Diferents aplicacions de la derivada : Gràfiques de funcions, l'Hôpital i polinomi de Taylor (aproximacions de funcions)

1. TALENT JOVE
APLICACIONS DE LA
DERIVADA
- Polinomi de Taylor
- Regla de l’Hôpital
- Gràfiques de funcions
Per Mònica Orpí i Mañé

2. APLICACIONS DE LA DERIVADA
1. APROXIMAR FUNCIONS PER POLINOMIS : Polinomi de Taylor
2. RESOLUCIÓ D’INDETERMINACIONS : REGLA DE L’HÔPITAL
3. GRÀFICA DE FUNCIONS
4. PROBLEMES D’OPTAMITZACIÓ

3. APLICACIONS DE LA DERIVADA
:
APROXIMAR UNA FUNCIÓ
o Aproximacions del valor d’una funció fent
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 𝑓′
𝑎 · (𝑥 − 𝑎)
Vàlid només per a valors x propers a a, és a dir, x≈a
Exemple : f(x)= 𝑥 i volíem conèixer 144
145 = 144 +
1
2 144
(145 − 144)

4. En càlcul, el Teorema de Taylor, rep el nom del matemàtic britànic Brook
Taylor, qui el va enunciar al 1712.
Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït
al voltant d'un punt a mitjançant un polinomi els coeficients del qual
depenen de les derivades de la funció en aquest punt.
Com més gran és el valor de n, que serà el grau del polinomi, més bé
aproximarà el polinomi de Taylor a la funció.
En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és
derivable n vegades en l‘ interval tancat [a, x] i n+1 cops en l'interval
obert (a, x), llavors es compleix que: Matemàtic britànic (1685-1731). Va ser
membre de la Royal Society
considerada com la més antiga de les
societats científiques que encara
existeixen.

5. http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/taylor/Taylorpag.html

7. En un entorn petit del punt a, la funció f(x) es comporta com el polinomi de grau 1 següent,
que serà la recta tangent de la funció en x=a
𝑓′
𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑒𝑠𝑡à 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝 𝑑𝑒 𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑒𝑚
𝑢𝑛𝑎 1𝑎. 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó 𝑑𝑒 𝑓′
𝑎 ≅
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎
,
𝑎ï𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡 𝑓 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 ≅ 𝑓′
𝑎 · 𝑥 − 𝑎 𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡,
𝒇 𝒙 ≈ 𝒇 𝒂 + 𝒇′
𝒂 · 𝒙 − 𝒂
Prenent g(x)=f(a)+f’(a)·(x-a) com el polinomi de grau 1 que aproximarà
a f(x) en punts proper a x=a

8. D’on surt g(x) ??
Com que f(x)=𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 𝑖 𝑓𝑒𝑚 𝑙′ 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑥 = 3 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒
𝑓 𝑥 ≅ 𝑓 3 + 𝑓′
3 𝑥 − 3 𝑝 𝑒𝑟 𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑠 𝑎 3
Atès que f(3)=9-9+1=1 i que f’(x)=2x-3 i per tant f’(3)=6-3=3 , prenent g(x) la funció que aproxima a f(x) en x=3 tenim
que g(x)=1+3(x-3)=3x-8, que és la recta tangent de f(x) en x=3
f(x)=𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟏
g(x)=1+3(x-3)=3x-8

9. APLICACIONS DE LA DERIVADA : REGLA DE L’HÔPITAL
Guillaume François Antoine, marquès de l’Hôpital (1661 - 1704)
matemàtic francès - Analyse des infiniment petits pour
l'intelligence des lignes courbes (1696).
Actualment se sap que la regla es déu a Johann Bernoulli, que
va ser qui la va desenvolupar i demostrar.
L’explicació és que ambdós varen entrar en un curiós negoci
per mitjà del qual el marqués l’Hôpital va comprar els drets dels
descobrimients matemàtics de Bernoulli que tingué a L'Hôpital
com alumne.
La regla de L'Hôpital és un teorema utilitzat
principalment per determinar límits que d'altra
manera foren complicats de calcular. Es pot
aplicar si es tracta de cercar un límit d'un
quocient entre dues funcions contínues, f(x)/g(x),
el numerador i denominador el qual tendeixen
alhora a zero o bé tendeixen a l‘infinit.
Per calcular el límit es deriva independentment
el numerador i el denominador i es determina el
límit del quocient entre aquestes derivades. Si el
límit existeix, la regla afirma que coincidirà amb el
límit de f(x)/g(x).

