Slides written in Japanese for the following paper: Shun Motegi and Naoki Masuda. A network-based dynamical ranking system. Preprint: arXiv:1203.2228

1. ネットワークの中心性に基づ
く個人スポーツの動的なラン
キング
増田 直紀
東京大学大学院 情報理工学系研究科
With 茂木 隼 (M2)

2. FIFA Ranking
Japan (ranked 19th) Bhutan (198th)
VS
Sweden (18th) Spain (1st)
VS

3. FIFA Ranking
Japan (19th) Bhutan (198th)
VS
WIN LOSE
Sweden (18th) Spain (1st)
VS

4. Introduction : FIFA Ranking
Japan (19th) Bhutan (198th)
VS
WIN LOSE
Sweden (18th) Spain (1st)
VS
1勝の重みが全く違う !!

5. スポーツランキング
• サッカーに限らず，総当たり戦でないスポーツでは
対戦相手の強弱による不公平性が生じやすい.
（e.g. 自国の大陸との対戦が多くなる）
→ 単純に勝敗数でランキングを決めるのは不適
切
• 実際のランキングには不公平性を是正するためのルー
ルが設けられているが…
（e.g. 「強い」大陸の国ほど得られるスコアが大きい）
・ 複雑でわかりにくい場合が多い
・ 新たな不公平性を生むことも
• → ネットワークを用いたランキング手法

6. ネットワークを用いたランキング手法
• 頂点 = 選手 (or team)
• 1試合の勝者と敗者を有向辺で結ぶ.
• 各頂点の中心性 = 選手のランキング
• 計算方法 :
1. prestige score [Radicchi, 2011]
2. win-lose score [Park & Newman, 2005]
→ static ranking systems

7. Static and dynamic ranking
Static ranking
• 時間構造を無視．つまり，「選手の実力は不変」 と想定
– 実際には，選手の実力は時間に依存するはず.
Dynamic ranking
本研究の目的:
時間構造を導入し, 実力の変動を考慮し
た
ランキング手法を提案する.

8. Prestige score
• player i が player j に勝った回数： win lose
i
• : j が負けた総数 j
0<q<1
• 多くの相手に勝つほどスコアが上がる.
• 勝った相手のスコアが大きいほどスコアが上がる.
• 勝った相手の負け数 が小さいほどスコアが上がる.
• 負けの影響は直接は考慮されていない.
• PageRank と同じ

9. win-lose score （１）
• １ は ２ に勝利 （距離 1）
２ は ３ に勝利 （距離 1）
→ 1 は ３ に間接的に勝利 （距離 2 ）
１
間接勝利
• ２ は １ に敗北 （距離 1）
３ は ２ に敗北 （距離 1） ２ ３
→ ３ は １ に間接的に敗北 （距離 2 ）

10. win-lose score （２）
A = j が i に勝った回数を (i , j) 成分にもつ勝敗行列
i の距離 1 の勝利数 =
i の距離 2 の勝利数 =
i の距離 3 の勝利数 =
距離 k の勝利の価値 = 距離 1 の勝利の 倍 (0 ≦ α < 1)．
k = 1, 2, … で和をとる → i の win score wi

11. win-lose score （３）
• 負けの影響も同様に考える.
lose score:
Player i’s score:

12. 例1
Note 0 ≦ α < 1
１
２ ３

13. 例2
１
= A の最大固有値．
収束条件は
２ ３
実際には全試合終了まで は不明なので, 上の条
件を満たすように を十分小さくする必要がある.

14. Static ranking の問題点
• Static ranking では対戦が行われた時刻に関する
情報がないため, 過去の対戦を たった今行われた
かのように扱う （実力を不変と想定）
• しかし，プレイヤーの実力が変化するスポーツは多い．
• デビュー当時の Federer に勝つことと10年後の Federer
に勝つことが同じ評価となる．
１
year year
2000 2010
２ ３

15. Dynamic win-lose score （１）
• win-lose score を以下のように拡張した dynamic win-lose
score を提案する.
1. 間接的な勝ち負けは，過去に遡るものしか
考 えない.
2. player のスコアは時間について指数関数的に
減衰する.

