1. UNIFRA MESTRADO DE ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICAFundamentos de MatemáticaOS ESTUDANTES PROPÕE UM PROBLEMA:uma possibilidade favorecida por ambientes computacionais informatizadosEstela Torroba, Marisa Reid,Nilda Etcheverry e Monica Villarreal Noélli Ferreira
2. Primeiro encontro: Seja uma função quadrática da forma y=ax²+bx, achar o coeficiente b em função de a, de maneira que a área da região formada pela curva y com o eixo x tenha um valor constante. Prof: Como deve ser a e b? Alunos: O coeficiente a tem que ser menor que zero (a<0) para que a concavidade seja para baixo e b pode ser negativo ou positivo. Alunos: Por que a tem que ser menor que zero? Para que seja a região formada com a curva e o eixo x.
3. A professora sugere o uso do software para a construção de alguns gráficos.Y=-x²+bx o bvariando de -7 a 9 (intervalo 4) b=-7, b=-3 , b= 1, b=5, b=9.
4. Alunos: Observamos que as parábolas passam pela origem. Todas elas cortam o eixo x em dois pontos, falta achar o valor do outro ponto. Resolvendo a equação algebricamente: ax²+bx=0 (colocando x em evidencia) obteremos x=0 e x=-b/aque são as raízes desta equação. Prof: O que significa que as áreas devem ser constantes? Alunos: Vale sempre o mesmo valor, por exemplo, três.A área baixo da curva é uma integral? Lembrando: área sobre uma curva A=
5. A área pode ser calculada através da integral definida, cujos limites de integração são as raízes calculadas anteriormente. Resolvendo algebricamente a integral:
6. Igualando esta expressão, por exemplo, a três. Resolvendo através do software encontra-se =3, logo b= (resposta do problema dado, em particular no caso onde a área é igual a 3) logo, Y=ax² + x Os estudantes se aprofundaram e vão alem da exploração
7. Observando os gráficos desta função quadrática para distintos valores negativos de a. a=-5, a=-1, a=-2, a=-3, a=-4
8. Alunos: Para que a área seja sempre a mesma, quando a base (raízes distintas de cada parábola) AUMENTA e a altura (ordenada do vértice) deve DIMINUIR. A professora propõe que marquem os vértices das parábolas. Os alunos preferem achar as coordenadas dos vértices através da forma canônica: f(x)=a(x-m)²+k Então Y=a(x-(b/2a))²+b²/4(-a) logo os vértices serão : v=(-b/2a, -b²/4a) substituindo b= nas coordenadas do vértice temos:
10. Alunos: Podemos encontrar a equação dessa curva?De qual?A curva que passa por todos os vértices? Prof.:Qual é a expressão da coordenada x? Alunos: X=-b/2a, como b= substituindo em x teremos x= (x se refere (Xv) em função de a) Achar y do vértice em função de a y=-b²/4a achamos y= - Temos que achar y em função de x: Como x= isolando a temos: a=
11. Como agora temos o valor de y e a calculando algebricamente obtemos: y= -
12. Usando o software os alunos também obtém a equação: f(x)= Fazendo o gráfico da função hiperbólica teremos:
13. Segundo encontro: Ob da equação do problema inicial poderia tomar valores positivos ou negativos. Agora utilizaremos valor negativo para b. para uma área = 3. b= - Y= ax²- x Assinalando valores negativos para a. a =-10, a=-8, a=-6, a=-4, a=-2
14. Marcando os vértices inserindo a função f(x) =- (muda o sinal porque b é negativo) Observamos que os vértices das parábolas encontram no ramo da hipérbole.
15. Generalizando o problema usando o software: K= área Y= ax²+ x F(X) = função que passa pelos vértices das parábolas em caso de b positivo. Segundo os autores do artigo este resultado dificilmente seria conseguido sem a ajuda do recurso tecnológico.