ficha de aplicacion para estudiantes El agua para niños de primaria
Funciones racionales
1. M A T E M Á T I C A S I V - B L O Q U E 6
Funciones Racionales
Mtra. Norma Toledo García
2. Funciones Racionales
Están formadas por cocientes de dos funciones
polinómicas.
𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son funciones polinómicas.
Su dominio está formado por todos los números reales
excepto los valores de 𝑥 que anulan el denominador
(raíces de 𝑄(𝑥)).
Ejemplo:
𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥−2
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑹 − {2}
Mtra. Norma Toledo García
5. Asíntotas de una función
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va
aproximando indefinidamente, cuando por lo menos
una de las variables 𝑦 o 𝑥 tienden al infinito.
Asíntotas:
Verticales
Horizontales
Oblicuas
Mtra. Norma Toledo García
6. Asíntotas verticales de 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
Mtra. Norma Toledo García
Son rectas paralelas al eje 𝑦.
Se encuentran en las raíces de 𝑄(𝑥) siempre que
𝑃 𝑟 ≠ 0 (r es un polo de la función).
Su ecuación es 𝑥 = 𝑟.
No puede ser atravesada por la gráfica de f(x).
7. 𝑓 𝒙 =
𝒙
𝒙 𝟐−𝟏
tiene asíntotas verticales
en 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟏
Si la raíz de 𝑄 𝑥
es simple.
Las ramas de la
gráfica de 𝑓 𝑥 a
los lados de la
asíntota tienen
sentidos
opuestos.
Mtra. Norma Toledo García
8. 𝒇 𝒙 =
𝟏−𝟐𝒙
𝒙 𝟐+𝟒𝒙+𝟒
tiene una asíntota
vertical en 𝒙 = −𝟐
Si la raíz tiene
multiplicidad
par.
Las ramas de la
gráfica a los
lados de la
asíntota van
hacia el mismo
sentido.
Mtra. Norma Toledo García
9. Asíntotas horizontales de 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
Mtra. Norma Toledo García
Son rectas paralelas al eje 𝑥.
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes.
La gráfica de f(x) puede atravesar una asíntota horizontal.
f(x) como máximo puede tener 2 asíntotas horizontales.
El grado de los polinomios P(x) y Q(x) ayudan a
determinarlas.
10. Asíntotas horizontales
Mtra. Norma Toledo García
Si 𝑚 es el grado de 𝑃 𝑥 y 𝑛 es el grado de 𝑄 𝑥 y además:
𝑚 < 𝑛 𝑓 𝑥 tiene una asíntota horizontal en 𝑦 = 0
𝑚 = 𝑛 𝑓(𝑥) tiene una asíntota horizontal en 𝑦 =
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
𝑚 > 𝑛 𝑓 𝑥 no tiene asíntotas horizontales.
12. Entonces 𝒇 𝒙 tiene una asíntota
horizontal en 𝒚 = 𝟎
𝑓 𝑥 =
3𝑥2−2
𝑥3−1
En este caso:
𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 3
Mtra. Norma Toledo García
13. Entonces 𝒇 𝒙 tiene una asíntota
horizontal en 𝒚 = 𝟑/𝟐
𝑓 𝑥 =
6𝑥2
− 1
4𝑥2 − 16
En este caso:
𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 2
Mtra. Norma Toledo García
14. Entonces 𝒇 𝒙 tiene una asíntota
horizontal en 𝒚 = 𝟎
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 3
𝑥2 − 2𝑥 + 4
En este caso:
𝑚 = 1 𝑦 𝑛 = 2
Mtra. Norma Toledo García
15. Asíntotas Oblicuas de 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
Mtra. Norma Toledo García
Las asíntotas oblicuas son rectas con inclinadas.
Si el grado de 𝑃 𝑥 es mayor que el grado de 𝑄(𝑥) en una
unidad, entonces la función 𝑓 𝑥 tiene asíntotas oblicuas.
Si 𝑚 = 𝑛 + 1 entonces 𝑓 𝑥 tiene asíntotas oblicuas.
La ecuación de la asíntota oblicua es el cociente de la
división: 𝑃 𝑥 ÷ 𝑄(𝑥)
16. Por lo tanto f(x) tiene una asíntota
oblicua en 𝒚 = 𝒙 − 𝟏
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 2𝑥 + 2
𝑥 − 1
En este caso:
𝑚 = 2 𝑦 𝑛 = 1
Mtra. Norma Toledo García
17. Por lo tanto f(x) tiene una asíntota
oblicua en 𝒚 = 𝟐𝒙
𝑓 𝑥 =
2𝑥3
+ 2
𝑥2 − 4
En este caso:
𝑚 = 3 𝑦 𝑛 = 2
Mtra. Norma Toledo García