10. LA REGLA DE L’HÔPITAL
És una regla que serveix per resoldre
indeterminacions del tipus
0
0
𝑖
∞
∞
És basa amb el teorema següent :
Si on f i g són
derivables en un entorn d’a i existeix el límit :
Aleshores coincidirà amb
El mateix enunciat serveix quan els límits de f(x)
i g(x) van simultàniament a l’∞
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/lhospital.1/index.html

11. 1r Exemple
Últim Exemple
→
→

12. DEMOSTRACIÓ REGLA L’HÔPITAL :
De manera análoga es fa el cas 2 ) f x → ∞ i g(x) → +∞
Teorema del valor mitjà de Cauchy

13. TAMBÉ SÓN ÚTILS PER REPRESENTAR LES FUNCIONS
En la representació de funcions és molt útil
conèixer què passa en cada interval :
* És creixent o decreixent en aquell interval
* Podem localitzar el valor màxim i mínim en
aquest interval?
* La funció és còncava o convexa ?
Les derivades donen
resposta a totes aquestes
preguntes !!!

14. APLICACIONS DE LA DERIVADA
REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS
Passos a seguir per a poder representar una funció f(x) :
Domini de f(x)
Punts de tall amb els eixos
 Càlcul de les asímptotes ( AV, AH i AO)
 Estudi de la monotonia : Intervals de creixement i
decreixement. Màxims i mínims
Curvatura (concavitat i convexitat) i punts d’inflexió
Altres aspectes interessants :
Simetries (parell o senar ) i periodicitat

15. SIMETRIES :
Simetria parell f(-x)=f(x) Simetria senar f(-x)= - f(x)

17. p

18. INTERVALS DE CREIXEMENT :
DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL
QUAN COMPLEIX QUE :
 Recorda que la derivada d’una funció y=f(x)
en un punt x indica la pendent de la recta
tangent en aquest punt.
 Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen
tangents de pendent positiva, la funció és
creixent en aquest punts
 Si f(x) és derivable tenim que
f’(x)>0 ⇒ f(x) és creixent

19. INTERVALS DE DECREIXEMENT :
DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN
INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recorda que la derivada d’una funció y=f(x) en
un punt x indica la pendent de la recta tangent en
aquest punt.
 Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen
tangents de pendent negativa, la funció és
decreixent en aquest punts
 Si f(x) és derivable tenim que
f’(x)<0 ⇒ f(x) és decreixent

20. PUNTS ESTACIONARIS O SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA
QUE TENEN PENDENT HORITZONTAL. COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL, LA PENDENT ÉS 0 I PER
AQUESTA RAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.
x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0
Hi ha tres casos :
 El punt 𝑐1 s’anomena mínim relatiu
f’(𝑐1) = 0
 El punt 𝑐2 s’anomena punt d’inflexió de tangent
horitzontal
f’(𝑐2) = 0
 El punt 𝑐3 s’anomena màxim relatiu
f’(𝑐3) = 0

21. Màxim relatiu Mínim relatiu

22. PUNTS D’INFLEXIÓ DE TANGENT HORITZONTAL
Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés

23. EXEMPLE : ESTUDI DE LA MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ
ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGULARS DE
Conclusió obtinguda de la taula *:
 La funció és decreixent en −∞, −1 𝑖 0,1
La funció és creixent en (-1,0) i (0, ∞)
Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)
Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)
 Observem que el domini és (-∞, +∞)
 I donat que és polinòmica és contínua
en (-∞, +∞)
 Calculem primer els punts on s’anul·la la
derivada i localitzem els punts singulars
• Estudiem el signe que
tindrà la derivada en
els intervals que
determinen els punts
singulars
*

24. ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ :
Com hem vist, la primera derivada f’ ens dóna informació
sobre la funció f(x). Si derivem f’ obtenim la derivada de f’,
que denotarem per f’’(x). Aquesta ens donarà informació de
f’(x)
Així com f’>0 ens informa que f és creixent, f’’>0 ens
informa que f’ és creixent. Això ens indica que la corba de f(x)
està per sobre de les seves tangent (ja que les pendents
passen a ser negatives a ser positives i per tant f’ creix). En
aquest cas direm que f és còncava
En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es
tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i
direm que f(x) és convexa
o f’’>0 en un interval ⇒ f és còncava ∪
o f’’<0 en un interval ⇒ f és convexa ∩

25. EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR
MÀXIM I MÍNIMS :
També podem detectar que un punt singular és un màxim o
un mínim amb el test de la 2a derivada
Si f’(a)=0 i f’’(a)>0 ⇔ f presenta un mínim en x=a
Si f’(a)=0 i f’’(a)<0 ⇔f presenta un màxim en x=a

26. EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR
PUNTS D’INFLEXIÓ:
x=a és un punt d’inflexió PI de f(x) si
en aquell punt on la corba canvia de
curvatura
f(x) presenta un PI en x=a si f’’(a)=0.
Si a més, tenim que f’(a)=0 i f’’(a)=0
aleshores diem que en x=a f presenta
un punt d’inflexió de tangent
horitzontal

27. Còncava : la corba de
f(x) està per sobre de
les seves tangent
Convexa : la corba de
f(x) està per sota de
les seves tangent

28. EXEMPLE : EN LA FIGURA ES MOSTRA EL GRÀFIC DE LA FUNCIÓ F(X).
COMPLETA LA TAULA SEGÜENT AMB ELS SIGNES DE F, F’ I F’’ EN ELS PUNTS DEL
GRÀFIC A, B, C, D I E :

29. Solució :
A= (a,f(a)) B=(b,f(b)) C=(c,f(c)) D=(d, f(d)) E=(e, f(e))
f(a)=0, f’(a)=0 perquè presenta un mínim (tangent
horitzontal) i f’’(a) >0 perquè es còncava
f(b)>0, f’(b)>0 ja que la recta tangent tindrà pendent
positiu ja que f és creixent i f’’(b)<0 ja que és convexa
f(c)>0, f’(c)=0 ja que presenta un màxim i f’’(c)<0 ja que
és convexa
f(d)>0, f’(d)<0 ja que f decreix i f’’(d)<0 perquè és
convexa (podria ser el PI, ja que f(x) passa de convexa a
còncava i, en aquest cas f’’(d)=0 )
f(e)<0, f’(e)>0 ja que f creix, f’’(e)>0 ja que f és còncava

31. En una funció racional, normalment apareixen
AV en els valors de x que fa que el seu
denominador s’anul·li.
És molt probable que la funció de la gràfica
tingui un denominador del tipus
(𝒙 𝟐
-4) a que presenta dues AV : x=-2 i x=2

32. Una funció racional normalment presentarà una AH
quan el grau del numerador sigui igual o inferior
que el del denominador
Per exemple : 𝒇 𝒙 =
𝒙 𝟐−𝟐
𝒙 𝟐+𝟒
𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝑯 𝒆𝒏 𝒚 = 𝟏 ja que
𝐥𝐢𝐦 𝒙→±∞ 𝒇 𝒙 = 𝟏
Per exemple : 𝒇 𝒙 =
𝒙−𝟐
𝒙 𝟐+𝟒
𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝑯 𝒆𝒏 𝒚 = 𝟎 ja que
𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 = 𝟎

