1. Ukuran Statistik
1. Pendahuluan
Ukuran Statistik: 1. Ukuran Pemusatan
Bagaimana, di mana data berpusat?
♦ Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean
♦ Median
♦ Modus
♦ Kuartil, Desil, Persentil
2. Ukuran Penyebaran
Bagaimana penyebaran data?
♦ Ragam, Varians
♦ Simpangan Baku
Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data:
1. Ungrouped Data : Data yang belum dikelompokkan
2. Grouped Data : Data yang telah dikelompokkan Tabel Distribusi Frekuensi
2. Ukuran Pemusatan
2.1. Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean
Notasi : µ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung populasi
A. Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data
N n
∑x i ∑x i
µ= i =1
dan x= i =1
N n
µ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung sampel
N : ukuran Populasi n : ukuran Sampel
xi : data ke-i
Contoh 1:
Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai
banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900
Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A?
Rata-Rata Populasi atau Sampel ?
6000
Jawab: µ= = 1000
6
1

2. Contoh 2 :
Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk
diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang
diperiksa :
13.5 12.5 13 12 11.5 12.5
75
Jawab: x = = 12.5 %
6
B. Rata-Rata untuk Grouped Data
Nilainya merupakan pendekatan, biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel
k k
∑ f i xi ∑fx i i
x= i =1
k sehingga : x= i =1
n
∑f i =1
i
x : rata-rata hitung sampel k : banyak kelas
n : ukuran Sampel fi : frekuensi di kelas ke-i
xi : Titik Tengah Kelas ke-i
Contoh 3:
Kelas Titik Tengah Kelas (xi) Frekuensi (fi) fi xi
16-23 19.5 10 195
24-31 27.5 17 467.5
32-39 35.5 7 248.5
40-47 43.5 10 435
48-55 51.5 3 154.5
56-63 59.5 3 178.5
Jumlah (Σ) 50 1679
1679
Jawab : x = = 33.58
50
2

3. 2.2 Modus
Nilai yang paling sering muncul
Nilai yang frekuensinya paling tinggi
A. Modus untuk Ungrouped Data
Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Bisa terjadi data tanpa modus
Contoh 4:
a. Sumbangan PMI warga Depok:
Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000
Modus : Rp. 8000
b. Berat 5 unit kendaraan (ton): 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0
(Tidak Ada Modus)
c. Umur Mahasiswa (tahun) : 19 18 19 18 23 21
19 21 18 20 22 17
Modus : 18 dan 19
B. Modus untuk Grouped Data
Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada
Kelas dengan frekuensi tertinggi
Tepi Batas Bawah kelas ke-i = Batas Bawah kelas ke-i + Batas Atas kelas ke (i-1)
2
Tepi Batas Atas kelas ke-i = Batas Atas kelas ke-i + Batas Bawah kelas ke (i+1)
2
 d1 
Modus = TBB Kelas Modus + i  
 d1 + d 2 
di mana : TBB : Tepi Batas Bawah
d1 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya
d2 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sesudahnya
i : interval kelas
3

4. Kelas Frekuensi (fi)
16-23 10
24-31 17
32-39 7
40-47 10
48-55 3
56-63 3
Jumlah (Σ) 50
Kelas Modus = 24 - 31
TBB Kelas Modus = 23.5
i=8
frek. kelas Modus = 17
frek, kelas sebelum kelas Modus = 10
frek. kelas sesudah kelas Modus = 7
d1 = 17 - 10 = 7
d2 = 17 - 7 = 10
 7   7
Modus = 23.5 + 8   = 23.5 + 8   = 23.5 + 8 (0.41176...) = 23.5 + 3.2941...
 7 + 10   17 
= 26.7941... ≈ 27
2.3 Median, Kuartil, Desil dan Persentil
Median → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 2 bagian yang sama besar
Kuartil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 4 bagian yang sama besar
Desil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 10 bagian yang sama besar
Persentil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 100 bagian yang sama besar
4

