ⎠⎥⎦
⎣
⎛ π kπ ⎞
⎛ π kπ ⎞
⎟
⎟
z = cos ⎜ + ⎟ + i.sen⎜ + ⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜6
⎜
⎝
⎝6
3⎠
3⎠
Com k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Im(z)
Definição: são todos os números na forma z = a + b.i, com a,b ∈ IR e
i é a unidade imaginária, com i2 = -1. Também são representados na
forma z = (a, b), como um par ordenado de números reais.
Obs: se b = 0, o número z é um número real; se a = 0 e b ≠ 0, o
número z é chamado imaginário puro.
Conjugado: z = a − b.i
1
2
Im(z)
2
Módulo: | z | = a + b
Forma
trigonométrica:
z = z .(cos α + i.sen α )
b
Obs: o ângulo α é chamado
argumento
do
número
complexo, e é medido a
partir do eixo real no sentido
anti-horário.
P (z = a + bi)
|z|
θ
0
a
π
π
Re(z)
3
π
3
π
π
3
π
3
π
6
Re(z)
3
3
Forma exponencial: z = z .e iα
-1
Operações com números complexos
Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i:
z1 z 2 = (ac − bd) + (ad + bc )i
z1 + z 2 = (a + c ) + (b + d).i
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
z1
z .z
= 1 2
z2
z 2 .z 2
z1 − z 2 = (a − c ) + (b − d).i
Definição de polinômio: seja n um número natural. Um polinômio de
grau n é toda expressão do tipo
P( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n ,
dica: use a propriedade distributiva na multiplicação
onde os valores a0, a1, ..., an são constantes.
Exemplos:
P1( x ) = x − 2
Multiplicação e divisão na forma trigonométrica
z1 = z1 (cos α + i.senα )
z 2 = z 2 (cos β + i.senβ)
P2 ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1
z 1 .z 2 = z 1 . z 2 .[cos( α + β) + i.sen(α + β)]
P3 ( x ) = 2 x 3 − 12 x 2 + 24 x − 16
z1
z1
=
.[cos( α − β) + i.sen( α − β)]
z2
z2
P4 ( x ) = x 2 − 2 x + 2
P5 ( x ) = x 2 − 2ix − 1
Potenciação e radiciação: se z = |z|.(cos θ+ i. sen θ) e n é um
número inteiro então:
n
z n = z [cos(nθ) + i.sen(nθ)]
n
z =n
Polinômios idênticos: dois polinômios são idênticos quando seus
termos correspondentes são iguais.
⎧a = 1
⎪
Exemplo: ax 3 + bx 2 + cx + d = x 3 − x 2 ⇔ ⎨b = −1
⎪c = d = 0
⎩
⎡
⎛ θ + 2kπ ⎞⎤
⎛ θ + 2kπ ⎞
z .⎢cos⎜
⎟⎥
⎟ + i.sen⎜
⎝ n ⎠⎦
⎝ n ⎠
⎣
Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo z é resolver a
equação rn = z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes.
Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equação acima, encontramos,
para cada k, uma raiz diferente, formando um polígono regular de n
lados no plano de Gauss.
Exemplos:
z3 = −27 = 27. ⎡⎣cos (π) + i.sen(π)⎤⎦
Polinômio identicamente nulo: um polinômio é identicamente nulo
quando P(x) = 0, independente do valor de x. Nesse caso, todos os
coeficientes de P são nulos.
Exemplo: P( x ) = 0 x n + 0 x n −1 + ... + 0 = 0
⎡
⎛ π + 2kπ ⎞
⎟ + i.sen⎛ π + 2kπ ⎞⎤⎥ = 3 ⎡⎢cos⎛ π + 2kπ ⎞ + i.sen⎛ π + 2kπ ⎞⎤⎥
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
z = 3 27 ⎢cos ⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜ 3 ⎠
⎜
⎜
⎜
⎢
⎢
⎝
⎝ 3 ⎠⎥⎦
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠⎥⎦
⎣
⎣
Equação polinomial ou algébrica: uma equação algébrica é um
polinômio igualado a zero, ou seja:
Com k = 0, 1, 2
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n = 0 .
