Computacion Aplicada

2. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
El método de los Para los problemas relacionados
elementos finitos con geometrías complicadas,
es un método cargas y propiedades de material,
numérico para generalmente no es posible
resolver obtener soluciones matemáticas
problemas de analíticas.
ingeniería y de la
física matemática.

3. A las soluciones analíticas las
podemos interpretar como una
expresión matemática que da
los valores de las cantidades
deseadas en cualquier ubicación
en un cuerpo y, por tanto válida
para un número infinito de
lugares en el cuerpo, teniendo
que optar a la aplicación de
ecuaciones diferenciales que de
igual manera generalmente no
se podrán obtener.

4. La formulación de elementos
finitos de los resultados de
problemas en un sistema de
ecuaciones algebraicas
simultáneas para la solución.
Estos métodos numéricos dan
valores aproximados de las
incógnitas en números discretos
de forma continua. Por lo tanto
este proceso de modelado de un
cuerpo mediante la
“discretización”.

5. En el método de
elementos finitos, en
lugar de resolver el
problema para todo el
cuerpo en una sola
operación, se formulan
las ecuaciones para cada
elemento finito y
combinarlos para obtener
la solución de la solución
de todo el cuerpo.

6. HISTORIA BREVE.-

8. LA INTRODUCCIÓN A LA ANOTACIÓN DE
LA MATRIZ.-
Los métodos de la matriz son una herramienta
necesaria usada en el método del elemento finito
para:

9. Rol del Ordenador.-
 Como ya hemos dicho, hasta la década de 1950, los métodos de la matriz y
el método de los elementos finitos asociado no eran fácilmente adaptables
para resolver problemas complicados, con la llegada de la computadora, la
solución de miles de ecuaciones en cuestión de minutos se hizo posible.
 En la década de 1950, el primer comercial moderno de una computadora
parece haber sido el Univac, IBM 701. Este equipo ha sido construido en
base a tecnología de tubos al vacío. Junto con la UNIVAC fue la tecnología
de tarjetas perforadas en el cual los programas y datos fueron creados en
tarjetas perforadas.
 En la década de 1960, la tecnología estuvo basada en transistores los cuales
remplazaron la tecnología de tubos al vacío debido a la reducción del
consumo del costo, peso y potencia y su aumento en la fiabilidad.
 Desde 1969 hasta finales de 1970, Fueron integrados circuitos basados en la
tecnología que estaba siendo desarrollada, la cual permitió aumentar la
velocidad de procesamiento de los ordenadores, por lo que es posible
resolver los problemas más grandes de elementos finitos con grados
crecientes de libertad.
 Desde finales de 1970 a la década de 1980, integración a gran escala, así
como estaciones de trabajo que introdujeron una interfaz gráfica de ventanas
que aparecieron junto con el ratón del ordenador.

10.  El 17 de noviembre de 1970, el ratón de la computadora recibió por primera
vez una patente.
 Las computadoras personales ahora se habían convertido en el mercado de masas
computadoras de escritorio. Esta evolución se produjo durante la era de la
computación en red, lo que provocó la Internet y la World Wide Web.
 En la década de 1990 fue lanzado el sistema operativo Windows, por lo que
IBM y PC compatibles con lBM fueron más fáciles de usar mediante la
integración de una interfaz gráfica de usuario en el software.
 De hecho, los programas informáticos de elementos finitos ahora se pueden
resolver en un solo proceso en una sola máquina, tales como un simple
computador de escritorio o un ordenador portátil personal (PC) o en un grupo de
ordenadores.
 Para usar el ordenador, el analista, que ha definido el modelo de elemento finito,
introduce la información en el ordenador. Esta Información puede incluir la
posición del elemento coordenadas nodales, la manera en la cual los elementos
son unidos, las propiedades materiales de los elementos, las cargas aplicadas,
condiciones divisorias, o coacciones, y la clase de análisis para ser realizado. El
ordenador entonces usa esta información para generar y solucionar las
ecuaciones necesarias de realizar el análisis.

