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UNIVERSIDAD FERMIN TORO
                FACULTAD DE INGENIERIA
                    MATEMATICA 2




 La Integral Definida



                                     Introducción:
                                          Ricardo Cordero
CI: 24001557
SAIA “A”




                   Noviembre, 2012
La Integral Definida
Sumas de Riemann.

Las sumas inferiores y las sumas superiores.

Sn

Son casos particulares de las llamadas sumas de Riemann, las que describiremos a
continuación.

Una partición P del intervarlo[a,b] es una colección de subintervalos:

[X0,X1], [X1, X2], [X2, X3],…, [Xn-1,Xn] de [a,b] de modo que

A= X0<X1 X2<,…, < Xn-1 <Xn = b

Se llama norma de la partición P, y se denota por ││P││, al máximo de las longitudes.

 i x= X1-Xi-1 , i= 1,…,n. Esto es, ǁ Pǁ = Máximo {               }

       Una partición que se caracteriza por tener todos sus subintervalos de igual longitud
es una partición regular. Las particiones tomadas para construir las sumas inferiores y
superiores trazadas en la sección anterior, son particiones regulares. En una partición regular
se cumple que:

ǁ Pǁ =

Una selección para la partición P es una colección de puntos

S={C1, C2, C3,…,Cn} donde cada Ci es tomada en el subintervalo, [Xi-1, Xi]. El punto Ci puede ser
el extremo izquierdo, el extremo derecho a cualquier otro punto interior del subintervalo [Xi-
1, Xi]. Esto es, Xi-1 ≤ Ci ≤ Xi

       Ahora consideremos una función F: [a,b]→ no necesariamente continua, y que puede
                                               |R
tomar valores positivos y valores negativos.

Definición:

        La suma de Riemann de orden N de la función F: [a.b] → determinada por la
                                                              |R
partición P y la selección S, es

Sn
Como la función F puede tomar valores negativos algunos F(Ci) pueden negativos. En
este caso la suma de Riemann es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que están
sobre el eje X más el área de los rectángulos bajo el eje X con signo negativo.

Asi, en la figura anterior

S4

Definición

Una función F: [a,b] → es integrable en [a,b] si existe un número real, que denotaremos por
                      |R




El número                                             es la integral definida de F de a a b. Los n
número a y b son los límites de integración. Más precisamente, a es el límite inferior y b es el
límite superior.

El límite dado en la definición, en términos más precisos, significa:

             tal que para toda partición P de [a,b] que cumple ǁ Pǁ < y para cualquiere
selección S= ={Ci} de P, se cumple que


                                               <
La variable X en                 es una variable “muda”, en el sentido de que puede cambiarse
por cualquier otra, sin que se altere el concepto. Así:




Observaciones:

        Esta definición explica la escogencia de la integral como una S alargada, ya que la
integral definida es el límite de una suma.

       No debe con fundirse la integral definida con la integral indefinida. La primera es un
número; mientras que la segunda es una función. Sin embargo ambos conceptos están
íntimamente relacionados a través de los dos teoremas fundamentales del cálculo.

        La integral definida de una función es un límite, por lo tanto, este puede o no existir. El
siguiente teorema nos da una condición que garantiza la existencia.

Recordemos que una función real F es acotada, si existe m y M, números reales tales que

m

Para todo X en el dominio de F

Teorema de Integrabilidad

Si la función F es acotada en [a,b] y si es continua en este intervalo, con excepción de un
número finito de puntos, entonces F es integrable en [a,b].

En particular, Si F es continua en todo el Intervalo [a,b], entonces F es integrable en [a,b].

De acuerdo a este teorema, son integrables en todo intervalo cerrado [a,b]:

    1. Los polinomios.
    2. Las funciones seno y coseno.
    3. Las funciones racionales cuyo denominador no tenga ceros en [a,b].

Si de antemano se sabe que una función es integrable en un intervalo, o sea, se sabe que existe

la integral                 , entoncesse puede a ella mediante sumas de Riemann regulares,
que son relativamente fáciles de calcular. Para este tipo de sumas, en vista de que,

ǁ Pǁ =                se tiene que ǁ Pǁ         0

Ejemplo: Hallar
Solución

        La función integrando F(x) = 5 -     es continua en el intervalo [0,4]. El teorema
anterior nos asegura que tal integral existe. Sabiendo con seguridad de que esta existe,
entonces podemos llegar a ella mediante límites de sumas de Riemann regulares. Bien la
partición regular de [0,4].