Im(z)
2π
-3
2π
3
π
2π
3
Assim, resolver uma equação algébrica é o mesmo que encontrar as
raízes de um polinômio.
Teorema fundamental da álgebra: se P(x) é um polinômio de grau n
então ele possui n raízes (reais ou complexas), e pode ser fatorado
em:
3
P( x) = an ( x − r1 )( x − r2 )...(x − rn )
Re(z)
onde r1, ..., rn são as n raízes desse polinômio.
Exemplos:
P2 ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 = 2( x − 1)( x − 1 )
2
P3 ( x ) = 2 x 3 − 12 x 2 + 24 x − 16 = 2( x − 2 )3
3
10

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Teorema das raízes complexas: se P(x) é um polinômio com
coeficientes reais e o número complexo a + bi é raiz de P(x) então seu
conjugado, a – bi, também é raiz.
Exemplo: Relembrando o teorema fundamental da álgebra temos:
P4 ( x ) = x 2 − 2 x + 2 = ( x − (1 + i ) ) ( x − (1 − i ) )
Teorema das raízes racionais: seja P(x) um polinômio de grau n com
coeficientes inteiros. Se P admite uma raiz racional p/q, com p e q
primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.
Exemplos: As raízes de P2 ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 são 1/2 e 1, pertencem a
Note que o polinômio P5 ( x ) = x 2 − 2ix − 1 admite x = i como raiz, mas
possíveis (-2, -1, 1 e 2) zeram o polinômio, pois suas raízes (1 + i,1 − i)
não são racionais.
{−1, −1 2,1 2,1} .
não admite seu conjugado, ( P5 ( −i ) = −4 ). O Teorema das raízes
complexas só é válido para polinômios com coeficientes reais.
Relações de Girard
Divisão de polinômios: dividir um polinômio P(x) por um polinômio
D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto)
que satisfaçam a condição P(x) = Q(x).D(x) + R(x).
P( x)
a) ax 2 + bx + c = 0
x1 + x 2 = −
D(x)
R(x)
x1 + x 2 + x 3 = −
an
an−1
a1
an
a.a n + an−1 ....
2
2
2
)
− 12x 2 + 24x − 16 por P1(x)
-12
-8
24
8
( = x − 2) .
-16
0
Q(x) = 2x 2 − 8x + 8 ⎫
⎪
3
2
2
⎬ ⇒ 2x − 12x + 24x − 16 = (2x − 8x + 8).(x − 2) + 0
R(x) = 0
⎪
⎭
b) P4 (x)
1
(= x
2
1
1
)
− 2x + 2 por (x − 1)
-2
-1
2
1
Q(x) = x − 1⎫
2
⎬ ⇒ x − 2x + 2 = (x − 1).(x − 1) + 1
⎭
R(x) = 1
Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a).
De fato, P3 (2) = 0 e P4 (1) = 1 .
Generalizando: Na divisão de P(x) por um polinômio D(x) de grau n
podemos obter R(x), de grau n − 1 , utilizando as raízes de D(x) na
equação P( x ) = D( x ).Q( x ) + R( x ) . Assim, para o obter os coeficientes
a0 ,a1 ,..., an-1 do polinômio R( x ) = a0 + a1x + ... + an −1x n −1 basta resolver
⎧R( x1 ) = P( x1 )
⎪
⎪R( x2 ) = P( x2 )
onde x1 ,x2 ,...,xn são raízes de D(x)
o sistema linear: ⎨
⎪
⎪R( x ) = P( x )
⎩
n
n
Exemplo: Da divisão do polinômio P3 ( x ) por ( x 2 − 3 x + 2 ) , de raízes
1 e 2, temos :
P3 ( x ) = ( x 2 − 3 x + 2 ) .Q( x ) + R( x )
x = 1 ⇒ P3 ( 1) = 0.Q( 1) + R( 1)
x = 2 ⇒ P3 ( 2 ) = 0.Q( 2 ) + R( 2 )
b
a
x1.x 2 + x1.x 3 + x 2 .x3 =
c
a
x1.x 2 .x 3 = −
d
a
Sendo Sp a soma de todos os possíveis produtos das n raízes p a p.
a
a
n a
p a
S1 = − n −1 S2 = n − 2 ... Sp = ( −1) . n − p ... Sn = ( −1) O
an
an
an
an
Exemplos: Encontre Q(x) e R(x) da divisão de:
3
c
a
c) an x n + an −1xn −1 + ... + a1x + aO = 0
a0
Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o
esquema acima;
Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente;
Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o
segundo coeficiente;
Passo 4: faz-se a mesma coisa com o número obtido no passo
anterior, até o último coeficiente;
Passo 5: o último número obtido é o resto da divisão, enquanto os
outros são os coeficientes do polinômio Q(x).
