211595478 metodo-de-cross

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  1. 1. República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Departamento de Hidráulica Hidráulica (1366) METODO DE CROSS CONVENCIONAL Profesor Sergio Silva
  2. 2. TUBERIAS EN SERIE Se habla de tuberías en serie cuando se quiere llevar el fluido de un punto a otro punto por un solo camino. En este caso se cumplen las leyes siguientes: Los caudales son los mismos para cada uno de los tramos de tubería: Q = Q1= Q2=K= Qi Las pérdidas de carga de cada una de las secciones se suman: hL= hL1+hL2+K+hLi EJEMPLO
  3. 3. TUBERIAS EN PARALELO EJEMPLO Se habla de tuberías paralelo cuando se establecen varios caminos para llevar el fluido de un punto a otro. En este caso se cumplen las leyes siguientes: El caudal total será igual a la suma de los caudales de cada rama: Q = Q1+Q2=SKQi La pérdida de carga será la misma en cada una de las ramas: hL= hL1= hL2=ShLi
  4. 4. REDES DE TUBERIAS EJEMPLO Se habla de redes de tuberías cuando el fluido se lleva de un punto hacia diversos puntos a través de varios caminos. Este tipo de configuración es común en sistemas de acueductos, en donde se forman ramificaciones complicadas formando mallas. Esta configuración posee la virtud de permitir realizar reparaciones a algún sector del sistema sin tener que interrumpir el suministro. El cálculo de sistemas de tuberías de este tipo es laborioso y se hace por el método de aproximaciones sucesivas de Hardy Cross
  5. 5. HARDY CROSS Es el autor del método para modelar redes complejas de abastecimiento de agua. Es uno de los métodos más usuales para resolver una gran cantidad de problemas.
  6. 6. MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes: Ley de continuidad de masa en los nodos. Ley de conservación de la energía en los circuitos. El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen Williams o, bien, la ecuación de Darcy Weisbach.
  7. 7. MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED La ecuación de Hazen Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante para el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía.
  8. 8. MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED La ecuación de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.
  9. 9. MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED El Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nodos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que hacerlo con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva. Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nodos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente
  10. 10. FUNDAMENTOS DEL METODO DE HARDY CROSS El método se fundamenta en las dos leyes siguientes: 1.Ley de continuidad en los nodos: "La suma algebraica de los caudales en un nodo debe ser igual a cero" Donde: Qij: Caudal que parte del nodo i o que fluye hacia dicho nodo. qi: Caudal concentrado en el nodo i. m : Número de tramos que confluyen al nodo i.
  11. 11. FUNDAMENTOS DEL METODO DE HARDY CROSS 2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero". Donde: hfij: Pérdida de carga por fricción en el tramo n : Número de tramos del circuito i
  12. 12. Ejercicio N º1: Donde: Hf perdida por fricción (m) Q Caudal asignado a cada tramo (m3/s) K factor de rugosidad Chw coeficiente de rugosidad (120 para este ejemplo) D Diámetro de cada tubería (m) L longitud de cada tubería (m)
  13. 13. Ejercicio N º1: Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es: Donde: Hf perdida por fricción (m) Q Caudal asignado a cada tramo (m3/s) K factor de rugosidad Chw coeficiente de rugosidad (120 para este ejemplo) D Diámetro de cada tubería (m) L longitud de cada tubería (m)
  14. 14. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario. Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1que debe satisfacer una red. Se obtiene así: Ejercicio N º1:
  15. 15. Caudales distribuidos La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad encada nodo (en valores absolutos naturalmente). Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final. Ejercicio N º1:
  16. 16. MALLA I MALLA II BN 8.643,4753 CM 2.507,6762 NM 7.236,2295 NM 7.236,2295 MB 1.791,1973 NC 2.149,4367 Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga f0h en cada malla aplicando la ecuación de descarga. Valores de k MALLA I MALLA II BN (+0.07) +63,4052 CM (-0.11) - 42,2521 NM ( -0.02) -5,2049 NM (0.02) +5,2049 MB (-0.13) -41,1092 NC (0.09) +24,9847 +17,0911 - 12,0624 Ejercicio N º1:
  17. 17. Aplicamos ahora la ecuación Para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cada circuito. Ejercicio N º1:
  18. 18. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes Calculamos nuevamente la corrección Ejercicio N º1: TRAMO ORIGINAL FINAL HF BN 0.0700 + -0.006232655 = 0.0638 53.3581164 NM -0.0200 + -0.006232655 - 0.007072112 = -0.0333 -13.3705473 MB -0.1300 + -0.006232655 = -0.1362 -44.8294772 Σ -4.84190814 CAUDAL CORRECCION CIRCUITO 1 TRAMO ORIGINAL FINAL HF CM -0.1100 + 0.007072112 = -0.1029 -37.3643655 NM 0.0200 + 0.007072112 - -0.006232655 = 0.0333 13.3705473 NC 0.0900 + 0.007072112 = 0.0971 28.7375306 Σ 4.74371234 CIRCUITO 2 CAUDAL CORRECCION
  19. 19. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes Calculamos nuevamente la corrección Ejercicio N º1: CIRCUITO 1 CAUDAL TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF BN 0.0638 + 0.001669921 = 0.0654 55.971905 NM -0.0333 + 0.001669921 - -0.002417844 = -0.0292 -10.4939331 MB -0.1362 + 0.001669921 = -0.1346 -43.8181767 Σ 1.65979519 CIRCUITO 2 CAUDAL TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF CM -0.1029 + -0.002417844 = -0.1053 -39.004328 NM 0.0333 + -0.002417844 - 0.001669921 = 0.0292 10.4939331 NC 0.0971 + -0.002417844 = 0.0947 27.4273615 Σ -1.08303337 - (1.6597/ 2.849,2924) = -0.000582529 - (-1,0830/ 1.885,4948) = 0,00057
  20. 20. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes Calculamos nuevamente la corrección Ejercicio N º1: - (- 0,3917/ 2.861,8261) = 0.000136885 - (0,3998 / 1.907,3822) = - 0,00020 CIRCUITO 1 CAUDAL TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF BN 0.0654 + -0.000582529 = 0.0649 55.0535995 NM -0.0292 + -0.000582529 - 0.000574403 = -0.0304 -11.2755896 MB -0.1346 + -0.000582529 = -0.1351 -44.1697507 Σ -0.39174089 CIRCUITO 2 CAUDAL TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF CM -0.1053 + 0.000574403 = -0.1048 -38.611795 NM 0.0292 + 0.000574403 - -0.000582529 = 0.0304 11.2755896 NC 0.0947 + 0.000574403 = 0.0952 27.7360712 Σ 0.39986593
  21. 21. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes Calculamos nuevamente la corrección Ejercicio N º1: - ( 0,1429/ 2.857,4569) = - 0.00005 - (-0,0928 / 1.900,8676) = 0,000048 CIRCUITO 1 CAUDAL TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF BN 0.0649 + 0.000136885 = 0.0650 55.2687591 NM -0.0304 + 0.000136885 - -0.000209641 = -0.0300 -11.0387612 MB -0.1351 + 0.000136885 = -0.1350 -44.0870204 Σ 0.14297746 CIRCUITO 2 CAUDAL TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF CM -0.1048 + -0.000209641 = -0.1050 -38.7548473 NM 0.0304 + -0.000209641 - 0.000136885 = 0.0300 11.0387612 NC 0.0952 + -0.000209641 = 0.0950 27.6232167 Σ -0.09286944
  22. 22. Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes Finalizamos el calculo de la corrección Ejercicio N º1: CIRCUITO 1 CAUDAL TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF BN 0.0650 + -5.00366E-05 = 0.0649 55.1900654 NM -0.0300 + -5.00366E-05 - 4.88563E-05 = -0.0301 -11.1061126 MB -0.1350 + -5.00366E-05 = -0.1351 -44.1172532 Σ -0.03330044 CIRCUITO 2 CAUDAL TRAMO ORIGINAL CORRECCION FINAL HF CM -0.1050 + 4.88563E-05 = -0.1049 -38.7214876 NM 0.0300 + 4.88563E-05 - -5.00366E-05 = 0.0301 11.1061126 NC 0.0950 + 4.88563E-05 = 0.0951 27.6494983 Σ 0.03412328
  23. 23. En consecuencia los caudales son: Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red. Obsérvese que la condición 1, Σhf =0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación. Ejercicio N º1:
  24. 24. Ejercicio N º2: Datos. • Longitud de cada tramo. • Fluido transportado: agua. • Viscosidad cinemática: 1e-6 m2/s • Salidas • C=140 A B C H G F E D I J 200 300 300 150 200 200 150 180 230 200 450 450 200 150 150 150 400 300 400 150 200
  25. 25. Ejercicio Nº2: Se debe determinar el caudal de entrada a la red. Elegir las mallas y un sentido de recorrido. (la numeración de las mallas se realiza arbitrariamente) A B C H G F E D I J 200 300 300 150 200 200 150 180 230 200 I II III IV V VI
  26. 26. Ejercicio Nº2: NOTA: Se debe garantizar que el mismo caudal que entra debe ser el mismo caudal que sale. Asignar un caudal a cada tramo asegurando que se cumpla el principio de la conservación de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se opone al sentido de recorrido de la malla. Q entra=Q sale A B C H G F E D I J 100 900 650 300 80 1010 330 70 480 330 30 200 300 300 200 200 150 180 230 200 I II III IV V VI
  27. 27. Ejercicio Nº2: NOTA: El diámetro de la tubería puede tantearse garantizando que la velocidad se encuentre entre 0.60 y 3 m/s. Se supone una velocidad entre 0.60 y 3m/s, para con el tantear un diámetro comercial Formula para tantear el diámetro •Q: caudal de que transita por el diámetro de la tubería •Vi: velocidad inicial para el tanteo del caudal.