Tomemos Ci= Xi=i

La suma de Riemann correspondiente es.


Sn=

=

                   =

                  =

                   = 15-

                   = 15-    (2+ + )




Luego:
= 15 -

=15 -

=

                              =

       La relación entre el área de regiones discutidas en la sección anterior y la integral
definida lo establece el teorema siguiente:

       Teorema: si F es continua y no negativa en el intervalo [a,b] entonces el área A(Q) de la
región encerrada por el grafico de F, eje x y las rectas X=a y x=b está dada por


A (Q)=
Demostración:

Por ser F continua por teorema podemos asegurar que existe la integral


Por definición,                             sumas de Reimann. En particular, también es el
límite de sumas de Riemann regulares. Pero, por definición, A(Q) es límite de suma de
Riemannregulares.       Luego

A (Q)=




                   Propiedades de la integral Definida
En la definición de                hemos supuesto que a<b. Debemos establecer el significado
de esta integral para los caso a=b y a>b.

Definición:


     1. Si F está definida en a, entonces

     2.   Si a>b
Algunas propiedades básicas de la integral definidas son presentadas en lo 2 teoremas
siguientes:

Teorema: Si F y G son integrables en [a.b] y K es una constante, entonces


1.            b-a                     2

3.
Demostración:

Sea P cualquier partición de [a,b] con una selección {Ci}

1. Como
                                                                                        =1


La suma de Riemann de esta función constante F(fx)= 1 es
                                                             +…+(               )
=
= b-a

Luego;




                                   = b-a
Teorema

Sean F y G dos funciones integrables en [a,b]
Primer Teorema fundamental del cálculo


       La derivación e integración, las dos operaciones básicas del cálculo están conectadas a
través del siguiente resultado que, por su importancia es conocido con el nombre de primer
teorema fundamental de cálculo.

       Teorema: Primer Teorema fundamental del cálculo.

       SI F es continua en el intervalo [a,b] y F es la función:

       F(x) =                           = F(x)
Corolario: Si F es continua, h es una función diferenciable en [a,b] y




                  Segundo Teorema Fundamental.

       La evaluación de integrales definidos mediante sumas de Riemann es lenta y
tediosa. El siguiente resultado conocido como el segundo teorema fundamental del
cálculo nos proporciona el método más adecuado y elegante.
La integral definida
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La integral definida

