1. Capitulo I
Matemática I (177)
Objetivo 10. Efectuar problemas analizando situaciones que puedan ser
resueltas mediante procedimientos matemáticos o que involucren
demostraciones de proposiciones o de teoremas mediante procedimientos
matemáticos.
Ejercicio 1
Usa un contraejemplo para demostrar que el siguiente enunciado es falso.
“Si 2
a Q∈ , entonces a Q∈ ”.
Solución
Justificación: En este caso debemos manejar la definición de un número
racional y de un número irracional. Por un lado un número racional es aquel
que se puede expresar como el cociente de dos números enteros, exceptuando
de las divisiones el cero; y un número irracional es aquel que NO se puede
expresar como el cociente de dos números enteros.
Ahora bien, nos indican que usemos un contraejemplo para demostrar
que el enunciado es falso, es decir, conseguir al menos un número que no
cumpla con el enunciado.
Es sencillo observar que si 2
a Q∈ , hay que tomar la raíz cuadrada de
cualquier número real positivo, por ejemplo 2a = , observa que:
Cumpla la hipótesis: ( )
2
2
2 2a Q Q Q∈ → ∈ → ∈
No cumple la tesis: 2a Q Q∈ → ∉
Por lo tanto hemos conseguido un contraejemplo que demuestra que el
enunciado planteado es falso.
Respuesta: El contraejemplo usado es 2a = .
Ejercicio 2
Considera la siguiente Proposición:
“Si 2
p es par, entonces p es par”
Demuestra esta proposición aplicando reducción al absurdo.
Solución

2. Justificación: El método de reducción al absurdo para demostrar teoremas
consiste en negar la tesis, y a través de una serie de pasos, se llega a una
falsedad o contradicción, bien sea de la hipótesis o de algún axioma o teorema
previamente conocido.
En nuestro caso, supongamos que p no es par, entonces p toma la
forma: 2 1p n= + , para algún n∈ℤ. (Negación de la conclusión o tesis).
Ahora, sustituyamos 2 1p n= + en 2
p y desarrollemos:
( )
22
2 1p n= +
Recordando el producto notable: ( )
2 2 2
2a ab b ba+ = + + podemos
desarrollar así:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
1 12 2 22 4 4 11n n n n n+ = + + = + +
Recordando que todos los números pares son múltiplos de 2, podemos
observar que ( )2 2
4 4 2 2 2 2n n n n K+ = + = , es decir el término 2
4 4n n+ es
múltiplo de 2, por lo tanto es par, pero sabemos que si a un par se le suma 1,
generara un impar, por lo tanto 2
4 4 121n n K+ = ++ es impar, lo que contradice
la hipótesis de que 2
p es par. La contradicción viene de suponer que p no es
par, por lo tanto p es par.
Respuesta: Queda demostrada la proposición al aplicar el método de
reducción al absurdo
Ejercicio 3
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos:
a. Una relación de causalidad es observable, se evidencia por que logra
suceder y transcurre en el tiempo
b. Razonamiento mediante el cual se establece la verdad de un enunciado
matemático apoyándose en premisas admitidas como verdaderas y en otros
enunciados ya demostrados es lo que se conoce como demostraciones por
agotamiento o exhaución de casos
c. Un teorema se demuestra por medio de una comprobación experimental
__
Solución

3. Justificación:
a) Si recordamos la comparación de los teoremas matemáticos con
respecto a otras ciencias, veremos que hay semejanza, a pesar de
que en otras ciencias se tiende a aplicar la relación causa→efecto ya
que son procesos observables que se suceden en el transcurrir del
tiempo, por lo tanto la primera afirmación es VERDADERA.
b) El razonamiento planteado se refiere al método de demostración de
teoremas en forma directa, mientras que el método de demostración
por agotamiento o exhaución de casos, como su nombre lo indica,
permite demostrar teoremas agotando un número finito de casos, por
lo tanto la afirmación dada es FALSA.
c) Un teorema no se demuestra por medio de comprobaciones
experimentales, ya que puede ser cierto para algunas situaciones,
pero no para toda situación, de manera que, se demuestran los
teoremas a través de métodos rigurosos que nos permiten llegar a la
total veracidad del mismo, por lo tanto la afirmación planteada es
FALSA.
Respuesta:
a) V
b) F
c) F
Ejercicio 4
Utilice un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales y cada uno mide una
unidad para “demostrar” mediante un “razonamiento” que:
22 =
Nota: Recuerde que estamos en presencia de una falacia de tipo geométrico.
Solución
Justificación: Primero dibujemos el triángulo rectángulo planteado:

4. Por un lado, podemos observar que si aplicamos el Teorema de
Pitágoras a éste triángulo, se tendrá que su hipotenusa tiene valor:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1
2
AC AB BC
AC
AC
= +
= +
=
Por otro lado, podemos trazar la siguiente poligonal azul AEDFC , donde
, yD E F son los puntos medios de AC , AB y BC respectivamente:

5. Observa que la longitud de esta poligonal (azul) es:
1 1 1 1 1 1 1 1 4
2
2 2 2 2 2 2
AE ED DF FC
+ + +
+ + + = + + + = = =
Si repetimos este procedimiento, ubicando de nuevo, puntos medios G,
H, I, J, K y L de los segmentos AE , AD , ED , DF , DC y FC respectivamente,
tendremos la diagonal roja AGHIDJKLC , así:

6. Observa que la longitud de esta poligonal (roja) es:
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1 8
2
4 4
AG GH HI ID DJ JK KL LC+ + + + + + + = + + + + + + + =
+ + + + + + +
= = =
Si repetimos este procedimiento, ubicando de nuevo, puntos medios M, , Ñ, O,
P, Q, R, S, T, U, V, W de los segmentos AG , AH , GH , HI , HD , ID , DJ , DK ,
JK , KL , KC y LC , respectivamente, tendremos la diagonal verde
AM ÑHOPQDRSTKUVWC, así:

7. Observa que la longitud de esta poligonal (verde) es:
AM M Ñ ÑH HO OP PQ QD DR RS ST TK KU UV VW WC+ + + + + + + + + + + + + + + =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16
2
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
+ + + + + + + + + + + + + + + = =
Si continuamos así, observamos que los segmentos de las poligonales
que construimos se hacen cada vez más pequeñas, y pudiéramos pensar que
al tomar infinitas poligonales, la longitud del segmento AC es 2.
Finalmente observamos que hemos demostrado a través de los
razonamientos anteriores que 2 2= , lo cual, a todas luces se sabe que
ciertamente es una falacia o sofisma geométrico.
Respuesta: SE demostró que 2 2= es un sofisma geométrico.
Ejercicio 5

8. Escribe el enunciado recíproco de la siguiente proposición y determina si el
mismo es cierto:
Si a y b son números reales positivos, entonces a bi es un número positivo.
Solución
Justificación: Para escribir el reciproco de un enunciado, debemos
cambiar la hipótesis por la tesis, así:
Si los números reales a y b son tales que a bi es un número positivo, entonces
los número a y b son números reales positivos.
Evaluando este enunciado, se tiene no es cierto porque el producto de
dos números negativos es un número positivo, es decir, el hecho de que a bi
sea positivo no quiere decir que siempre a y b sean positivos.
Respuesta:
A) El enunciado reciproco es: Si los números reales a y b son tales que
a bi es un número positivo, entonces los número a y b son números
reales positivos.
B) El enunciado reciproco NO es cierto.
Ejercicio 6
En el cuadro que se te da al final de los siguientes enunciados están las
posibles respuestas que corresponden a los espacios en blanco de cada uno
de ellos, para que sean enunciados verdaderos:
a. _________ todo enunciado que se precisa verdadero pero no existe ni
prueba ni refutación del mismo.
b. El razonamiento mediante el cual se establece la verdad de un enunciado
matemático se denomina ___________.
c. ________ y _______ son las partes que integran un teorema.
Cuadro de posibles respuestas
tesis contraejemplo
teorema lema
conjetura hipótesis