5. A. Median untuk Ungrouped Data
Letak Median → Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir
n +1
Letak Median = n : banyak data
2
Contoh 1:
Tinggi Badan 5 mahasiswa :
1.75 1.78 1.60 1.73 1.78 meter
Sorted :1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 meter
5+1 6
n=5 Letak Median = = =3
2 2
Median = Data ke 3 = 1.75
Contoh 2:
Tinggi 6 mahasiswa : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 1.80 meter (Sorted)
n= 6
6+1 7
Letak Median → = = 3.5
2 2
Median = 1 (Data ke 3 + Data ke 4) = 1 (1.75 + 1.78) = 1 × 3.53 = 1.765
2 2 2
B. Median untuk Grouped Data
n
Letak Median = n : banyak data
2
Kelas Median : Kelas di mana Median berada
Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi
Kumulatif
 s 
Median = TBB Kelas Median + i  
 fM 
5

6. atau
 s' 
Median = TBA Kelas Median - i  
 fM 
di mana : TBB : Tepi Batas Bawah
s : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
sebelum kelas Median
TBA : Tepi Batas Atas
s’ : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
sampai kelas Median
i : interval kelas
fM : Frekuensi kelas Median
Contoh 4 :
Kelas Frekuensi Frek.
Kumulatif
16 - 23 10 10
24 - 31 17 27
32 - 39 7 34
40 - 47 10 44
48 - 55 3 47
56 - 63 3 50
Σ 50 ----
Kelas Median = 24 - 31
n 50
Letak Median = = = 25
2 2
Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31 Kelas Median = 24 - 31
TBB Kelas Median = 23.5 dan TBA Kelas Median = 31.5
f M = 17
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10→ s = 25 - 10 = 15
Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27 → s’ = 27 - 25 = 2
interval = i = 8
6

7.  s 
Median = TBB Kelas Median + i  
 fM 
 15 
= 23.5 + 8   = 23.5 + 8 (0.8823...)
 17 
= 23.5 + 7.0588... = 30.5588... ≈ 30.6
 s' 
Median = TBA Kelas Median - i  
 fM 
 2
= 31.5 - 8   = 31.5 - 8 (0.1176...)
 17 
= 31.5 - 0.9411.. = 30.5588... ≈ 30.6
2.4. Ukuran Kemencengan & Keruncingan Kurva Distribusi Frekuensi
Ukuran Kemencengan (Skewness) Kurva Distribusi Frekuensi diketahui dari posisi
Modus, Rata-Rata dan Median
Jika Rata-Rata = Median = Modus maka Kurva Simetris
Jika Rata-Rata < Median < Modus maka Kurva Menceng ke Kiri
Jika Rata-Rata > Median > Modus maka Kurva Menceng ke Kanan
Berdasarkan tingkat keruncingan (Kurtosis), kurva distribusi frekuensi dibagi menjadi tiga,
yaitu: a. Leptokurtis: Kurva sangat runcing
b. Mesokurtis: Kurva dengan tingkat keruncingan sedang
c. Platykurtis: Kurva datar
3. Ukuran Penyebaran
3.1 Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi
(Standard Deviation)
A. Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data
POPULASI :
N N N
∑ (x i − µ) 2
N ∑ xi − ( ∑ xi ) 2
2
σ2 = i =1
atau σ2 = i =1 i =1
Ν N 2
dan σ = σ2
7

8. SAMPEL :
n n n
∑ (x i − x) 2
n∑ xi − ( ∑ xi )2
2
i =1 i =1
s2 = i =1
atau s2 =
n −1 n(n − 1)
dan s = s2
xi : data ke-i
µ : rata-rata populasi x: rata-rata sampel
σ²: ragam populasi s²: ragam sampel
σ: simpangan baku populasi s: simpangan baku sampel
N: ukuran populasi n: ukuran sampel
Contoh 3 :
Data Usia 5 mahasiswa : 18 19 20 21 22 tahun
a. Hitunglah µ, σ² dan σ (anggap data sebagai data populasi)
b. Hitunglah x , s² dan s (data adalah data sampel)
Jawab :
xi µ atau x ( xi -µ) atau ( xi -µ)² atau xi 2
( xi - x ) ( xi - x )²
18 20 -2 4 324
19 20 -1 1 361
20 20 0 0 400
21 20 1 1 441
22 20 2 4 484
Σ 100 ------ ------- 10 2010
POPULASI :
100
N=5 µ= = 20
5
n
∑ (x
i =1
i − µ) 2
10
σ2 = = =2
Ν 5
N N
N ∑ xi 2 − ( ∑ xi ) 2
i =1 i =1 (5 × 2010) − 100 2 10050 − 10000 50
σ2 = = = = =2
N2 52 25 25
σ = σ 2 = 2 = 1.414...
SAMPEL :
8