  • 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE INGENIERIA MATEMATICA 2 La Integral Definida Introducción: Ricardo Cordero CI: 24001557 SAIA “A” Noviembre, 2012
  • 2. La Integral Definida Sumas de Riemann. Las sumas inferiores y las sumas superiores. Sn Son casos particulares de las llamadas sumas de Riemann, las que describiremos a continuación. Una partición P del intervarlo[a,b] es una colección de subintervalos: [X0,X1], [X1, X2], [X2, X3],…, [Xn-1,Xn] de [a,b] de modo que A= X0<X1 X2<,…, < Xn-1 <Xn = b Se llama norma de la partición P, y se denota por ││P││, al máximo de las longitudes. i x= X1-Xi-1 , i= 1,…,n. Esto es, ǁ Pǁ = Máximo { } Una partición que se caracteriza por tener todos sus subintervalos de igual longitud es una partición regular. Las particiones tomadas para construir las sumas inferiores y superiores trazadas en la sección anterior, son particiones regulares. En una partición regular se cumple que: ǁ Pǁ = Una selección para la partición P es una colección de puntos S={C1, C2, C3,…,Cn} donde cada Ci es tomada en el subintervalo, [Xi-1, Xi]. El punto Ci puede ser el extremo izquierdo, el extremo derecho a cualquier otro punto interior del subintervalo [Xi- 1, Xi]. Esto es, Xi-1 ≤ Ci ≤ Xi Ahora consideremos una función F: [a,b]→ no necesariamente continua, y que puede |R tomar valores positivos y valores negativos. Definición: La suma de Riemann de orden N de la función F: [a.b] → determinada por la |R partición P y la selección S, es Sn
  • 3. Como la función F puede tomar valores negativos algunos F(Ci) pueden negativos. En este caso la suma de Riemann es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que están sobre el eje X más el área de los rectángulos bajo el eje X con signo negativo. Asi, en la figura anterior S4 Definición Una función F: [a,b] → es integrable en [a,b] si existe un número real, que denotaremos por |R El número es la integral definida de F de a a b. Los n número a y b son los límites de integración. Más precisamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. El límite dado en la definición, en términos más precisos, significa: tal que para toda partición P de [a,b] que cumple ǁ Pǁ < y para cualquiere selección S= ={Ci} de P, se cumple que <
  • 4. La variable X en es una variable “muda”, en el sentido de que puede cambiarse por cualquier otra, sin que se altere el concepto. Así: Observaciones: Esta definición explica la escogencia de la integral como una S alargada, ya que la integral definida es el límite de una suma. No debe con fundirse la integral definida con la integral indefinida. La primera es un número; mientras que la segunda es una función. Sin embargo ambos conceptos están íntimamente relacionados a través de los dos teoremas fundamentales del cálculo. La integral definida de una función es un límite, por lo tanto, este puede o no existir. El siguiente teorema nos da una condición que garantiza la existencia. Recordemos que una función real F es acotada, si existe m y M, números reales tales que m Para todo X en el dominio de F Teorema de Integrabilidad Si la función F es acotada en [a,b] y si es continua en este intervalo, con excepción de un número finito de puntos, entonces F es integrable en [a,b]. En particular, Si F es continua en todo el Intervalo [a,b], entonces F es integrable en [a,b]. De acuerdo a este teorema, son integrables en todo intervalo cerrado [a,b]: 1. Los polinomios. 2. Las funciones seno y coseno. 3. Las funciones racionales cuyo denominador no tenga ceros en [a,b]. Si de antemano se sabe que una función es integrable en un intervalo, o sea, se sabe que existe la integral , entoncesse puede a ella mediante sumas de Riemann regulares, que son relativamente fáciles de calcular. Para este tipo de sumas, en vista de que, ǁ Pǁ = se tiene que ǁ Pǁ 0 Ejemplo: Hallar
  • 5. Solución La función integrando F(x) = 5 - es continua en el intervalo [0,4]. El teorema anterior nos asegura que tal integral existe. Sabiendo con seguridad de que esta existe, entonces podemos llegar a ella mediante límites de sumas de Riemann regulares. Bien la partición regular de [0,4]. Tomemos Ci= Xi=i La suma de Riemann correspondiente es. Sn= = = = = 15- = 15- (2+ + ) Luego:
  • 6. = 15 - =15 - = = La relación entre el área de regiones discutidas en la sección anterior y la integral definida lo establece el teorema siguiente: Teorema: si F es continua y no negativa en el intervalo [a,b] entonces el área A(Q) de la región encerrada por el grafico de F, eje x y las rectas X=a y x=b está dada por A (Q)= Demostración: Por ser F continua por teorema podemos asegurar que existe la integral Por definición, sumas de Reimann. En particular, también es el límite de sumas de Riemann regulares. Pero, por definición, A(Q) es límite de suma de Riemannregulares. Luego A (Q)= Propiedades de la integral Definida
  • 7. En la definición de hemos supuesto que a<b. Debemos establecer el significado de esta integral para los caso a=b y a>b. Definición: 1. Si F está definida en a, entonces 2. Si a>b Algunas propiedades básicas de la integral definidas son presentadas en lo 2 teoremas siguientes: Teorema: Si F y G son integrables en [a.b] y K es una constante, entonces 1. b-a 2 3. Demostración: Sea P cualquier partición de [a,b] con una selección {Ci} 1. Como =1 La suma de Riemann de esta función constante F(fx)= 1 es +…+( ) = = b-a Luego; = b-a
  • 8. Teorema Sean F y G dos funciones integrables en [a,b]
  • 9. Primer Teorema fundamental del cálculo La derivación e integración, las dos operaciones básicas del cálculo están conectadas a través del siguiente resultado que, por su importancia es conocido con el nombre de primer teorema fundamental de cálculo. Teorema: Primer Teorema fundamental del cálculo. SI F es continua en el intervalo [a,b] y F es la función: F(x) = = F(x)
  • 10. Corolario: Si F es continua, h es una función diferenciable en [a,b] y Segundo Teorema Fundamental. La evaluación de integrales definidos mediante sumas de Riemann es lenta y tediosa. El siguiente resultado conocido como el segundo teorema fundamental del cálculo nos proporciona el método más adecuado y elegante.
  • 12. Regla de Sustitución para Integrales definidas