El documento describe los procedimientos para realizar una poligonación topográfica, incluyendo nivelación geométrica, medición de ángulos y distancias, cálculo de coordenadas y elevaciones. Se presentan fórmulas y métodos para calcular azimuts, distancias horizontales y verticales, coordenadas preliminares, correcciones, razón de cierre y área. Como ejemplo, se resume la poligonación realizada entre 4 puntos de control de la Universidad Privada Boliviana.

1. Ariel Carrasco
Esteban Muñoz
Mauricio Plaza
Mauricio Salinas

2. La poligonación es uno de los procedimientos
topográficos más empleados, puesto que permite
establecer puntos de control y de apoyo para el
levantamiento de detalles, en vista de utilizarlo en
diversos proyectos y obras.
Como es conocido, al realizar cualquier tipo de
medición se obtienen errores producto de diversos
factores, sin embargo, las poligonales cerradas
permiten controlar el cierre angular y el cierre
lineal, con el fin de obtener resultados
satisfactorios, cumpliendo con ello, las tolerancias
requeridas según el proyecto. Por esta razón, la
poligonación consta de una serie de cálculos y
compensaciones con el fin de obtener coordenadas
rectangulares muy precisas de sus vértices o
estaciones

3. 0.1.1. Poligonal Cerrada horizontal
Una poligonal es una sucesión de líneas
conectadas entre si por los vértices. Se
denomina
poligonal cerrada a aquella que posee la
misma estación de partida que la estación de
cierre,
tomando además una estación de referencia.

4. 0.1.2 Errores y tolerancias para el cálculo de
poligonales cerradas
Se debe verificar que el error angular sea
menor que la tolerancia angular
Tolerancia>Error

5. TAng =p N
Donde: p es la precisión del instrumento
N es el números de lados de la poligonal
TLin = Error máximo
Distancia total

6. 0.1.3 Cálculo y compensación de poligonales
Cerradas
Cálculo y compensación del error angular
Ángulos externos
Ángulos internos
Ang
ext
Ang int
= 180(N + 2)
= 180(N - 2)
Donde N es el numero de lados de la poligonal

7. 
El error angular es igual a la diferencia entre
la sumatoria práctica y la sumatoria teórica. Si
el error angular supera la tolerancia
admitida, se debe realizar la medición
angular nuevamente, en caso de ser
menor, se realiza la compensación del error a
cada ángulo medido, según:
Angulocorr = - Error Angular
N+1

8. Calculo de Azimut
El azimut de partida se obtiene a partir de
la abertura angular que existe entre la
estación de referencia y la estación de
partida, de acuerdo a sus coordenadas
conocidas:
arctan
E
N

9. Cálculo de distancias horizontal y vertical
La distancia horizontal, DH, es la distancia
proyectada al horizonte del terreno, viene dada
por:
DH = DI sin (z)
de la misma manera, la distancia
vertical, DV , que representa el desnivel, se
obtiene de:
DV = DI cos (z)
Donde z es el ángulo zenital medido por el
instrumento

10. Cálculo de coordenadas preliminares y del
error lineal total

Delta Norte

Delta Este
∆N = DH cos (α)
∆E = DH sin (α)
Donde α es el azimut al punto

11. Error lineal Total
ELT
ELN
2
ELE
2
Donde ELN es el error lineal en Norte
ELE es el error lineal en Este

12. Cálculo de coordenadas definitivas
Las coordenadas anteriormente calculadas
deben ser corregidas a fin de obtener las
coordenadas definitivas.
Corr
ELN
N
Corr E
DH
DT
ELE
DT
DH

13. Cálculo y compensación de elevaciones
Elev
k 1
Elev
k
Alt i
DV k
Alt
Donde Alti es la altura del instrumento
Dv es la distancia vertical
Altp es la atura del prisma
p

14. El error de elevación se obtiene de restar la
elevación del punto de llegada con la
elevación del punto de partida. Esta
diferencia se divide entre la cantidad total de
puntos, cuyo valor se añade a cada
uno, previamente multiplicado por el número
de punto al cual corresponde.