13. Pasos generales el método de
Típicamente para el problema de análisis de tensión
los elementos finitos .-determinar
estructural, el ingeniero procura
desplazamientos y esfuerzos en todas partes de la
estructura, que está en el equilibrio y es sujetada a
cargas aplicadas. Para muchas estructuras, es difícil de
determinar la distribución de deformación que usa
métodos convencionales, y así necesariamente se
utilizara el método de elemento finitos.

14. Hay dos enfoques generales directos tradicionalmente
asociados con el método de elementos finitos aplicado a
problemas de mecánica estructurales.
El método de elementos finitos implica el modelado de
la estructura utilizando pequeños elementos
interconectados llamados elementos finitos.
El segundo enfoque,
Un enfoque es, la
llamado el método
llamada método de
de desplazamiento, o
fuerza, o
rigidez, asumen los
flexibilidad, usan
desplazamientos de
fuerzas internas
los nodos como la
como la incógnita
incógnita del
del problema.
problema.

15. PASO 1.- Discretizar y seleccionar
los tipos de elementos.
Consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de
elementos finitos con nodos asociados y seleccionando el
tipo de elemento más adecuado para modelo más de cerca
el comportamiento físico real.
La opción de elementos usados en un análisis de
elemento finito depende del apariencia física del
cuerpo en condiciones de carga real y de como
cerca del comportamiento real el analista quiere que
los resultados sean. El juicio que concierne la
adecuación de uno, dos, o idealizaciones
tridimensionales es necesario.

16. Los elementos lineales
primarios, consiste en
barras y vigas. Ellos
tienen un área
cuadriculada, pero por
lo general son
representados por El básico elemento
segmentos de recta. bidimensional (o en el plano),
son elementos triangulares o
cuadriculares.Los elementos
bidimensionales más simples
tienen nodos en las esquinas,
aunque haya también los
elementos de orden más alto,
típicamente con nodos
medios.

17. Los elementos
tridimensionales más
comunes son tetraédricos y
hexahedral (o el ladrillo)
elementos; ellos son
usados cuando se hace
necesario realizar un
análisis de tensión El elemento de ejes simétricos
tridimensional. es desarrollado haciendo girar
un triángulo o el cuadrilátero
sobre un eje fijo localizado en
el plano del elemento a 360.
Este elemento puede ser usado
cuando la geometría y la carga
del problema son con ejes
simétricos.

18. Paso 2 elegir una función de desplazamiento
Consiste en elegir una función de desplazamiento dentro
de cada elemento. La función se define dentro del
elemento utilizando los valores nodales del elemento.
Polinomios lineales, cuadráticas y cúbicas son funciones
de uso frecuente debido a que son fáciles de trabajar en la
formulación de elementos finitos.
Las funciones se expresan en términos de las incógnitas
nodales (en el problema de dos dimensiones, en tema de
una componente x y ay). La misma función general de
desplazamiento puede ser utilizado repetidamente para
cada elemento.

19.  Paso 3 Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la tensión /
deformación
Deformacion / desplazamiento y de esfuerzo / deformación,
relacionadas entre si son necesarias para derivar las
ecuaciones para cada elemento finito. En el caso de una
deformación dimensional
Para pequeñas deformaciones. Además, las tensiones
deben estar relacionadas con los esfuerzos a través de la
tensión / deformación de la ley generalmente se llama la
ley constitutiva. La capacidad de definir el material
comportamiento con precisión es más importante para
obtener resultados aceptables.
donde σx = tensión en la dirección x y el módulo E de
elasticidad.

20.  Paso 4 Deducir la Matriz de rigidez del elemento y
ecuaciones
Inicialmente, el desarrollo de matrices de rigidez del
elemento y ecuaciones elemento se basa en el concepto de
coeficientes de influencia de rigidez, lo que presupone.
Metodo de equilibrio Directo.-
De acuerdo con este método, la matriz de rigidez y las
ecuaciones del elemento estan relacionadas a las fuerzas,
a los desplazamientos nodales se obtienen usando
condiciones de fuerza, de equilibrio para un elemento
basico, junto con las relaciones de fuerza / deformación.