( = 2x
x1.x 2 =
b) ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: receita de bolo para a divisão
de P(x) por (x-a):
a) P3 (x)
b
a
Q( x)
Nota: Sendo n, d, r e q o grau dos polinômios P(x), D(x), R(x) e Q(x),
respectivamente. Temos que r = d − 1 e n = d + q .
a
Já em P4 ( x ) = x 2 − 2 x + 2 , nenhum dos valores
⎧a + b = −2
⇒⎨
⇒ R( x ) = 2 x − 4
⎩2a + b = 0
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Triângulo
Pontos notáveis
APOSTILA DE REVISÃO
MATEMÁTICA – FRENTE 3
- Ortocentro(O): encontro das alturas(h).
A
HC
GEOMETRIA PLANA
.
c
Retas paralelas cortadas por uma transversal
t
a
b
c
e
.
HA a
bB
Teorema de Tales
b
•
I
bC
.
C
a
- Circuncentro(Ci): encontro das mediatrizes(m) e centro do círculo
circunscrito ao triângulo
b
r1 // r2 // r3
r1
B1
r2
B2
A3
.
bA
.
c
B
A2
C
A
h
A1
hC
- Incentro(I): encontro das bissetrizes(b) e centro do círculo inscrita no
triângulo
⎧a = d = e = h
r // s ⇒ ⎨
⎩b = c = f = g
s
a
b
hA
B
d
f
g
hB
r
.H B
•O
B3
k=
r3
A1A 2
B1B2
=
A2A3
B2B3
A
=
A1A 3
mA b
.
c
. mC
B1B3
k: constante de proporcionalidade
mB
• Ci
.
a
B
C
Ângulos na circunferência
A
φ
C
ϕ
α
θ
β = AB
- Baricentro (Ba): encontro das medianas(M) que se dividem na razão
2:1. Também conhecido por centro de gravidade do triângulo.
AB
α =γ =
2
β
θ=
D
B
A
AB - CD
2
c
AB + CD
ϕ=
2
•
MA
a
B
β: ângulo central
Φ: ângulo do segmento
α: ângulo inscrito
θ: ângulo excêntrico externo
φ: ângulo excêntrico interno
b
MB
Ba
MC
C
Semelhança de Triângulos
A1
Potência de pontos
C2
B
G
c1
A
H
.
B1
a2
h2
C1 A 2
a1
.
B2
c2
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
Se A = A1, B = B1 e C = C1 ,então os triângulos ABC e A1B1C1 são
D
E
C
b2
b1
h1
F
AB = AC
2
AB = AD.AE
semelhantes de razão k =
AD.AE = AF.AG
a 2 b 2 c 2 h2 a 2 + b 2 + c 2
=
=
=
=
= ...
a1 b1 c1 h1 a1 + b1 + c1
(k: razão entre linha homólogas)
HC.HG = HD.HE
Polígonos
Teorema fundamental e Base do triângulo médio
A
A
Soma dos ângulos internos: Sai = 180º.(n − 2)
Soma dos ângulos externos: Sae = 360º (polígonos convexos)
Número de diagonais: nd =
M
O
n(n − 3)
2
C
B
Ângulos internos de um polígono regular: ai = 180º.(n − 2) n
Obs: Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
OP // BC ⇒ ΔABC ~ ΔAOP
12
N
P
B
C
⎧ AM = MB
⇔
⎨
⎩ AN = NC
⎧MN // BC
⎪
⎨
BC
⎪MN =
2
⎩

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Relações Métricas no Triângulo Retângulo
b
c
h
m
B
.
n
a
C
⎧a2 = b2 + c 2
⎪ 2
⎪b = a.n
⎪ 2
⎨c = a.m
⎪b.c = a.h
⎪
⎪h2 = m.n
⎩
B
θ
.