15. Determinación de la razón de cierre
Razón
DT
ELT

16. 0.1.4. Cálculo del área de una poligonal
Área por coordenadas cartesianas
A
1
2
(
X k Yk
1
Yk X k 1 )
Donde X corresponde a la coordenada norte.
Y corresponde a la coordenada este.

17. Área por el método de Herón
A
s(s
a )( s
b )( s
c)
Donde s es el semiperímetro.
a, b y c los lados del triangulo.

18. 0.1.5 Nivelación geométrica compuesta
La nivelación geométrica es el procedimiento
topográfico que mide la diferencia de nivel
entre dos puntos mediante el uso de un nivel y
miras colocadas en dichos puntos. Cuando
estos se encuentran separados por una
distancia mayor al alcance visual, es necesario
aplicar la nivelación compuesta.
La nivelación compuesta es un método muy
preciso puesto que determina la calidad de la
medición en base a la elevación determinada y
la distancia nivelada.

19. Determinación de la constante de
operabilidad del equipo
La constante de corrección del equipo
(Constante C)determina si este se encuentra
en condiciones de operabilidad o si este debe
ser calibrado.

20. Cálculo del desnivel entre dos puntos
El desnivel entre dos puntos, ∆h, se obtiene
sumando algebraicamente el promedio de
las lecturas de la vista atrás (valor positivo)
con el promedio de las lecturas de la vista
adelante (valor negativo). Al resultado
obtenido se expresa en metros si se recorre
la coma decimal 3 espacios a la izquierda.

21. Cálculo de la distancia nivelada
La distancia nivelada, K, se realiza sumando
los intervalos de las vistas atrás con los
intervalos de las vistas adelante (ambos
positivos). Este resultado debe ser
multiplicado por la constante del
equipo, generalmente 0,100 y debe
dividirse entre 1000 en vista de obtener la
distancia en kilómetros.

22. Cálculo del error de medición y de la
tolerancia
Error
h ida
Tolerancia
h regreso
k
donde λ es el factor correspondiente al orden
de nivelación.

23. 

0.2.1 Objetivos
Determinar las coordenadas de los vértices
de la poligonal, mediante el calculo y
compensación de la poligonal
horizontal, cumpliendo las especificaciones
requeridas.
Determinar las elevaciones de los vértices
de la poligonal, mediante el método de
nivelación geométrica y el cálculo de la
poligonal horizontal, obteniendo cotas
dentro la tolerancia admitida.

24. 
0.2.2 Tolerancias, precisiones y
especificaciones técnicas
Nivelación
La operabilidad debe cumplir la tolerancia
especificada en el siguiente cuadro.
Tolerancia
Nivelación
12mm
Operabilidad
0,015mm
k

25. Poligonal horizontal
El cálculo de las coordenadas debe cumplir
las tolerancias especificadas para el
proyecto, las cuales se muestran en el
siguiente cuadro.
Tolerancia
Medición de ángulos
30´´N
Razón de Cierre
1: 20000
Cierre de la serie
±10´´

26. Especificaciones técnicas de los instrumentos
Estación total GEOMAX ZTS 607
Mensura Angular
Método
Precisión
Unidad mínima visualizada
Absoluto continuo
7´´
1´´
Mensura lineal
Método
Precisión
Unidad mínima visualizada
Infrarrojo modulado
5mm +2ppm (estandar)
1mm

27. Estación total GEOMAX ZTS 607

28. Nivel LEICA WILD NAK2
Aumento
Desviación estándar
por Km
32x
0.7mm

29. 
La línea base considerada estará conformada
por UPB-1 (estación de referencia) y el punto
A (estación de origen)
Punto
Norte (m)
Este (m)
Elevación
(m)
UPB-1
8167281,7
96
593153,28
7
3515,258
A
8167350,8
88
593100,89
3

30. 

0.2.3 Reconocimiento y documentación
Se establecieron 4 estaciones de control,
dos ubicadas dentro del campus de la
Universidad Privada Boliviana, una cerca de
un desnivel pronunciado y la ultima en el
cerro ubicado frente a la quebrada, siendo
estas dos fuera del campus.
La monumentación de las estaciones se
realizó clavando barras de fierro de
construcción de 1m de longitud, quedando
sobre la superficie solamente 5cm.