21. Métodos utilizados para
Métodos de trabajo derivación de las ecuaciones
o energía de los elementos.
Para desarrollar la
matriz de rigidez y •El principio de trabajo virtual
las ecuaciones para (mediante desplazamientos
elementos de dos, y virtuales), cualquier
tres dimensiones, es comportamiento del material.
mucho más fácil de •El principio de mínima energía
aplicar un método de potencial (materiales elásticos)
trabajo o energía •El teorema de castigliano
(materiales elásticos)

22. Con el propósito de extender el método de elementos
finitos fuera del campo de esfuerzos análisis estructural
(una función de otra función o una función que toma
funciones como su argumento) análoga a la que se
utilizará con el principio de energía potencial mínima es
muy útil en la deducción de la matriz de rigidez del
elemento y las ecuaciones
Por ejemplo
dejando que . denotan el funcional y f (x, y) denotan
una función f de dos variables x e y, entonces tenemos
= (f (x, y)), donde es una función de la función f
donde las variables independientes son x e y en
coordenadas cartesianas, está dada por:

23.  Métodos de residuos ponderados
Los métodos residuales ponderados permitir que el
método de elementos finitos para ser aplicado
directamente a cualquier ecuación diferencial.
Es una expresión integral que contiene implícitamente
ecuaciones diferenciales que describen el problema

24.  FORMA MAS COMPACTA
Donde:
(f) es el vector de fuerzas elemento nodal
(k) es la matriz de rigidez del elemento (normalmente
cuadrada y simétrica), y
(d) es el vector de los elementos desconocidos grados de
libertad nodales o desplazamientos generalizados
n. aquí desplazamientos generalizados pueden incluir
cantidades tales como desplazamientos reales, pendientes,
o incluso curvaturas.

25. PASO 5 ENSAMBLAR LAS ECUACIONES ELEMENTO
PARA OBTENER LAS ECUACIONES GLOBALES O TOTAL E
INTRODUCIR CONDICIONES DE CONTORNO.
En este paso los elementos ecuaciones individuales de
equilibrio nodales generadas en el paso 4 se ensamblan en las
ecuaciones de equilibrio globales nodales
La ecuación final ensamblados global o por escrito en la forma
es
{F} = [k] {d}
Donde
{F} es el vector de fuerzas nodales globales, [K] es la matriz de
rigidez de la estructura global o total, (para la mayoría de los
problemas, la matriz de rigidez global es cuadrada y simétrica) y
{d} es ahora el vector de conocidos y desconocidos estructura
de grados de libertad nodales o desplazamientos generalizados.

26. PASO 6 RESUELVE PARA LOS GRADOS
DESCONOCIDOS DE LA LIBERTAD
Modificada para tener en cuenta las condiciones de contorno,
es un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas que
puede ser escrita en forma de matriz expandida como:
Dónde
n: es el número total grados de
libertad nodales de la
estructura.
Estas ecuaciones se pueden
resolver por el método de
eliminación o un método
iterativo (tal como el método
de Gauss-Seidel).

27. PASO 7 RESOLVER LAS TENSIONES Y EL
ESTRÉS DE ELEMENTOS
 Para el análisis estructural del problema, es
importante la cantidades secundarias de la
tensión y fatiga (o momentos y fuerza de
cizallamiento).
 se puede obtener debido a que puede ser
expresado directamente en términos de los
desplazamientos determinados en el paso 6.
Relaciones típicas entre la tensión y el
desplazamiento

28. PASO 8 INTERPRETAR LOS RESULTADOS
EL OBJETIVO
 es FINAL
interpretar y analizar los resultados para su
uso en el proceso de diseño / análisis.
Determinación de la ubicación en la
estructura donde producen grandes
deformaciones y tensiones
Programas informáticos pos procesador
ayudar al usuario a interpretar los resultados
mediante su colocación en forma gráfica.

29. APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS FINITOS
Puede ser utilizado para analizar tanto los problemas
estructurales y no estructurales.
1. Análisis de esfuerzos, incluyendo entramado y análisis de
marco, y problemas de concentración de esfuerzos u otros
cambios en la geometría de un cuerpo.
2.- Pandeo
3.- Análisis de vibración

30.  No estructurales
• Transferencia de calor
• Fluido, incluyendo la filtración a través de medios porosos.
• Distribución de potencial eléctrico o magnético
Finalmente, algunos problemas de ingeniería biomecánicas
(que puede incluir el análisis de tensión) incluyen análisis
de la columna vertebral humana, cráneo, articulaciones de
la cadera, la mandíbula / goma de implantes de dientes, el
corazón y los ojos.