p=
a.h
S=
2
a.c.sen(θ)
S=
2
b
R
h
Base Média:
C
S=
S=
Área do triângulo eqüilátero: S =
a+b+c
2
3
4
a.b.c
4R
( a + b + c ) .r
2
AB // MN // CD
AM = MC
⇔
AB + CD
MN =
BM = MD
2
C = 2π r
r
S = π .r 2
C: comprimento da circunferência
= p.r
Coroa Circular:
2
R
Quadriláteros
Trapezóide: quadrilátero que não possui lados paralelos.
Paralelogramo: quadrilátero que possui lados opostos paralelos.
A
D
S = p. ( p − a ) . ( p − b ) . ( p − c )
C
a
ˆ ˆ
ˆ ˆ
N Retângulo: A = C = 90º ou B = D = 90º
M
Circunferência, círculo e suas partes:
A
c
Escaleno: AD ≠ BC
ˆ ˆ ˆ ˆ
Isósceles: AD = BC , A = B e C = D
Área do Triângulo
r
B
A
A
.
r
S = π . (R 2 - r 2 )
B
h
.
C
S = b.h
⎧ AB = CD,AC = BD
⎧ AB // CD
⎪ˆ ˆ ˆ ˆ
⎪
⇒ ⎨ A = D,B = C,A + B = 180º
⎨
⎪ AC // BD
⎪ AM = MD,CM = MB
⎩
⎩
M
D
b
Setor Circular:
θ
Retângulo: paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes.
A.
.B
C
.
L
.
b
S=
r
S = b.h
ˆ ˆ ˆ ˆ
A = B = C = D = 90º
M
h
L = θr
r
S=
ou
2
θ
360º
.π r 2 ; θ em graus
L: comprimento do arco
AM = BM = CM = DM
D
Áreas de Figuras Semelhantes: Se, em duas figuras semelhantes, a
razão entre as linhas homólogas é igual a k, a razão entre as áreas é
igual a k2.
Losango: paralelogramo que possui os quatro lados congruentes.
A
θ r2
B
TRIGONOMETRIA
M
.
Trigonometria no triângulo retângulo:
S = .h =
cateto oposto ,
hipotenusa
cateto adjacente
cos seno =
hipotenusa
AD ⊥ BC
tagente =
seno =
C
d
.
h
DM.d
2
AB = AC = BD = CD =
D
DM
Quadrado: paralelogramo que possui os quatro lados e os quatro
ângulos congruentes (Retângulo e Losango).
A.
.B
M
.
S=
Trigonometria em um triângulo qualquer:
Lei dos Senos
a
b
c
=
=
= 2R
∧
∧
∧
sen A sen B senC
Lei dos Cossenos
2
AB = AC = BD = CD =
ˆ ˆ ˆ ˆ
A = B = C = D = 90º
AD = BC = d = 2.
∧
a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A
AD ⊥ BC
C
.
.
D
cateto oposto
cateto adjascente
∧
b2 = a2 + c2 – 2ac . cos B
2
AM = BM = CM = DM =
.
2
∧
c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C
Trapézio: quadrilátero que possui um par de lados paralelo.
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Principais relações trigonométricas
Esboço: y = cos(x)
sen 2α + cos2 α = 1
sen α
1
cos α
, cot g α =
=
tg α =
tg α sen α
cos α
cos sec α =
y
x
1
1
, sec α =
sen α
cos α
-π
-2π
•
sen(α ± β ) = senα ⋅ cos β ± cosα ⋅ sen.β
cos(α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ senα ⋅ sen.β
tg α ± tg β
tg (α ± β ) =
1 ∓ tg α ⋅ tg β
•
−3π
2
−π
2
0
-1
⎛p±q⎞
⎛p∓q⎞
sen p ± sen q = 2 ⋅ sen ⎜
⎟ ⋅ cos ⎜
⎟
2 ⎠
⎝
⎝ 2 ⎠
⎛p+q⎞
⎛ p−q⎞
cos p + cos q = 2 ⋅ cos ⎜
⎟ ⋅ cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
+1
π
2π
•
π
3π
2
2
x
•
5π
2
3π
•
4π
7π
2
x
Esboço: y = tg(x)
y
⎛p+q⎞
⎛p−q⎞
cos p − cos q = −2 ⋅ sen ⎜
⋅ sen ⎜
⎟
2 ⎟
⎝
⎠
⎝ 2 ⎠
Arcos e Ângulos: Considerando a circunferência abaixo de centro
O e raio R e os pontos A e B, temos:
−3π
2
•B
O
•
α
•
X
-π −π
X
α=
• A
R
0•
π
X
•
X
π 3π
2
2
2
•
2π
X
5π
2
x
.
