Trazando curvas

1. Aplicaciones de la derivada de
una función

2. Trazado de curvas
Determinar: A partir de:
1. Dominio
2. Continuidad
3. Paridad (simetrías)
4. Intersección con los ejes
5. Límites a los costados del dominio
6. Asíntotas horizontales y verticales
La función f
7. Intervalos de crecimiento
8. Extremos absolutos y relativos La derivada primera, f´
9. Intervalos de concavidad y puntos
de inflexión
La derivada segunda, f´´

3. Ejercicio propuesto
Efectúa el estudio completo de f(x) =
36x
x
2
2

1) Dominio
Dom(f) =  - {-6;6}
2) Continuidad
Es continua en  - {-6;6} por ser una función racional
3) Paridad
36(-x)
(-x)
2
2
 36x
x
2
2

• Dominio simétrico respecto al origen
• f(-x)= = = f(x)
 f es par

4. 4) Intersección con los ejes
• Intersección con el eje y
f(0) = 0  G(f)  eje y = {(0;0)}
• Intersección con ele eje x
f(x) = 0  = 0  x2 = 0  x = 0 
 G(f)  eje x = {(0;0)}
36x
x
2
2


5. 5) Límites a los costados del dominio
1
36x
x
lím 2
2
x


y como f es par  1
36x
x
lím 2
2
x


6) Asíntotas
• Asíntotas horizontales
y = 1 es asíntota horizontal en (+) y en (-)
(por apartado 5)

6. • Asíntotas verticales



 


 
0
36
63x
x
límy
0
36
63x
x
lím 2
2
6x
2
2
6x
luego la recta x = 6 es asíntota vertical
y además por ser f par, resulta:



 


 
0
36
63x
x
límy
0
36
63x
x
lím 2
2
6x
2
2
6x
por lo tanto la recta x = -6 también es asíntota vertical

7. Volquemos en un gráfico la información
obtenida hasta el momento.

y
1
-6 0 6 x

8. 7) Números críticos e intervalos de crecimiento
• Números críticos
f ’(x) =  -72x = 0  x = 022
36)(x
72x

 único
número
crítico
• Intervalos de crecimiento
f’(x) > 0  > 0  -72x > 0  x < 022
36)(x
72x


luego, f(x) crece en (-;0) – {-6}

9. f’(x) < 0  < 0  -72x < 0  x > 022
36)(x
72x


luego, f(x) decrece en (0;+) – {6}
8) Extremos de la función
 
-6 0 6
f’(x) > 0 f’(x) < 0
f(x) crece f(x) decrece
(0;0) es máximo local

10. 9) Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
f’’(x) =
 
 
42
24
42
2424
42
2224
42
222
36)(x
)129672(-3x72-
36)(x
144x4x-129672xx72-
36)(x
36)(x4x129672xx72-
36)(x
36).2x(x(-72)x.236)(x72














x
f’’(x) = 0  -3x4+72x2+1296 = 0  -x4 +24x2+432=0

11. Resolviendo la ecuación bicuadrada, resulta:
x2 = -12  x2 = 36

x = 6  x = -6
Obs:
Recuerda que
no pertenecen
al Dominio
Intervalo Número de
prueba
Signo de f ” en
el punto elegido
Signo de f ” en
el intervalo
(-;-6) -7 f ”(-7) > 0 +
(-6;6) 0 f ”(0) < 0 -
(6;+) 7 f ”(7) > 0 +

12.  
-6 0 6
f’’(x) > 0 f’’(x) < 0
f(x) cónc. f(x) cónc.
f’’(x) > 0
f(x) cónc.
f(x) no posee puntos de inflexión