Centro masas-semiesfera

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Centro masas-semiesfera

  1. 1. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.
  2. 2. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.  Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro demasas.
  3. 3. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.  Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro demasas.El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polary φ el ángulo acimutal.
  4. 4. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.  Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro demasas.El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polary φ el ángulo acimutal.La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada enel eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que:zcm = ∫ z ρdV ∫ ρdV
  5. 5. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.  Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro demasas.El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polary φ el ángulo acimutal.La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada enel eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como: ∫ ρdVM = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3 2 2 3 3
  6. 6. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.  Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro demasas.El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polary φ el ángulo acimutal.La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada enel eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como: ∫ ρdVM = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3 2 2 3 3Ahora calculamos aparte el numerador, teniendo en cuenta que z = r cos θ
  7. 7. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.  Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro demasas.El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polary φ el ángulo acimutal.La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada enel eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como: ∫ ρdVM = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3 2 2 3 3Ahora calculamos aparte el numerador, teniendo en cuenta que z = r cos θ π R 2π∫ z ρdV = ∫ ∫ ∫ 0 2 0 0 r 3 sinθ cos θ dθ dφ dr
  8. 8. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.  Como una semiesfera maciza es un sistema continuo, usaremos Mrcm = ∫ r dm para encontrar su centro demasas.El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es dV = r 2 sin θ dθ dφ dr , donde θ es el ángulo polary φ el ángulo acimutal.La base de la semiesfera la situamos en el eje xy, luego el centro de masas solo podrá tener coordenada enel eje z. Si la densidad de la semiesfera la denotamos por ρ , tenemos que: zcm = ∫ z ρdV El denominador es la masa M de toda la semiesfera, pudiéndose expresar como: ∫ ρdVM = ∫ ρdV = 1 ρV = 1 ρ ( 4 πR 3 ) = 2 πρR 3 2 2 3 3Ahora calculamos aparte el numerador, teniendo en cuenta que z = r cos θ π R∫ z ρdV = ∫ ∫ ∫ 0 2 0 0 2π r sinθ cos θ dθ dφ dr = 3 2 2 [ sin θ ]0 = 4 πρR 4 1 2 π 2 πρR 4
  9. 9. Determinar el centro de masas de una semiesfera maciza homogénea de masa M y radio R.Sustituyendo el numerador y el denominador, encontramos la coordenada z del centro de masas: 1 πρR 4 3zcm =4 =8R 2 3πρR 3

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