GEOMETRIA ESPACIAL
Prismas
Ciclo trigonométrico (centro na origem e raio 1):
sen(x)
Cubo
B
P2
A’
O
d=a 3
P
•
•
x
•
P1
SL = 4a2
d
a
ST = 6a2
a
a
A
V = a3
SL: área lateral
ST: área total
V: volume
cos(x)
Paralelepípedo reto retângulo
d = a 2 + b2 + c 2
B’
Funções trigonométricas:
As funções trigonométricas são todas periódicas. As funções básicas,
y=sen(x), y=cos(x), y=sec(x) e y=cosec(x) têm período 2π , enquanto
as funções básicas y=tg(x) e y=cotg(x) têm período π .
c
b
• -π
3π
−
2
x
•
π π
2
-1
x
V = abc
Prisma qualquer
y
−π
2
•
ST = 2(ab + ac + bc)
SL: área lateral
ST: área total
V: volume
Esboço: y = sen(x)
+1
SL = 2a ( b + c )
d
a
3π
2
•
2π 5π
2
7π
3π 2
x
•
aL
4π 9π
θ
x
2
aL
h = aL .sen ( θ )
aL
SL = PBase .aL
ST = SL + 2SBase
V = SBase .h = SBase .aL .sen ( θ )
SL: área lateral ST: área total V: volume PBase: perímetro da base
aL: aresta lateral h: altura θ: ângulo entre aL e Base
⎧h = aL
⎪
Prisma reto: θ = 90º ⇒ ⎨
⎪SL = PBase .h
⎩
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15. (19) 3251-1012
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AFA 2011/2012 – RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA
Prisma regular: prisma reto, cujas bases são polígonos regulares.
SL = 2πRg
Sólidos semelhantes
São sólidos que possuem lados homólogos (correspondentes)
proporcionais. A razão de semelhança k entre esses sólidos é a razão
entre dois elementos lineares homólogos. Assim:
V = πR h
A
V
h
= k 1 = k2 1 = k3
H
A2
V2
Cilindro
R
ST = SL + SB = 2πR (R + g)
2
g
Onde:
h, A1, V1 – altura, área, volume do menor sólido;
H, A2, V2 – altura, área, volume do maior sólido.
h = g.sen ( θ )
h
cilindro reto:
⎧SL = 2πRh
⎪
θ = 90º ⇒ h = g ⇒ ⎨
⎪ST = 2πR (R + h )
⎩
θ
Relação de Euler: V – A + F = 2
g: geratriz R: raio da base h: altura θ: ângulo entre geratriz e base
Cilindro eqüilátero: h = 2R
Piramides
ST = SB + SL
V=
A
h
O
SB .h
3
Pirâmide regular:
A 2 = h2 + a 2
SL = p.A
.
a
h: altura O: centro da base A: apótema da pirâmide = altura da face
a: apótema da base SB, SL e ST: área da base, lateral e total
p: semiperímetro da base
Pirâmide regular: a base é um polígono regular e a projeção
ortogonal do vértice sobre a base é o centro da mesma.
Tetraedros notáveis
Tetraedro tri-retângulo
...
Tetraedro regular
Cone
Cone reto
g2 = h2 + R2
g
SL = πRg
h
ST = πR (R + g)
. R
V=
πR2h
3
g: geratriz h: altura R: raio da base
Cone qualquer: em um cone não reto ( ou oblíquo) não faz sentido
falar em geratriz, temos, portanto, apenas a fórmula do volume.
πR2h
V=
3
Esfera
SE = 4πr 2
VE =
4 3
πr
3
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