9. 100
n=5 x= =2
5
n
∑ (x i − x )2
10
s2 = i =1
= = 2.5
n −1 4
n n
n∑ xi − ( ∑ xi )2 2
i =1 i =1 (5 × 2010) − 100 2 10050 − 10000 50
s =
2
= = = = 2.5
n( n − 1) 5× 4 20 20
s = s2 = 2.5 =1.581...
B. Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped Data
POPULASI :
k
∑f i × ( xi − µ ) 2
σ2 = i =1
dan σ = σ2
Ν
SAMPEL :
k
∑f i =1
i × ( xi − x ) 2
s2 = dan s = s2
n −1
xi : Titik Tengah Kelas ke-i fi : frekuensi kelas ke-i
k : banyak kelas
µ : rata-rata populasi x: rata-rata sampel
σ²: ragam populasi s²: ragam sampel
σ: simpangan baku populasi s: simpangan baku sampel
N: ukuran populasi n: ukuran sampel
9

10. Contoh 4 :
1679
Rata -Rata (µ atau x ) = = 33.58 (dari catatan terdahulu)
50
Kelas TTK Frek f i xi µ atau ( xi -µ) atau ( xi -µ)² f i ( xi -µ)²
xi . x ( xi - x ) atau ( xi - atau
fi x )² f i ( xi - x )²
16 - 23 19.5 10 195 33.58 -14.08 198.2464 1982.4640
24 - 31 27.5 17 467.5 33.58 -6.08 36.9664 628.4288
32 - 39 35.5 7 248.5 33.58 1.92 3.6864 25.8048
40 - 47 43.5 10 435 33.58 9.92 98.4064 984.0640
48 - 55 51.5 3 154.5 33.58 17.92 321.1264 963.3792
56 - 63 59.5 3 178.5 33.58 25.92 671.8464 2015.5392
Σ ----- 50 1679 ---- ---------- ----------- 6599.68
POPULASI : N = 50
k
∑f i × ( xi − µ ) 2
6599.68
σ2 = i =1
= = 131.9936
Ν 50
σ = σ = 131.9936 = 11.4888....
2
SAMPEL :
k
∑f
i =1
i × ( xi − x ) 2
6599.68
s2 = = = 134.6873....
n −1 49
s = s2 = 134.6873... = 11.6054....
3.2 Koefisien Ragam = Koefisien Varians
Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data
makin tinggi.
σ
Untuk Populasi → Koefisien Ragam = × 100%
µ
s
Untuk Sampel → Koefisien Ragam = × 100%
x
10

11. Contoh 5:
x = 33.58 s = 11.6054
s 116054
.
Koefisien Ragam = × 100% = × 100% = 34.56 %
x 3358
.
3.3 Angka Baku (z-score)
• Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi .
• z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)
• z nol → data bernilai sama dengan rata-rata populasi
• z positif → data bernilai di atas rata-rata populasi
• z negatif → data bernilai di bawah rata-rata populasi
x−µ
z=
σ
z : Angka baku x : nilai data
µ: rata-rata populasi σ : simpangan baku populasi
Contoh 6:
Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam dengan simpangan baku = 2.5 km
Hitung angka baku untuk kecepatan lari :
a. Ali = 25 km/jam b. Didi = 18 km/jam
x−µ 25 − 20 5
Jawab : a. z = = = =2
σ 2.5 2.5
x−µ 18 − 20 − 2
b. z = = = = -0.8
σ 2.5 2.5
selesai
11