31. 0.2.4 Nivelación Geométrica de los puntos de
la poligonal
La nivelación se realizo en dos
itinerarios, ambas con corridas de ida y de
retorno.
El primer itinerario se lo realizo desde el
punto UPB-1 hasta un punto de control
ubicado en el centro de la cancha poli
funcional, denominada UPB-Cancha. En la
corrida de ida se establecieron 5 estaciones
de nivelación, en el retorno, solamente 3.

32. El segundo itinerario se lo realizo desde
el punto UPB-Cancha hasta el punto A de
la poligonal. En la corrida de ida se
siguió la secuencia: UPBCancha, B, C, D, A, mientras que en la
corrida de retorno, la nivelación se hizo
desde A hasta UPB-Cancha.

33. Primer itinerario de la nivelación geométrica (ida)
Primer itinerario de la nivelación geométrica (regreso)
Segundo itinerario de la nivelación geométrica (ida)
Segundo itinerario de la nivelación geométrica (regreso)

34. 0.2.5 Mensura de la poligonal
En la mensura de los ángulos horizontales
realizaron 3 series, compuestas por el ángulo
externo e interno. En campo, se verifico que
la suma de dichos ángulos no superen los
10´´ como indica el
requerimiento, aceptándose 1 rechazo como
máximo en cada medición.

35. Para la mensura de los ángulos zenitales y las
distancias inclinadas se realizaron 3
mediciones, con el fin de obtener un
promedio fiable.

36. 

La ruta realizada empezó en el punto
A, colocándose los prismas en los puntos
UPB-1 y D, desde donde se midieron los
ángulos externos de UPB-1 (ángulo 0) hasta B
y desde D (ángulo 0) hasta UPB-1.
Luego nos trasladamos hasta el punto
B, desde donde se midió el ángulo externo
partiendo del punto A (ángulo 0) hasta el
punto C. Luego, posicionamos la estación
total en el punto C, con el propósito de medir
el ángulo externo desde el punto B (ángulo 0)
hasta el punto D.

37. 
Finalmente, colocamos la estación total en el
punto D con el propósito de medir el ángulo
externo entre el punto C (ángulo 0) hasta A,
terminando el cierre.

39. 0.3.1 Nivelación geométrica
Cálculo de la constante C

El valor obtenido de constante C fue de 0,
004m, el cual es menor a la tolerancia
propuesta para el proyecto, por lo que se
concluye que el equipo estaba en
condiciones optimas de trabajo.

40. Resumen de nivelación
Corrida de ida
De punto
punto
A
Desnivel [m]
UPB-1
Cancha
UPB-
-8,702
Corrida de regreso
De punto
punto
UPB-Cancha
UPB-1
A
Desnivel [m]
8,698

41. El error cometido en el primer itinerario es
igual a 4mm, mientras que la tolerancia es de
5, 909mm (con K = 0, 2425), por lo que se
concluye que la cota del punto UPB-Cancha
está dentro de los resultados esperados.

42. Corrida de ida
De punto
punto
A
UPB-Cancha
C
Desnivel [m]
B
B
D
C
D
De punto
A
punto
A
Cancha
-4,006
-1,854
0,878
Corrida de regreso
A
1,355
Desnivel [m]
UPB-
3,624

43. El error cometido en el segundo itinerario
es igual a 1,4mm en tanto la tolerancia es
de 3, 012mm, por lo que los desniveles y
por consiguiente las cotas de los vértices de
la poligonal son aceptados por cumplir la
precisión requerida.

44. Extracto de elevaciones
Punto
Cota [m]
A
3502,931
B
3502,550
C
3500,696
D
3501,574

45. 0.3.2 Poligonal horizontal
Control y cierre angular
Debido a que el número de vértices de la
poligonal es 4, la sumatoria teórica de los
ángulos externos seria de 1080o. Sin
embargo, la sumatoria practica fue
108o00´5,67´´por lo tanto se tuvo el
excedente de 5,67´´, siendo menor a la
tolerancia propuesta para el proyecto. En este
sentido, los ángulos horizontales leídos
tuvieron que ser compensados con la
corrección que correspondería a −1, 13´´ para
cada ángulo.