33. Una funció racional normalment presentarà una AO
quan el grau del numerador és superior en una
unitat al grau del denominador
Per exemple : 𝒇 𝒙 =
𝒙 𝟐−𝟐
𝒙 +𝟒
Presenta una AO del tipus y=x-4 ja que
𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→±∞
𝒇(𝒙)
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒙 𝟐−𝟐
𝒙 +𝟒
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒙 𝟐−𝟐
𝒙 𝟐+𝟒𝒙
= 𝟏
𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 − 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒙 𝟐−𝟐
𝒙+𝟒
− 𝒙 =
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒙 𝟐−𝟐
𝒙+𝟒
−
𝒙+𝟒
𝒙+𝟒
𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒙 𝟐−𝟐
𝒙+𝟒
−
𝒙 𝟐+𝟒𝒙
𝒙+𝟒
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
−𝟐−𝟒𝒙
𝒙+𝟒
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
−𝟒𝒙
𝒙
= −𝟒

34. ALGUNS EXEMPLES DE GRÀFIQUES :
1) Domini ℝ- 0
2) Punts de tall amb els eixos
 Eix OX ⇒ y=0
𝑥+1
𝑥2 =0 ⇒ x+1=0 ⇒x=-1
Punt (-1,0)
 Eix OY ⇒ x=0 ( No talla l’eix ja que x=0
no pertany al domini de f(x)
3) Asímptotes
AV en x=0 lim
𝑥→0±
𝑥+1
𝑥2 =
1
0+ = +∞ AV x=0
AH lim
𝑥→±∞
𝑥+1
𝑥2 =
∞
∞
⇒ lim
𝑥→±∞
𝑥+1
𝑥2 = 0± AH y=0
No té AO, ja que té AH
4. Intervals de creixement i decreixement – Màxims i mínims
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)
f és creixent de (-2, 0) i presenta un mínim en (-2, -1/4)
5. Curvatura (Intervals de concavitat i convexitat-Punts d’inflexió
En (-3, f(-3))=(-3,-2/9) presenta un PI
+

35. LA GRÀFICA DE F(X)=
𝑥+1
𝑥2
Talla l’eix OX en (-1,0)
Té AV en x=0 i AH en y=0
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)
f és creixent de (-2, 0)
Presenta un mínim en (-2, -1/4)
Té en (-3, -2/9) Punt d’inflexió
És convexa de (-∞, −3) i còncava (-3, 0) i de
(0, +∞)

36. • Intervals de creixement i decreixement :
f’(x)=
3𝑥2 𝑥2−1 −𝑥3(2𝑥)
𝑥2−1 2 =
3𝑥4−3𝑥2−2𝑥4
𝑥2−1 2 =
𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2
f’(x)=
𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2 = 0 ⇒ 𝑥4
− 3𝑥2
=0⇒𝑥2
𝑥2
− 3 = 0
⇒ 𝑥 = 0 𝑖 𝑥 = ± 3 fem el test de la 2a derivada pe avaluar
si són màxims, mínims o punts d’inflexió
𝑓′′ 𝑥 =
2𝑥3+6𝑥
𝑥2−1 3 i si avaluem en els punts singulars f’’(0)=0⇒
(0, 0) és Punt d’inflexió de tangent horitzontal
𝑓′′( 3)>0 ⇒( 3, 𝑓 3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎
f′′(− 3)<0 ⇒(− 3, 𝑓 −3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎à𝒙𝒊𝒎

37. -∞ − 𝟑 − 𝟏 𝟏 𝟑 +∞
f Màxim ∄ ??? ∄ Mínim
f’ + 0 - 0 +
f’’ ∩ ??? ∪
En (-1,1) f’<0, per
tant f decreix
=
2𝑥(𝑥2+3)
(𝑥2−1)3
En (-1,1) (𝑥2 − 1)3<0
(-1,0) 2𝑥(𝑥2
+ 3)<0per tant f’’>0 cóncava
(0,1) 2𝑥 𝑥2
+ 3 >0per tant f’’<0 convexa
∩ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎
∪ còncava

38. La gràfica
de f(x)=
𝑥3
𝑥2−1