31.  Ejemplo una torre de control de un ferrocarril
48 elementos
28 nodos
Cada nodo tiene tres
rotación y tres componentes
de desplazamiento
asociados. Las rotaciones
(θs) y desplazamientos (ds)
son llamados
“grados de libertad”.

32.  Discretizado con un modelo de caja subterránea
alcantarilla
(369 nodos,
40 elementos de barra y
333 elementos de deformación
plana
 análisis de un extremo de la varilla
120 nodos
297 planos de tensión
elementos triangulares

33. SECCIÓN DE CHIMENEA
584 vigas
252 elementos de placa
plana

34. 1,6 VENTAJAS DEL MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS
1. Se aplica a elementos tanto estructurales como no estructurales
2. Modelo de forma irregular cuerpos con bastante facilidad
3. Modelo cuerpos compuestos por varios Materiales diferentes
porque las ecuaciones de los elementos se evalúa
individualmente
4. Maneje un número ilimitado y tipos de condiciones de contorno
5. Variar el tamaño de los elementos para hacer posible el uso de
elementos pequeños cuando sea necesario
6. Modifique el modelo de elementos finitos relativamente sencilla
ya buen precio Incluye efectos dinámicos
7. Manejar el comportamiento no lineal existente con grandes
deformaciones y materiales no lineales

35. PROGRAMAS INFORMÁTICOS PARA EL
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
 Hay dos métodos generales
1. utilizar grandes programas comerciales,
muchos de los cuales han sido configurados para
ejecutarse en ordenadores personales estos
programas con propósito general están diseñados
para resolver muchos tipos de problemas.
2. el desarrollo variados pequeños programas de
propósito especial para resolver problemas
específicos.

36. ALGUNAS VENTAJAS DE LOS PROGRAMAS DE USO GENERAL:
 La entrada está bien organizado y se desarrolla con la facilidad de uso
mental. Los usuarios no necesitan conocimientos especiales de software o
hardware. Preprocesadores están disponibles para ayudar a crear el modelo
de elementos finitos.
 Programas de neumáticos son sistemas de gran tamaño que a menudo puede
resolver muchos tipos de problemas de tamaño grande o pequeño, con el
formato de la misma entrada.
 Muchos de los programas se puede ampliar mediante la incorporación de
nuevos módulos para nuevos tipos de problemas o nuevas tecnologías. Por
tanto, pueden mantenerse al día con un mínimo de esfuerzo.
 Con la mayor capacidad de almacenamiento y la eficiencia computacional
de los ordenadores, muchos programas de uso general ahora se puede
ejecutar en los ordenadores.
 Muchos de los programas disponibles en el mercado se han convertido en
muy atractivo en precio y puede resolver una amplia gama de problemas

37. ALGUNAS DESVENTAJAS DE LOS PROGRAMAS
DE USO GENERAL:
 El costo inicial del desarrollo de programas de
propósito general es alto.
 Programas de propósito general son menos eficientes
que los programas de propósito especial porque el
equipo debe hacer muchos controles para cada
problema, algunos de los cuales no sería necesario si un
programa de propósito especial se utilizaron.
 Muchos de los programas son propietarios. Por lo tanto
el usuario tiene poco acceso a la lógica del programa. Si
en una revisión se debe hacer, a menudo tiene que ser
hecho por los desarrolladores.

38. ALGUNAS VENTAJAS DE LOS PROGRAMAS
DE PROPÓSITO ESPECIAL:
 Los programas son por lo general relativamente
corto, con bajos costes de desarrollo.
 Los pequeños ordenadores son capaces de ejecutar
los programas.
 Las adiciones se pueden realizar con el programa de
forma rápida y con un coste bajo.
 Los programas son eficientes en la solución de los
problemas que estaban destinadas a resolver.