  28. 28. Ejercicio Nº2: NOTA: La velocidad debe mantenerse entre 0.6 y 3 m/s Luego que se tiene el diámetro, se procede a buscar un diámetro comercial teniendo como referencia el diámetro tanteado. Con el diámetro comercial encontrado se busca la velocidad real de cada tramo. Formula para buscar la velocidad real
  29. 29. Ejercicio Nº2: Cada tubería tiene un factor de rugosidad, el cual se denota con la letra “K”; para el cálculo del factor de rugosidad es necesario un coeficiente de rugosidad, el cual depende de cada tubería, se denota con la letra “c”. Se calcula el factor de rugosidad “k”. Formula para calcular K. • L: longitud del tramo. • c: coeficiente de rugosidad. (depende del tipo de tubería) • Ø: diámetro del tramo en desarrollo
  30. 30. Ejercicio Nº2: Después que se tiene el factor de rugosidad, se multiplica por el caudal de la siguiente forma: •K: factor de rugosidad •Q: caudal del tramo en desarrollo El valor obtenido de la formula anterior se multiplica por 1.85.
  31. 31. Ejercicio Nº2: Por Último se debe obtener un factor de corrección: • El error correcto no debe ser mayor a 0.0001 Ecuación para determinar el error: NOTA: En caso de que el error en la primera corrida, no sea el deseado debe realizarse Tantas corridas como sea necesario hasta obtener el error correcto.
  32. 32. Ejercicio Nº2: En el momento de realizar otra corrida el caudal debe corregirse de acuerdo a la corrección obtenida en la anterior. En caso de ser un tramo único, es decir, que no se repite en alguna otra malla, solo se le sumara al caudal inicial ( en m3/s) la corrección de la malla. En caso de ser un tramo común, es decir, que si se repite en alguna otra malla, al caudal inicial ( en m3/s) se le sumara la corrección de la malla en donde se encuentre el tramo en desarrollo, y se le restara la corrección de la malla en donde el tramo se repita. • : Corrección de la malla en donde se encuentra el tramo en desarrollo • : corrección de la malla en la que se repite el tramo en desarrollo
  33. 33. Ejercicio Nº2: •1era Corrida. (malla I) •2da Corrida. (malla I) Tramo único
  34. 34. Ejercicio Nº2: •1era Corrida. (malla I) •2da Corrida. (malla I) Tramo común (B-E)
  35. 35. Ejercicio Nº2: Cada tramo genera una perdida por fricción la cual se calcula de la siguiente forma: •F: factor de fricción •L: longitud del tramo en desarrollo. •Ø: diámetro del la tubería (tramo en desarrollo) •V: velocidad del flujo en el tramo. •g: gravedad Para calcular el factor de fricción es necesario saber el numero de Reynolds y la rugosidad relativa, el cual se calcula de la siguiente forma •Ø: diámetro del la tubería (tramo en desarrollo) •V: velocidad del flujo en el tramo. •J: viscosidad del fluido Número de Reynolds Rugosidad relativa •Ø: diámetro del la tubería (tramo en desarrollo) •Ke: rugosidad relativa de la tuberia (Hazen-William) O mediante Dárcy- Weisbach
  36. 36. Ejercicio Nº2: •Modelo de la tabla para desarrollar el método de cross. (solución del ejercicio) En la siguiente imagen se muestra el ejercicio presentado antes, desarrollado en su primera corrida,
  37. 37. Ejercicio Nº2: •Modelo de la tabla para desarrollar el método de cross. (resolución del ejercicio) En la siguiente imagen se muestra el ejercicio presentado antes, ya en su ultima corrida, con el error correcto de 0.0001

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