46. Calculo de Azimuts
En la siguiente tabla se presentan los
azimuts de los distintos vértices
Línea
Exceso
UPB-1–A
Azimut
142
49
21
34,14
A–B
0o
259
36,67
B–C
180o
314
02
42,21
C–D
540o
54
49
29,07
D–A
180º
134
46
14,27
A–UPB-1
180º
142
49
34,14

47. Cálculo de distancias
Las distancias inclinadas obtenidas por la
estación total deben ser convertidas a
distancias horizontales y distancias
verticales con el ángulo zenital
Punto
DI [m]
DH [m]
DV [m]
A
76,870
76,853
-1,634
B
46,455
46,343
-3,221
C
64,857
64,855
-0,515
D
78,652
78,652
-0,110

48. Cálculo de coordenadas y elevaciones
preliminares
Punto
Norte preliminar
[m]
Este preliminar
[m]
Elevación preliminar
[m]
A
8167350,888
593100,893
3502,923
B
8167336,698
593025,362
3502,519
C
8167368,917
592992,050
3500,628
D
8167406,279
593045,063
3501,483

49. 

Cálculo de correcciones
Las correcciones para las coordenadas se
las calcula a partir de la diferencia entre las
coordenadas de llegada y partida para
ambos casos, obteniendo así ELN = −0,
00136m y ELE = 0 00703m, y por lo tanto
ELT = 0,00716m. Posteriormente se obtuvo
las correcciones para norte y este.
De la misma manera, la elevación del punto
de partida fue restada de aquella del punto
de cierre, obteniendo el valor del error de
cota, ECT = 0,110m,

50. Coordenadas y elevación compensadas
Punto
Norte compensado
[m]
Este compensado
[m]
Elevación [m]
A
8167350,888
593100,893
3502,923
B
8167336,699
593025,360
3502,547
C
8167368,918
592992,047
3500,683
D
8167406,280
593045,058
3501,566

51. Determinación de la razón de cierre
La razón de cierre es mucho mayor a la
razón de cierre especificada, por lo que se
acepta los resultados
Razón de cierre 1:37000

52. Calculo del área de la poligonal
Para el cálculo del área de la poligonal,
se aplicaron los métodos de cálculo
mediante coordenadas y de Herón.
Mediante el método de las coordenadas,
se obtiene un área igual a
A = 3964, 385m2. Por otra parte,
mediante el método de Herón
(considerando que la poligonal fue
dividida en 2 triángulos) se obtiene el
valor de A = 3964, 352m2.

53. 
Los resultados obtenidos mediante el
calculo y compensación de la poligonal
cerrada son satisfactorios, debido a que el
error angular y el error lineal son inferiores
a las tolerancias especificadas para el
proyecto, siendo el primero igual a 5, 6700
mientras que la tolerancia angular indicaba
6000. Por otro lado, la razón de cierre
demandada fue de1:20000 y la obtenida es
de 1:37000. En este sentido, las
coordenadas mostradas en el presente
informe son muy precisas.

54. 
Las elevaciones obtenidas mediante el calculo
de la poligonal cerrada difieren de aquellas
obtenidas por el método de la nivelación
geométrica compuesta, en un rango
aproximado de 8mm. Esta diferencia la
atribuimos a la medida poco precisa de la
altura dela estación total, por lo que
consideramos que las elevaciones obtenidas
por nivelación geométrica son más precisas.

55. 
La razón de cierre de una poligonal depende
de la calidad de las mediciones realizadas en
campo, en este sentido, se recomienda
ejecutar por lo menos 3 series de lectura de
ángulos horizontales y sus correspondientes
mediciones de ángulos zenitales y distancias
inclinadas. Así mismo, se recomienda tomar
el tiempo necesario para la colocación
correcta de la estación total, tomando en
cuenta todas sus herramientas para su
posicionamiento.