16. Example
１ １
２ ２ ３ ３
（α,βは正の定数）

17. Example
１ １
２ ２ ３ ３
（α,βは正の定数）

18. Example
１ １
２ ２ ３ ３
（α,βは正の定数）

19. Example
１ １
２ ２ ３ ３
（α,βは正の定数）

20. Dynamic win-lose score （２）
１ １
２ ２ ３ ３
（α,βは正の定数）

21. Dynamic win-lose score （２）
１ １
２ ２ ３ ３
（α,βは正の定数）

22. Dynamic win-lose score （２）
１ １
２ ２ ３ ３
（α,βは正の定数）

23. Dynamic win-lose score （２）
１ １
２ ２ ３ ３
（α,βは正の定数）

24. win-lose score
１ １ １
２ ２ ３ ２ ３
（αは正の定数）

25. Dynamic win-lose score （３）
勝敗行列:
n 番目の試合でプレイヤー i と j が対戦し, j が勝ったとき
j が i に勝つことで得られる win score を (i, j) 成分にもつ行列
を とすると 時刻 tn-1 まで遡って得られる win score
時刻 tnで得られる win score
時刻 tn-2 まで遡って
得られる win score
時刻 t1 まで遡って
得られる win score

26. Update equations
Win score at time tn:
( はすべての要素が1の列ベクトル)
lose score:
Score の更新式：

27. テニスのデータの解析
• 1972年12月から 2010年 5月までの ATP World Tour
（男子プロテニス協会） のシングルス 381570 試
合, 14554人の対戦結果を使用する.
• 試合の内容や大会の大きさは考慮しない.
• 1 試合毎に各プレイヤーのスコアを更新

28. β の決め方
• 公式ランキングでの 1 勝のスコアは 1 年間持続する
• Dynamic win-lose score では 1 勝のスコアは指数関数的に
減衰しながら永久に持続する
• 1 勝の寄与の合計が両者で一致 ⇔ β=1/365
y=1 (0≦t≦365)
１勝したときのスコア
1
y=exp(-βt) (t≧0)
0
0 365 730
経過時間 t [day]
28

29. ランキングの予測性能
• A game between players i and j at time tn
• 直前の両プレイヤーのスコアの大小から，試合結果を予
測
スコアが大きいプレイヤーの勝利 → 予測成功
スコアが小さいプレイヤーの勝利 → 予測失敗
同点 → 予測対象から外す
• Prediction accuracy = （予測成功試合数） / （予測対象試合
数）
• win-lose score および prestige score では, 時刻 tn 以前の試合
結果も全て含めたネットワークを用いてスコアを算出す

30. Dynamic win-lose score

31. win-lose score
Note: λmax = 0.00438

32. Prestige score

33. Prediction accuracy at the end of the data
• Dynamic win-lose score with α = 0.1～0.2 outperforms the
other two ranking systems.
Ranking 手法 Prediction accuracy
Dynamic win-lose score 0.650
(α = 0.1, β = 1/365)
Dynamic win-lose score 0.655
(α = 0.15, β = 1/365)
Dynamic win-lose score 0.653
(α = 0.2, β = 1/365)
win-lose score (α = 0) 0.602
Prestige score (q = 0.05) 0.630

34. パラメータの感度分析
• パラメータの決め方によってランキングが大きく変動
してしまうことは望ましくない.
• Dynamic win-lose score におけるパラメータの感度
を, 順位相関を用いて調べる.
• 全試合終了時点でランキング上位300人の順位相関を計算す
る. （Fagin et al. (2003) の方法）

35. Rank correlation with two α values given β = 1/365
・ Rank correlation of the
top 300 players
・ @ end of the data
(i.e., May 2010).
・ A modified Kendall rank
corr (Fagin et al., 2003)
・ corr ≧ 0.9 when α ≧ 0.15
・ Not robust only for small
α

36. Rank correlation with two β values
(one β value = 1/365）
・ Insensitive for small β ≦ 3/365 or so. (note: β = 1/365 included)

37. Sum of the scores
・ From the top, α = 0.15, 0.1, 0.08, 10 -5. We set β = 1/365.
・ Exponential increases.

38. 相対スコアと公式ランクの比較

39. 結論
• win-lose score に時間構造を導入
– 設計指針，公平性の意味でより適切かも
– Tennis の data で良好なパフォーマンス
– ランキング結果はパラメータの変動に対して安
定.
• 計算コストとも小さい
– 様々な統計学習的手法は存在する
• Ref: Motegi & Masuda, arXIv:1203.2228