El documento describe los métodos de Kuhn-Tucker y Lagrange para la optimización matemática. Kuhn-Tucker proporciona condiciones necesarias y suficientes para que una solución sea óptima cuando hay restricciones no lineales, mientras que Lagrange reduce problemas restringidos a problemas sin restricciones mediante la introducción de multiplicadores. Ambos métodos son ampliamente utilizados en economía, control y otras áreas para resolver problemas de optimización con restricciones.
1. El Método de KUHN TUCKER y
LAGRANGE
Realizado por:
Darlene Herrera
C.I.: 16.170.579
2. Historia de Kuhn-Tucker
Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995)
fue un matemático estadounidense nacido en Canadá que realizó
importantes contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a
la Programación no lineal.
Condiciones de Kuhn-Tuvker fue desarrollado por Albert William Tucker y
complementada por Harold Kuhn, quien permitió mejoras en el
proceso, pero se le adjudico un papel secundario.
3. Definición de las condiciones
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también
conocidas como las condiciones KKT o KuhnTucker) son condiciones necesarias y suficientes
para que la solución de un problema de
programación matemática sea óptima. Se dice
estas son una generalización del método de los
multiplicadores de Lagrange.
4. Importancia de Kuhn-Tucker
La importancia de este teorema radica en que nos dice
que podemos asociar una función de utilidad a unas
preferencias, esto nos abre la puerta de la potente
herramienta del análisis matemático al estudio del
comportamiento del consumidor.
5. Un comerciante puede comprar hasta 17.25 onzas
de un producto o químico a 10 dólares cada onza.
Se puede convertir una onza d el producto químico
A en una onza del producto I a un costo de 3
dólares a onza. Asimismo, una onza del químico A se
puede convertir en una onza del producto II a un
costo de 5 dólares la onza. Si se producen x1 onzas
del producto I se venderá a 30 − x1 dólares la
onza, mientras que si se producen x 2 onzas del
producto II se venderá a 50 − x 2 dólares la onza.
Determine cómo el comerciante puede maximizar
sus ganancias.
Variables de Decisión:
■ x1 = Onzas del producto I producidas ■ x 2 =
Onzas del producto II producidas Objetivo Max z =
x1 (30 − x1) + x 2 (50 − x 2) − 3 x1 − 5 x 2 − 10 (
x1 + x 2) Restricciones x1 + x 2 ≤ 17.25, 0 ≤ x1, 0
≤ x 2
Ejemplo 1
6. Así:
f = x1 (30 − x1) + x 2 (50 − x 2) − 3 x1 −
5 x 2 − 10 ( x1 + x 2) g1 = x1 + x 2 −
17.25 ≤ 0 g 2 = − x1 ≤ 0 g 3 = − x 2 ≤ 0
Las condiciones de KKT que debe satisfacer el
óptimo son (Observe que se uso el criterio para
maximizar con
−
f
; por tanto,
los
multiplicadores no deben ser negativos):
7. Resolviendo el sistema anterior con Maple
obtenemos los siguientes puntos. En la tabla se
tabula cada una de las restricciones evaluada en el
p unto correspondiente. Recuerde que las λ s
deben ser no negativas y las restricciones deben
cumplirse (gi ≤ 0 ):
Ejemplo 1
8. Campo de Aplicación
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el
problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la
solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad
o parte de las restricciones del problema se activan
dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y
se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un
conjunto de restricciones activas cuya solución también
satisface las restricciones omitidas. Notar que si se han
activado la totalidad de restricciones sin encontrar una
solución factible, entonces el problema es infectable. Esta
característica particular de los modelos no lineales
permite abordar problemas donde existen economías o
de economías de escala o en general donde los
supuestos asociados a la proporcionalidad no se
cumplen.
9. Historia de Lagrange
Joseph Louis Lagrange, fue un matemático, físico y
astrónomo italiano que después vivió en Rusia y
Francia. Lagrange demostró el teorema del valor
medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una
importante contribución en astronomía.
10. Los Multiplicadores de Lagrange
En los problemas de optimización, los multiplicadores
de Lagrange nombrados así en honor a Joseph Louis
Lagrange, son un método para trabajar con funciones
de varias variables que nos interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este
método reduce el problema restringido en n variables
en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas
ecuaciones pueden ser resueltas. Este método
introduce una nueva variable escalar desconocida, el
multiplicador de Lagrange, para cada restricción y
forma una combinación lineal involucrando los
multiplicadores como coeficientes. Su demostración
involucra derivadas parciales, o bien usando
diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla
de la cadena. El fin es, usando alguna función
implícita, encontrar las condiciones para que la
derivada con respecto a las variables independientes
de una función sea igual a cero.
11. Utilidad del método
Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar
máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a
menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se
está extremando. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea
maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores fijos
o restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange sirve
para resolver esta clase de problemas sin la necesidad de resolver
explícitamente las condiciones y los utilizan para eliminar las variables
adicionales.
Para decirlo más sencillamente, no es por lo general suficiente para
preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer
esta lata?" (La respuesta a eso es claramente "Hacer un muy, muy
pequeño puede!") ¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el
aluminio mientras se asegura la lata celebrará 10 onzas de sopa ? " O
del mismo modo, "¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica
dado que sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo
más sofisticado ", ¿Cuánto tarda en llegar a la montaña rusa de la
tierra suponiendo que se mantiene en el camino ? " En general, los
multiplicadores de Lagrange son útiles cuando algunas de las variables
en la descripción más sencilla de un problema son despedidos por las
restricciones.
12. Campo de Aplicación
Economía
La optimización reprimida desempeña un papel central en
la economía. Por ejemplo, el problema selecto para un
consumidor se representa como uno de maximizar una
función de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto
. El multiplicador Lagrange tiene una interpretación
económica como el precio de la oposición asociado con
la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de
ingresos . Otros ejemplos incluyen la maximización de la
ganancia para una firma, junto con varias aplicaciones
macro-económicas.
Teoría de control
En la teoría de control óptimo , los
multiplicadores de Lagrange se
interpretan como constates
variables, y los multiplicadores de
Lagrange se formulan de nuevo
como la minimización del
hamiltoniano , en el principio
mínimo de Pontryagin.
13. La función de producción de Cobb- Douglas para un
cierto fabricante viene dada por
donde x
denota las unidades de trabajo (Q. 150.00 unidades) e y
las unidades de capital (Q 250.00 la unidad) Hallar el
máximo nivel de producción admisible para este
fabricante, si tiene el coste conjunto de trabajo y capital
limitado a Q50000.00
Ejemplo 1
14. Averiguar las dimensiones del paquete rectangular
de máximo volumen sometido a la restricción de
que la suma de su longitud y el perímetro de la
sección transversal no exceda 108 pulgadas.
Ejemplo 2