9. demostración contradicción
corolario teorema y proposición
axioma sofisma y falacia
proposición tesis y conclusión
Solución
Justificación:
a) Si recordamos que cuando un enunciado se presume verdadero
sin existir demostración ni refutación del mismo, estamos en
presencia de una conjetura.
b) Evidentemente que el procedimiento para establecer la verdad de
un enunciado o teorema es una demostración.
c) Un teorema está compuesto por 3 partes, hipótesis, procedimiento
de demostración y tesis.
Respuesta:
a. Conjetura es todo enunciado que se precisa verdadero pero no existe ni
prueba ni refutación del mismo.
b. El razonamiento mediante el cual se establece la verdad de un enunciado
matemático se denomina demostración.
c. Hipótesis y tesis son las partes que integran un teorema.
Ejercicio 7
Indica con una V o una F según que el enunciado sea verdadero o falso
respectivamente.
a. Un Teorema consta solamente de una tesis y una hipótesis ______
b. Un lema en general es un resultado de una importancia vital _____
c. Un corolario son proposiciones de consecuencias fáciles de teoremas o
proposiciones ____
Solución
Justificación:
a) Un teorema consta de tres partes: hipótesis, demostración o
deducción y tesis, por lo tanto la primera afirmación es FALSA.

10. b) Esta afirmación es FALSA, porque los lemas al igual que los
corolarios son teoremas de fácil demostración o de menor
importancia que los teoremas que se consideren principales.
c) Tal como se explicó en el apartado “b” inmediato anterior, un
corolario ciertamente es una proposición de consecuencias fácil de
un teorema. Por lo tanto esta afirmación es VERDADERA.
Respuesta:
a) F
b) F
c) V
Ejercicio 8
Haciendo apareamiento con una flecha indica cuáles conceptos dados en la
primera columna corresponden a los términos de la segunda columna:
a. Razonamiento mediante el cual se establece la
verdad de un enunciado matemático apoyándose en
premisas admitidas como verdaderas y en otros
enunciados ya demostrados.
b. Un enunciado matemático para el cual existe una
demostración.
c. Enunciado que se piensa que es verdad pero del
que no existe ni prueba ni refutación.
Teorema
Demostración
Conjetura
Solución
Justificación: En este caso debemos manejar las definiciones de Teorema,
demostración y conjetura, para poder aparear de la siguiente manera:

11. Respuesta:
a) demostracion→
b) teorema→
c) conjetura→
Ejercicio 9
Indica cuál es el error que se comete en la siguiente “supuesta” demostración:
Sean a, b números tales que a b< . Entonces:
5 5a b− < −
4 20 4 20a b− + < − +
4 10 4 10a b− + < − +
4 4a b− < −
4 4b a<
b a<
Solución
Justificación: A continuación presentare el comentario de cada paso, y
destacare en rojo el paso donde se cometió el error.
PASO 1
5 5a b− < − (Se restó un número en ambos miembros de la inecuación)
PASO 2
4 20 4 20a b− + < − + (Se multiplico por 4− en ambos miembros de la inecuación)
[pero no se cambió el sentido de la desigualdad]
PASO 3
4 10 4 10a b− + < − + (Se restó un número en ambos miembros de la inecuación)
PASO 4

12. 4 4a b− < − (Se restó un número en ambos miembros de la inecuación)
PASO 5
4 4b a< (Se multiplico por 1− en ambos miembros de la inecuación
cambiándose el sentido de la desigualdad)
PASO 6
b a< (Se multiplicó ambos miembros de la inecuación por el número positivo
1
4
)
Respuesta: El error se cometió en el paso 2, destacado en rojo.
Ejercicio 10
Dado el siguiente teorema identifica sus partes (o componentes): Si P(x) es un
polinomio con coeficientes reales y a ib+ es una raíz de P(x), entonces su
conjugado a ib− es una raíz de P(x).
Solución
Justificación: Las hipótesis se encuentran antes de la palabra
entonces, y luego de ésta palabra se encuentra la tesis, por lo tanto:
Respuesta:
Hipótesis:
1) P(x) es un polinomio con coeficientes reales
2) a ib+ es una raíz de P(x)
Tesis:
El conjugado de a ib+ , es decir, a ib− es una raíz de P(x).
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.

13. Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Conociendo la siguiente proposición:
El producto de dos números racionales es un número racional.
Demuestre el siguiente corolario:
Si a Q∈ entonces 3
a Q∈
Ejercicio 2
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con números reales, utilizando
una demostración por agotamiento de casos, analizando las dos situaciones
que se presentan, según si 0y = ó 0y ≠ .
2 2
2
x y x
xy y
 − =

= −
Ejercicio 3
Explicar en qué consiste la demostración por reducción al absurdo y en que, el
método de demostración por contraejemplo.
Ejercicio 4
Define y compara cuando un enunciado es un: teorema, lema, corolario, falacia
y conjetura.
Ejercicio 5
Pedro afirma que cierta propiedad la comprobó para todos los casos posibles,
entonces Pedro afirma que esa propiedad se ha demostrado por… (completa).
Sin embargo posteriormente Juan comprueba que en uno de los casos, dicha
propiedad no se cumple. ¿Está aplicando Juan el método de reducción al
absurdo? Si no es así, ¿qué método aplicó Juan para afirmar que la propiedad
estudiada no es cierta?
Ejercicio 6
¿En qué radica la diferencia entre una relación de causalidad y un teorema ?
Ejercicio 7

14. En el cuadro que se le da al final de los siguientes enunciados están las
posibles respuestas que corresponden a los espacios en blanco de cada uno
de ellos, para que sean enunciados verdaderos. A continuación se le presentan
tres enunciados, los cuales debe completar con alguna (s) palabra (s) dada (s)
en la tabla:
a. Se entiende por _________ a cualquier frase o enunciado que sea
verdadero o falso, pero no ambos.
b. Las tres partes en que consta un ___________ son: La hipótesis, la tesis
y la ________.
c. La _________ se deduce o es una consecuencia lógica de la _______ .
Cuadro de posibles respuestas
hipótesis tesis
teorema prueba
falacia Hipótesis y tesis
proposición Tesis y conclusión
demostración Contradicción
sofisma Teorema y proposición
axioma Sofisma y falacia
Ejercicio 8
Considera la proposición
La ecuación 2
3x = no tiene solución racional
Una demostración por reducción al absurdo de esta proposición es la siguiente:
Supongamos que el número racional
p
q
es solución de la ecuación, donde p y q
no tienen factores comunes. Entonces:
2
2
3
p
q
=
Luego

15. 2 2
3p q= [1]
Así resulta que p2
es un múltiplo de 3 y en consecuencia p es un múltiplo de 3.
De esta manera, tenemos que existe un entero k tal que
3p k=
Al sustituir este valor en la igualdad [1], obtenemos que
2 2
9 3k q=
Luego
2 2
3q k=
y por lo tanto q es múltiplo de 3. Así resulta que p y q tienen a 3 como factor
común. Esta contradicción proviene de suponer que el número racional
p
q
era
solución de la ecuación 2
3x = . Por lo tanto dicha ecuación no tiene a un
número racional como solución.
Enuncie un lema de esta proposición.
Ejercicio 9
Considera la siguiente Proposición:
“todo número real x verifica que 2
1 0x + > “
Escribe un Corolario de esta Proposición, explicando por qué es un
corolario.
Ejercicio 10
Identifica el tipo de demostración que se utiliza para probar el siguiente
teorema:
“Una función :f X Y→ dada por ( )y f x= es inyectiva, si para todo par de
elementos a y b en X, se cumple que f(a) = f(b), implica que a = b”
Demostración:
a) Suponemos que a ≠ b (negación de la tesis). Luego
b) f(a) ≠ f(b) (por inyectividad de f). Por tanto
c) a = b.